2.3 逆矩阵
线性代数课件2.3
∧=1 0
n
0 , ∧ =1 01 2 0 20 2
0 =1 0 , , ∧ =1 0 , n 0 22 0 2n 2
1 21 0 1 4 2 = 11 2n+1 4 2 A = n 1 40 2 21 1上页
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铃
A 可逆|A|≠0; 若 A 可逆, 则A1 = 1 A*. 矩阵 | A|
推论 若AB=E(BA=E), 则B=A1. 逆矩阵的性质 (1)若A可逆, 则A1也可逆, 且(A1)1=A; (2)若A可逆, 数λ≠0, 则λA可逆, 且(λA)1=λ1A1; (3)若A,B为同型可逆矩阵, 则AB可逆, 且(AB)1=B1A1. (4)若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT )1=(A1)T . 这是因为 AT(A1)T =(A1A)T=ET=E.
补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃
逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A, 如果存在n阶矩阵B, 使得 AB=BA=E, 则称矩阵A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵, 简称逆阵. 逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的, 那么A的逆阵是唯一的. 定理1 若矩阵A可逆, 则|A|≠0. (若矩阵A可逆, 则A是奇异矩阵.) 定理2 若|A|≠0, 则矩阵A可逆, 且
142n+1 2n+1 2 = 22n 2n 1 = 42n+1 2n+1 2 22n+1 2n+1 1 . 2
补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃
矩阵的多项式的计算 设(x)=a0+a1x+ +amxm为x的m次多项式, A为n阶矩阵, 记 (A)=a0E+a1A+ +amAm, (A)称为矩阵A的m次多项式. (1)如果A=P∧P1, 则(A)=P(∧)P1. 这是因为如果A=P∧P1, 则Ak=P∧kP1, 从而 (A)=a0E+a1A+ +amAm = Pa0EP1+Pa1∧P1+ +Pam∧mP1 =P(∧)P1.
§2.3 可逆矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)
11
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
未知量
常数项
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
0 1 1 2 (1) 0 1 1 2
00 0 0
00 0 0
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
矩阵的函数
矩阵的函数中的特定函数1. 矩阵的函数在数学中，矩阵的函数是指将一个矩阵作为输入，并返回一个矩阵作为输出的函数。
矩阵函数在许多领域中都有广泛的应用，如线性代数、微积分、数值计算等。
它们在计算机科学、物理学、工程学和经济学等领域都起着重要的作用。
矩阵函数可以看作是将一个或多个实数变量映射到一个或多个矩阵变量的映射。
它们可以描述线性和非线性关系，并且可以用于解决一系列问题，如求解线性方程组、计算特征值和特征向量、求解微分方程等。
2. 特定函数2.1 线性变换在线性代数中，线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并保持加法和标量乘法运算。
在矩阵函数中，线性变换可以表示为：f(A)=A⋅B+C其中A是输入矩阵，B和C是参数矩阵。
线性变换的作用是将输入矩阵与参数矩阵相乘，并加上一个常数矩阵。
线性变换在计算机图形学中有广泛的应用，可以用于图像处理、计算机动画等领域。
它可以实现平移、旋转、缩放等操作，从而改变图像的位置、大小和形状。
2.2 矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
在矩阵函数中，矩阵乘法可以表示为：f(A,B)=A⋅B其中A和B是输入矩阵，⋅表示矩阵乘法运算。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法在线性代数中有重要的地位，它可以描述线性变换和复合线性变换。
在计算机科学中，矩阵乘法广泛应用于图像处理、人工智能、机器学习等领域。
2.3 逆矩阵逆矩阵是指对于一个给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得A⋅B=B⋅A=I，其中I是单位矩阵。
在矩阵函数中，逆矩阵可以表示为：f(A)=A−1逆矩阵的计算是求解线性方程组的重要方法之一。
它在数值计算和工程应用中具有重要意义。
2.4 特征值和特征向量特征值和特征向量是描述线性变换的重要概念。
对于一个给定的方阵A，如果存在实数λ和非零向量x，使得A⋅x=λ⋅x，则称λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
课件：逆矩阵
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1
逆矩阵 算法-概述说明以及解释
逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。
简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。
逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。
然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。
接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。
逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。
此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。
逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。
总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。
通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。
在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。
文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。
正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。
随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。
最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。
结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。
逆矩阵的知识点总结
逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。
只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。
1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。
其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。
这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。
如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。
二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。
2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。
2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。
2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。
如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。
2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。
伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。
与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。
2.3逆矩阵
，
求(E B)
1
1
B ( E A) ( E A) ( E A ) B ( E A )( E A ) ( E A ) E A
1
( E A) B E A
B AB E A
(E B)
1
E A 2
A B AB E O
A AXBB
1 X 0 0
2.3
X A CB
0 3 1 5 0
2 1 0
1 1 2 0 1 1
2 2 3 1 2 1 5 2 1 0
16 6 1 4 11 2 3 1
0 0 1 0 2 3 例2：设 A 0 4 5 0 0 6
0 0 ，且 B ( E A ) 1 ( E A ) 0 7 用定理1的推论
运用推论1的证明方法。
将A-1+B-1表示成三个可逆矩阵相乘，运用逆矩阵的运算性质，不需求行列式。
2.3
本节求逆矩阵的解题方法（技巧）：
1、A=AE 2、E=AA-1
1与2一般一起使用
3、AB=E(BA=E)推出A=B-1或B=A-1（推论1）
4、逆矩阵运算性Βιβλιοθήκη 32.3 ( E B )( E A ) 2 E
(E B)
2.3
(E A) 2
E
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4
自学P56例7与例8
例3：设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且 (A*)-1=(A-1)*。 用定理1的推论 例4：设A为 3 3 矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=2， 求|A*|。 例5、设矩阵A、B、A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆， 并求其逆矩阵。
逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式 定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，则称A为A的伴随
矩阵.
A2n Ann
首页
1 2 3 1
3 1 2 4
1 2 1 3
1532 1000
3 7 7 7
1 4 4 4
7772 1000
3 7 0 0
1 4 0 0
7002
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)=2
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例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即 r(AB)=r(A) （P60/2.18）
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
下页
定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1
求矩阵
A=
11 13
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
1141 1000
0 2 1 4
0 0 0 5
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A ) A = E， A
高等数学逆矩阵
2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求 的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵 逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求 逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且 可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中 当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆 的逆(元 为a 的倒数 或称 的逆 元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中 单位阵 相当于数的乘法运算中 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵 称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵 称为可逆矩阵 称A-1为A逆阵 逆阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义 对于 阶方阵 如果存在一个 阶方阵 AB = BA = E 使得 则称矩阵A是可逆的 并称矩阵B为 的逆矩阵 的逆 是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的 并称矩阵 为A的逆矩阵 A的逆 矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 是否可逆? 例3: 下列矩阵 是否可逆 若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆 可逆. 所以 A可逆 由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33
线性代数-逆矩阵
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵
2.3逆矩阵(1)
逆矩阵逆矩阵的定义和性质求逆公式逆矩阵的初步应用逆矩阵的定义和性质定义设为阶方阵，A n ==，AB BA E 使得若存在阶方阵,B n 则称矩阵是可逆的, A 并称是的逆矩阵.A B 注：若阶方阵可逆，则其逆矩阵是唯一的！n A 设矩阵、都是矩阵的逆矩阵，1B 2B A 1=B E 12()=B AB 12()=B A B 2=EB 2.=B 1B 的逆记为A 1.-A 1-=B A逆矩阵满足的运算规律（逆矩阵的性质）：(i ) 若矩阵可逆,A 则也可逆，且；1A -()11A A --=(ii ) 若可逆,数，0λ≠A 则可逆，且；A λ()111A A λλ--=()()1111.A A AA E λλλλ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1111.A A A A E λλλλ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可逆，且AB ()111AB B A ---=；(iii ) 若、为同阶矩阵且均可逆，A B ()()()1111AB BAA BB A ----=11.AEA AA E --===()()()1111BAAB B A A B----=11.B EB B B E --===(iv ) 若可逆, A 则也可逆，且.T A ()()1TT 1AA--=()()TTT11AA A A --=.E =()T1TA A -.E =其中.k +∈当方阵可逆，、为整数时，有μA λ还可以定义()1kkAA--=，当可逆时，A A A Aλμλμ+=，().A A μλλμ=证明即存在矩阵满足B 由行列式的性质，得||1AB BA E ===，所以0.A ≠定理1若阶方阵可逆，则||0.A ≠n A 若方阵可逆，A ==，AB BA E A B ⋅=证明**==AA A A A E ，||0A ≠，1*1.||A A A -=定理2 若，则矩阵可逆，且||0A ≠A 设是矩阵的伴随矩阵，A *A 于是有**11==A A A A E A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以矩阵可逆，且1*1.||A A A -=A可逆矩阵就是非奇异矩阵.当时，A 称为奇异矩阵,||0A =当时，||0A ≠A 称为非奇异矩阵.是可逆矩阵的充分必要条件是.A ||0A ≠AB E =BA E =1.B A -=推论若（或），则例：求矩阵可逆的充分必要条件，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭||a b A ad bc c d==-，1*1||A A A -=并在可逆时，求其逆矩阵.解0.ad bc ⇔-≠A 可逆当时，0ad bc -≠1.d b c a ad bc -⎛⎫= ⎪--⎝⎭例：求方阵的逆矩阵.123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭||20A =≠，解1A -存在.再计算的余子式.||A 112M =，123M =，132M =，216M =-，226M =-，232M =-，314M =-，325M =-，332M =-，求逆公式所以112131*122232132333M M M A M M M M M M -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1*1||A A A -=132353.22111-⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭112M =，123M =，132M =，216M =-，226M =-，232M =-，314M =-，325M =-，332M =-，264365222-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭对于低阶以及某些特殊矩阵的讨论，此公式仍推导，很少用来计算.若要根据求逆公式来求阶n 行列式，运算量非常大！1n -ij A 方阵的逆矩阵，需要计算阶行列式以及个n 2n A 注：求逆公式主要用来理论证明和1*1||A A A -=可以给我们带来一些便利.。
2.3逆矩阵
线性代数
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§2.3 逆矩阵
Th2. 若矩阵A可逆,则| A | 0.
证 : A可逆 AA1 E
A A1 E 1 A 0
Th3. 若 | A | 0,则A可逆,且A1 1 A* | A|
其中A为A的伴随矩阵.
证： AA A A A E A A A A E AA
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§2.3 逆矩阵
作业
习题二（P44）
6(1)(4)、11、12（1,3）
线性代数
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求逆矩阵.
证 : AA E 2E A A E E
2
A可逆 ,且 A1 1 A E .
2
A 2EA 3E 4E
A
2E
1 4
A
3
E
E
A 2E可逆, 且 A 2E 1 1 A 3E
4
线性代数
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§2.3 逆矩阵
三. 逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
4 3 5 3
1 6 4
线性代数
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§2.3 逆矩阵
例4. X
2 1
1
2 1 2
3 0 1
1 0
1 1
0 , 求X 0
X BA1
1 4 3
A1
1
5 3
1 6 4
X 1 0
1 1
00
1 1 1
4 5 6
3 0
逆矩阵的定义与性质
第三讲 §2.3 逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义与性质我们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知A 、B ,如何由矩阵方程B X A =⋅求出X 这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.定义2.3.1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵．B 称为A 的逆矩阵．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为，如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22那么 22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（１）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（２）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．这是因为 E A A AEA A BB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())(( 所以 111)(---=A B AB ．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A 的转置矩阵TA 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为 EE A A A A TTTT===--)()(11E E AA A A TTTT===--)()(11 所以 T TA A )()(11--=．（４）如果A 是可逆矩阵，则有11--=AA ．这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以 111--==A AA．2.3.2 伴随矩阵定义 2.3.2 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).定义 2.3.3 设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵.定理2.3.1 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =- 证明: 必要性 设A 为可逆矩阵,则存在矩阵1-A ,有E AA =-1,在等式两边取行列式,得111=⋅=--A A AA所以0≠A .即A 是非奇异的.充分性 设A 是非奇异矩阵,则0≠A ,由行列式按一行(列)展开定理有)1(*1A AA AA =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n nn n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a A2122212121112122221112111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A 0000001 E = 同理可得 E A A =-1,所以A 可逆,并且*11A AA =- 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 例2 设A 为n (n ≥2)阶方阵,证明:当0≠A 时A AA n 2)(-**=证明 : 当0≠A 时, 有0≠*A ,且1-*⋅=A A A 又1-*=n A A ,所以()1111)()(----****==A A AA A A n =AAA AA n n 211---=这道题当 0=A 时，在学了第三章后也可以证明。
线性代数2.3 逆矩阵
又 伴随阵
A*
d c
b a
A1
1 A
A*
ad
1
bc
d c
ab .
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120 120
(2)
A 2
4
1 0
0
10
1 1 0 ,
011 011 11
A 可逆．
又 A 的所有元素的余子式为：
M11 3 , M21 2 , M31 2 ,
M12 2 , M22 1, M32 1 ,
M13 2 , M 23 1, M33 0 ,
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由 A 的元素的余子式：
M11 3 , M21 2 , M31 2 ,
M12 2 , M22 1, M 32 1 ,
A 的伴随阵
2.3 逆矩阵
逆矩阵的定义 判定矩阵可逆的充要条件 逆矩阵的求法与应用
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逆矩阵的定义
引例 设线性变换
y1 a11x1 a12x2 a1n xn ,
y2
a21x1
a22 x2
a2n xn
,
yn an1x1 an2 x2 ann xn ,
逆阵．
这时, 矩阵 B 也是可逆的，且 A 是 B 的逆阵， 即 A 与 B 是互逆的．
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如果方阵 A 是可逆的，则它的逆阵唯一．
事实上， 若 B ,C 都是 A 的逆阵，
AB BA E , AC CA E ,
2.3 逆矩阵
所以
A( A E ) E ,
A1 A E
(2) A2 A E O A2 A 2E E
( A E )( A 2 E ) E
( A E )1 ( A 2E ) 2E A
28
A满足A A E O.证明A, A E可逆， 课堂 设方阵 练习 并求它们的逆矩阵 .
2 1 A 1 2
的逆矩阵.
2 1 A 30 1 2
A11 2, 1 A A A 1 2 12 22
A21 1, A22 2
1 1 2 1 A A . A 3 1 2
a1n A11 a 2 n A12 a nn A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A O A AE , O A
16
4 , A13
2 1 1 3
5,
20
1 2 3 A 2 1 2 1 3 3
同理可求得
3 3 1 4 0 4 A 5 1 3
A31 1, A32 4, A33 3.
A21 3, A22 0, A23 1,
类似根据按列展开定理,
A11 A 12 A1n
A21 An1 a11 a12 a A22 An 2 a 21 22 A2 n Ann a n1 a n 2
a1n a2 n ann
1
AX E
a11 a12 a 21 a22 a n1 a n 2
2.3逆矩阵
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
2.3 初等矩阵与逆矩阵
同理可得
n A A A E . * A A Aki akj ij ij k 1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
1 1 A 即有 A 使 AA E. 证明 若 可逆，
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵.
由此可得A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵.
一、填空题（本题15分，每小题3分） ( 2010级考题)
1 9 2、设A为三阶方阵，且 A = 3，则 | ( A ) 1 | _____ .
A A 提示 AA A A A E A A E, A A
1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
所以
0 1 A . 1 2
1
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵
A11 A12 A A 1n
性质
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
按逆矩阵的定义得
A A 1 1 1 （A ） （A ） = 3 A= 2. A A A A
1
推论 证明
若AB E 或BA E , 则B A1 .
A B E 1,
故 A 0,
因而A1存在, 于是
2.3方阵的逆矩阵
同理可求得
A21 = 3 , A22 = 0 , A23 = −1 , A31 = 1 , A32 = 4 , A33 = −3.
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
第三节 方阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数， 的逆）； 其中 a−1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； （ a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1， 那么，对于矩阵 A ， ， 那么， 如果存在一个矩阵A−1, 使得
1 − 1 1 2 1 2 , B = , 例 设 A= 1 1 − 1 2 1 2
Q AB = BA = E ,
∴ B是A的一个逆矩阵 .
是可逆矩阵， 的逆矩阵是唯一 唯一的 定理 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵， 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E , AC = CA = E , 可得 B = EB = (CA )B = C ( AB ) = CE = C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的 即 的逆矩阵是唯一的,即
−1
−1
−1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
例6
1 0 已知 A = 0 0 0
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即A ~ En
定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵 P1, P2 ,L , Pl , 使得A P1P2 L Pl . 证 必要性 A ~ E,
故 E 经有限次初等变换可变为 A,
A A A , A A .
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明
AA1 E
A A1 1
因此 A1
1 A
A1
6设 A
A2
, As
若 Ai 0i 1, 2,L , s ,则 A A1 A2 L As 0,并有
A1
0
L
0L A2 L LL
0 B1
0
0
L L
0L B2 L LL
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
称为矩阵 A
的伴随矩阵
Ann
其中Aij表示矩阵 A (aij )中元素aij的代数余子式 .
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
当 A 0时,
a11 a12 a1n A11 A21 An1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1, a 0,
2b
d a
0,
0,
b 1,
c
1,
b 1, d 2.
A1
0 1
1
2
.
例2
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123
解 Q A 2 2 1 2 0, A1存在.
逆矩阵的运算性质:
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1A1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
解:
是的. 这是由于A1的唯一性决定的.
1 0 0 0 0 0 2 0 0 0
1. 已知A 0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
解
0 0 0 0 5
因 A 5! 0, 故A1存在.
1 0 0 0 0
1 构造矩阵AE 或 A;
E
2 对 AME 施行初等行变换,将A化为单位矩阵E
后,
右边E
对应部分即为A1
(或对
A E
施行初等列
变换,将A化为单位阵E后, E对应部分即为A1 ).
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
例5 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0, A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0,
2 故A可逆.
A1 1 A E .
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
0
0
L
A1B1
0
0 A2B2
0
0
.
0 0 L As 0 0 L Bs
0
0 AsBs
A11
A1
A2 1
. As1
例1 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解 利设用待B定系 a数法b c d
是 A 的逆矩阵,
则
AB
2
1 a b 1 0
1 0 c d 0 1
AA
a21 a22 a11A11
a2n A12 a12A12
A22 a1n A1n
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
A
A
A E
A
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
例6
设
A
B 0
D C
, 其中B和C都是可逆方阵,
证明A可逆, 并求A1 .
证 由B,C可逆, 有 A B C 0, 得A可逆.
设 A1 X Z , 则 B D X Z E 0 . W Y 0 C W Y 0 E
即存在有限个初等方阵P1, P2, , Pl , 使
P1P2 Pr EPr1 Pl A
即
A P1P2 Pl .
充分性 显然成立
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵Q,使 PAQ B.
利用初等变换求逆矩阵的方法：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11 P11 A E, 及 Pl1Pl11 P11E A1,
第二章
第三节 逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的求法 三、小结
定义 对于 n阶方阵 A，若存在一个 n 阶方阵 B
使得
AB BA E,
则称矩阵A是可逆的，并把矩阵 B称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1.
例 设 A 1 1, B 1 2 1 2, 1 1 1 2 1 2
AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
LL
000L 1 2 2 2L 2
011L 1
An1 An2 L Ann 0 0 1 L 1 0 MMM M
111L 1
n
故A 中所有元素的代数余子式之和 Aij 1 i, j1
三、小结
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法: 1.待定系数法; 2.利用公式A1 A ;
A
3.利用初等变换求逆矩阵:
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为 ri (k)rj，
则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
显然初等变换不改变矩阵的可逆性，
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
I
Er O
O
O
mn
此标准形由 m, n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是阶梯形矩阵中 非零行的行数. 因此，对于n阶可逆方阵A，它的标准形I也可逆，
例２ 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解 由 A 可逆，则 X A1B
1 2 3 2 5 (A B) 2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
1
0
2 2
3 5
2 1
5 9
1 0
2 2
3 5
2 5 1 9
1 0 0
0
1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 1 1 0 2
0 0 1 1
0
0
0
0
1 00 0
1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
A1
1
2 0
1 1
0 1
0
0
,
0 0
1
1
0 0 0 1
A* 2A1,
故
n
Aij
i , j1
2[1 (n 1) (n 1)] 1. 2
所以A可逆. 故B不可逆.
1 5 11
例4
设
1 A 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 3
,
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
123 解 A 2 2 1 2 0,
343
21
B
1 0,
53
A1, B1都存在.
1 3 2
且
A1
3
2
3
5 2,
A
C
A1
E
CA1
A
E
C
初等 列变换
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对 ( AT ,CT ) 作初等行变换：
由YA C作转置运算得 ATY T CT
（AT , C T ) 初等 行变换 ( E, Y T )
即可求得 Y
YT
T
.
2 2 2 L 2
0
1
1
L
1
例3 已知 n 阶方阵 A 0 0 1 L 1 ,
2
3 3 1
2 5 2. 1
例3 下列矩阵A, B是否可逆 ?
1 2 3 A 2 1 2,
1 3 3
2 3 1 B 1 3 5 .
1 5 11
解
123 1 2 3
A2
1
20
3
3 4
4 4 0,
10
133 0 1 0
2 3 1 由于 B 1 3 5 0,
M
M
M
M
0 0 0 L 1
n
求 A 中所有元素的代数余子式之和 Aij . i, j1
解： A 2 0,
A 可逆. 且 A* A A1.
2 2 2 2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0