离散数学第四章谓词演算的推理理论-归结推理系统共51页文档
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离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
人工智能导论课件：第四章 谓词逻辑与归结原理
5
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
6
归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
34
ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
32
置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
22
命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
23
归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
6
归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
34
ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
32
置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
22
命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
23
归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
离散数学(第四章)解读.
§2.1 一阶逻辑命题符号化
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中,如 果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过 程为：（P∧Q）R。借助命题演算的推理理 论不能证明其为重言式。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系 和数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示个体名称 张明, b表示个体名称李华,c表示个体名称这只老 虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命 题,但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的客体，称为个体变元，常用小写英文字 母x, y, z, …表示。相应地，表示具体或特定的客 体的词称为个体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
刻划一个个体性质的词称之为一元谓词 ,刻划 n 个个 体之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字 母表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写 字母F、G、H、R，S则上述命题可表示为： (1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华 (3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵 (5) R(a,b,c) (6) S(a,b) a:阿杜 b:阿寺 其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词 ， (5)为三元谓词。
2.5谓词演算的推理理论(Inference theory of
predicate calculus)
§2.1 一阶逻辑命题符号化
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
离散数学L4谓词
谓词是命题函数
• 一元谓词P可视为从个体域D到集合{T,F} 上的映射:
P: D {T,F}
• n元谓词也是一样:
P: Dn {T,F}
• 注意:P(x)是命题形式但不是命题,因为其 真值不确定.
– 仅当P取定为谓词常项,x取定为个体常项时, P(x)才成为命题.
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑的基本概念
本章主要内容
• 谓词 • 量词 • 一阶谓词公式 • 自然语句的形式表示 • 公式的解释及真假性
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的基本单元,不再对 简单命题的内部结构进行分析.
– 例如P:“柏拉图是人”和Q:“亚里士多德是人”是两个 相互独立的命题,看不出P和Q有什么联系.
Lu Chaojun, SJTU
14
量词的辖域
• 量词所约束的范围称为量词的辖域.即:
(x) (…辖域…) (x) (…辖域…)
• 在x(或x)的辖域内的自由x都被该量词 约束.
– 例如(x)(P(x) Q(x)) – 但在(x)(P(x) (x)Q(x))中, Q(x)还处于最近
的(x)的辖域中,此x非自由,故不被(x)约束.
Lu Chaojun, SJTU
15
命题形式P(x)如何化为命题?
• 假设P含义确定,是谓词常项
– 若x用个体常项代入,则P(x) 真假就定了; – 或者将x量化,形如(x)P(x)或(x)P(x),这时也
确定了真假.
• 总之:命题中是不能有自由变元的. • 变元易名规则:约束变元改名不改变命题
的真值,即(x)P(x) = (y)P(y).
离散数学--第四章 谓词逻辑推理
Dr Chen Guangxi
例4.1.1
注：在对 ∀x ( F ( x ) → G ( x )) 使用UI规则时， 可以得 F(y) → G(y)，也可得F(c) → G(c)， 其中y是任意的个体常项，c可为任意个体 常项，由结论的需要取c为a。
。
Dr Chen Guangxi
例4.1.3
构造下面推理的证明 前提： ¬∃ x ( F ( x ) ∧ H ( x )), ∀ x ( G ( x ) → H ( x ))
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
2.全称量词引入规则，简记为 UG
A( y) ∴ ∀xA( x)
成立的条件是： （1）y在A(y)中自由出现，且为任意的个体变 项； （2）取代y的x不能在A(x)中约束出现过。
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
3.存在量词消去规则，简记为EI
∀x( H ( x ) → ¬F ( x))
G ( y) → ¬F ( y)
∀ x ( G ( x ) → H ( x )) G( y) → H ( y)
∀x (G ( x ) → ¬F ( x )) 本例要注意UI规则的用法!!
Dr Chen Guangxi
例题
构造推理
学术委员会的每个成员都是博士并且是教授。有些成 员是青年人。因而，有的成员是青年教授。
∃xA( x) ∴ A(c)
成立的条件为： （1）c是使A(c)为真的特定的个体常项； （2）c不在A(x)中出现过； （3）若A(x)中除x外还有其它自由出现的 个体变项时，此规则不能使用。
Dr Chen 为EG
A(c ) ∴ ∃ xA ( x )
Dr Chen Guangxi
第四章 谓词演算的推理理论-永真推理系统
例 (续 )
证明:
x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
(3) P(x) xP(x)
公理21 公理3
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x))) (5) (xP(x))(P(x)) 分(3)(4)
(4) △ (x (x) (1 ))
两次运用调头公理2
分离Байду номын сангаас1)(2)
存0规则
公理2
(5) △ ((x (x) (1 )) (1(x (x) ))) (6) △(1 (x(x) )) 分离(5)(6)
例(练习4.1(1))
证明:
x(P(x))(xP(x))
回顾: 量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x)) x((x)→ )= (x(x) →) x(→(x))= (→x(x)) 全称量 词引入 存在量 词引入
例 (练习4.2)已知公理 (A) △(P(QP)) (B) △(PP) 及分离规则和全称规则，全称规则为： △(1(2(x)))├△(1(2x (x))) 试证：全0规则 △(x)├△x(x)
证: (1) △(x) (2) △ (P(QP)) (3) △ ((x) ((PP) (x) (4) △(PP) (x) (5) △(((PP) (x)) ((PP) ((PP) (x)))) (6) △((PP) ((PP) (x))) (7) △((PP) ((PP) x(x))) (8) △(PP) (9) △((PP) x(x)) (10) △(x(x))
基本符号（续）
离散数学谓词逻辑
法律中的谓词逻辑
法律推理
法律推理中广泛使用了谓词逻辑，通过 定义相关的谓词和关系，可以清晰地表 达法律条款和案例，并利用逻辑推理得 出结论。
VS
法律文本分析
法律文本分析中利用谓词逻辑对法律文本 进行语义分析和理解，提取关键信息，提 高法律工作的效率和准确性。
心理学中的谓词逻辑
认知心理学
认知心理学中利用谓词逻辑来描述和解释人 类的认知过程，例如概念形成、推理和判断 等。
存在量词消解
如果P(x)是一个存在命题，且Q(x)是一个全称命题，且P(x)和Q(x)之间存在某种关系，那么可以推断 出R(x)成立。
形式化证明
前提条件
证明一个命题需要基于其他命题或公理。
01
推导步骤
使用推理规则将前提条件转化为结论。
02
03
证明结构
由一组前提条件、推导步骤和结论组 成的结构。
04
谓词逻辑的应用
人工智能中的谓词逻辑
推理和决策
人工智能在推理和决策方面应用了谓词逻辑，例如在专家系统中使 用谓词逻辑来表示和推理知识。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分广泛使用了谓词逻辑，通过将自然 语言转换为谓词逻辑表示，可以进行更准确的理解和推理。
机器学习
机器学习算法可以利用谓词逻辑进行特征提取和分类，提高学习效率 和准确性。
离散数学谓词逻辑
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目 录
• 离散数学概述 • 谓词逻辑基础 • 谓词逻辑的推理规则 • 谓词逻辑的应用 • 离散数学的其他分支 • 离散数学与计算机科学的关系
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科。它包括许多分支，如数理逻辑、图论、组合数学、代数 结构等。
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
离散数学与逻辑推理
离散数学与逻辑推理离散数学是一门研究离散对象和规律的数学分支，与连续数学相对应。
它在计算机科学、信息科学、工程技术等领域具有重要的应用价值。
离散数学的一个重要应用领域是逻辑推理，它通过使用离散数学的知识和工具来进行逻辑分析和判断。
本文将通过介绍离散数学的基本概念和逻辑推理的方法，来探讨离散数学与逻辑推理之间的关系。
一、集合与命题集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系。
在逻辑推理中，我们经常需要用到集合和命题的概念。
一个集合可以包含若干个元素，而命题则是对某种陈述的真假进行判断的语句。
命题可以用逻辑符号“与”、“或”、“非”等进行组合，形成复合命题，并通过逻辑推理来判断其真假。
二、命题逻辑命题逻辑是逻辑推理的基础，它通过对命题的真假进行推理和判断。
命题逻辑中使用的逻辑符号包括“与”、“或”、“非”以及条件等。
这些逻辑符号可以通过真值表来进行推理，从而得到命题的真值。
离散数学的概念和方法能够帮助我们进行命题逻辑的分析和推理，例如使用数学归纳法来证明命题的正确性。
三、谓词逻辑谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了谓词和量词的概念。
在谓词逻辑中，命题可以包含变量，并通过量词对变量进行限定。
谓词逻辑可以更精确地描述命题之间的关系，在逻辑推理中发挥重要作用。
离散数学提供了谓词逻辑的基本概念和方法，例如集合论中的笛卡尔积和二元关系等，这些工具能够帮助我们进行谓词逻辑的推理和分析。
四、证明方法在离散数学和逻辑推理中，证明是一种重要的推理方法。
通过证明可以检验一个命题的真假，并得到其正确性的证据。
离散数学中的证明方法包括直接证明、间接证明、数学归纳法等。
这些证明方法在逻辑推理中也可以得到应用，例如用直接证明来推导一个条件命题的真值，或者用数学归纳法来证明一个命题的递推关系。
五、图论和排列组合在离散数学中，图论和排列组合是两个重要的分支，它们也在逻辑推理中发挥着关键作用。
图论研究的是由节点和边构成的图结构，而逻辑推理中的问题常常可以用图论来建模和求解。
离散数学(全)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学04
19
例题 n元谓词的符号化
例4.5 将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。
解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。
(1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此 结 引进了谓词M(x)，称为特性谓词。 论 同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。
思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)∧F(x))？ 能否将15(2)符号化为x(M(x)→G(x))？
定义4.4 一阶语言F的合式公式定义如下:
(1) 原子公式是合式公式。
(2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3) 若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB) 也是合式公式。
(4) 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。
(5) 只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串才是合式公式。
11
量词及相关概念
量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关 系的词。
1. 全称量词：符号化为“”
日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一 个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词 。
x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体 都有性质F。
命题真值为假。 （2）有的人登上过月球。
令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)∧G(x))。
例题 n元谓词的符号化
例4.5 将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。
解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。
(1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此 结 引进了谓词M(x)，称为特性谓词。 论 同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。
思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)∧F(x))？ 能否将15(2)符号化为x(M(x)→G(x))？
定义4.4 一阶语言F的合式公式定义如下:
(1) 原子公式是合式公式。
(2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3) 若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB) 也是合式公式。
(4) 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。
(5) 只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串才是合式公式。
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量词及相关概念
量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关 系的词。
1. 全称量词：符号化为“”
日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一 个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词 。
x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体 都有性质F。
命题真值为假。 （2）有的人登上过月球。
令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)∧G(x))。
离散数学 第4章 谓词逻辑
2015/12/25
84-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程 双语示范课程
个体词的分类
1. 表示具体的或特定的个体词称为个体常量 (Individual Constant)，一般个体词常量用带 或不带下标的小写英文字母a, b, c，…，a1, b1, c1,…等表示； 2. 表示抽象的或泛指的个体词称为个体变量 (Individual Variable)，一般用带或不带下标 的小写英文字母x, y, z, …, x1, y1, z1, … 等表示。
“张强是电子科技大学的学生”。 --P(张强)
2015/12/25
84-6
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谓词
更一般地， P(x)：x是电子科技大学的学生。
x：个体词
P(x)
P：谓词 P(x):命题函数
2015/12/25
84-7
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2015/12/25
84-12
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例4.2.1
设有如下命题，并用n元谓词进行表示。
P：王童是一个三好学生；
Q：李新华是李兰的父亲；
R：张强与谢莉是好朋友； S(x) ：x是一个三好学生 F(x, y)：x是y的父亲 S ：武汉位于北京和广州之间。 a：王童 T(x, y)：x与y是好朋友 b：李新华 命题P可表示为：S(a) d B(x,y,z) c：张强 ：李兰 ：x位于y和z之间 e ：谢莉 f ：武汉 g：北京 h：广州 命题 Q可表示为： F(b, c) R可表示为：B(f, T(d, g, e) h) 命题S
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个体词的分类
1. 表示具体的或特定的个体词称为个体常量 (Individual Constant)，一般个体词常量用带 或不带下标的小写英文字母a, b, c，…，a1, b1, c1,…等表示； 2. 表示抽象的或泛指的个体词称为个体变量 (Individual Variable)，一般用带或不带下标 的小写英文字母x, y, z, …, x1, y1, z1, … 等表示。
“张强是电子科技大学的学生”。 --P(张强)
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谓词
更一般地， P(x)：x是电子科技大学的学生。
x：个体词
P(x)
P：谓词 P(x):命题函数
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例4.2.1
设有如下命题，并用n元谓词进行表示。
P：王童是一个三好学生；
Q：李新华是李兰的父亲；
R：张强与谢莉是好朋友； S(x) ：x是一个三好学生 F(x, y)：x是y的父亲 S ：武汉位于北京和广州之间。 a：王童 T(x, y)：x与y是好朋友 b：李新华 命题P可表示为：S(a) d B(x,y,z) c：张强 ：李兰 ：x位于y和z之间 e ：谢莉 f ：武汉 g：北京 h：广州 命题 Q可表示为： F(b, c) R可表示为：B(f, T(d, g, e) h) 命题S
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例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b) P(a，g(b)，b) P(f(y)，g(a)，b)
{a/y} {a/x，b/y } {f(y)/x，a/y }
一般地，置换可通过有序对的集合 {t1/v1，t2/v2，…，tn/vn}
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y)))
(3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y))))
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
从这些语句出发，证明语句： (4)一些有智慧的个体不能读。x(I(x)R(x))
引例 (p45，提取子句)
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为：
x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
引例 (p45，归结)
(1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a)
(4) I(a)
(5) I(x3)R(x3) (6) R(a) (7) L(a) (8) H(a) (9) □
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
例 (p47,续)
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
{a/ x3}(4)(5)归结 {a/ x1}(6)(1)归结 {a/ x2}(7)(2)归结
(8)(3)归结
注意：归结时使用了未讨论过的置换的概念。
4.3.1 置换
——项对变量的替换。 置换准则为：
(1)置换必须处处进行。
(2)要求没有变量被含有同一变量的项来代替。 如表达式P(x,g(x),b)中的x不能用含有x的 项f(x)来置换，即P(f(x),g(f(x)),b)是错误的 置换。
得到子句： A(a), N(y) W(a，y)
例 (p47,续)
要证明的结论为：有些作品不是小说。 x(B(x)N(x))
否定结论得到： x(B(x)N(x)) = x(B(x)N(x)) B(x)N(x)
得到子句： B(x)N(x)
例 (p47, 归结)
(1) A(x1)B(f(x1)) (2) A(x2)W(x2，f(x2)) (3) A(a) (4) N(y)W(a，y) (5) B(x)N(x) (6) A(x1) N(f(x1)) (7) N(f(a)) (8) W(a，f(a)) (9) A(a) (10) 口
(4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
例 (p47)
(5)消去全称量词(直接去掉) 原式 P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z))))
(6)利用分配律化为合取范式 原式 P(a)(A(z)B(f(z))) (A(z)W(z，f(z)))
例 (p47, 求子句)
(1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) = x(A(x) y(B(y)W(x，y))) = x y (A(x) (B(y)W(x，y))) x (A(x) (B(f(x))W(x，f(x)))) A(x) (B(f(x))W(x，f(x))) = (A(x) B(f(x))) (A(x) W(x，f(x))) 得到子句：
4.3.2 归结反演系统
一、谓词演算公式子句的形成 二、一般归结 三、归结反演算系统的应用
一、谓词演算公式子句的形成
一般步骤: (1)消去蕴含词和等价词 (2)否定深入 (3)约束变元改名 (4)化为前束范式 (5)消去存在量词(按Skolem标准形) (6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
4.3 谓词演算的归结推理系统
问题：从公式集S出发，证明目标公式T。
在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用□表示)， 则认为证明了该公式T。
引例(p45)
设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x)) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x)) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x))
(7)消去合取词得子句集 此时公式中只含有一些文字的析取 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： 改名使得每个变量符号不出现在一个以上的子句中 P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
二、一般归结
只需寻找一个置换，把它们作用到母体子句上 使它们含有互补的文字对(如P和P) 。
例 (p47)已知知识：
(1)每个作家均写过作品； (2)有些作家没写过小说； 结论：有些作品不是小说。
证明：令 A(e)表示“e为作家”； B(e)表示“e为作品”； N(e)表示“e为小说”； W(e1，e2)表示“e1 写了 e2”
知识可以符号化如下： (1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2) x(A(x)y(N(y)W(x，y)))