圆中阴影部分面积的计算

合集下载

圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算
要计算圆的阴影部分的面积，首先需要了解一些基本的几何概念和公式。

下面将逐步介绍计算过程。

1.圆的面积公式：
2.圆的周长公式：
3.阴影部分的面积计算：
首先，我们假设有一个大圆，其半径为R。

然后，在大圆的中心位置画一个小圆，其半径为r。

阴影部分的面积就是大圆的面积减去小圆的面积。

那么，阴影部分的面积可以用以下公式表示：
Shadow Area = π * R^2 - π * r^2
为了计算具体的值，需要知道大圆和小圆的半径。

假设大圆的半径为10单位，小圆的半径为8单位。

那么，可以将这些值代入上述公式，得到阴影部分的面积：
Shadow Area = π * 10^2 - π * 8^2
=π*100-π*64
≈314.159-201.0624
≈113.0966
所以，在这个假设中，阴影部分的面积约为113.1单位。

如果想要通过给定的半径来计算阴影部分的面积，可以根据需要修改上述公式。

另外，如果阴影部分的形状不是简单的圆形，而是由多个形状组成的复杂曲线，那么计算面积的方法也会有所不同。

在那种情况下，可能需要使用数值积分等更高级的数学方法来计算。

圆求阴影部分面积方法

学生姓名：年级：课时数:辅导科目：数学学科教师:课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积．例如,右图中,要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。

(二）、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。

(四)、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可．例如，欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的４个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。

（五）、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可。

如右图，右图中大小正方形的边长分别是９厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.（六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。

圆-阴影部分面积(附答案)

求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。

圆中阴影部分面积求法

圆中阴影部分面积求法(2010-06-02 16:03:03)转载标签：扇形a2oa半圆分类：初中数学免费资源圆心洛阳数学辅导洛阳家教杂谈求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。

现举例谈谈主要方法：1．重叠法可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。

例1．如图，AOB是直角扇形，以OA、OB为直径在扇形内作半圆，n和N分别表示两个阴影部分的面积。

则( )(A)N＝n(B)n＞N(C)N＞n(D)n、N大小关系无法确定解：研究面积为N的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面积为n的图形在两个半圆中的重叠。

故N=■·OA2-·（■OA）2+n=n，故应选A。

2．组合法例2．如图，在边长为２cm的正方形ABCD中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm长为半径作弧，得到图中的组合图形。

求阴影部分的面积。

分析1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同的弓形。

明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。

解：S阴=２S弓＝２（S扇-S△）=2（-2）cm2分析2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。

简记为：２S弓＝S半圆-S正方形=■22-22=(2-4)cm23．全部减其余例3.如图所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作■，以AB为直径作■，M是AD上一点，以DM为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____解：■a2点拨：设以DM为直径的半圆的圆心为O1，半径为r，以AB为直径的半圆的圆心为O2，连结O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a所以S阴影=S扇形DAB-■S圆O1-■S圆O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a24．等积变形法例4.如上图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_____。

五年级《圆》求阴影部分面积的十大方法

求与圆相关的阴影部分面积的十大方法（一）、相加法（分割法）：将不规则图形分割成成几个基础规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

例：下图只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后相加即可。

（二）、相减法：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

例：下图只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

（三）、直接求法：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

例：下图阴影部分的面积，分析发现它是一个底为2，高为4的三角形，就可以直接求面积了。

（四）、重新组合法：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。

S 阴影=S 半圆+S 正方形S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 三角形例：下图可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

（五）、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。

例：下图虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法计算2个三角形面积之和更简便。

（六）、割补法：把原图形的一部分切割下来，补在图形中的另一部分，使之成为规则图形，从而使问题得到解决。

例：下图只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。

（七）、平移法：将图形中某一部分切割下来，平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。

S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 正方形÷2S 阴影=S 三角形①+S 三角形②例：下图可先沿中间切开，把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

（八）、旋转法：将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度，贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积。

小学六年级圆_阴影部分面积(含答案)

求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。

圆求阴影部分面积方法

学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。

（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。

（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。

（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

圆阴影部分面积(含答案)

圆阴影部分面积(含答案)求一个图形的阴影部分面积是一个基本的几何问题。

下面给出一些例子：例1：求一个圆形和一个等腰直角三角形组成的阴影部分的面积。

首先计算圆的面积，假设半径为r，则圆面积为πr²。

然后计算三角形的面积，假设直角边长为a，则三角形面积为a²/2.最终阴影部分的面积为πr²-a²/2.例2：求一个正方形中的阴影部分面积。

假设正方形面积为7平方厘米，则阴影部分可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。

如果圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分面积为7-πr²。

例3：求一个由四个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。

首先将四个圆组成一个大圆，然后用正方形的面积减去这个大圆的面积。

假设正方形边长为2，则大圆的半径为1，面积为π，阴影部分面积为2²-π=0.86平方厘米。

例4：求一个正方形中的阴影部分面积。

同样可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。

假设正方形面积为16平方厘米，则阴影部分面积为16-πr²=3.44平方厘米。

例5：求一个由两个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。

将阴影部分分成两个“叶形”，每个“叶形”由两个圆和一个正方形组成。

假设圆的半径为r，则每个“叶形”的面积为2πr²-4，阴影部分的面积为2(2πr²-4)=4πr²-8.例6：已知一个小圆的半径为2厘米，大圆的半径是小圆的3倍，求空白部分甲比乙的面积多多少厘米？两个空白部分面积之差就是两圆面积之差。

假设小圆的半径为2，则小圆面积为4π，大圆面积为36π，空白部分的面积为32π-4π=28π=100.48平方厘米。

例7：求一个正方形中的阴影部分面积。

首先计算正方形的面积，假设对角线长为5，则正方形面积为25/2.然后计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分的面积为πr²/4-25/2=7.125平方厘米。

圆求阴影部分面积方法

圆求阴影部分面积方法圆的阴影部分面积可以通过多种方法求解。

下面将介绍两种常用的方法：几何解法和积分解法。

1.几何解法：首先，我们需要明确阴影的形成原理。

当一个圆形物体在光源的照射下，会在其周围产生一个暗影区域。

暗影区域形状类似于圆形，阴影的大小与光源与圆心之间的位置有关。

在这个问题中，我们假设光源位于圆的正上方，圆位于坐标原点（0，0），光源到圆心的距离为r，圆的半径为R。

首先，我们可以将圆分为四个象限，每个象限的阴影部分面积相同。

以第一象限为例，阴影部分面积可以通过扇形面积和三角形面积之和求解。

扇形面积的计算公式为：A1 = πR^2 θ / 360°，其中θ为扇形的圆心角，可以通过余弦定理计算得到：cosθ = r / (r+R)。

将θ代入公式可得：A1 = πR^2 cosθ。

三角形面积的计算公式为：A2 = (1/2)R^2 sinθ。

四个象限的阴影部分面积之和即为圆的阴影部分面积：A = 4(A1 +A2) = 4(πR^2 cosθ + (1/2)R^2 sinθ)。

2.积分解法：在这种方法中，我们将阴影部分分为无限多个面积微元，然后对每个面积微元求和来计算阴影部分的总面积。

设一些面积微元的宽度为dx，圆上该位置的半径为r(x)，根据图形关系可知，r(x) = (R/x) * sqrt(x^2 - r^2)。

那么微元dA的面积可以表示为：dA = 2πr(x)dx，由此可得阴影部分面积的积分公式为：A =∫dA = ∫2πr(x)dx。

所以，我们需要确定积分的上下限。

当x从-r到r变化时，即为圆的直径上的每个点，阴影部分面积的范围。

将r(x)代入积分公式，可得：A = ∫(-r，r)2π(R/x) * sqrt(x^2 - r^2)dx。

这个积分在计算上可能比较复杂，可以改写为：A = 2πR * ∫(-r，r)(1 / sqrt(1 - (r/x)^2))dx。

使用换元法，令 u = r/x，可得到：dx= -r/u^2 du。

圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算要计算圆中阴影部分的面积，我们首先需要了解圆和阴影的几何属性。

阴影是由光线被物体遮挡而产生的暗部分。

在计算阴影部分的面积时，我们需要知道光源的位置和其对圆产生的阴影形状。

假设光源位于圆的正上方，这样阴影将呈现半圆形状。

为了计算阴影部分的面积，我们可以将圆分为两个部分：圆的整体部分和阴影部分。

我们可以先计算出整个圆的面积，然后减去阴影部分的面积即可得到阴影部分的面积。

首先，我们需要确定光源的位置。

假设光源的位置位于圆的正上方。

此时，光线与圆周的切点即为阴影部分的起始点。

请参考以下步骤来计算圆中阴影部分的面积：1.确定圆的半径。

2.使用圆的半径计算整个圆的面积。

公式为：A=πr²。

3.根据光源的位置，确定阴影部分的起始点和终止点。

4.计算阴影部分的面积。

由于阴影呈半圆形状，因此可以使用半圆的面积计算公式：A=0.5πr²。

其中，r为阴影部分的半径。

5.将整个圆的面积减去阴影部分的面积，即可得到阴影部分的面积。

下面我们通过一个实例来进一步解释计算阴影部分的面积：假设圆的半径为10单位长度，我们要计算半径为5单位长度的阴影部分的面积。

1.圆的半径（r）=10。

2.整个圆的面积（A）=π(10)²=100π。

3.阴影部分的半径（r）=54.阴影部分的面积（A）=0.5π(5)²=12.5π。

5.阴影部分的面积=整个圆的面积-阴影部分的面积=100π-12.5π=87.5π。

因此，半径为5单位长度的阴影部分的面积约为87.5π单位²。

总之，要计算圆中阴影部分的面积，需要确定圆的半径和阴影的形状，然后使用相应的几何公式进行计算。

圆求阴影部分面积方法

@（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

'（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

圆的阴影部分的面积公式

圆的阴影部分的面积公式圆是我们日常生活中最常见的几何图形之一，其独特的形状和性质给人们带来了许多有趣的数学问题。

其中一个常见的问题是：如何计算圆的阴影部分的面积呢？首先，我们需要理解什么是圆的阴影部分。

当一个圆在光照下，其周围形成了一个明亮的区域，而圆的背面则处于阴暗之中。

这个阴暗部分就是圆的阴影部分，我们需要计算的就是这个部分的面积。

要计算圆的阴影部分的面积，我们可以使用几何学中的一些基本原理和公式。

其中一个重要的原理是圆的面积公式，也就是πr²，其中π是圆周率，r是圆的半径。

首先，我们需要确定圆的半径。

半径是一个圆的中心到任意一点的距离，同时也是圆上任意一点到圆心的距离。

一旦我们确定了圆的半径，就可以使用公式πr²计算出整个圆的面积。

接下来，我们需要确定阴影部分所占的比例。

这个比例将决定阴影部分在整个圆中占据的面积。

如果我们知道阴影部分所占的比例是x%，我们可以将整个圆的面积乘以x/100来计算阴影部分的面积。

然而，要准确计算圆的阴影部分的面积，我们还需要考虑光照的角度和亮度。

如果光线是从圆的中心射入，那么阴影的形状将会是一个圆环。

如果光线是从其他角度射入，那么阴影的形状可能是一个椭圆或其他形状。

在实际应用中，计算圆的阴影部分的面积常常需要使用数学模型和计算机模拟。

数学模型可以帮助我们理解阴影的形状和特点，而计算机模拟则可以通过模拟光线和阴影的交互来精确计算阴影的面积。

总之，圆的阴影部分的面积是一个有趣且复杂的数学问题。

通过理解圆的面积公式、考虑光照角度和亮度，并借助数学模型和计算机模拟，我们可以准确计算出圆的阴影部分的面积。

这个过程不仅可以帮助我们更好地理解圆的性质，还可以应用于各种实际问题中，例如建筑设计、地球遥感等领域。

圆-阴影部分面积(含标准答案)

求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=平方厘米例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=所以阴影面积为：π÷=平方厘米(注:以上几个题都可以直接例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=平方用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 厘米例9.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。

圆中阴影面积的计算

B
y 2x y x x
∴
C
8
∴S阴影= 4
解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法三：把图形分解下 A 旋转图形 ∴S阴影= S以AC为直径的圆－S以AC为对角线的正方形 B C =
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法一：阴影面积可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和以AC为直径半圆，因为△ABC内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以
A
S阴影= S以AC为直径的半圆 + S以AB为直径的半圆－S△ABC
中阴影部分的面积是（ B ） A. B. C. D.
x y x
y
x x
∴
y
4
y
∴S阴影= 4
大家谈谈今天的收获
思考题：
(2中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.
A
B
C
解法一
解法二
解法三
思考题：
A
解法一
解法二 C（B）
解法三
谢谢大家
B C
=S以AC为直径的圆－S△ABC
= 解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.

求圆中阴影部分面积的方法

求圆中阴影部分面积的方法要求计算圆中阴影部分的面积，我们需要先了解阴影的形成原理和计算方法。

在圆中，阴影部分的形成是由于有一个遮挡物挡住了部分光线，导致该部分产生了阴影。

求解阴影部分的面积，可以采用几何方法或者数学方法进行计算。

下面将详细介绍这两种方法。

一、几何方法：几何方法通过将阴影部分与已知的几何图形进行比较，来求解阴影部分的面积。

1.1若遮挡物为一个小圆，则阴影部分可近似看作扇形与小圆的差。

我们来具体说明一下：假设有一个半径为R的圆，圆心为O，遮挡物为半径为r的小圆，小圆与大圆的圆心距离为d。

此时可以将阴影部分近似看作一个扇形加上一个梯形。

我们可以分别计算出扇形和梯形的面积，再求和即可得到阴影部分的面积。

1.2若遮挡物不是一个小圆，而是其他几何图形，我们需要先找到该几何图形的面积，再进行相应的几何运算来求解阴影部分的面积。

二、数学方法：数学方法通过数学公式与运算来求解阴影部分的面积。

2.1通过积分法求解：假设有一个圆形区域，当有一个遮挡物产生阴影时，我们需要求解被阴影遮盖的圆形区域的面积。

首先，我们需要定义一个圆心角θ，该圆心角为横坐标轴和遮挡物之间的夹角。

接下来，我们需要确定整个圆形区域的边界，设定一个高度h，并根据高度h与圆形的半径r的关系，求解出遮挡物上的横坐标x1和x2，即横跨遮挡物的圆弧的两边界点。

然后，我们就可以设置相应的积分方程来求解阴影部分的面积，即将对应的函数积分，并限定积分的上下限为x1到x2，最终得到阴影部分的面积。

2.2通过几何约束条件求解：在一些特殊情况下，我们可以通过几何约束条件来求解阴影部分的面积。

例如，假设圆的半径为R，有一个直径为r的小圆与大圆的切点与圆上其中一点相连构成一条直线，该直线与小圆的交点为P。

此时，我们可以通过几何关系求解出大圆上的点P的坐标，然后可以根据点P与小圆上的点与圆心的连线的关系，进一步求解出整个阴影部分的面积。

总结：求解圆中阴影部分的面积可以采用几何方法或数学方法来进行计算。

[数学]-专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法(原版)

专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例 1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（）A ．12π米2B ．14π米2C ．18π米2D ．116π米2针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以点D 为圆心，BD 长为半径画弧，交边BC 于点B ，交边AC 于点E ，若∠A ＝60°，∠B ＝100°，BC ＝6，则扇形BDE 的面积为．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC 顶点A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于D ，E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．√3−π4B ．2√3−πC ．(6−π)√33D ．√3−π2针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB 中，已知∠AOB ＝90°，OA ＝2，过AB ̂的中点C 作CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为点D ，E ，则图中阴影部分的面积为（）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣4D ．π2−1方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且∠ACB ＝15°，过点O 作OD ∥AB 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，已知⊙O 半径为2，则图中阴影面积为．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC 的三个顶点A ，B ，C 在⊙O 上，对角线AC ，OB 交于点D ，若⊙O 的半径是2√3，则图中阴影部分的面积是（）A ．2πB ．6πC ．√33πD ．√3π方法四化零为整法（整体法）典例4 （2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm 长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm 2．方法五割补法（拼接法）典例5(2022•铜仁）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9B．6C．3D．12针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝2√3，则图中阴影部分的面积是．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）典例8（2019•招远市）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：̂沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE＝．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝3m ，OB ＝1.5m ，则阴影部分的面积为（）A ．4.25πm 2B ．3.25πm 2C ．3πm 2D ．2.25πm 22．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．12π﹣1D ．12π+13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ∥CD ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且DE ＝6的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（）A ．6π﹣9√3B ．12π﹣9√3C ．6π−9√32D ．12π−9√324．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 长为半径作BC ̂，AC ̂，AB ̂，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A ．2π﹣2√3B ．2π−√3C ．2πD ．π−√35．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB 和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD ＝1米，BC ＝0.5米，则阴影部分的面积为（）A ．（π12−√38）平方米 B ．（π6−√38）平方米 C ．（π12−√34）平方米 D ．（π6−√34）平方米 6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC =√3，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，则扇形BAE 的面积为（）A ．π3B ．3π5C ．2π3D ．3π47．（2022•赤峰）如图，AB 是⊙O 的直径，将弦AC 绕点A 顺时针旋转30°得到AD ，此时点C 的对应点D 落在AB 上，延长CD ，交⊙O 于点E ，若CE ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB ．2√2C ．2π﹣4D ．2π﹣2√28．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为45cm ，扇面BD 的长为30cm ，则扇面的面积是（）A ．375πcm 2B ．450πcm 2C ．600πcm 2D ．750πcm 29．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB̂上的点C 处，图中阴影部分的面积为（）A ．3π﹣3√3B ．3π−9√32C ．2π﹣3√3D ．6π−9√3210．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A ．23π−√32B ．23π−√3C ．43π﹣2√3D ．43π−√3二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ．连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°，则图中阴影部分的面积为．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，长为2的线段CD 的两个端点分别在线段OA 、OB 上滑动，E 为CD 的中点，点F 在AB̂上，连接EF 、BE ．若AF ̂的长是π3，则线段EF 的最小值是，此时图中阴影部分的面积是．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3√2，则图中阴影部分的面积是．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB̂上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为．。

圆-阴影部分面积(含答案)

例3•求图中阴影部分的rfn •枳.仲位:厘％）例4•求阴影部分的面枳。

（爪位:駁米）例6•如图：已知小圆半径为2皑米.大圆半径是小恻的3倍.问：空白部分甲比乙的面积*多少腿米？例1 •求阴影部分的面积0（«n 位:®米）求阴影部分面积解：这是最基木的方法^ 4圆潮形的面积减去卸恻的面枳。

积减去等腰直角三角形的rfn 积, u 兀Q2・2>d=（平方腿来）例2•正方形面积是7平方屉米.求阴影部分的面枳。

（敢位逼米）解：这也是一种最基木的方法用正方设圆的半径为r,因为正方形的面积为7平方米.所以rb.JC u所以阴影部分的面枳为：7-4r^=7-Tx7=T 方屉解：报基木的方法之一•用四个4 圆组成一个恻•用正方形的面积减去恻的面枳，所以阴影部分的面积：2x2・n =平方凰*。

解：同上.正方形血积减去圆 Mi 枳，16-n|23=16'4n=平方駁米解：这是一个用最常用的方法解最常见的题•为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形是川两个圆减去一个正方形• n{2^x2-16=8n-16=平方凰米另外：此题还可以看成是1 题中阴影部分的8倍。

4 (5)解：两个空白部分而积之差就 ― 是两圆面积之差（全加上阴影［可. 才詞部分）I 0产^（6）•皿2*平方厘米（注'这和两个圆是否相交.交的情况如何无关）例7•求阴影部分的rfn •枳.（^IM 立:厘％：）解：正方形面积可用（对角线长X 对角线长+2.求）正方形面枳为：5x5寺2= 例&求阳影部分的面枳.（爪位:駁米）解：右面正方形上部阴影部分的面枳.等于左ifn •正所以阴影面枳为：n 平方 ZI（注:以上几个题都可以直接用图形的養来求，无霸割、补、增、减变形）例5•求阴影部分的面枳.位:厘％）例9•求阴影部分的面积。

位”用％）例10•求阴影部分的面积。

圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算

圆求阴影部分面积方法

圆-阴影部分面积(附答案)

圆中阴影部分面积求法

五年级《圆》求阴影部分面积的十大方法

小学六年级圆_阴影部分面积(含答案)

圆求阴影部分面积方法

圆 阴影部分面积(含答案)

圆求阴影部分面积方法

圆中阴影部分面积的计算

圆求阴影部分面积方法

圆的阴影部分的面积公式

圆-阴影部分面积(含标准答案)

圆中阴影面积的计算

求圆中阴影部分面积的方法

[数学]-专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法(原版)

圆-阴影部分面积(含答案)

圆阴影部分面积(含答案)