第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题

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考点一 最值问题
互动探究 重点保分考点——师生共研
解析：(1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±4 3 ， 12)，代入抛物线方程可得(±4 3 )2＝2p×12，解得p＝2.∴抛物 线C的方程为x2＝4y. (2)设M(a，b)，则a2＝4b. 半径R＝|MD|＝ a2＋(b－2)2， 可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2. 令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0， ∴x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2.
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考点一 最值问题
即时应用
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1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过
F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直 线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
∴|PM|2＝54.
当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋ 3)×(2－ 3)＝1，
由λ|PM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝45.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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考点二 范围问题
，
m>3
所以
m3 ≥tan 60°
或
m3 ≥tan 60°
，
0<m<3
m>3
解得0<m≤1或m≥9.故选A. 答案：A
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考点二 范围问题
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2．(2018·九江模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F， 过点F且倾斜角为π4的直线l被E截得的线段长为8.
考点二 范围问题
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[典例]
已知点F为椭圆E：
x2 a2
＋
wk.baidu.com
y2 b2
＝1(a>b>0)的左焦点，且两
焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线
x 4
＋
y 2
＝1与
椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线
x 4
＋
y 2
＝1与y轴交于点P，过点P的直线l与椭圆E交于
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考点一 最值问题
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2．已知边长为8 3 的正三角形的一个顶点位于原点，另外两 个顶点在抛物线C：x2＝2py(p>0)上． (1)求抛物线C的方程； (2)已知圆过定点D(0,2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x 轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求ll21＋ll21的最大值．
联立y＝x－p2， y2＝2px，
消去y整理得x2－3px＋p42＝0.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2， 则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝ 4p＝8，得p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x.
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考点二 范围问题
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联立y3＝x2＋kx4＋y22－，12＝0， 得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0. 依题意得，x1x2＝3＋44k2，且Δ＝48(4k2－1)>0， ∴|PA|·|PB|＝ 1＋k2 ·|x1|· 1＋k2 ·|x2|＝(1＋k2)·3＋44k2 ＝1＋ 3＋14k2＝54λ，∴λ＝451＋3＋14k2.∵k2>14，∴45<λ<1. 综上所述，λ的取值范围是45，1.
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结 合思想求解．
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考点二 范围问题
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即时应用
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：
x2 3
＋
y2 m
＝1长轴的两
个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围
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考点二 范围问题
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方法技巧
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求
函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式 求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ 求参数的范围．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C
与直线x＝－12相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．
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考点二 范围问题
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解析：(1)由题意，直线l的方程为y＝x－p2.
由yy2＝＝k4(xx，－1) 消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝2k2k＋2 4＝2＋k42，
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考点一 最值问题
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由抛物线的定义可知， |AB|＝x1＋x2＋2＝2＋k42＋2＝4＋k42. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝4＋k42＋4＋4k2＝8＋4k12＋k2≥8＋8＝16，当且 仅当k12＝k2，即k＝±1时取等号， 故|AB|＋|DE|的最小值为16. 答案：A
第八章 平面解析几何
第八节 圆锥曲线的综合问题 第二课时 最值、范围、证明问题
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考点一 最值问题
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[典例]
设椭圆M：
y2 a2
＋
x2 b2
＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2
＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
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考点一 最值问题
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不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)．
∴l1＝ (a－2)2＋4，l2＝ (a＋2)2＋4，
∴ll12＋ll21＝l12l＋1l2l22＝ 2aa24＋＋1664＝2
(aa42＋＋684)2＝2
所以|AB|＝ 1＋2|x1－x2| ＝ 3· (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ 3· 12m2－m2＋4＝ 3·
4－m22.
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考点一 最值问题
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又P到直线AB的距离为d＝|m3|，
所以S△PAB＝12|AB|·d＝
3 2·
是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0， 3]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0， 3]∪[4，＋∞)
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考点二 范围问题
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解析：依题意得，
m3 ≥tan
∠AMB 2
0<m<3
或
m3 ≥tan
∠AMB 2
1＋a14＋6a624，(*)
当a≠0时，由(*)得，
l1 l2
＋
l2 l1
＝2
1＋a2＋166a42 ≤2
1＋21×68 ＝
2 2.
当且仅当a2＝
64 a2
，即a＝±2
2
时取等号．当a＝0时，
l1 l2
＋
l2 l1
＝2.综上
可知，ll12＋ll21的最大值为2 2.
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A．16
B．14
C．12
D．10
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考点一 最值问题
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解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k，
则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1)，
两不同点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
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考点二 范围问题
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解析：(1)由题意得a＝2c，则椭圆E为4xc22＋3yc22＝1，
联立xx442＋＋2yy3＝2＝1，c2，
得x2－2x＋4－3c2＝0.
4－m22·|m3|
＝12
4－m22·m2
＝1 22
m2(8－m2)≤21 2·m2＋(28－m2)＝
2.
当且仅当m＝±2∈(－2 2，2 2)时取等号，
所以(S△PABmax)＝ 2.
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考点一 最值问题
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方法技巧
最值问题的3个求解方法 (1)建立函数模型 利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最 值． (2)建立不等式模型 利用基本不等式求最值． (3)数形结合 利用相切、相交的几何性质求最值．
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(2)由(1)知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y20.
令x＝－12，得y2－2y0y＋3x0－34＝0.
又∵y
2 0
＝4x0，∴Δ＝4y
2 0
－12x0＋3＝y
2 0
＋3>0恒成立．设
A－12，y3，B－12，y4，
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考点三 证明问题
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解析：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝12. 所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为14，0，准线方程为x＝－14.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋
1 2
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝ 2 x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1， 2 )为椭圆
M上一点，求△PAB面积的最大值．
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考点一 最值问题
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解析：(1)由题可知，双曲线的离心率为 2，则椭圆的离心率e ＝ac＝ 22， 由2a＝4，ac＝ 22，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝ 2，b＝ 2， 故椭圆M的方程为y42＋x22＝1.
∵直线x4＋2y＝1与椭圆E有且仅有一个交点M， ∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，得c2＝1， ∴椭圆E的方程为x42＋y32＝1.
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考点二 范围问题
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(2)由(1)得M1，32，
∵直线x4＋2y＝1与y轴交于P(0,2)，
则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－34.
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考点二 范围问题
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∴|FA|·|FB|＝
y23＋94· y24＋94
＝
(y3y4)2＋94(y23＋y24)＋8116
＝
3x0－342＋944y20－23x0－34＋8116
y＝ 2x＋m， (2)联立方程x22＋y42＝1，
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考点一 最值问题
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得 4x2＋2 2mx＋m2－4＝0， 由 Δ＝(2 2m)2－16(m2－4)>0，得－2 2<m<2 2.
且xx11x＋2＝x2m＝2－4－42，2m，
(k≠0)，l与抛物
线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由y＝kx＋12， 得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. y2＝x
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考点三 证明问题
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则x1＋x2＝1－k2 k，x1x2＝41k2. 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐 标为(x1，x1)． 直线ON的方程为y＝xy22x，点B的坐标为x1，yx2x21.
＝ 9x02＋18x0＋9＝3|x0＋1|.
∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．
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考点三 证明问题
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[典例] (2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点 P(1,1)．过点 0，12 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N， 过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O 为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点．