直线上独立随机环境中的随机游动[1]

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一类随机环境中的随机游动

粉 ∑
一
（２）
这里由过程的定义可知当ｚａ时，辛（）０Ｐ（）ｌ当ｚ三ｂ，ｊｚ：ｌＰｚ一，・ｚ一；三时Ｐ＝（），
Ｐｔｚ）＝０］（．
ｌ
返性准则和一些极限性质．
关键词随机环境；随机蝣动；常返性；首中时
中图分类号
Ｏ２１６１．２
文献标识码
Ａ
Ｘ■
一
ｔ
随机环境中的随机过程是概率论的一个新的分枝，机环境中的随机游动（记为随简
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第３期
柳向东等：类随机环境中的随机游动一
・９２９・
（若∑ 。一．。且∑ ，… ｉ）（。）一。， … 一＜。，ｉ… Ｘ一。ａ．。。则ｌａｒ．ｃ．ｅ（）ｉ若∑二（ … ）一ｏ，ｊ．．。且∑二一。，一ｏ一ｌｎ—Ｘ＜ｌ一 … 。则。ｉｆ，．ｉｍ｛Ｉｎ
与Ｓｌｎ一致的结果．ｏｏｍｏ
定义ｌ设｛，，．， ∈ ｚ）为概率空间（，（。）），，０，Ｐ）卜的一列随机向量，中（，其／）｝
独立同分布，ｅ一｛，，．， ∈ ｚ）定义在ｚ上的．足ｒ记（。）），满列条件为ＲＩＷＲＥ：
（ｉｉ）如果Ｅｏａ＞０则ｌ … 。一一 ∞ Ⅱ ｅｉｌｇ，ｉａｒ．．

[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走_OK

16
2.二项分布
根据乘法原理，A 要在 n 次试验中恰好发生 k 次，由三个步骤组成：哪 k 次试验 → A 发生 k 次 → A 不发生 n – k 次
因此，当P (A 发生) = p， P (A 不发生) = q = 1 – p ，每次试验的结果要么 A 发生，要么 A 不发生。独立重复进行 n 次试验，其中 A 恰好发生 k 次的概率是：
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
5
例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相
互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不
独立。
6
例若试验E1是掷一枚硬币，=1 {正,反} ，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中摸出一球，=2 {红,白,黑}，则复合试验E 表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样
建议： 1. 用r:s来分配 2.用最终甲乙取胜的概率P甲：P乙来分配
25
分析：
• 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 • 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 • 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q • 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数k<m
局，即A的第n次成功发生在第n+k次(k<m)试验
例：布朗运动的近似股票价格涨落和汇率变化
29
无限制随机游动模型：
sn 为质点在ｔ＝ｎ时刻的位置
{sn k}
表示ｔ＝ｎ质点位于Ｋ，即其向右移动的次数比向左移动多了K次
Ｘ为前ｎ次移动中向右移动的次数Ｙ为前ｎ次移动中向左移动的次数
ｘ＋ｙ＝ｎＸ－ｙ＝ｋ
Ｘ＝（ｎ＋ｋ）／２（整数）
即ｋ与ｎ必具有相同的奇偶性
C p q k
k nm1k
nm1
k n

第7章 Brown运动

定义：设函数f(t)在，上有定义上有定义，定义设函数在[0，T]上有定义，在[0，T]上定义一个，上定义一个剖分Π
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下，设s<t，在给定，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度的条件密度函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动运动
第一节基本概念与性质
一、直线上的随机游动设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间，设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等概率地向左或向右移动△ 的距离的距离。表示时刻t粒子的概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻粒子的表示时刻位置，则位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布维正态分布。由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从维正态分布。

直线上独立随机环境中的随机游动

线上的ＲＷＩＥ则假定环境是随机变化，有 ∈ｚＲ即
得本引理．
（全体整数）处转移概率Ｐ…＋是随机变化，为随。称机环境．Ｖ．Ｋｏｌｖ在文献［］中首先提出Ｍ．ｚｏ１ＲＷＩＲＥ，后Ｓｌｍｎ在文献［］其ｏｏ２中研究环境是独
Ｓ ” 一ｌｇｏｐ
主要结果如下：定理１设｛为独立随机变量序列，ａ）
（）１（）２
Ｐ（Ｘ卅ｌ — ０Ｘ１ｉ，，一一ｉｌＸ — ＩＸ０，一１ … Ｘ１，一
ｆＪ一十ｌｌ
—
引理１若对几乎所有的环境， ≥ ０在此Ｘ，环境下某一性质成立，直线上ＲＷＩＥ几乎必然则Ｒ
具有此性质．
证
完全类似文献［］２中定理０１的证明可证．
点处确定一个环境，质点按确定的环境作运动，而直
文章编号：２３９８（０２０ — ５９００５ — ８８２０）５０３ — ５
直线上独立随机环境中的随机游动
毛明志，胡亦钧
（汉大学数学与统计学院，北武汉４０７）武湖３０２
摘
要：主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性，进一步研究常返性中的正常返和零常返，并非
的，际上有实

一类随机环境中的随机游动

Ｏ１
ｙｌ０
０
Ｏｒ１ｙ２
…
０口２
ｙ
口
记状态空间为（，，中Ｖ—Ｚ，上分布记为Ｐ，Ｐ—ＰＰ为（Ｖ量）其其：则ｏ：ｎ×ＶＯｘｍ＿８分布．，）Ｌｆ
／０上的推移０义为（）一∞ ．｛）定钆抖
同［］１可证这类ＲｗＩＲＥ是存在的，ｆｐ＝假设ｉ．￣ｌ
，
［收稿日期］２０ —９１０５０ —２［基金项目］安徽省高校青年教师资助计划项目（ｏ７１６）２ｏｊ１２ｑ
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第２期
（Ａ）Ｐ平稳遍历；
定义在Ｚ＝｛，，，上的Ｒ０１２ …）ＷＲＥ是
Ｐ（一０一１），
ＰＸ＋一ｌ＝０Ｘ１１ … ，１１Ｘ一ｉ∞ （１Ｘ０，一ｉ，Ｘ一一ｉ，，）一
ｆ ∞，
Ｉ
— １＋，
Ｉ，一ｉ１－，
给出非常返、常返、常返的充要条件，正零并讨论了极限性质．为推论，出Ｐ独立同分布时的相应结论．作给１键词］随机环境；机游动；［关随常返性；常返；稳；历非平遍［图分类号］Ｏ１．２中２１６［文献标识码］Ａ［章编号］１７ —４４２０）２００ —５文６２１５（０７０ —１８０
由遍历性，（＜。）．以ｌｕＸ＜。Ｐ—ａｓ由假设（）Ｐ（一１一０所以ＸＰＮ。。一１所ｉｓｐ。，ａｒ．．Ａ３，），常返．

半直线上时间随机环境中随机游动的渐近性质

２０年５月０ｒ７
半直线上时间随机环境中随机游动的渐近性质
胡学平
（安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽省安庆２６１）４０１
摘要：给出了半直线上时间随机环境下随机游动的模型，并利用马氏链理论研究了该随机游动的常返暂留准则和依概率收敛的大数定律，得到在非常返情形下的中心极限定理．关键词：随机环境；随机游动；常返；大数定律；中心极限定理中图分类号：０１．２２１６文献标识码：文章编号：６１４９２０）３０３－Ａ１７－８（０７０－３９０５５
ｔｅｒｈｎｈｇｔｉｅ，ｔｅｈｔｄｅｂｕｅｕｌｎｅｔｎｉｎｅｃｔｒａａｄｌｔｔｅｒｍｙｕｉｇｓｍｅｒｌｔｅｉｌｈｎｔｅｓｕｉｓａｏｔｒｃｒｃ — ａｓｅｃｒｅｎｉｈｏｅｂｓｎｏｅａｉ￣ｒｉｉｍｉｖｈｏｉｆＭａｋｖｃａｎ，ｔｅｒｓｏｒｏｈｉｓａｄｆａｌｅｔｒｌｔｅｒｍｆｉａｄｍａｋｎｔｅｎｎｒｃｒｅｃａｅｅｎｎｌａｃｎｅｍｉｔｏｅｏｓｒｏｗｌｓｉｏ — ｕｒｎｅｃｓ．ｉｙｉｈｈｔｎｈｅ
ＡｓｍｐｏｉｏｅｔｅｏｎｄｍａｋｎＴｉｅｒｎｏｙｔｔｃＰｒｐｒｉｓｆｒＲａｏＷｌｓｉｍ－ａｄｍＥｎｉｏｍｅｔｎｔｅＲｉｈｔＬｉｅｖｒｎｎｓｏｈｇｎ

随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明

，
能的跳幅，给出（，）Ｑ上的一列随机变量（），ＰＡ且满足 ∑ Ｐｗ＝１－．，），ａ．ｅ及椭圆条件
￡＞０Ｖ， ∈Ａ ≠０（ｚｐ）￡ —．．，，Ｐ／Ｒ，ａ．ｅ
收稿日期：０８０ —５修订日：０９１ —９２０ —５１；期２０２２
让７Ｍ，是Ｍ关于（，Ｔ的最大的Ｌａｏｎｖ指数．在Ｌ中考虑Ｌ（Ｔ）Ｑ，，）ｉｐｕｏ范数，
即ｌｌＣ：｛１ ∈Ｒ，ｉ）ＬＸ＞０和它与球面的交集：
种直觉来自于电网络中电压与概率的联系．我们先简要的介绍一下模型，文采用Ｂ６ｎ［中的记号．本ｒｍｏｔ］。给定可逆的动力系统（，，Ｑ）即概率空间（，和可逆变换，，Ｑ，）且及其逆都是可测的，且保持测度，假定关于是遍历的．这里的Ｑ可看为随机环境的空间．给出两个取定的整数Ｌ１和Ｒ１引入整数集合Ａ＝ｆ，，，们代表游动可， —Ｌ … Ｒ｝它
数学物理学报
２１，０２：９２６００８Ａ（２－９）８ｈｔ：ａｔｍｓｉａ．ｔ／ｃａ．ｐｃＧｐ／ｗｍ．ｎ
随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明
王士东洪文明
（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统实验室北京１０７）０８５
２０９
数
学物
理
学
报
Ｖ１０Ｏ３ｌ．Ａ

§2.3伯努利试验随机游动

虑带有反射壁及弹性壁的随机游动等类型.
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.

第四章随机过程

设状态空间为 S ，一步转移概率为 P ，初始分布为 p i = P( X 0 = i ), i ∈ S 的齐次
Markov 链 {X n , n ≥ 0}，令 Pij( n ) = P ( X n + m = j X m = i ) = P (X n = j X 0 = i ), n ≥ 2 ，表示
证：
5
Pij( n ) = P( X n = j X 0 = i ) = ∑ P(τ ij = l , X n = j X 0 = i )
l =1 n n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j τ ij = l , X 0 = i )
l =1 n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j X 0 = i, X 1 ≠ j , L X l −1 ≠ j , X l = j )
4.4 常返与瞬过
在事件 {X 0 = i}上引入一个重要的概率 f ij( n ) ，表示从 i 出发在 n 步转移时首次到达 j 的概率。用式子表示即是
f ij( 0) = 0, f ij( n ) = P( X n = j , X k ≠ j , k = 1, L n − 1 X 0 = i ) 。
i =1
(m) 定理 4.3.3 的一个直接推论是：若 Pji > 0 ，存在正整数 N 使得对所有的 ( m + nd ( i )) n > N 恒有 Pji > 0。
定理 4.3.4：设 P 为不可约、非周期、有限状态 Markov 链的一步转移概率矩阵，则存在正整数 N 使得当 n > N 时， n 步转移概率矩阵 P ( n ) 的所有元素都大于 0。

半直线上随机环境中随机游动的常返性和非常返性

＝
｛， ≥ １，的每个实现称为环境．ａ，｝它同［］以证明在给定的环境下的ＲＩＥ是存在的．１可ＷＲ固定一环境，时｛， ≥ ０是ｚ此Ｘ｝上的简单随
机游动，为齐次马氏链．
一
＝＝
０ｎ／
Ｘ， ≥ ０是：ｎＰ（ｘｎ＝０）＝１，
ａ，Ｊ＝ｉ＋１，
Ｐ（＋Ｘ１＝ＪＩＸｏ＝０ｘ１ｉ，，一，＝１… Ｘｎ１＝ｉ一，１Ｘｎ＝ｉａ， ∈ Ｚ）；
，
Ｊ＝ｉ一１ａｓ，．
０其它情况，其中ｉ，ｉ∈ Ｚｋ＝１ … ，一１０≤ ａ ≤ １ａ＋＝１称随机变量列｛， ≥ １为随机环境，ｅ，，，，，ａ，｝记
．
环境．ｏｍｏ文献［］中系统地讨论了全直线上的ＲＲＳｌｎ在ｏ１ＷＩＥ的性质，毕秋香在文献［］中讨论了半直线上２的ＲＲＷＩＥ的有关性质，文献［，］１２考虑的都是随机环境为独立同分布的情况，献［］虑的半直线上随机文３考环境是独立的情况．文则着重讨论一般环境下在０点上具有反射壁的右半直线上的ＲＩＥ的常返性和非本ＷＲ常返性，并将这一结果推广到随机环境是独立的和独立同分布的情形．定义１设ａ０＝１ａ， ≥ １，为概率空间（Ｆ，上的随机变量序列，＝｛，，，｝的ＲＲｎ，Ｐ）ｚ０１２ … 上ＷＩＥ

直线上时间随机环境中随机游动的基本性质

Ｊｒｎｏｅｔｔｒｎｄ０ｗａ ’ ｉ｝ｏｒｙ０ｎａ１ｍ ’ ■ ，ｌｋｎｔｍｅｒｎｄｍｎｖｒｎｍｅｔｎｔｉｉａｏｅｉｏｎｓ０ｈｅｌｎｅ
ＷＡＮＧｕｍｉｇ，ＳＮｈＷＡＮＧ —ｏｇＳ— ｎＨＥＺｉ，Ｈｅｓｎ
（．ｐｒｍｅｔｆｍｐｔｒａｄＩｆｒｔｎＳｉｎｅＣｉ１ＤｅａｔｎｏＣｏｕｅｎｎｏｍａｉｃｅｃ，ｔｏｙＣｏｌｇｆｎｇａｌｅｏＤｏｇｕｎＵｎｖｒｉｆｃｎｌｇ，ｎｇａ２０，ｉａｅｉｅｓｔｙｏＴｅｈｏｏｙＤｏｇｕｎ５３１６Ｃｈｎ；
２ＣｌｇｆｔｅｔｓｄｏｕｎｃｎｅＣａｇｈｎｖｒｉｆｃｅｃｎｅｈｏｏｙｈｎｓａ０６Ｃｉ）ｈｎｓａＵｉｅｓｙｏｉｅｄＴｃｎｌ，ａｇｈｌ７，ｈｎｅｏＭａｉＣｎｉｅｔＳｎａｇＣ４０ａ
人口模型的种族繁衍都必须考虑外在环境的影响．一般说来，环境的变化不是没有规律，而是遵循一定概
率分布的．因此，在随机游动中引入随机的环境因素十分必要．
一
维空问随机环境中随机游动（ＷＲ）ＲＥ的概念首先是由Ｋｚｏｏｌｖ和Ｓｌｍｅ出，随后众多学者对此ｏｏｎ提
讨论的是时间随机环境，该领域的研究成果详见文献【１】４４．及其参考文献．本文讨论了一类直线上时间随机环境中随机游动，详细研究了这类模型的基本性质，为进一步研究这个具体的模型的性质，如大数定律、
收稿日期：２０ —６１０７０ — １基金项目：国家自然科学基金（Ｏ７Ｏ２１７１２）教育部留学回国人员科研启动基金（ｏ５５４资助项目１４１１；７Ｏ１Ｏ和［ｏ１６）２

第三章布朗运动1

例1． SBM是正态过程．
证明设 {W(t),t≥0}是参数为1的Wiener过程. 则对任意的n≥1,以及任意的 0 t1 t2 tn {W(t1), W(t2), …, W(tn)}是n维随机变量由Wiener过程的定义知
W (t1 ), W (t2 ) W (t1 ), ,W (tn ) W (tn1 ) 相互独立 W (tk ) W (tk 1 )服从N (0， (tk tk 1 ))分布
ft2 t1 x2 t1 ) x1
N ( x1 , t2 t1 )
P(W (t2 ) x2 W (t1 ) x1 ) P(W (t2 ) x1 x2 x1 W (t1 ) x1 ) P(W (t2 ) W (t1 ) x2 x1 W (t1 ) x1 ) P(W (t2 ) W (t1 ) x2 x1 )
1, 如果步长为△x的第i步向右 Xi 1, 如果步长为△x的第i步向左
且Xi相互独立。
因为
1 P{ X i 1} P{ X i 1} 2 EX i 0,Var ( X i ) 1
2 E [ X ( t )] 0, Var ( X ( t )) ( x ) [t t ] 所以
1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式
布朗运动解释为随机游动的极限 W (t)表示质点在时刻t的位置，则W (t) 也表示质点直到t所作的位移，因此在时间(s, t)内，它所做的位移是W (t)-W (s),由于在时间(s, t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W (t)-W (s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻无关由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________.答案:识别问题2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的答案:正确3.接上题。

试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？答案:0.064.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。

他先去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时的泊松过程拟合。

由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷，每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷，根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。

小王要获得200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松过程的强度是______人/小时。

答案:1505.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。

答案:506.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=——————(用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。

答案:0.02887. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____.答案:8.平稳独立增量过程一定是平稳过程答案:错误9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程答案:正确10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】.答案:错误11.对离散时间随机过程【图片】定义【图片】,那么【图片】是关于该随机过程的停时答案:错误12.已知W是初值为0, 步长分布为【图片】的随机游动，那么以下错误的是答案:13.已知非负整数值随机变量X的概率母函数为【图片】那么【图片】______.(用小数表示)答案:0.514.若X，Y是独立同分布的随机变量服从参数为a的指数分布, 那么在X+Y=1的条件下X的分布是_____.答案:均匀分布15.【图片】(注意结果用小数表示)答案:0.0516.【图片】(注意：结果用小数表示)答案:0.517.已知X, Y是两个方差有限的随机变量，若以X的一个函数随机变量g(X)作为Y的一个近似，为了使得近似误差的均方最小，那么在几乎处处意义下g(X)=_____。

随机过程第5章

第五章离散参数Markov 链5.1 Markov 链的基本概念 1．Markov 链和转移概率矩阵定义5-1考虑只取有限个或可数个值的随机过程{},0,1,2,nX n = ．把过程所取可能值的全体称为它的状态空间，记之为E ，通常假{}0,1,2,E = ．若n X i =就说“过程在时刻n 处于状态i ”．若对任意状态011,,,(,n 0)n i i i i j -≥ 及任意的有11111001(|,,,,)(|)n n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+======== 这样的随机过程称为Markov 链．假设每当过程处于状态i ，则在下一个时刻将处于状态j 的概率是固定的ijp ，即对任意时刻n ，有1(|)n nijP X j X i p +===，称过程具有齐次性．称矩阵00010201011121012j j i i i ij p p p p p p p p P p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一步转移概率矩阵，简称为转移矩阵．由ijp 的定义可知，这是一种带有平稳转移概率的Markov 链，也称作时间齐次Markov 链或简称时齐次Markov 链．我们研究的均为齐次马氏链．2．例题例5-1（直线上的随机游动）考虑在直线上整数点上运动的粒子，当它处于位置j 时，向右转移到j+1的概率为p ，而向左移动到j-1的概率为q=p-1，又设时刻0时粒子处在原点，即00X =．于是粒子在时刻n 所处的位置{}n X 就是一个Markov 链，且具有转移概率,1,10,jk p k j p q k j =+⎧⎪==-⎨⎪⎩其他当12p q ==时，称为简单对称随机游动．例5-6（排队模型）考虑顾客到服务台排队等候服务，在每个服务周期中只要服务台前有顾客在等待，就要对排队在队前的一位顾客提供服务，若服务台前无顾客时就不实施服务．设在第n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量n Y ，且序列{}nY 是独立同分布随机序列，即(),0,1,2,,n k P Y k p k === 且01k k p ∞==∑设n X 为服务周期n 开始时服务台前顾客数，则有11,1,0n n n n n n X Y X X Y X +-+≥⎧=⎨=⎩若若此时{},1nXn ≥为一Markov 链，其转移概率矩阵为01234012340123012000p p p p p p p p p p P p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例5-8（生灭链）观察某种生物群体，以n X 表示在时刻n群体的数目，设为i 个数量单位，如在时刻n+1增生到i+1个数量单位的概率为i b ，减灭到i-1个数量单位的概率为i a ，保持不变的概率为1()i i i r a b =-+，则{},0nX n ≥为齐次马尔可夫链，{}0,1,2,E = ，其转移概率为,1,,1i ij i ib j i p r i ja j i =+⎧⎪==⎨⎪=-⎩ 0(0)a =,称此马尔可夫链为生灭链．3．定理5-1设随机过程{}nX 满足：（1）1(,)(1),n n n X f X n ξ-=≥其中:f E E E ⨯→，且n ξ取值在E 上；（2）{},1nn ξ≥为独立同分布随机变量，且0X 与{},1n n ξ≥也相互独立，则{}n X 是Markov 链，而且其一步转移概率为，对于任意,i j E ∈，1((,))ij p P f i j ξ==证明：设1n ≥，由上面(1)、(2)可知，1n ξ+与12,,,nX X X 互相独立，所以有1110011100111001(|,,,)((,)|,,,)((,)|,,,)((,))n n n n n n n n n n n n n n P X j X i X i X i P f X j X i X i X i P f i j X i X i X i P f i j ξξξ+--+--+--+================同理111001(|,,,)(|)n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i +--+=======即{}nX 是Markov 链，由时间齐次性，其一步转移概率为1((,))ij p P f i j ξ==于是定理5-1得证．4．定理5-2时齐次Markov 链{}nX 完全由其初始状态的概率分布0(),1,2,i p P X i i ===和其转移概率矩阵()ijP p =所确定．证明：对于任意12,,,n i i i E ∈ ，计算有限维联合分布，由概率的乘法公式及马氏性可知1001121001100111100111100111111001111(,,,)(,,,)(|,,,)(,,,)(|)(,,,)n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n i i i i i i i i i P X i X i X i P X i X i X i P X i X i X i X i P X i X i X i P X i X i P X i X i X i p p p p p ------------======================定理5-2得证． 5．例题例5-9（1）（二项过程的概念）设在每次试验中，事件A 发生的概率为(01)p p <<，独立地重复进行这项试验，以n Y 表示到第n 次为止事件A 发生的次数，则{},1,2,nY n = 是一个二项过程．说明：令n X 表示第n 次试验中事件A 发生的次数，则n X ~(0)1,(1),1,2,n n P X p P X p n ==-=== 且独立．（易知{},1nX n ≥为马氏过程）而1,1,2,n n Y X X n =++= 服从二项分布(,)B n p ，故称此{},1nY n ≥为二项过程．（2）二项过程具有独立平稳增量性．证明：易知增量1n l n n n l Y Y X X +++-=++ ，1121n l k n l n l n l k Y Y X X ++++++++++-=++ ，等等相互独立；且~(,),1,2,n m n Y Y B m p n +-= ，即具有平稳性．即{},1nY n ≥为一个独立平稳增量过程．（3）独立平稳增量过程为马氏过程．5.2 C-K 方程1．定理5-3 Chapman-Kolmogorov 方程对任何整数,0m n ≥，有()()()m n m n ijik kj k Epp p +∈=∑或()()()m n m n P P P +=⨯证明：这里只需要证明()(1)n n P PP -=成立，再依次递推即可证明本定理．（？）因为()0100100101010(1)(|)(,|)(|)(|,)(|)(|)(n ij n n k n k n k n ik kj k P P X j X i P X j X k X i P X k X i P X j X i X k P X k X i P X j X k p p ∞=∞=∞=∞-====================∑∑∑∑由马氏性）根据矩阵的乘法规则，知()(1)n n P PP -=．定理得证．注：定义m 步转移概率()(|)m ijn m n pP X j X i +===，()m ijp 表示给定时刻n 时，过程处于状态i ，间隔m 步之后过程在时刻n+m 转移到了状态j 的条件概率．还约定(0)1iip =，(0)0ijp =，i j ≠以()n ijp 表示第i 行、第j 列的元素矩阵()n P =(()n ijp ),称为Markov 链的n 步转移概率矩阵．2．例题（两状态Markov 链）例5-10在重复独立贝努里（Bernoulli ）试验中，每次试验有两种状态{}0,1E =，设{}nX 表示第n 次试验中出现的结果，且有(1),(0)1,1,2,n n P X p P X q p n =====-=其中01p <<，则{},1nX n ≥显然是独立同分布随机序列，从而它是Markov 链．于是经过计算有00100111,p p q p p p ====所以，一步转移概率矩阵为q p P qp ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦而且有()n qp PP q p ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦5.3 Markov 链的状态分类 1．互通定义5-2称自状态i 可达状态j ，并记i j →，如果存在0n >，使()0n ijp >，称状态i 与j 互通（相同，互达），并记为i j ↔，如i j →且j i →2．定理5-4可达关系与互通关系都具有传递性，即如果i j →且j k →，则i k → 证：因为有i j →，j k →，所以存在1,1l m ≥≥，使()()0,0l m ij jk p p >>由C-K 方程()()()()()0l m l m l m ik is sk ij jk sp p p p p +=≥>∑这里1l m +≥，所以i k →成立．若将可达关系得证明正向进行，再反向进行，就可得出互通关系的传递性，证毕． 3．定义5-3 设{},1nXn ≥为齐次Markov 链，其状态空间为E 。

一类一般随机环境中单边二重随机游动的常返性

Ｇ
１２８．
[
４]COGBURN R．TheEr
i
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１９８４,
６６:
１０９
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５]COGBURN R．Ond
i
r
e
c
tc
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r
eandpe
r
i
如果c ＝０,则有
¥
αn
１
１
βn
El
n
n
→０且 ∑El
→０,
∑
ni
αn
n i＝１
βn
＝１
n
n
¥
由引理３可知 ∑
１
β１
１)可得
＝ ¥,结合定理１的(
n＝１ ρn
{
,
}是零常返的
Xn n ≥０
．
定理２设 {
Xn ,
n ≥ ０}是随机环境 e ＝
{(
αn ,
n ≥１}中的单边二重随机游动,如果
imP
ε
成立．
n
n
１≤i≤j≤n
c
ov(
ξi ,
ξj )≤
＋
∈ N ,对任意的 n ＞ N０ ,有
１
| ∑Eξi －c|＜ε
n i＝１

马尔科夫链例题整理

根据全概率公式有
u j u j 1 p u j 1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
u0 1, uc 0
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欲求
于是
ua
uj （p + q）u j pu j 1 qu j 1
先求
q u j u j 1 ( )(u j 1 u j ) p
设
q r p
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率向左 2 或向右移动一单位；（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
1 2 3 4 5
质点在1，5两点被“吸收”
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求一步转移概率。
p20 P( X n1 0 | X n 2) P( X n 1 Yn 0 | X n 2) P(Yn 1) 0 p21 P( X n1 1 | X n 2) P( X n 1 Yn 1 | X n 2)
p11 P( X n1 1 | X n 1) P( X n 1 Yn 1 | X n 1) P(Yn 1) p1
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率向左 2 或向右移动一单位；（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
1 2 3 4 5
质点在1，5两点被“吸收”
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的概率特性。
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例2 赌徒输光问题赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，求甲输光的概率。分析这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出发到达0状态先于到达c状态的概率。

独立渐进随机环境中随机行走

独立渐进随机环境中随机行走
毛明志;李家雄
【期刊名称】《武汉大学学报：理学版》
【年(卷),期】2005(51)3
【摘要】讨论了一类独立但不一定同分布随机环境中随机行走的常返性和非常返性,进而研究了常返性中的正常返,以及在它们基础上逃逸速度的极限性质,从而推广了Solmn的理论框架.
【总页数】6页(P277-282)
【关键词】随机环境;随机行走;大数定律;常返性;马尔可夫链
【作者】毛明志;李家雄
【作者单位】中国地质大学数理系;湖北工业大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211.62
【相关文献】
1.随机与非随机环境中的随机行走：第二版 [J], 胡光华
2.一类独立随机环境中单边二重随机游动的常返性 [J], 任敏;张培;李茹
3.半直线上的时间随机环境中可逗留的随机游动渐进性质 [J], 任敏;张光辉
4.一类右半直线上独立同分布随机环境中的随机游动 [J], 任敏
5.一类右半直线上依分布收敛的独立随机环境中的随机游动 [J], 任敏
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随机游动练习题

随机游动练习题随机游动是一种在随机变化下进行的路径模拟，常用于模拟随机过程、金融市场走势等。

本文将通过练习题的方式，帮助读者更好地理解和应用随机游动。

练习题一：假设有一只蚂蚁在一条直线上移动，起始位置为原点，每次移动单位距离的概率相等，向左概率为0.3，向右概率为0.7，请问这只蚂蚁走了100步后，最有可能所处的位置在哪里？解答：从题目中可以得知，蚂蚁向左移动的概率为0.3，向右移动的概率为0.7。

根据随机游动的定义，蚂蚁在一条直线上移动时，每次的移动是相互独立的，且具有相同的概率。

因此，可以将蚂蚁的移动看作是一个随机过程，且满足二项分布。

对于每一步移动，蚂蚁向左的概率为0.3，向右的概率为0.7。

设蚂蚁向左移动的步数为X，向右移动的步数为Y，根据二项分布，可得出以下关系：X ~ B(100, 0.3)Y ~ B(100, 0.7)根据二项分布的特性，期望值E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)，其中n为实验次数，p为成功概率。

同理，期望值E(Y) = np，方差Var(Y) = np(1-p)。

因此，蚂蚁所处位置的期望值E(X-Y) = E(X) - E(Y) = np - np = 0，方差Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) = np(1-p) + np(1-p) = 2np(1-p)。

代入题目给定的参数，可得到蚂蚁所处位置的期望值为0，方差为2*100*0.3*0.7 = 42。

练习题二：一只蚂蚁在一个无限大的二维网格上进行随机游动。

每次移动，蚂蚁以相等的概率向上、下、左、右四个方向移动一个单位距离。

假设蚂蚁从原点开始，连续移动1000步，请问蚂蚁最有可能到达的距离原点最远的位置是多远？解答：对于二维随机游动，蚂蚁在每个方向上的移动是相互独立的，且具有相同的概率。

因此，可以将蚂蚁的移动看作是一个二维随机过程。

设蚂蚁向上移动的步数为X，向下移动的步数为Y，向左移动的步数为Z，向右移动的步数为W。