数学模型课后答案

《数学模型》作业答案

第二章(1)（2012年12月21日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；

（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3

1

.1000i i

p

方法一（按比例分配） ,35.23

1

11==

∑=i i

p

N

p q ,33.33

1

22==

∑=i i

p

N

p q 32.43

1

33==

∑=i i

p

N

p q

分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

4 ,3 ,2321===n n n

第10个席位：计算Q 值为

,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.9331544322

3=⨯=Q

3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n

方法三（d ’Hondt 方法）

此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n

此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.

i

i

n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i

i n p

尽量接近.

再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得

⎰⎰

+=n

t

dn wkn r k vdt 0

)(2π

)22 2

n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v

k w n v rk t ππ+=∴

《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．

01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

kr rT c T c T C ++=

2

)(21

2221r c T

c dT dC

+-= 令

0=dT

dC

， 解得 r c c T 21

*2= 由rT Q = ， 得2

12c r

c rT Q =

=*

*

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+-++

=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 2223322221222T

kQ rT Q c r c rT Q c T c T C

--+--=∂∂

T

k rT Q c c rT Q

c Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q

C

T

C

， 得到驻点：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧+-

+-+=-

+=

**

3

23222

2

3323213

22

33221)(22c c kr

c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，

r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的

一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.

解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：

贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆

i T

i i t T

T r k c dt t g c t g c 1

02

20

22

))()(lim

ξ

又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =

0 , ∴ 贮存费变为 k

T

T r k r c 2)(2⋅-=

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

k

T

r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=

k r k r c T

c dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC

令

, 得)

(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*

T T C )(取得最小值，即最优周期为： )

(221r k r c k

c T -=

*

r

c c ，T

r k 21

2≈

>>*

时当 . 相当于不考虑生产的情况.