高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
1.2 导数的概念及其几何意义 一等奖创新教学设计
1.2 导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容.教学目标：知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限.三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义.难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计（一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h与时间t的函数为，则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2. 抛物线的切线的斜率设抛物线解析式为，则割线的斜率为而在处切线的斜率为3. 导数的概念对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即新知学习导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？平均变化率表示什么？表示割线的斜率.当点沿着曲线无限接近于点，割线无限接近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在的切线.割线的斜率当时，无限接近函数在的导数，导数的几何意义：是函数在处切线的斜率.继续观察：点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线，将附近的曲线不断放大，附近的曲线越来越接近于直线.因此，在附近曲线可以用点处的切线近似代替.例1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.解：用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.当时，曲线在处的切线平行于轴，在附近曲线比较平坦；当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减, 下降缓慢；当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f(t)在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如则此刻切线的斜率课堂总结导数的概念对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即作业教材第70页，习题5.1复习巩固1，2，3。
高中数学《导数的概念及其几何意义》公开课教学设计
《导数的概念及其几何意义》一、教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义.在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理.从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用. 二、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，t h ∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，xy∆∆趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y =的图像，平均变化xy∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
导数的几何意义优秀公开课教案(后附教学反思)
导数的几何意义教案一、【教学目标】 1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。
（数形结合），即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。
2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。
培养学生学数学，用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。
（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。
（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？ （教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
导数的概念及其几何意义教案
§2 导数的概念及其几何意义第四课时 导数的几何意义习题课一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法教学难点：理解导数的几何意义三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
（二）、探究新课例1、在曲线34xy =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1；（2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0；（3）倾斜角为135°。
解：设点坐标为（0x ，0y ），则202002020202020)(48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆--=∆∆+∆-∆-=∆-∆+=∆∆ ∴当Δx 趋于0时，30400088)(x x x x f -=-='。
（1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。
∴1)(0='x f ，即1830=-x ， ∴20-=x ，10=y 。
即P （―2，1）。
（2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)162(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，∴10=x ，40=y 。
即P （―1，4）。
（3）∵切线倾斜角为135°，∴1135tan )(00-=='x f ，即1830-=-x ， ∴20=x ，10=y 。
即P （2，1）。
例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。
解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x xx x x x x x x x x x y ∆+∆+=∆∆+∆+∆=∆+-+∆+=∆∆ 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='，由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ①又过（1，1）点的切线的斜率111030--+=x x k ② ∴由①②得：130302-=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。
2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为。
高中数学一对一教案 导数的概念及几何意义
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计
导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点理解导数的概念及几何意义教学难点运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题 1、在时间段( t 0+△t)－ t 0 = △t 内，刘翔的平均速度为:因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v 就是他在t 0 到t 0+ Δ t 这段时间内,当Δ t 趋向于 零时平均速度的极限 ，即 2、曲线的切线我们发现,当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量 y ∆与自变量的改变量 x ∆比值的极限。
得出：提炼得出概念导数的定义：设函数y =f (x )在点x 0处及其附近有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量△x 时，函数y 相应的增量 △y= f (x 0+ △x) － f (x 0)， t s v t ∆∆=→∆0lim t s v ∆∆=()()t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00lim lim ()()x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆0000lim lim tan α()()x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim当△x →0 时，如果 xy ∆∆有极限，我们就说函数f(x)在点x 0处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x 0处的导数(或变化率)记作（三）组织讨论 深化认识设计理念：建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。
高中数学_导数的概念及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
吹气球的理想化数学模型：
其体积公式为：
气球半径与体积的关系为：
当空气容量V从0L增加到1L时，气球半径增加了：
当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了：
当空气容量V从2L增加到3L时，气球半径增加了：
探究3：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，
基本思想：无限分割，以直代曲.
思考：（2）如何求函数 在点 处的瞬时变化率？
一差、二比、三极限
（设计意图：体会瞬时变化率的概念，体会极限的思想）
三、例题讲解，神话概念
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h时，原油的温度为 。计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
问题1：假设一辆马车行驶的路程s与时间t满足s=t2,求马车在5~6s，5~5.1s，5~5.001s，
5~5.00001s内的平均速度.根据结果，你有什么发现？
学生通过计算得出结论，时间间隔越小，平均速度越接近于10m/s.
（设计意图：通过计算、观察结论，初步引导学生产生瞬时速度的意识）
问题2：速率的本质是什么？:生活中还有什么变化率的问题？你能举例说明吗？
（设计意图：联系生活实例，帮助学生联系平均变化率的概念）
问题3：回忆吹气球的过程，有什么变化现象？
这些变化的快慢怎样?你能从数学的角度，描述和解析这种变化快慢的现象吗？
（设计意图：播放视频，仿照问题1，探究气球半径的变化规律，体会数学建模的思想）
问题4：根据以上两个例子，你能推出更一般的概念吗？
（设计意图：学生尝试给出概念，建立总结与归纳的能力）
例2：例2：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是？你能试着画出其余三个选项的图像吗？
《导数的几何意义》优秀教学设计 比赛课优秀教案(公开课教案)
《导数的几何意义》教学设计教学内容解析1、教材分析《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容，本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。
导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。
同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。
因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。
2、教学重点与难点教学重点：理解导数的几何意义及其应用。
教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。
二、教学目标设置（一）知识与技能：（1）会描述一般曲线的切线定义；（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。
（二）过程与方法：（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
（三）情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。
三、学生学情分析从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。
从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。
经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。
从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。
导数的几何意义优秀教案 (公开课优秀教学比赛教学设计)
《导数的几何意义》教学设计（教案）授课时间： XXX 年 X 月 XXX 日 授课人： 学期累计课时数： 2 教学课题：§1.1.3导数的几何意义 课型：新授课学习目标：1．通过作函数)(x f 图像上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程；2．掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义；3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程.重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．教学方法 诱思 教 具多媒体教学活动1． 提出问题---引入课题 温故知新，诱发思考：提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点． 教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c ，直线l 3虽然与曲线c 有惟一公共点，但它与曲线c 不相切；而另一条直线l 2，虽然与曲线c 有两个公共点B 和C ，但与曲线c 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．，设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．2．自主思考，参与探究---形成概念实验观察，思维辨析：如图，当点(,())n n n P x f x （1n =，2，3，4）没着曲线()f x 趋近点()()00,P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？师生互动 学生 自学、讨论教师：当1P 向P 逐步逼近的时候你发现了什么？ （板书）：曲线的切线的定义： 1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系呢？割线n PP 的斜率是：（板书） ()00)(n n PP n f x f x k x x -=-．当点n P 无限趋近于点P 时，n PP k 无限趋近于切线PT 的斜率k ．再次通过教师逐步的引导得出函数()f x 在0x x =处导数就是切线PT 的斜率k ．即（教师重复定义，并写出板书）．教师 巡视指导双边互动2．函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '=。
5-1-2导数的概念及其几何意义( 教学设计)- -2023-2024学年高中数学新教材册)
5.1.2导数的概念及其几何意义本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概念及其几何意义本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。
导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。
在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率4.直观想象：导数的几何意义重点：导数的概念及其几何意义难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解多媒体一、 新知探究前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。
探究1： 对于函数y =f(x) ，设自变量x 从x 0变化到x 0+ ∆x ，相应地，函数值y 就从f(x 0)变化到f(x +x 0) 。
这时， x 的变化量为∆x ，y 的变化量为∆y =f (x 0+∆x )−f(x 0) 我们把比值∆y∆x ，即∆y ∆x =f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x叫做函数从x 0到x 0+∆x 的平均变化率。
1．导数的概念如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处____，并把这个________叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为__________)，记作f ′(x 0)或________，即 f ′(x 0)＝ ＝ . 可导； 确定的值； 瞬时变化率； y ′|x ＝x 0；lim Δx →0ΔyΔx；lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1) ，就是函数h (t )＝－4.9t 2＋4.8t ＋11.在t =1处的导数ℎ′(1) ；问题2中抛物f (x )=x 2线在点P 0(1,1)处的切线P 0T 的斜率k 0，就是函数f (x )=x 2在x =1处的导数f ′(1) ，实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP ）的增长率等。
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。
导数的几何意义是函数在该点的切线斜率。
为了更好地理解导数的概念及其几何意义，我设计了一堂创新教学课程，下面将详细介绍课程设计的内容。
一、教学目标：1.理解导数的概念及其几何意义；2.掌握求导的基本方法；3.能够利用导数的性质解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和几何直观。
二、教学准备：1.投影仪、电脑；2.课件制作，包括导数的定义、求导法则等知识点；3.黑板、粉笔；4.辅助教材，包括练习题、实例分析等。
三、教学过程：1.导入（1）通过问题引入，例如：小明骑自行车在直线上的位置随时间变化的函数是什么？如何描述小明的速度变化？为什么要研究速度的变化？（2）引导学生思考，提问：速度与位置之间有什么关系？如何描述速度的变化？2.导学（1）概念阐述：导数的定义教师通过幻灯片或黑板，详细讲解导数的定义，并解释导数与函数变化率的关系。
（2）几何意义教师通过图形展示，引导学生观察曲线在其中一点的切线，并解释切线斜率即为该点的导数。
3.求导法则的讲解（1）基本求导公式通过例题，讲解求导的基本法则，包括幂函数、指数函数、三角函数等的求导规则。
（2）导数性质教师讲解导数的性质，如导数的和差法则、导数的乘法法则、导数的链式法则等。
4.实例分析（1）通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的应用。
例如：根据速度函数求位移、根据边际成本函数求利润最大值等。
（2）引导学生自主思考，并解决导数应用问题。
通过小组合作，学生们讨论并解决一些导数应用问题，如找出条曲线上切线的最大斜率点。
5.深化练习（1）教师出示一些练习题，并要求学生独立完成。
（2）学生互相批改并分享答案，教师解析正确答案，指导学生如何正确解题。
四、教学评估：1.课堂练习通过课堂练习，测试学生对导数概念及其几何意义的理解，同时检验他们求导的能力。
2.论文写作要求学生写一篇关于导数的论文，要求包括导数的定义、几何意义、求导法则以及实际应用等内容。
2022年《导数的概念及其几何意义》参考优秀教案
导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的根本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的根本方法①定义法：=②公式法：〔c 为常数〕; = (n∈N) ; =3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布〔个数〕、解析几何等问题中的综合应用．二．根底训练1.函数有极值的充要条件是( )A. B. <0 D.2.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是〔〕，-1 ，-17 ，-17 ，-19>3,那么方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,假设的图象如下图,以下判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数;②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的选项是A①②B②③C③④D②③④5. 函数f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是单调减函数,那么a的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与y=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(I)用t表示a，b，c；(Ⅱ)假设函数y=f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，求t的取值范围．三．典型例题例1.设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a．〔I〕求f(x)的极值；〔Ⅱ〕当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．例2f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l，x2∈[-1，1]，且x1≠x2．1)求证：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)假设0<x l<x2≤1，求证：|f(x1)-f(x2)|<1．例3抛物线和，如果直线L同时是和的切线，称L是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计一、内容及内容解析1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义.2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1．教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2．目标解析（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会与认识.学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此，借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1．注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.2．强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出1s t =，2s t =时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算[]0.5,0.5t +∆时间段的平均速度，再令时间间隔t ∆无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是0.5s t =时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.追问：(1)现在我们算出1s t =，2s t =，0.5s t =时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻0t ，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.解：时间段[]00,t t t +∆内的平均速度()()0004.99.8 4.8h t t h t v t t t+∆-==-∆-+∆，令0t ∆→，则004.99.8 4.89.8 4.8v t t t =-∆-+→-+，可见瞬时速度是一个只与0t 有关的值，不妨记为()0v t ，即()0000lim lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t v t v t t t ∆→∆→==-∆-+=-+，所以运动员在某一时刻0t 的瞬时速度为()009.8 4.8v t t =-+.师生活动预设：①学生思考；②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.追问：①类似地，我们还研究了抛物线2y x =在点某点处的切线斜率，如点()1,1P ，()1,1P -，其他点处切线的斜率能不能求？②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数()y f x =，你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应的，函数值y 就从()0f x 变化到()0f x x +∆.这时，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为()()00y f x x f x ∆=+∆-.我们把比值yx∆∆，即 ()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.如果当0x ∆→时，平均变化率y x ∆∆趋近于一个确定的值，即yx∆∆有极限，则称()f x 在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(derivative)，记作()0'f x 或0'|x x y =，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度()0.5v 用导数怎么表示？点()200,P x x 处的切线斜率k 用导数怎么表示？ 师生活动预设：①学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；②教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示()()0.5'0.5v h =，()00'|x x v t y ==.例1 设()1f x x=，求()'1f .解：()()1111111f x f x x x x-+∆-+∆==-∆∆+∆，()()()000111111'1lim lim lim 11x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭. 师生活动预设：①学生思考.②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.【问题3】 曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值为________.师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线2y x =上一点到直线330x y --=距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线2y x =换成曲线3y x =(0x ≥)如何解决.②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：①现在我们需要求得曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线，使其平行于直线330x y --=，也就是让切线斜率等于？②现在的关键是求出曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,xx (00x ≥)的切线.②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：对于曲线3y x =(0x ≥)呢？一般曲线()y f x =呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线()y f x =在一点处的切线定义：取曲线()y f x =上的一动点()()00,P x x f x x +∆+∆，当点()()00,P x x f x x +∆+∆沿着曲线()y f x =趋近于点()()000,P x f x 时，割线0PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为点P 处的切线(tangent line ).追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.②教师投影切线斜率()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆.追问：现在我们称()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数()y f x =在0x x =处的)导数. 追问：导数的几何意义就是？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的)切线斜率.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的哪个点处的切线斜率为3？师生活动预设：①教师提示：设点()300,P x x (00x ≥)处切线斜率为3，则()0'3f x =.②学生在学案上计算0x 的值并拍照上传到畅言平台. ③教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值是？设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：第一步，求函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆并化简； 第二步，求极限，令0x ∆→，得到导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？①瞬时速度是导数. ②导数是切线斜率. ③导数是特殊的极限.④曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程是()()()000'y f x f x x x -=-.师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.③教师布置课后检测作业.设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.六、目标检测设计1.圆的面积S 与半径R 的关系为2πS R =，问5R =时面积关于半径的瞬时变化率是多少？(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)3.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角的大小.(设计意图：理解导数的几何意义)。
导数的概念及几何意义教学设计
导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。
本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。
设计主要针对高中数学任课老师使用。
一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。
二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。
三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。
c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。
2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。
b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。
3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。
b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。
c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。
b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。
c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。
5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。
导数概念市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数概念教案一、教学目标1. 理解导数的概念及其在数学和物理等领域的应用。
2. 掌握导数的计算方法和常见函数的导数表达式。
3. 能够利用导数解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：数学教材及相关参考资料。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、计算器。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生回顾函数相关概念，如函数的定义、函数图像等。
2. 导数的概念（15分钟）（1）引入导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
（2）通过图像展示导数的意义：在函数图像上，导数表示曲线上某点的切线斜率。
（3）导数的符号表示：函数f(x)在x点的导数用f'(x)表示。
3. 导数的计算方法（30分钟）（1）函数的导数定义：若函数f(x)在点x处有导数，则导数f'(x)等于极限lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
（2）基本导数公式：介绍常见函数的导数表达式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等，并给出相应的例题进行讲解和练习。
（3）导数的特性：导数具有线性性质、乘法性质和复合函数的导数法则。
4. 导数与函数图像的关系（20分钟）（1）导数与函数图像的关系：分析导数与函数图像之间的关系，讲解导数为正数时函数单调递增，为负数时函数单调递减。
（2）举例说明极值点与导数的关系：导数为0的点可能是极值点，但不是每个导数为0的点都是极值点。
（3）讲解拐点与导数的关系：通过图像讲解导数为0的点可能是拐点，并给出相应的例题进行讲解和练习。
5. 导数的应用（20分钟）（1）速度与导数的关系：以物理中的运动问题为例，讲解速度与导数之间的关系。
（2）函数图像的平滑程度：通过导数讨论函数图像的平滑程度与导数的关系，引出曲线的凹凸性与导数的相关性。
（3）实际问题的求解：通过实际问题，如利润最大、曲线的最值等，引导学生利用导数概念解决实际问题。
6. 小结与作业布置（5分钟）（1）小结导数的概念、计算方法及应用。
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《导数的概念及几何意义》教学设计教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。
学生学情分析学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y 的图像，平均变化x y表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。
教学目标1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。
2、过程与方法目标通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观经历数学发现过程，感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念，应用图形计算器进行数学实验中改善数学学习的方法。
教学重点导数概念的建构及用定义求导数的方法。
教学难点导数的几何解释及切线概念的形成。
教学策略分析采用“教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式．课堂教学始终贯彻“教师为主导、学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想.利用数学实验室，学生更好的进行合作探究活动，借助图形计算器让学生通过计算亲身体验，同时借助多媒体动态演示，让学生感受逼近的思想方法。
从去年南京宝马车肇事案，介绍南京交警如何对小车进行测速，提高学生对求瞬时速度的兴趣欲望，以已知探求未知，激发学生的学习热情；引导学生自主操作数值逼近求出瞬时速度，从而得到导数的定义，注重抽象概念不同意义间的转换，再从惠普图形计算器的一个动态演示，让学生探索出导数的几何意义。
教学过程设计一、设置问题情境生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
（设计意图：自然引出瞬时速度的定义，激发学生对瞬时速度的求知欲）而在去年6月份，震惊全国的南京宝马车肇事案中，车辆经过事发路口时候，车速达195.2km/h 。
南京交警是怎么鉴定这个速度的呢？从一份鉴定报告书中，我们可以看到，监控视频的两次抓拍的过程中，汽车移动的距离是 3.615m ，时间间隔为151s 。
通过计算，发现交警鉴定的速度是用位移除以时间。
那么，交警的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗？为什么？（设计意图：引导学生，当时间间隔非常小，平均速度与瞬时速度就极为接近，从而为探求瞬时速度埋下伏笔）二、问题情境，数学探究在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度。
问题1、能否借助南京交警的测速方法，来解决这个问题？（设计意图：引导学生由已知探求未知，激发学生学习热情）t 在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]内的平均速度分别是多少？要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个量，使其得到简化？以上三个式子可以统一写成t h t h v )2()2(（设计意图：注重数学思想方法的渗透，将复杂计算引入变量可以化成简单统一）Δt 的取值可正可负。
用计算器动手实践，完成：Δt ＝0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001及Δt ＝－0.1，－0.01，－0.001，－0.0001，－0.00001时，即在区间[2，2＋Δt]内所对应该的平均速度_v 。
通过计算器的终端控制系统，读取学生的实验结果。
（利用图形计算器，让学生更深刻的感受到数值的逼近）问题2、当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？学生通过观察发现：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1。
总结：这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的思想来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t （设计意图，利用极限思想，将函数表达式抽象化）三、模型建构问题3、如果将以上问题中的函数用)(x f 来表示，那么函数)(x f 在0x x 处的瞬时变化率该如何表示呢引导学生写出)(x f 在0x x 处的瞬时变化率可表示x x f x x f x y x x )()(lim lim 0000总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数。
导数的的定义：表达式x y x x f x x f x x 0000lim )()(lim ，即()y f x 在0x x 处的导数。
记作0()f x （设计意图：由平均变化率到瞬时变化率，再由平均变化率到瞬时变化率，符合学生的认知过程。
要注重对抽象表达式的理解）四、模型解释（导数的几何意义）介绍导数的小故事：导数是微积分的核心内容之一。
在17世纪，英国的物理学家牛顿与德国的几何学家莱布尼茨在不同的国度不同的领域创立了微积分。
牛顿从运动学，即瞬时速度的方向研究，莱布尼茨则是在几何学角度去研究。
莱布尼茨是研究的方向是怎样的呢？问题4、我们已经知道，0x 时，有x x f x x f )()(00常数A ，这是从代数的角度来刻画的，那么是不是可以从几何的角度来加以描述？解释几何构造：设点))(,()),((000,0x x f x x Q x f x P ，则x x f x x f )()(00可表示为曲线的割线PQ 的斜率学生用图形计算器在几何学的APP 中进行操作，探索0x 时00()()f x x f x x 的无限逼近值的几何意义总结概括：函数y=f(x)在点x0处存在导数时，导数的几何意义为：函数在该点处切线的斜率。
五、应用拓展例题讲解课本例题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h 时，原油的温度为)80(157)(2x x x x f y 。
计算第 2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
练一练1、求函数f(x)=x 2在x=3处的导数。
2、求1y x 在x=1的导数，并求出在该点处切线的斜率六、复习小结1、导数的概念的形成过程2、求导步骤：（1）求y （2）求x y （3）取极限。
3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。
这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。
人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。
”恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。
”板书设计点评这堂课是新课改后的一种新的教学模式。
体现了信息技术与数学学科的高度融合。
利用图形计算器进行数学实验，经历“提出问题——设计实验——动手操作——思考归纳——解决问题”这几个环节，使数学实验教学与问题解决教学的有机结合，充分体现了学生的主体地位，让学生经历数学发现的过程，自主探究，激发学生求知欲望，提高学生对数学的兴趣。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。
提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目标的设置及课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及由平均变化率到瞬时变化率过程的经历，切实突出了本节的重点．充分的为学生的自主学习与合作学习创设了良好的时空，不仅课堂活动严谨1.1导数的概念及几何意义1.瞬时速度t t h t t h t )()(lim 000例１2.)(x f 在0x x处的导数：x x f x x f x y x f x x )()(lim lim )(000003.导数的几何意义：在该点处切线的斜率有序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问题方法的指导．利用图形计算器平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了教学难点，还优化了对平均变化率数值的计算，较好的提高了课堂教学的效益．《导数的概念》课例点评这堂课是新课改后的一种新的教学模式。
体现了信息技术与数学学科的高度融合。
利用图形计算器进行数学实验，经历“提出问题——设计实验——动手操作——思考归纳——解决问题”这几个环节，使数学实验教学与问题解决教学的有机结合，充分体现了学生的主体地位，让学生经历数学发现的过程，自主探究，激发学生求知欲望，提高学生对数学的兴趣。
这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。
提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目标的设置及课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及由平均变化率到瞬时变化率过程的经历，切实突出了本节的重点．充分的为学生的自主学习与合作学习创设了良好的时空，不仅课堂活动严谨有序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问题方法的指导．利用图形计算器平台辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，化解了教学难点，还优化了对平均变化率数值的计算，较好的提高了课堂教学的效益．。