苏教版数学高二- 选修2-3学案 2.3.2《事件的独立性》

2019-2020学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.2 事件的独立性 Word版缺答案

2．3.2 事件的独立性[对应学生用书P33]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12.问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？提示：相等．问题4：P (AB )为何值？提示：∵P (A |B )＝错误!＝P (A )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝310.事件的独立性1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率．2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[对应学生用书P33][例1] 容器中盛有5(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断． [精解详析](1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立． (2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有C 13·C 13＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知 P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝C13C13C16C16＝936＝14.∴P (AB )＝P (A )·P (B )，即事件A 、事件B 相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．[2]制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析]记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11124．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙))＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C23C25·C22C25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C13·C 12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[3]某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率； (2)获赔金额X 的分布列．[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －3)＝1011，(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000.P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝242990＝1145， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为A B －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为A B －＋A －B ＋A －B －.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，25.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝910.答案：9107．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝23.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为AB C －，A B －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －＋A B －C ＋A －BC ) ＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －)P (B )P (C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P 0，P 1，P 2，P 3中P 1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤： (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[对应课时跟踪训练(十三)]一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1和A 2是________事件．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.答案：7253．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：344．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88. 答案：0.885．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56.所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536.答案：2536二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)其中至少一个地方降雨的概率．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为 P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为 P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56. (3)至少一个地方降雨的概率为 P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05， P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1， P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，于是P (D )＝1－P (A －B －C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”， ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 2.3 独立性

2.3 独立性1．条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ).预习交流1任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，设事件A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫14<x <1，你能求出P (B |A )吗？提示：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12＝0.5.2．事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足P (A |B )＝P (A )，则称事件A ，B 独立．P (AB )＝P (A )P (B )．预习交流2若事件A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )与P (AB )＝P (A |B )·P (B )矛盾吗？提示：不矛盾，若事件A 与B 相互独立，则P (A |B )＝P (A )．一、条件概率盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个． (1)取两次，求两次都取得一等品的概率；(2)取两次，求第二次取得一等品的概率；(3)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的二等品的概率．思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．解：记A i 为第i 次取到一等品，其中i ＝1,2.(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝35×24＝310.(2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品．则P (A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝25×34＋35×24＝35.(3)取两次，已知第二次取得一等品，那么第一次取得二等品．则P (A 1|A 2)＝P (A 1A 2)P (A 2)＝25×3435＝12.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率是__________．答案：217解析：设A 表示：“抽到2张都是假钞”，B 表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P (A |B )，又P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217. 条件概率的判断：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率，题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．二、事件的独立性一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A ，B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．思路分析：(1)先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A ，B 所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P (A )，P (B )及P (AB )的概率，最后分析P (AB )是否等于P (A )P (B )，(2)同(1)．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为14.∵A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12，∴P (A )P (B )＝38≠P (AB )，故事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而知事件A 与B 是相互独立的．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意知，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意知P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125. 解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5.由定义知若P (AB )＝P (A )P (B )，则A ，B 相互独立，即如果A ，B 同时成立时的概率等于事件A 的概率与事件B 的概率的积，则可得出事件A 和事件B 相互独立，同时若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．1．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )＝__________.答案：12解析：P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________．答案：89解析：记事件A ，B 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则A B 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，∴P (B |A )＝P (B A )P (A )＝2×810×92×910×9＝89.3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率为p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是__________．答案：p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)解析：甲解决问题乙没解决问题的概率为p 1(1－p 2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率为p 2(1－p 1)，故恰有1人解决问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．答案：512解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512.5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次还取到不合格品的概率是多少？解：记A 为“第一次取到不合格品”，B 为“第二次取到不合格品”，则得P (A )＝5100＝120， P (AB )＝5100×499，要求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率，即求P (B |A )＝P (AB )P (A )＝499.。

[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.2 事件的独立性-缺答案

2．3.2 事件的独立性[对应学生用书P33]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12.问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？提示：相等．问题4：P (AB )为何值？提示：∵P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝310.事件的独立性1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率．2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[对应学生用书P33][例1] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断．[精解详析] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立．(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有C 13·C 13＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知 P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝C 13C 13C 16C 16＝936＝14.∴P (AB )＝P (A )·P (B )，即事件A 、事件B 相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．[例2] ，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析] 记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26. [一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11124．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙)) ＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25·C 22C 25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[例3] 900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X 的分布列．[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －3)＝1011，(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000. P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝242990＝1145， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为AB －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为AB －＋A －B ＋A －B －.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，25.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝910.答案：9107．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝23.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为ABC －，AB －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (ABC －＋AB －C＋A －BC )＝P (ABC －)＋P (AB －C )＋P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －)P (B )P (C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P 0，P 1，P 2，P 3中P 1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤： (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[对应课时跟踪训练(十三)]一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1和A 2是________事件．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.答案：7253．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：344．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88. 答案：0.885．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56.所以连过前两关的概率为：P(A)P(B)＝2536.答案：2536二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A的对立事件为A－，B的对立事件为B－，C的对立事件为C－，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P(A－)＝0.8，P(B－)＝0.75，P(C－)＝0.5，于是P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

苏教版高中数学选修2-32.3.2 事件的独立性.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3.2 事件的独立性课时目标理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．1．事件A 、B 独立：一般地，若事件A ，B 满足______________，则称事件A 、B 独立． 2．事件A 、B 独立的充要条件是____________．3．若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝________________.一、填空题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人同时解出此题的概率为______．4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是______．6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．二、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．能力提升11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：开关A 1 A 2 A 3B 1 B 2 闭合的概率0.6 0.5 0.80.70.9求在这段时间内下列事件发生的概率： (1)由于B 1，B 2不闭合而线路不通； (2)由于A 1，A 2，A 3不闭合而线路不通； (3)线路正常工作．1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P (A )＝1－P (A )计算．2．3.2 事件的独立性答案知识梳理1．P (A |B )＝P (A ) 2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 作业设计 1．0.56解析设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，由题意知A 、B 相互独立， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 2.253．p (1－q ) 4.35解析由题易知，全都是红球的概率为C 13C 15×C 12C 13＝25，故至少取到一个白球的概率是1－25＝35. 5.712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A 、B 中至少有一件发生的概率为1－P (A ·B )＝1－512＝712.6.13 23解析设事件A ：“甲解决这道难题”，事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立．∴两人都未能解决的概率为P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.7．1－(1－p )n解析至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n .应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .8.35192解析记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A ，在乙处不用停车为事件B ，在丙处不用停车为事件C ，则由已知得P (A )＝2560＝512，P (B )＝3560＝712，P (C )＝4560＝34，所以所求概率为P (ABC )＝P (A )P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.9．解记P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.(1)事件“这名同学得300分”可表示为A B C ＋A BC ，所以P (A B C ＋A BC )＝P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为A B C ＋A BC ＋ABC ，所以P (A B C ＋A BC ＋ABC )＝P (A B C ＋A BC )＋P (ABC )＝0.228＋P (A )P (B )P (C )＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.10．解用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝38. 11.370解析加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 12．解 (1)记“开关B 1闭合”为事件B 1，“开关B 2闭合”为事件B 2，所以所求概率为 1－P (B 1B 2)＝1－P (B 1)·P (B 2)＝1－0.7×0.9＝0.37.(2)设“开关A i 闭合”为事件A i (i ＝1,2,3)，所求概率为 P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.(3)所求概率为P (B 1B 2)[1－P (A 1A2A 3)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.。

数学选修2-3教案：2.2.2事件的独立性

高中数学课程12.2.2 事件的独立性【教学目标】①了解两个事相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能应用公式解决简单的问题；②通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟悉概率的计算方法，提高运用数学解决实际问题的能力.【教学重点】独立事件同时发生的概率【教学难点】有关独立事件发生的概率计算一、课前预习1.复习回顾：①不可能事件：______________________________②必然事件：________________________________③随机事件：________________________________④互斥事件（或互不相容事件）:______________________________________ ⑤对立事件：___________________________________⑥事件A 与B 的交（或积）：______________________2.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率_________,即______________,则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.3.当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.两个相互独立事件同时发生的概率公式为：._________)( B A P推广：____________________________________________________________二、课上学习高中数学课程2 例1、甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率;（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？三、课后练习1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率为___________2.加工某一零件需在流水线上经过两道工序，两道工序分别出次品的概率为0.02与0.03，则这条流水线上出来的产品是次品的概率是____________.3.甲射击命中目标的概率为21，乙命中目标的概率为31，丙命中目标的概率为41，现在三人同时射击目标，则恰有一人击中目标的概率为_________,目标被击中的概率为_____________.4.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是___________。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-3优化练习2.3.2事件的独立性

2.3.2 事件的独立性5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（） A.12581 B.12554 C.12536 D.12527 答案:A 解析：两次击中的概率P 1=23C 0.62·(1-0.6)=12554，三次击中的概率P 2=0.63=12527,P 1+P 2=12581. 2.已知P(B)>0，A 1∩A 2=∅，则有( )A.P(A 1｜B)>0B.P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B)C.P(A 12A ｜B)≠0D.P(21A A ｜B)=1答案:B解析：A 1∩A 2=∅,∴A 1与A 2互斥.∴P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B).3.对于事件A 、B,正确命题是( )A.如果A 、B 互不相容,则A 、B 不相容B.如果A ⊂B,则A ⊂BC.如果A 、B 对立,则A 、B 也对立D.如果A 、B 互不相容,则A 、B 对立答案:C解析：∵A 、B 对立,则A=B ,B=A . ∴A 与B 也对立.4.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,它能活到25岁的概率是_______________.答案:0.5解析：设A=“能活到20岁”，B ＝“能活到25岁”，则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B ｜A).由于B ⊆A,故A∩B ＝B.于是P(B ｜A)=8.04.0)()()()(==A P B P A P AB P =0.5,所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)（） A.94 B.901 C.54 D.95 答案:B解析：P=901516131=⨯⨯. 2.某台机器上安装甲,乙两个元件,这两个元件的使用寿命互不影响,已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9,则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为（）A.0.3B.0.6C.0.75D.0.9 答案:C解析：设乙元件的使用寿命超过1年的概率为x,则两个元件中至少有一个使用寿命超过1年的概率为:1-(1-0.6)·（1-x ）≥0.9.解之得：x≥0.75,选C.3.两人同时向一敌机射击,甲的命中率为51,乙的命中率为41,则两人中恰有一人击中敌机的概率为( ) A.207 B.2012 C.211 D.101 答案:A解析：恰有一人击中敌机可分为两种情况:甲击中乙没击中,甲没击中乙击中.利用独立事件的概率可知.P=P(A ·B )+P(A ·B)=51×43+54×41=207. 4.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲,乙两盒中各任取一个,则能配成A 型螺栓的概率为________________.答案:53 解析：从甲中取一个A 型螺杆的概率为P(A)=54, 从乙中取一个A 型螺母的概率为P(B)=43. ∵两者相互独立,∴P=P(A)·P(B)=53. 5.设有100个圆柱形零件,其中95个长度合格,92个直径合格,87个长度,直径都合格,现从中任取1件.求:(1)该产品是合格品的概率;(2)若已知该产品直径合格,求是合格品的概率;(3)若已知该产品长度合格,求是合格品的概率.解:(1)100个中有87个合格,故P=0.87.设事件A 为合格品,B 为长度合格,C 为直径合格,则有(2)P(A ｜B)=95.087.0)()(=B P A P ≈0.915 9. (3)P(A ｜C)=92.087.0)()(=C P A P ≈0.945 7. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1个人解决这个问题的概率是( )A.p 1·p 2B.p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1)C.1-p 1·p 2D.1-(1-p 1)(1-p 2) 答案:B解析：甲解决该问题的概率为p 1(1-p 2),乙解决该问题的概率为p 2(1-p 1),两事件互为独立事件.∴P=p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).故选B.2.若P(A ·B)=0,则事件A 与事件B 的关系是( )A.互斥事件B.A 、B 中至少有一个为不可能事件C.互斥事件或至少有一个是不可能事件D.以上都不对答案:C3.事件A 与B 独立,则下列结论正确的是( )A.P(A)=0B.P(A)=1-P(B)C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(AB)=P(A)·P(B)答案:D解析：选项A 为不可能事件,选项B 为对立事件,选项C 为互斥事件同时发生的概率,所以D 正确.4.某机械零件加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为a,第二道工序的废品率为b,假定这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为( )A.ab-a-b+1B.1-a-bC.1-abD.1-2ab答案:A解析：出现合格品需两道工序均出现合格品,利用独立事件的概率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.5.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞机目标的概率分别为0.9和0.85,则有且仅有一台雷达发现目标的概率为___________,至少有一台雷达发现目标的概率为___________. 答案:0.22 0.985 仅有一台发现目标;第一台发现:p 1=0.9×0.15=0.135,第二台发现:p 2=0.1×0.85=0.085,∴P=0.135+0.085=0.22.至少有一台对立事件为全都不发现目标,则有P=1-0.1×0.15=0.985.6.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是___________.答案:257 解析：设“任取一书是文科书”的事件为A,“任取一书是精装书”的事件为B,则A,B 是相互独立的事件,所求概率为P(A ·B).据题意可知P(A)=5210040=,P(B)10710070= ∴P(A ·B)=P(A)·(B)=25710752=⨯. 7.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率是80%.若用A,A 分别表示甲,乙两厂的产品,B 表示产品为合格品,B 表示产品为不合格品,试写出有关事件的概率.解:P(A)=70%,P(A )=30%,P(B ｜A)=95%,P(B ｜A )=80%,故得P(B ｜A)=5%,P(B ｜A )=20%.8.如图,电路由电池A,B,C 并联组成，电池A,B,C 损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2,求电路断电的概率.解:设A=“电池A 损坏”，P （A ）＝0.3;B=“电池B 损坏”，P （B ）=0.2;C=“电池C 损坏”，则P （C ）＝0.2.“电路断电”＝“A 、B 、C 三个电池同时损坏”=A ·B ·C ，由实际意义,知A 、B 、C 三个事件相互独立，于是P （电路断电）＝P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0.3×0.2×0.2=0.012.9.有三批种子，其发芽率分别为0.9,0.8和0.7，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率.解:设第一批种子发芽为事件A ，第二、三批种子发芽分别为事件B 、C.设至少有一粒种子发芽为事件D ，则D=A+B+C.又A ·B ·C 表示事件A 、B 、C 都不发生，故A ＋B ＋C 与A B ·C 是两对立事件.又A 、B 、C 为相互独立事件,∴P(D)=P(A+B+C)=1-P(A ·B ·C )=1-P(A )P(B )P(C )=1-0.1×0.2×0.3=0.994.10.甲、乙、丙三部机床独立工作,由一个工人照管,且不能同时照管两部和两部以上机床,某段时间内,它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8和0.85,求在这段时间内,(1)三部机床都不需要人照管的概率;(2)有机床需要人照管的概率;(3)至少有两部机床需要人照管,而一人根本照管不过来而造成停工的概率.解:设“甲机床不需要人照管”为事件A，“乙机床不需要人照管”为事件B，“丙机床不需要人照管”为事件C，则P（A）=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)三部机床都不需要人照管的事件用A·B·C表示，∵A、B、C相互独立，∴P（A·B·C）=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.85=0.612.（2）“有机床需要人照管”事件，即“至少有一部需要人照管”的事件，它的对立事件是“三部机床都不需要人看管”，故所求概率为1-P(A·B·C)＝1-0.612=0.388.（3）“停工”事件即为“至少有两部需人照管”的事件，用A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C表示，得P(A·B·C·A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.059.。

2.3.2 事件的独立性学案(苏教版高中数学选修2-3)

2.3.2 事件的独立性学案（苏教版高中数学选修2-3）23.2事件的独立性事件的独立性学习目标1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一事件的独立性甲箱里装有3个白球.2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，事件B“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗答案不影响思考2PA，PB，PAB的值为多少答案PA35，PB12，PAB3254310.思考3PAB与PA，PB有什么关系答案PABPAPB梳理事件独立的定义一般地，若事件A，B满足PA|BPA，则称事件A，B独立知识点二事件独立的性质思考1若A，B独立，PAB与PAPB相等吗答案相等因为PABPA|BPBPAPB思考2若A，B独立，那么A与B，A与B，A与B相互独立吗答案独立梳理事件独立的性质及PAB的计算公式性质1若A，B独立，且PA0，则B，A也独立，即A与B相互独立2约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是PABPAPB概率计算公式1若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即PABPAPB2推广若事件A1，A2，，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率PA1A2AnPA1PA2PAn结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A 与B，A与B也都相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立2必然事件与任何一个事件相互独立3如果事件A与事件B相互独立，则PB|APB4“PABPAPB”是“事件A，B相互独立”的充要条件类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件1甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲.乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；3掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解1“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件2“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件3记A出现偶数点，B出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以PA3612，PB2613，PAB16，所以PABPAPB，所以事件A与B相互独立反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性1定义法直接判定两个事件发生是否相互影响2公式法检验PABPAPB是否成立3条件概率法当PA0时，可用PB|APB判断跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性1家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解有两个小孩的家庭，男孩.女孩的可能情形为男，男，男，女，女，男，女，女，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A男，女，女，男，B男，男，男，女，女，男，AB 男，女，女，男，于是PA12，PB34，PAB12.由此可知PABPAPB，所以事件A，B不相互独立2有三个小孩的家庭，小孩为男孩.女孩的所有可能情形为男，男，男，男，男，女，男，女，男，男，女，女，女，男，男，女，男，女，女，女，男，女，女，女由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件于是PA6834，PB4812，PAB38，显然有PAB38PAPB成立，从而事件A与B是相互独立的类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求1这三列火车恰好有两列正点到达的概率；2这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则PA0.8，PB0.7，PC0.9，所以PA0.2，PB0.3，PC0.1.1由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.2三列火车至少有一列正点到达的概率为P21PABC1PAPBPC10.20.30.10.994.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解恰有一列火车正点到达的概率为P3PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火车正点到达计10分，用X表示三列火车的总得分，求PX20解事件“X20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以PX201PABC1PAPBPC10.80.70.90.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为PA，PB，那么1A，B中至少有一个发生为事件AB.2A，B都发生为事件AB.3A，B都不发生为事件AB.4A，B恰有一个发生为事件ABAB.5A，B中至多有一个发生为事件ABABAB.跟踪训练2甲.乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率1两人都能破译的概率；2恰有一人能破译的概率；3至多有一人能破译的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”1两个人都破译出密码的概率为PABPAPB1314112.2恰有一人破译出密码分为两类甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即ABAB，PABABPABPABPAPBPAPB131********12.3至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1PAB11121112.类型三相互独立事件的综合应用例3在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手1至5号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手1求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；2X表示3号歌手得到观众甲.乙.丙的票数之和，求X的概率分布考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与概率分布解1设事件A表示“观众甲选中3号歌手”，事件B表示“观众乙选中3号歌手”，则PAC12C2323，PBC24C3535.因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为PABPAPBPA1PB2325415.或PABC12C34C23C354152设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则PCC24C3535，因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为PX0PABC132525475，PX1PABCPABCPABC2325251335251325352075415，PX2PABCPABCPABC2335252325351335351125，PX3PABC233535625.所以X的概率分布如下表X0123P4754151125625反思与感悟概率问题中的数学思想1正难则反灵活应用对立事件的概率关系PAPA1简化问题，是求解概率问题最常用的方法2化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类考虑加法公式，转化为互斥事件还是分几步组成考虑乘法公式，转化为相互独立事件3方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程组，通过解方程组使问题获解跟踪训练3甲.乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格1分别求甲.乙两人考试合格的概率；2求甲.乙两人至少有一人考试合格的概率解1设甲.乙两人考试合格的事件分别为A，B，则PAC26C14C36C310602012023，PBC28C12C38C31056561202115.所以甲考试合格的概率为23，乙考试合格的概率为1415.2方法一因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人考试均不合格的概率为PABPAPB12311415145.则1PAB11454445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法二因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为PPABPABPABPAPBPAPBPAPB231151314152314154445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.1甲.乙两水文站同时做水文预报，若甲站.乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲.乙预报都准确的概率为________考点相互独立事件的定义题点独立事件与互斥事件的区别答案0.56解析PABPAPB0.80.70.56.2打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_________________________________________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率答案1425解析设事件A为“甲站预报准确”，事件B为“乙站预报准确”，P甲81045，P乙710，所以PP甲P乙1425.3甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________答案12解析设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B 为“从乙袋中任取一个球，取得白球”由题意得PA23，PA13，PB12，PB12，事件A与B相互独立，事件A与B相互独立从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为PABABPABPABPAPBPAPB2312131212.4在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率答案35192解析由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34，则在这段道路上三处都不停车的概率P5127123435192.5甲.乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是________答案p11p2p21p1解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决.甲没解决乙解决这两个事件显然是互斥的所以恰好有1人解决这个问题的概率为p11p2p21p11相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB概率公式A与B相互独立等价于PABPAPB若A与B互斥，则PABPAPB，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率PABPAPB，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.。

苏教版高中数学选修(2-3)-2.3《事件的独立性》参考学案

2.3.2 事件的独立性学习目标1.了解事件独立性的含义2.能用独立事件的概率公式解决一些实际问题学习过程一、课前准备预习教材找出疑惑之处，并准备解决下面问题:把一枚硬币任意抛掷两次，记事件A 为“第一次出现正面”，事件B 为“第二次出现正面”，求P(A),P(B),P(AB),P(B|A)二、新课导学【学习探究】一3张奖券中，只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一名同学没有抽到奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到奖券”，事件A 的发生会影响到B 的发生的概率吗？新知1 事件A 与B 的相互独立一般地，若事件A ，B 满足P(A|B)=P(A),则称事件A,B 独立。

即事件B 的发生对事件A 的发生没有影响。

此时可推导得出P(B|A)=P(B)（请推导试一试），说明A 与B 的独立式相互的。

注意：1.在独立性的定义中，A 和B 的地位是对称的。

2.如果事件A 和B 相互独立，则A 与B,A 与B,A 与B 也都相互独立。

新知2 相互对立事件的乘法公式若A 和B 是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B).注意：1.若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A2. P(AB)=P(A)P(B)是两个事件A 和B 是相互独立的充要条件。

小结：判断相互独立事件的方法1.根据实际情况直接判定其独立性.2.用上注意2.【数学运用】例1天气预报，在元旦假期中，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，且甲乙两地是否下雨彼此之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲乙都下雨的概率（2）甲乙都不下雨的概率（3）甲乙至少有一地下雨的概率例2 教材例2例3 教材例3小结：求较复杂事件的概率常常与互斥事件和相互独立事件结合起来，要认真分析准确应用公式。

学习评价当堂练习1.教材练习1,2,32．两个气象台同时作天气预报，如果他们与预报准确的概率分别为0.8与0.9，那么在一次预报中，两个气象台都没预报准确的概率为_______________．3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是_______________．4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为51，身体关节。

高中数学(苏教版选修2-3)文档第2章 2.3.2 事件的独立性 Word版含答案

事件的独立性．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)[基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材～，完成下列问题．．事件的独立性的概念()概念：若事件，满足()＝()，则称事件，独立．()含义：()＝()说明事件的发生不影响事件发生的概率．．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么()两个事件，相互独立的充要条件是()＝()()．()若事件，，…，相互独立，那么这个事件同时发生的概率(…)＝()()…()．．相互独立事件的性质如果事件与相互独立，那么与，与，与也相互独立．．下列说法正确的有．(填序号)①对事件和，若()＝()，则事件与相互独立；②若事件，相互独立，则()＝()×()；③如果事件与事件相互独立，则()＝()；④若事件与相互独立，则与相互独立．【解析】若()＝()，则()＝()·()，故，相互独立，所以①正确；若事件，相互独立，则，也相互独立，故②正确；若事件，相互独立，则发生与否不影响的发生，故③正确；④与相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为. 【导学号：】【解析】事件“甲投球一次命中”记为，“乙投球一次命中”记为，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件，则＝∪且与互斥，()＝(∪)＝()()＋()()＝×＋×＝＝.【答案】．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是．【解析】三人都达标的概率为××＝.三人都不达标的概率为(－)×(－)×(－)＝××＝.三人中至少有一人达标的概率为－＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。

苏教版高中数学选修2-3课件 2.3.2 事件的独立性课件

析
析
教学方案设计
课
没有影响，所以二者是相互独立事件. (2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率
为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1
当堂双基达标
前
课
自主导
个，取出的仍是白球”的概率为74；若前一事件没有发生，则
时作业
学
课堂
后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生对后一事
自
时
主导
则事件 A 与 B 相互独立．
作业
学
(2) 从概率公式判断：若 P(B|A) ＝ P(B) 或 P(AB) ＝
课
教
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P(A)P(B)，则 A，B 相互独立．
师备
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课
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SJ ·数学选修2-3
教
易
学
错
教
易
法
误
分
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析
2．互斥事件与相互独立事件有何关系？
析
教学方案设计
当堂双基达标
课的有关概念与公式，通过抛硬币、掷骰子、从两袋内分别取
前自
球等随机试验，体会事件概率的关系，归纳出事件独立的定
课时
主
作
导学
义．在推导事件独立性、积事件发生的概率公式时，实际就
业
课是条件概率公式的应用与特例，可引导学生自行探究，发言教
堂
师
互
动辩论，教师完善总结，并加以推广．
教学方案设计
否为相互独立事件．(难点) 课标 2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，

苏教版高中数学选修2-3 2.3.2 事件的独立性学案

2．3.2 事件的独立性[对应学生用书P33]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )．提示：P (A )＝35，P (B )＝12.问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？提示：相等．问题4：P (AB )为何值？提示：∵P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝310.事件的独立性1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率． 2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[对应学生用书P33][例1] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断．[精解详析] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立．(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有C 13·C 13＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝C 13C 13C 16C 16＝936＝14.∴P (AB )＝P (A )·P (B )，即事件A 、事件B 相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．[例2] ，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析] 记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26. [一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11124．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙)) ＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25·C 22C 25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[例3] 900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X 的分布列．[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －3)＝1011，(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000. P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝242990＝1145， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为AB －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为AB －＋A －B ＋A －B －.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，25.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝910.答案：9107．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝23.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为ABC －，AB －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (ABC －＋AB －C ＋A －BC )＝P (ABC －)＋P (AB －C )＋P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －)P (B )P (C )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．。

2016年苏教版高二数学选修2-3同步课件：2.3.2_事件的独立性

提醒不可能事件与任何一个事件相互独立，必然事件与任何一个事件相互独立．
2．相互独立事件与互斥事件相互独立事件一个事件的发生与否定对另一个事件发生的义概率没有影响概率 A与B相互独立等价于公 P(AB)＝P(A)·P(B) 式互斥事件两个事件不可能同时发生即AB＝ ∅ 若A与B互斥，则 P(A＋B)＝P(A)＋ P(B)反之不成立
解 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
2 1 C6 C4＋C3 60＋20 2 6 P(A)＝ C3 ＝ 120 ＝3， 10 2 1 C8 C2＋C3 56＋56 14 8 P(B)＝＝＝ . 3 C10 120 15
2 14 ∴甲合格的概率为3，乙合格的概率为15. (2)法一因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合
解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝ {(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 1 由等可能性知概率各为4. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)} AB＝{(男，女)，(女，男)} 1 3 1 于是P(A)＝2，P(B)＝4，P(AB)＝2. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A、B不相互独立．
3.事件间的关系已知两个事件A、B，则A、B至少有一个发生的事件为A∪B； A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为 A B ；A、B 恰有一个发生的事件为( A B)＋(A B )；A、B至多有一个发生的事件为( A B)＋(A B )＋( A B )．
题型一事件独立性的判断【例 1】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． [思路探索] 利用事件独立性的定义及概率公式判断．

苏教版高中数学选修2-3 2.3.2 事件的独立性教案

事件的独立性教学目标：1知识目标：相互独立事件的定义，相互独立事件的概率的计算 2能力目标：会计算相互独立事件的概率3情感目标：培养学生的数学概率思维，团结互助的精神。

教学重点：相互独立事件的概率计算教学难点：理解辨别相互独立事件教学方法：分析引导教学过程：一：复习1、随机事件，互斥事件有一个发生的概率的定义。

2、随机事件，互斥事件有一个发生的概率的计算方法。

（学生回答，老师总结）二：新课引入老师提问：小明和小强暑假准备出去旅游，小明去北京，小强去上海，小明能买到火车票的概率是0.7，小强能买到火车票的概率是0.8。

1、小明能买到火车票与小强能买到火车票这两件事之间有没有相互影响？2、如果要他们两个都买到火车票才能去旅游，问他们能去的概率是多少？在现实生活中这样的事件非常多，而我们需要去估计一些事件的发生可能性，才可以作出正确的判断，这对于我们来说非常重要，数学知识是用来解决实际问题的，我们一点要出生活中去发现问题，并总结出规律，反过来解决生活中的实际问题。

学生看教科书5分钟。

（老师提问）定义：1相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件交相互独立事件。

2相互独立事件的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的乘积，即P(A*B)=P(A)*P(B)。

3如果事件AB 相互独立，则事件A 与B 相互独立,事件A 与B 相互独立，B A 与事件相互独立。

学生说此题解题思路。

此题解析：设事件A 小明能买到火车票事件B 小强能买到火车票故事件A B 为相互独立事件而两个要同时买到火车票为相互独立事件同时发生即：P(A*B)=P(A)*P(B)=0.7*0.8=0.56 所以他们两个能去旅游的概率为0.56三：例题讲解例1、俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，这句话有没有道理呢？三个臭皮匠中的老大能独立解出一道数学题的概率是0.5，老二能独立解出一道数学题的概率是0.6，老三能独立解出一道数学题的概率是0.4，而诸葛亮能独立解出一道数学题的概率是0.8，问三个臭皮匠与诸葛亮能解出此题的概率那个大？【解析】设事件 A 老大独立解出一道数学题B 老二独立解出一道数学题C 老三独立解出一道数学题D 诸葛亮独立解出一道数学题故事件ABCD 是相互独立事件。

高中数学2.3.2《事件的独立性》课件(苏教版选修2-3)

【解】记“从甲机床抽到正品”为事件 A， “从乙机床抽到正品”为事件 B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件 C，由题意知 A、B 是相互独立事件， (1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72； (2)P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝0.10×0.20＝0.02；
问题探究
1．互斥事件与相互独立事件有什么区别？提示：两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 2．若事件A、B互斥，且A、B不是必然事件，也不是不可能事件，则A、B相互独立吗？反之成立吗？提示：若 A 、 B 互斥，则 P(AB) ＝ 0 ， P(AB)≠P(A)P(B)，故A、B不是相互独立事件，反之也不成立．
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003.
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.6分
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用：(－A
BC)＋(A－B C)＋(AB－C )表示．
由于事件－A BC，A－B C 和 AB－C 两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法
公式，所求的概率为
P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C )
＝
P(
－ A
)P(B)P(C)
＋
P(A)P(
－ B
)P(C)
＋
－ P(A)P(B)P( C )10
分
＝ [1 － P(A)]P(B)P(C) ＋ P(A)[1 － P(B)]P(C) ＋ P(A)P(B)[1－P(C)] ＝ (1 － 0.9)×0.8×0.85 ＋ 0.9×(1 － 0.8)×0.85 ＋ 0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329.13分

高中数学第二章概率 2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第二章概率2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章概率2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章概率2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3的全部内容。

2。

3。

2 事件的独立性1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．（难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．（重点）3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．（易错点)［基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材P59~P60，完成下列问题．1．事件的独立性的概念（1）概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P（A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A｜B)＝P（A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么（1）两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P（A）P（B)．（2）若事件A1，A2，…，A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率P（A1A2…A n)＝P(A1）P(A）…P（A n）．23．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也相互独立．1．下列说法正确的有________．（填序号)①对事件A和B，若P（B|A）＝P(B),则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P（错误!错误!）＝P（错误!）×P(错误!）;③如果事件A与事件B相互独立,则P（B|A)＝P(B）;④若事件A与B相互独立，则B与错误!相互独立．【解析】若P（B｜A）＝P（B)，则P（AB）＝P(A）·P(B)，故A,B相互独立,所以①正确;若事件A，B相互独立，则错误!,错误!也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A 发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与错误!相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③2．甲、乙两人投球命中率分别为12,错误!,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________。

苏教版数学高二选修2-3测评 2.3.2 事件的独立性

学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)________．【解析】该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.【答案】 1902．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为________. 【导学号：29440048】【解析】由于两株花卉成活与否互不影响，故恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .【答案】 p ＋q －2pq3．如图2-3-2所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．图2-3-2【解析】左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.【答案】 494．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192.【答案】 351925．从某地区的儿童中预选体操学员，已知这些儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是______．(假定体型与身体结构合格与否相互之间没有影响)【解析】这两项都不合格的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝35，所以至少有一项合格的概率是1－35＝25.【答案】 256．如图2-3-3，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．图2-3-3【解析】可知K ，A 1，A 2三类元件是否正常工作相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.【答案】 0.8647．(2016·济南高二检测)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．【解析】从甲袋中任取一球是白球的概率为812＝23，是红球的概率为412＝13；从乙袋中任取一球是白球的概率为612＝12，是红球的概率为612＝12，故所求事件的概率为23×12＋13×12＝12.【答案】1 28．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．∴至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.【答案】0.902二、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．【解析】∵P(A)＝12，P(B)＝16，∴P(A)＝12，P(B)＝56.又A，B为相互独立事件，∴P(A B)＝P(A)P(B)＝12×56＝512.∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P(A B)＝1－512＝712.【答案】7 122．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-3-4所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________. 【导学号：29440049】图2-3-4【解析】由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝13×13×13＝127.通过分析跳三次停在A荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝827＋127＝13.【答案】1 33．设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要________门高射炮射击，才能至少有99%的概率击中它．(lg 2＝0.301)【解析】设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“命中飞机”，用A i表示“第i门高射炮命中飞机”，则A1，A2，…，A n相互独立，且A＝A1A2…A n.∴P(A)＝1－P(A)＝1－P(A1)P(A2)…P(A n)＝1－(1－0.6)n，由P(A)≥0.99，所以1－0.4n≥0.99，所以n≥5.02，又n∈N，故n＝6.【答案】 64．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的概率分布．【解】设事件A i(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13.(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝5 6×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝1 6＋56×15＋56×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的概率分布为。

苏教版高中数学(选修2-3)2.3.2《事件的独立性》word学案2篇

第二章概率 2.3.2 事件的独立性编写人：编号：005学习目标理解两个事件相互独立的概念，并能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

学习过程：一、预习：1、问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题2：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知P(A)= , P(B)= , P(AB)= ，所以．P(A|B)=即()()P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．归纳总结：1．两个事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足()()P A B P A =，则称事件A ，B 独立．当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==，即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即()()()P AB P A P B =．（*）若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立. 2．个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A =．3．独立与互斥：回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件. 区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．事实上，当()0P A >，()0P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而()0P AB =，但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，导致矛盾）．例如：从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设A =“抽得老Ｋ”B =“抽的红牌”，C =“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？ ①A 与B ； ②A 与C 4练习：1、甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.2、口袋中有a 只黑球b 只白球，连摸两次，每次一球.记A ={第一次摸时得黑球}，B ={第二次摸时得黑球}.问A 与B 是否独立？就两种情况进行讨论：①有放回；②无放回.图2-3-2二、课堂训练：例1、求证：若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立。

高中数学苏教版选修2-3：2.3 第2课时事件的独立性

遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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体健康，学业有成，金榜题名！
[例 2] 制造一种零件，甲机床的正品率为 0.90，乙机床的正品率为 0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．
(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率． [思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．
出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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[一点通] 解决此类问题常用的两种方法： (1) 定量计算法：利用相互独立事件的定义 ( 即 P(AB) ＝ P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立． (2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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(1)若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 同时发生的概率等概率于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之积，即 P(AB) 计算＝P(A)P(B)．公式 (2)推广：若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则这 n 个事
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[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若 A，B 相互独立，是 A 与 B，A 与 B ，A 与 B 也是相互独立的．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为 ________．解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112. 答案：1112

232事件的独立性学案(无答案)-江苏省徐州市铜山区大许中学苏教版高中数学选修2-3

课题
§2.3.2 事件的独立性教学
目标 1．了解事件的独立性； 2．会求相互独立事件同时发生的概率； 3．培养学生严密的思维和分类的思维能力．
重点事件的独立性．
难点同上．
教学方法
自主学习、练讲结合课型新授课教具
多媒体、实物投影仪课堂学习环节
师生活动一、自主先学：阅读课本P59-62回答下列问题：
1．事件A ，B 独立：． 2．若事件A ，B 独立，则()=AB P ．
3．若事件A ，B 相互独立，则事件也相互独立．二、合作释疑
例1 甲、乙两人各进行1次射击比赛，已知两人击中目标的概率都是60.．
（1）求两人都击中目标的概率；
（2）求其中恰有一人击中目标的概率．
例2 已知加工某一零件共需两道工序，第1，
2道工序的不合格品率分别为%3和%5，且各道工序互不影响，问：加工出来的零件是不合格的概率是多少？．
课堂学习环节
师生活动
例3 将大小相同的球分别装入三个不同的盒子，每个盒子都装入10个球．其中第一个盒子中有7个球标有字母M ，3个球标有字母N ；第二个盒子中有红球和白球个5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按照如下规则进行：先在第一个盒子中任取1个球，若取得标有字母M 的球，则在第二个盒子中任取1个球；若第一次取得标有字母N 的球，则在第三个盒子中任取1个球．如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
四．巩固提升：。