1.7近似数例题与讲解

1.7 近似数
1．准确数与近似数的意义
(1)准确数(精确数)是与实际完全符合的数
如七年级(1)班的人数是45人，一个单位的车辆数是29辆等，45和29就是准确数．近似数是与实际非常接近的数．
如我国约有13.4亿人口，地球半径约为6.37×106m等．这里的13.4亿和6.37×106都是近似数．
(2)产生近似数的主要原因
①“计算”产生近似数，如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等；
②用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等；
③不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如调查池塘中鱼的尾数，结果就只能是一个近似数；
④由于不必要知道准确数而产生近似数．
【例1】下列各题中的数据，哪些是精确数？哪些是近似数？
(1)某字典共有1 234页；
(2)我们班级有97人，买门票大约需要800元；
(3)小红测得数学书的长度是21.0厘米．
分析：(1)字典的页数是不需要估计的或测量的，有多少页是固定的，所以1 234是一个精确数；(2)一个班级的人数是不需要估计的，而是确定的，所以97是一个精确数，买门票大约需要800元是一个估计值，所以800是一个近似数；(3)测量的结果都是近似的，所以21.0是一个近似数．
解：(1)1 234是精确数；
(2)97是精确数，800是近似数；
(3)21.0是近似数．
2．精确度
(1)误差
近似值与准确值的差，叫做误差，即
误差＝近似值－准确值．
误差可能是正数，也可能是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高．
(2)精确度
近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示．近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位．
如一个近似数M精确到十分位后的近似值是3.4，那么这个近似数M的取值范围是：3.35≤M＜3.45.具体地做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.
【例2】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值：
(1)38 063(精确到千位)；
(2)0.403 0(精确到百分位)；
(3)0.028 66(精确到0.000 1)；
(4)3.548 6(精确到十分位)．
分析：四舍五入要按题目要求精确到哪一位，然后确定这一位后面的数字是“舍”，还是“入”，只能四舍五入一次．(1)题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示．精确到某一位时，应看它的下一位数字，若不小于5，则进一，否则舍去，另外最后一位是0的近似数不要将0去掉，否则精确度就变了．
解：(1)38 063＝3.806 3×104≈3.8×104；
(2)0.403 0≈0.40；
(3)0.028 66≈0.028 7；
(4)3.548 6≈3.5.
3．精确度的确定
一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这位数精确到哪一位．
(1)普通数直接判断．
(2)科学记数法形式(形如a×10n)．这类数先还原成普通数，再看a最右边的数字在什么数位上，在什么数位上就是精确到什么数位．
(3)带有“文字单位”的近似数，在确定它的精确度时，分两种情况：当“文字单位”前面的数是整数时，则近似数精确到“文字单位”，当“文字单位”前面的数是小数时，则先将近似数还原成原来的数，再看最右边的数字的位置．
【例3】(1)已知数549 039用四舍五入法得到的近似数是5.5×105，则所得近似数精确到()．
A．十位B．千位C．万位D．百位
(2)某种鲸的体重约为1.36×105 kg.关于这个近似数，下列说法正确的是()．
A．精确到百分位B．精确到个位
C．精确到百位D．精确到千位
(3)12.30万精确到()．
A．千位B．百分位
C．万位D．百位
解析：(1)5.5×105精确到小数点后第一位，而5.5×105＝550 000，小数点后第一位在万位上，所以精确到万位．(2)1.36×105kg最后一位的6表示6千．(3)12.30万还原成原来的数是123 000，所以精确到的数位是百位，故选D.
答案：(1)C(2)D(3)D
4.求近似数的范围
如果一个数x的近似数为a，那么x可能取值的范围是：a－M≤x＜a＋M，如近似数1.20所表示的准确数x的取值范围是1.20－0.005≤x＜1.20＋0.005，即1.195≤x＜1.205；
又如近似数4.7×103所表示的准确数x的取值范围是4 700－50≤x＜4 700＋50，即4 650≤x＜4 750.
析规律如何求近似数的取值范围
求近似数的取值范围时，只要把原近似数加上(减去)精确到的最后一个数位的半个单位即可得到近似数的取值范围．
【例4】若k的近似值为4.3，求k的取值范围．
分析：一个数的近似值为4.3，表明这个近似值是精确到十分位的近似数．十分位上的数字3是由下一位即百分位上的数字四舍五入得到的，如果百分位上的数字是0,1,2,3,4中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字舍去，那么就要求k的十分位上的数字必须是3，才能保证近似数是4.3.若k的百分位上的数字是5,6,7,8,9中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字去掉后，在十分位的数字上加1，那么就要求k的十分位上的数字必须是2，才能得到近似数4.3.综上所述，k只能取大于或等于4.25且小于4.35之间的数，才能保证得到精确到0.1的近似值是4.3.
解：∵4.3－0.05≤k＜4.3＋0.05，
∴4.25≤k＜4.35.
5．近似数在现实生活情境中的运用
近似数的取法通常有以下几种：①四舍五入法，如，教室的宽度是6.025米，若要四舍五入到百分位即为6.03米；若要四舍五入到十分位即为6.0米；若要四舍五入到个位即为6米．②去尾法，如做一套西服需2.5米的面料，若现有47米的布料，问能做多少套衣服．由计算知可做18.8(套)，想想看，这现实吗？而事实上，这里的尾数0.8就只能舍去了，而不能用四舍五入法，这种舍去尾数的方法叫做去尾法．③进一法，如现有100吨砂石，每辆卡车载重8吨，若要求一次运完应需几辆卡车？由计算可得12.5(辆)，这里显然应需13辆卡车，因此就必须把十分位上的5进上去，这种方法就是进一法．
上面的三种近似数的表示方法都各有用途，应根据具体问题具体运用，不能盲目取舍．【例5－1】全班51人参加100米短跑测验，每6人一组，问至少要分几组？
分析：由于51÷6＝8(组)……3(人)，即分成8组后还剩下3人，所以采用进一法，分成9组．
解：51÷6＝8(组)……3(人)，8＋1＝9(组)，
所以至少要分9组．
【例5－2】一辆汽车要装4只轮胎，50只轮胎能装配几辆汽车？
分析：由于50÷4＝12(辆)……2(只)，即能装配12辆汽车后还剩下2只轮胎，所以采用去尾法，能装配12辆汽车．
解：50÷4＝12(辆)……2(只)，
所以能装配12辆汽车．
【例5－3】一根方便筷子的长，宽，高大约为0.5 cm，0.4 cm，20 cm，估计1 000万双方便筷子要用多少木材？这些木材要砍伐半径为0.1米、高10米(除掉不可用的树梢)的大树多少棵？(精确到个位)
分析：长方体的体积公式V＝abc，圆柱的体积公式V＝πr2h.
解：一双筷子的体积为2×0.4×0.5×20＝8 (cm3)，1 000万双筷子的体积为1 000×10 000×8＝8×107 cm3＝80 (m3)，一棵大树的体积为π×0.12×10≈0.314 (m3)，1 000万双筷子要砍伐大树的棵数为80÷0.314≈255.。