《高中数学》必会基础题型5—《平面向量》

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若 与 共线， 与 共线，则 与 共线。
（8）若 ，则 。 （9）若 ，则 。
（10）若 与 不共线，则 与 都不是零向量。
（11）若 ，则 。 （12）若 ，则 。
题型2.向量的加减运算
1.设 表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。
2.化简 。
2.在平行四边形 中，已知 ，求 。
题型6.向量的坐标运算
1.已知 ， ，则点 的坐标是。
2.已知 ， ，则点 的坐标是。
3.若物体受三个力 , , ,则合力的坐标为。
4.已知 ， ，求 ， ， 。
5.已知 ,向量 与 相等，求 的值。
6.已知 ， ， ，则 。
7.已知 是坐标原点， ，且 ，求 的坐标。
《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作： 或 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： 或 。
3.单位向量：长度为1的向量。若 是单位向量，则 。
4.零向量：长度为0的向量。记作： 。【 方向是任意的，且与任意向量平行】
2.代入验证法
例：已知向量 ，则 （ D ）
A. B. C. D.
变式：已知 ，请用 表示 。
解：设 ，则
即：
，即：
解得： ，
3.排除法
例：已知M是 的重心，则下列向量与 共线的是（ D ）
A. B. C. D.
解：观察前三个选项都不与 共线，所以选D。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
2.已知 ，能与 构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求 的坐标。
2.已知 是原点，点 在第一象限， ， ，求 的坐标。
1.已知 ，则 65。
4.已知两向量 ，求当 垂直时的x的值。
5.已知两向量 ， 的夹角 为锐角，求 的范围。
变式：若 ， 的夹角 为钝角，求 的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C重合时，可以得到 ， 。
2.已知 ，求（1） ，（5） ，（6） 。
3.已知 ， ，求 。
题型12.求单位向量 【与 平行的单位向量： 】
1.与 平行的单位向量是。
2.与 平行的单位向量是。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知 ， ，当 为何值时，（1） （2）
2.已知 ， ，（1） 为何值时，向量 与 垂直
（2） 为何值时，向量 与 平行
3.已知 是非零向量， ，且 ，求证： 。
题型14.三点共线问题
1.已知 ， ， ，求证： 三点共线。
2.设 ，求证： 三点共线。
3.已知 ，则一定共线的三点是。
4.已知 ， ，若点 在直线 上，求 的值。
5.已知四个点的坐标 ， ， ， ，是否存在常数 ，使 成立
题型15.判断多边形的形状
1.若 ， ，且 ,则四边形的形状是。
4.已知 ， ， ，请将用向量 表示向量 。
5.已知 ， ，（1）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；
（2）若 与 的夹角为锐角，求 的范围。
6.已知 ， ，当 为何值时，（1） 与 的夹角为钝角（2） 与 的夹角为锐角
7.已知梯形 的顶点坐标分别为 ， ， ，且 ， ，求点 的坐标。
8.已知平行四边形 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点 的坐标。
9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 角，求水流速度与船的实际速度。
10.【2007年广东卷】已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值。
【备用】
1.已知 ，求 和向量 的夹角。
2.已知 ， ，且 ， ，求 的夹角的余弦。
2.已知 ， ， ， ，证明四边形 是梯形。
3.已知 ， ， ，求证： 是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内， ,求证： 是等腰直角三角形。
题型16.平面向量的综合应用
1.已知 ， ，当 为何值时，向量 与 平行
2.已知 ，且 ， ，求 的坐标。
3.已知 同向， ，则 ，求 的坐标。
3.已知 ， ， ，则 。
Βιβλιοθήκη Baidu12.向量的模：若 ，则 ， ，
13.数量积与夹角公式： ；
14.平行与垂直： ；
题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是 。
（5）若 ，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。 。
8.三角形法则：
； ； （指向被减数）
9.平行四边形法则：
以 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 ， 。
10.共线定理： 。当 时， 同向；当 时， 反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
题型9.求数量积
1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） ，
（3） ，（4） 。
2.已知 ，求（1） ，（2） ，（3） ，
（4） 。
题型10.求向量的夹角
1.已知 ， ，求 与 的夹角。
2.已知 ，求 与 的夹角。
3.已知 ， ， ，求 。
题型11.求向量的模
1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） 。
3.已知 , ,则 的最大值和最小值分别为、。
4.已知 的和向量，且 ，则 ， 。
5.已知点C在线段AB上，且 ,则 ， 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1） （2）
2.已知 ，则 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量 ，如下图，请做出向量 和 。
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在 中， 是 的中点，请用向量 表示 。