等腰三角形直角三角形
等腰三角形和直角三角形的交集和并集
等腰三角形和直角三角形的交集和并集
等腰三角形和直角三角形的交集是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。
这种三角形具有两条边等长且一个角为直角的特点。
而等腰三角形和直角三角形的并集是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形以及仅仅满足其中一个条件的三角形的集合。
这个集合包含了所有两条边等长且一个角为直角的三角形，以及只有两条边等长或只有一个角为直角的三角形。
需要注意的是，并非所有的等腰三角形都是直角三角形，也不是所有的直角三角形都是等腰三角形。
所以等腰三角形和直角三角形的交集不包含所有的等腰三角形和直角三角形。
而等腰三角形和直角三角形的并集则包含了所有满足以上条件的三角形。
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。
其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质：1. 等腰三角形的底角相等。
无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。
这是等腰三角形的一个重要性质。
2. 等腰三角形的高线相等。
等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。
3. 等腰三角形的内角和为180度。
等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。
二、直角三角形直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。
直角三角形中最常用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
除此之外，直角三角形还有以下性质：1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。
直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于90度。
2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。
直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。
3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。
直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。
三、等腰三角形与直角三角形的联系等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。
首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。
其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。
此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。
对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计算面积。
综上所述，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形类型，它们在数学和几何学中具有重要的作用。
§4.3 等腰三角形与直角三角形
§4.3 等腰三角形与直角三角形§43 等腰三角形与直角三角形在数学的奇妙世界里，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要且具有独特性质的图形。
让我们一同深入探索它们的奥秘。
等腰三角形，顾名思义，至少有两条边长度相等。
这两条相等的边被称为腰，而剩下的那条边则被称为底边。
等腰三角形的两个底角也是相等的，这是它一个显著的特征。
想象一下，我们拿着一把等腰三角尺，无论怎么旋转，它始终保持着两条边长度相等的特点。
等腰三角形的这些性质在实际生活中有许多应用。
比如，在建筑设计中，等腰三角形的稳定性可以用于支撑结构；在服装设计中，等腰三角形的形状可以为衣物增添独特的设计感。
接下来，我们聊聊直角三角形。
直角三角形是指其中一个角为直角（90 度）的三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
直角三角形有一个非常著名的定理——勾股定理。
即两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在数学和实际生活中都有着极其广泛的应用。
比如，在测量建筑物的高度时，如果我们知道了地面上某点到建筑物底部的距离以及观测点与建筑物顶部的仰角，就可以利用勾股定理计算出建筑物的高度。
在等腰直角三角形中，它既是等腰三角形又是直角三角形，具有双重特殊性质。
两条直角边长度相等，斜边的长度是直角边长度的根号 2 倍。
再深入研究等腰三角形和直角三角形之间的关系。
我们会发现，有些情况下，等腰三角形可以通过特定的条件转化为直角三角形。
比如，当等腰三角形的顶角为直角时，它就变成了等腰直角三角形。
在解题过程中，我们常常需要根据已知条件判断一个三角形是等腰三角形还是直角三角形，然后运用相应的性质和定理来求解。
比如，已知一个三角形的两条边长度相等，并且其中一个角是直角，那么我们就可以确定这个三角形是等腰直角三角形，从而利用勾股定理和等腰三角形的性质来计算其他边的长度和角的度数。
另外，等腰三角形和直角三角形的性质还常常与三角形的全等和相似等知识结合起来。
等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
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图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形关键信息项：1、等腰三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________2、直角三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________3、等腰直角三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________4、等腰三角形与直角三角形的关系相同点：＿___________________________不同点：＿___________________________5、相关定理及证明等腰三角形定理 1：＿___________________________证明过程：＿___________________________直角三角形定理 1：＿___________________________证明过程：＿___________________________11 等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
111 等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两腰相等。
性质 2：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
第15节 等腰三角形与直角三角形
2．判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形． (2)有③_两__角_____相等的三角形是等腰三角形．
3．面积：S＝1 ah. 2
等边三角形的性质及判定
1．性质 (1)三条边相等． (2)三个内角相等，且每一个角都等于④__6_0_°___. (3)每条边上的高线、中线、角平分线均重合(“三线合一”). (4)是轴对称图形，有3条对称轴，对称轴为任一条边上的高(中线或角平分线)所 在的直线． 2．判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)有一个角是⑤_6_0_°____的等腰三角形是等边三角形．
分类讨论 例6 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为__8_0_°__或__4_0_°___． 例7 若直角三角形的两边长分别为6 cm，8 cm，则斜边上的中线长为_4_c_m_或__5_c_m_．
例8 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是BC上的中点， 点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝___5_或__15_6___.
(2)在△ABC中，若一边长为3，一边长为4，则△ABC的周长为__1_0_或__1_1__； 48
(3)若AB＝10，BC＝12，则△ABC的面积为_4_8___，边AC上的高为__5_____； (4)如图②，若∠ABC＝60°，AB＝8，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接 DE.则∠BAD的度数为______3_0_°___，DE的长为____4_,△ABC的面积为_1_6__3___；
(5)若∠B＝60°，AD＝3 3 ，则 AB＝__6___，S△ABC＝_1_8__3__，S△ABE＝_9__3___；
(6)如图②，若∠B＝60°，作 BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，AD＝6，求 BF 的值．
等腰三角形与直角三角形.
考点4
勾股定理及其逆定理
等于 1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和________
斜边的平方． 2．勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等 平方 ，则这个三角形是直角三角形． 于第三边的________
【学有奇招】 1．“等角对等边”应用极为广泛，但一定要注意前提条件 是在同一个三角形中． 2．等边三角形的三个判定定理的前提不同，判定定理(1)
60° (2)等边三角形的三个角都是______________ ．
轴对称图形 ，有_______ 三 (3)对称性：等边三角形是____________ 条 对称轴．
考点3
直角三角形的判定与性质
1．判定． 直角 的三角形是直角三角形． (1)有一个角是________ (2)勾股定理的逆定理． 2．性质． 互余 ． (1)直角三角形的两个锐角________ 一半 ． (2)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的_______ 一半 ． (3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的_______
考点 1 等腰三角形的判定与性质
1．判定．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等边对 (1)有两条边________
等角”．
相等 的三角形是等腰三角形，即“等角对 (2)有两个角________ 等边”．
2．性质． 相等 ，即“等边对等角”． (1)等腰三角形的两个底角________ (2)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 重合 ． 底边上的高互相________ (3) 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 底边上的高(中线)或顶角的角平分线 _________________________________________ 所在的直线．
专题17等腰三角形与直角三角形
第十六讲：等腰三角形与直角三角形基础知识知识点一：等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角（或三条边）都相等的三角形是等边三角形；推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；典型例题解析例1：已知实数x ，y 满足|x ﹣4|+=0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．思路分析：先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分x 的值是腰长与底边两种情况讨论求解．解：根据题意得，x ﹣4=0，3y ﹣6=0，解得x=4，y=2，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，周长=4+4+2=10； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、2、2，不能组成三角形，所以，三角形的周长为：10；故答案为：10．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x 、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．思路分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．解：在三角形ABC 中，设AB=AC ，BD ⊥AC 于D ．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．对应训练1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5第1题图第2题图第6题2.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°3.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．64. 如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．4时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯第9题图 第10题图 第11题图10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，若AB=6，CD=4，则△ABC 的周长是 ．11. 如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE= °．12. 如图，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD=BC ，AE=AC ，则∠DCE 的大小为 度．第12题图 第13题图 第14题图13. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ．知识点二：勾股定理：3.直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1（2015•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．对应训练1．（2015•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．考点二：线段垂直平分线例2 （2015•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=．对应训练2．（2015•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3（2015•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°对应训练3．（2015•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．考点四：等边三角形的判定与性质例4（2015•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．对应训练4．（2015•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．考点五：三角形中位线定理例5（2015•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．考点六：直角三角形例6 （2015•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．D．对应训练6．（2015•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．C D考点七：勾股定理例7（2015•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．对应训练7．（2015•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．【备考真题过关】一、选择题1．（2015•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4D．52．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50D．40°3．（2015•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．64．（2015长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．5．（2015•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2015•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°二、填空题13．（2015 徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A．80°B．50°C．40°D．20°14．（2015•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．15．（2015•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．16．（2015•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm．17．（2015•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是 m．三、解答题27．（2015•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．28．（2015•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．。
认识三角形等边等腰和直角三角形
认识三角形等边等腰和直角三角形三角形是我们学习初中数学时必须掌握的一个基本图形。
根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形三种类型。
本文将分别介绍这三种三角形的特点和性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。
我们可以简记等边三角形为△ABC（其中A、B、C为三个顶点）。
等边三角形的特点是稳定、对称，它的边长和角度特性具有以下几点：1. 三边相等：在△ABC中，边AC = AB = BC。
2. 三个内角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60度。
3. 高度、中线和角平分线重合：△ABC的高线、中线和角平分线重合于同一条线段AN上（即垂心、重心、外心和内心重合）。
等边三角形在几何学和实际运用中有着广泛的应用，比如构造等边形、平衡木桥梁等。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角也相等，而顶角则不同。
我们可以将等腰三角形简记为△DEF （其中D、E、F为三个顶点）。
等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：在△DEF中，边DE = EF。
2. 两个底角相等：∠D = ∠F。
3. 顶角不等：∠E为顶角，与底角不相等。
等腰三角形也有许多重要的性质：1. 等腰三角形的高线为中线和角平分线，都重合于同一条线段。
2. 等腰三角形的底角平分线也是高线、中线和角平分线。
等腰三角形在建筑、制图、机械设计等领域中都有应用，例如金字塔、屋顶的坡度等。
三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。
直角三角形是最常见的三角形类型之一，也是勾股定理的基础。
我们可以简记直角三角形为△GHI（其中G、H、I为三个顶点）。
直角三角形的特点如下：1. 一个角为90度：在△GHI中，∠G为直角，即90度。
2. 两边相互垂直：直角三角形的两条直角边相互垂直，即∠HGI =90度。
3. 两个锐角相加等于90度：∠H + ∠I = 90度。
小学数学认识直角三角形和等腰三角形
小学数学认识直角三角形和等腰三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在小学数学中，认识和理解直角三角形和等腰三角形是非常重要的。
一、直角三角形的认识直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角是最重要的特征。
直角三角形可以根据两条边的长度关系分为斜边、直角边和对边。
1. 斜边：直角三角形的斜边是直角两边之间最长的一条边，也是直角三角形的对边。
2. 直角边：直角三角形的直角边是与直角相邻的两条边。
3. 对边：直角三角形的对边是与直角不相邻的边。
在直角三角形中，根据勾股定理可以求解三边之间的关系。
勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和对边的平方。
这一理论为解决直角三角形问题提供了极为重要的数学工具。
二、等腰三角形的认识等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边的长度相等，而第三边的长度则可能不同。
等腰三角形还具有以下几个重要性质：1. 等腰三角形的两底角（非等腰边对应的两个角）相等。
2. 等腰三角形的高（即从顶点到底边中点的垂直线段）是底边的中线和高，并且等腰三角形的高平分顶点角。
3. 等腰三角形的中线（即连接底边中点和顶点的线段）和高重合，并且中线平分底边。
通过了解等腰三角形的性质和特点，我们可以更好地解决一些与等腰三角形相关的问题，如计算等腰三角形的周长、面积等。
三、直角三角形和等腰三角形的应用直角三角形和等腰三角形在现实生活中有广泛的应用。
1. 直角三角形应用于建筑和测量领域。
当我们需要测量或计算一些边长和高度时经常会用到勾股定理。
2. 等腰三角形应用于设计和绘画领域。
等腰三角形的形状美观，经常被用来设计和绘画一些艺术品、建筑结构等。
3. 直角三角形和等腰三角形还有重要的几何性质，在解决几何问题中起着重要的作用。
四、总结小学数学中认识直角三角形和等腰三角形是非常重要的。
直角三角形通过勾股定理帮助我们求解三边之间的关系，而等腰三角形则具有一些特殊性质和应用。
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形、直角三角形考点一：等腰三角形以BC为底，以长度a为腰的等腰三角形由：△ABD≌△ACD （SAS）∴∠A=∠B CD⊥AB AD=BD1、定义：有两边相等的三角形2、性质：（1）等边对等角（2）三线合一（本质：三角形全等）：AB=BC;AD为角平分线；AD⊥BC；BD=DC。
（知二求二）例3.已知三角形ABC，（1）若AD⊥BC，BD=CD，求证:△ABC为等腰三角形；（2）若AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求证:△ABC为等腰三角形；（3）若∠BAD=∠CAD，BD=CD, 求证:△ABC为等腰三角形.证明思路：（1）△ABD≌△ACD（HL）（2）△ABD≌△ACD（ASA）（3）过D分别作AB，AC的垂线，利用角分线构造全等三角形例1. 如图，在△ABC 中AB = AC，AD = DE = EB，BC = BD，求∠A 的度数.解：设∠A=x，则∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x；∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=0.5x又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=1.5x；在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°，∴∠A=x=45°．故答案为：45°．【三线合一】性质应用：方法：找等腰三角形和三线例2. 如图△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD是BC边上的中线，E是AB 上一点且BD = BE，求∠ADE的度数.等腰△ABC＋AD为底边中线例5. 已知:如图，在△ABC中AB = AC，∠A = 60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE = CD. 求证:DB = DE.等腰△ABC＋BD为底边中线3、模型：平行线＋角平分线=等腰三角形AD//BC，∠1=∠2，AB=BC可证：△ABD为等腰三角形例4. (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC过点D，作ED∥BC.指出图中的等腰三角形，并说明理由.(2)如图2，在△ABC中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O，过点O作EF∥BC.明:EF=BE+CF.解题思路：（1）△BED为等腰三角形（2）△BEO和△CFO都是等腰三角形可得：BE=EO，CF=OF则可证出：EF=BE＋CF4、易错题—分类讨论方法：无图有偶取舍：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
等腰三角形与直角三角形
(1)OA=OB=OC. (2)△OMN是等腰直角三角形.
【例2】如图4-3-2所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8， ∠A=60°，∠D=150°已知四边形的周长为32，求四边 形ABCD的面积.
S四边形ABCD=16
3 +24.
【例3】已知：如图4-3-3所示，等腰△ABC的底边长8cm，腰长 5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间?
3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这 个等腰三角形的顶角为( D ) A.30° B.60° C.150 ° D.120° 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( D) ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等 ③等腰三角形两底角的平分线相等 ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4
(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示. 性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上.
【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
典型例题解析
【例1】 (2003· 广东省)如图4-3-1所示，在Rt△ABC中， AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点. (1)写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保 持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形与直角三角形考点一等腰三角形1．定义：有相等的三角形叫做等腰三角形．2. 性质：（1）等边对等角：等腰三角形的两条腰，两个底角。
符号语言：（2）“三线合一”:等腰三角形的顶角的，底边上的及底边上的互相重合。
符号语言：（3）对称性：等腰三角形是对称图形，有条对称轴3．判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．符号语言：考点二等边三角形1．定义：都相等的三角形叫做等边三角形2．性质(1)三边相等；(2)三角相等，且每一个角都等于；(3)它是对称图形，有条对称轴.3．判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的三角形是等边三角形．考点三直角三角形1．性质(1)直角三角形两个锐角之和等于；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的；符号语言：(3)直角三角形30°角所对的直角边等于；符号语言：(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有；(5)常用勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(8,15,17)，(7,24,25)．2．判定(1)有一个角为的三角形是直角三角形；(2)有两个角的三角形是直角三角形。
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．3．面积计算公式：S ＝ , 其中a ，b 为两条直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，常用等积法求线段长．三、典型例题例1 （1）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝58°，则∠ABD 的度数为 .（1） 变式变式：如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=30°,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E,连接BE ，则∠CBE 的度数为 。
（2）等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则这个等腰三角形的周长为______题后反思：跟踪练习一1、一个等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12B. 15C. 13D.12或152、若等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角为( )A ．80°B ．50°C ．20°D ．50°或80°3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°例2（1）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )（2）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AC ＝12，F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，DF ＝1，若∠AFC ＝90°，则BC 的长度为( )A ．12B ．13C ．14D ．15（2） （3）（3）[2015·青岛]如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC 等于( )题后反思： 跟踪练习二1、如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝4，则CD ＝ . 29180x x -+=A.3,4,5 B.1,2,3 C.6,7,8 D.1,2,32、[2017·青岛]如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ， AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为( )第1题 第2题 第3题3、[2017·青岛]如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为 度．题后反思： 拓展延伸1、如图，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝3，AB ＝6，∠BCA ＝90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( ) A ．6 B ．32、（2018青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE=DF=2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．第1题 第2题题后反思：四、回顾反思通过今天的学习，你有什么收获？用你自己的话说说吧！五、课堂检测1、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为 __________2、如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A. 4B. 23C. 4.5D. 53321221A. B. C. D.22773.D 32.C第1题第2题第3题第4题3、如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4、[2016·青岛] 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积cm.为3六、课后作业1．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 .2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为()3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线CA平分∠BCD，E，F 分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB 的最小值为.第1题第2题第3题。
等腰三角形与直角三角形 PPT课件 人教版
温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一 等腰三角形的性质 例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三 等边三角形的性质与判定 例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等 腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.
中考总复习之等腰三角形与直角三角形
中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。
它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。
一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。
（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。
例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。
2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。
3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。
二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。
3、直角三角形的两个锐角互余。
等腰三角形和直角三角形
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第四单元 三角形
第15讲 等腰三角形和直角三角形
1. 数学文化(2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
第1题图
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
2. (2019甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝________．
3. 数学文化(2018丽水)如图②，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三
角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则AB BC
的值是______．
第3题图
4. 下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形内容后，李老师布置了一道题：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求顶角的度数．
小王说：“顶角的度数应为60°”；小张说：“应该等于120°吧”．这时许多同学一起来议论……。
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等腰三角形、直角三角形重点：1、等腰三角形的性质和判定方法。
2、直角三角形的性质与判定，锐角三角函数及解直角三角形。
难点：数学思想的渗透及知识的综合运用能力的提升。
考点一：等腰三角形 1．性质（1）⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩两腰相等两底角相等（等边对等角）等腰三角形三线合一轴对称图形（2）等边三角形 → 三边相等，三角相等，有三条对称轴 2.判定⎫⇒⎬⎭两边相等的三角形等腰三角形两角相等的三角形 ⎫⎪⇒⎬⎪︒⎭三边相等的三角形三角相等的三角形等边三角形有一个角是60的等腰三角形例1：如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F.求证:BP=2PF【随堂练习】1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B ．50° C ．40°D ．20°2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．193.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94.如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上， 且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30°PF ED CA第4题5.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边 形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180° B ．220° C ．240° D ．3006.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）A 、70°B 、55°或70°C 、40°或70°D 、40°7.等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．9.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是△ABC 的角平分线，延长AC 到E ，使得CE=CD ． 求证：AD=ED ．10. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ⑵选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形AEBCO D第5题11.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．12.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.⑴写出点O 到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.⑵若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的猜想.考点二：直角三角形 1．性质（1）R t △的两个锐角互余。
（2）勾股定理（3）R t △斜边上的中线等于斜边的一半（4）在R t △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立，即：在R t △中，若一直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°） 2．判定（1）定义：有一个角是90°的三角形是直角三角形。
（2）两个锐角互余的三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理（4）若一个三角中，一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
3．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义在Rt △中，①一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦. (sin ∠ )②一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦. (cos ∠ ) ③一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切. (tan ∠ ) （2）同角三角函数的性质：①22sin cos 1A A +=；②sin tan cos AA A= （3）特殊角三角函数值（4）仰角、俯角、坡度注意：坡度不是角度。
(5)解直角三角形⑴在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
⑵直角三角形中的重要关系①三边关系： ②两个锐角之间的关系： ③边角之间的关系：注意：⑴在解直角三角形的已知元素中至少有一个是边。
⑵解直角三角形只有两种情况：①已知两边 ②已知一边一锐角 ⑶解直角三角形遵循：“有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。
”仰角俯角 htan h i lα==坡度例2：某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角31α=︒，观测渔船N在俯角45β=︒，已知NM 所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度1:0.25i=.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为1:1.5i=，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60,sin310.52︒≈︒≈）Array24题图【随堂练习】1.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．13.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）A ．13B ．12C ．22D ．34.如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 上的一点，则tan APB ∠的值是（ ） A ．1 B ．22 C ．33D ．35.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010D ．255第2题 第3题 第4题 第5题6.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A.(63)+米 B.12米 C.(423)+米 D ．10米CB A9.如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）布置作业1、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合C.等腰三角形是轴对称图形D.等腰三角形三边上的高相等2、作出一个等边三角形的所有的角平分线、中线和高，共计有（）．A．9条线段B．6条线段C．3条线段D．以上都不对3、下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是（）A.①②③B.①②④C. ②③④D. ①②③④4、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，C D⊥AB，AB＝a，则DB＝（）A.12a B.13a C.14a D.18a5、若等腰三角形的一个角为80°，则另外两个角的度数分别为；若等腰三角形的一个角为110°，则则另外两个角的度数分别为 .6、若等腰三角形的两个外角的比为1:4，则它的顶角的度数为( )A.40°B.120°C.140°D. 40°或140°7、如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE.①求证：△ABC≌△DEF. ②求证：GF＝GC.8、图所示，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE 交BC于点P．（1）求证：PE=PD，（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长．。