直线上独立随机环境中的随机游动[1]
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[2 ] Solomon F. Random Walks in a Random Environments [J ] . Ann Prob ,1975 ,3 :1231.
[ 3 ] Chung KL. Markov Chains with Stationary Transition Proba2 bilities [M] . Berlin :Springer ,1960.
{ Xn}是 :
P ( X0 = 0) = 1
P( Xn + 1 = j| X0 = 0 , X1 = i1 , …, Xn - 1 = in - 1 , Xn
αi j = i + 1
= i ,αn , n ∈Z =
β i
j
=
i
-
1
a. e.
0 其他情形
其中
ik
∈Z , k
=1
,
…, n
-
1
543
lim Xn = lim n a. e.
n →∞ n
n →∞ Tn
(ii)
若
lim
n →∞
Xn
=
-
∞a. e. 且 lim Tn 存在 ,则
n →∞ n
lim
n →∞
Xn n
=-
lim
n →∞
n Tn
a. e.
证明参见文献[ 2 ]p7 28.
定理 3 的证明
(i)
lim
n →∞
Xn
=
∞ a. e. 对任意的
Abstract : We mostly consider the recurrence and nonrecurrence of random walks in a independent but not need identically distributed random environment on the line. Then further study positive recurrence and null recurrence in the recurrence ;the law of large numbers in the nonrecurrence. So we extend the frame solomn has studied.
n →∞Tn
lim Xn n →∞ n
= lim E ( A1 ) n →∞
+
1 E( A2) +
n
…+
E( An)
a. e.
(ii) 类似可证 1
推论 5 的证明来自推论 2 和定理 31
致谢 :作者衷心感谢审稿人所提出富有价值的 修改意见 1
参考文献 :
[1 ] Kozlov M V. Random Walk in a One Dimensional Random Medium[J ] . Theory Prob Appl ,1973 ,18 :3872388.
n , E (τ2n )
=
E
(
A
2 n
)Байду номын сангаас
<
M
,由引理 7
lim [τ1
n →∞
+
…+
τ n
n
-
E (τ1 )
+
…+
n
E(τn )
]=0
a.
e.
进一步有
,
lim
n →∞
Tn n
=
lim
n →∞
E ( Tn ) a. e. 再由引理 8 , lim Xn = lim n a. e. ,从而
n
n →∞ n
,0
<
α i
<1
,αi
+
β i
=
1
,称
随机变量序列{αn } n ∈Z为随机环境 ,记 α= {αn } n ∈Z ,
每个现实为环境 1
同文 献 [ 2 ] 可 以 证 明 在 给 定 独 立 环 境 下 的 RWIRE 是存在的 ,此时 ,对每一个固定环境 α, Xn , n
≥0 就是 Z 上的一个马尔可夫链 1
[ 5 ] Chung KL. A Course in Probability Theory [ M] . New York : Horcourt Brace and World ,1968.
[6 ] Alili S. Asymptotic Behaviour for Random Walks in Random Environments [J ] . J Appl Prob ,1999 ,36 :3342349.
引理 1 若对几乎所有的环境 , Xn , n ≥0 在此 环境下某一性质成立 ,则直线上 RWIRE 几乎必然具 有此性质 1
证 完全类似文献 [ 2 ] 中定理 011 的证明可证 得本引理 1
1 常返性主要结果及证明
为了叙述主要结果 ,引进若干记号 :
Ξ 收稿日期 : 2002207205 通讯联系人 基金项目 :国家自然科学基金 (10071058) ; 国家教育部基金资助 作者简介 :毛明志 (19772) ,男 ,硕士生 ,现从事大偏差理论研究 1 E2mail :Mingzhi - Mao @sina. com
Random Walks in a Independent Environment on the Line
MAO Ming2zhi , HU Yi2jun
(School of Mathematics and Statistics ,Wuhan University ,Wuhan 430072 ,Hubei ,China)
直线上独立随机环境中的随机游动 Ξ
毛明志 , 胡亦钧
(武汉大学 数学与统计学院 ,湖北 武汉 430072)
摘 要 : 主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性 ,并进一步研究常返性中的正常返和零常返 ,非 常返性中的大数定律 ,从而推广了 Solomn 的研究框架 1
关 键 词 : 随机环境 ; 随机游动 ; 常返性 ; 正常返性 ; 强大数定律 ; 平衡分布 ; 马尔可夫链 中图分类号 : O 211162 文献标识码 :A
[4 ] Wang Rong2ming. Zero Recurrence of a Class of Random Walks in a Random Environments [J ] . Journal of East China Normal University ( Natural Science) ,1997 ,4 :9212 (Ch) .
Key words : random environment ; random walks ; recurrence ; positive recurrence ; the law of large numbers ; sta2 tionary distribution ; markov chain
540
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
541
542
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
0 引 言
随机环境中的随机过程是概率论的一个新分
支 ,随机环境中的随机游动 (简记 RWIRE) 是它的特
例 ,通常所研究直线上的随机游动是在直线上每点
处确定一个环境 ,质点按确定的环境作运动 ,而直线
上的 RWIRE 则假定环境是随机变化 ,即有 n ∈Z(全
体整数) 处转移概率 Pn , n + 1 是随机变化 ,称为随机环
境 1M. V. Kozlov 在文献[ 1 ]中首先提出 RWIRE ,其后
Solomn 在 文 献 [ 2 ] 中 研 究 环 境 是 独 立 同 分 布 的
RWIRE ,本文研究此环境是独立但不必同分布 1 定义 1 设 αn , n ∈Z 为概率空间 (Ω , F , P) 上
一列独立的随机变量序列 ,定义在 Z 上的 REIRE ,
第 48 卷 第 5 期 武汉大学学报 (理学版) 2002 年 10 月 J . Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. )
Vol148 No15 Oct. 2002 ,539～543
文章编号 :025329888 (2002) 0520539205
[ 3 ] Chung KL. Markov Chains with Stationary Transition Proba2 bilities [M] . Berlin :Springer ,1960.
{ Xn}是 :
P ( X0 = 0) = 1
P( Xn + 1 = j| X0 = 0 , X1 = i1 , …, Xn - 1 = in - 1 , Xn
αi j = i + 1
= i ,αn , n ∈Z =
β i
j
=
i
-
1
a. e.
0 其他情形
其中
ik
∈Z , k
=1
,
…, n
-
1
543
lim Xn = lim n a. e.
n →∞ n
n →∞ Tn
(ii)
若
lim
n →∞
Xn
=
-
∞a. e. 且 lim Tn 存在 ,则
n →∞ n
lim
n →∞
Xn n
=-
lim
n →∞
n Tn
a. e.
证明参见文献[ 2 ]p7 28.
定理 3 的证明
(i)
lim
n →∞
Xn
=
∞ a. e. 对任意的
Abstract : We mostly consider the recurrence and nonrecurrence of random walks in a independent but not need identically distributed random environment on the line. Then further study positive recurrence and null recurrence in the recurrence ;the law of large numbers in the nonrecurrence. So we extend the frame solomn has studied.
n →∞Tn
lim Xn n →∞ n
= lim E ( A1 ) n →∞
+
1 E( A2) +
n
…+
E( An)
a. e.
(ii) 类似可证 1
推论 5 的证明来自推论 2 和定理 31
致谢 :作者衷心感谢审稿人所提出富有价值的 修改意见 1
参考文献 :
[1 ] Kozlov M V. Random Walk in a One Dimensional Random Medium[J ] . Theory Prob Appl ,1973 ,18 :3872388.
n , E (τ2n )
=
E
(
A
2 n
)Байду номын сангаас
<
M
,由引理 7
lim [τ1
n →∞
+
…+
τ n
n
-
E (τ1 )
+
…+
n
E(τn )
]=0
a.
e.
进一步有
,
lim
n →∞
Tn n
=
lim
n →∞
E ( Tn ) a. e. 再由引理 8 , lim Xn = lim n a. e. ,从而
n
n →∞ n
,0
<
α i
<1
,αi
+
β i
=
1
,称
随机变量序列{αn } n ∈Z为随机环境 ,记 α= {αn } n ∈Z ,
每个现实为环境 1
同文 献 [ 2 ] 可 以 证 明 在 给 定 独 立 环 境 下 的 RWIRE 是存在的 ,此时 ,对每一个固定环境 α, Xn , n
≥0 就是 Z 上的一个马尔可夫链 1
[ 5 ] Chung KL. A Course in Probability Theory [ M] . New York : Horcourt Brace and World ,1968.
[6 ] Alili S. Asymptotic Behaviour for Random Walks in Random Environments [J ] . J Appl Prob ,1999 ,36 :3342349.
引理 1 若对几乎所有的环境 , Xn , n ≥0 在此 环境下某一性质成立 ,则直线上 RWIRE 几乎必然具 有此性质 1
证 完全类似文献 [ 2 ] 中定理 011 的证明可证 得本引理 1
1 常返性主要结果及证明
为了叙述主要结果 ,引进若干记号 :
Ξ 收稿日期 : 2002207205 通讯联系人 基金项目 :国家自然科学基金 (10071058) ; 国家教育部基金资助 作者简介 :毛明志 (19772) ,男 ,硕士生 ,现从事大偏差理论研究 1 E2mail :Mingzhi - Mao @sina. com
Random Walks in a Independent Environment on the Line
MAO Ming2zhi , HU Yi2jun
(School of Mathematics and Statistics ,Wuhan University ,Wuhan 430072 ,Hubei ,China)
直线上独立随机环境中的随机游动 Ξ
毛明志 , 胡亦钧
(武汉大学 数学与统计学院 ,湖北 武汉 430072)
摘 要 : 主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性 ,并进一步研究常返性中的正常返和零常返 ,非 常返性中的大数定律 ,从而推广了 Solomn 的研究框架 1
关 键 词 : 随机环境 ; 随机游动 ; 常返性 ; 正常返性 ; 强大数定律 ; 平衡分布 ; 马尔可夫链 中图分类号 : O 211162 文献标识码 :A
[4 ] Wang Rong2ming. Zero Recurrence of a Class of Random Walks in a Random Environments [J ] . Journal of East China Normal University ( Natural Science) ,1997 ,4 :9212 (Ch) .
Key words : random environment ; random walks ; recurrence ; positive recurrence ; the law of large numbers ; sta2 tionary distribution ; markov chain
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武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
541
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武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
0 引 言
随机环境中的随机过程是概率论的一个新分
支 ,随机环境中的随机游动 (简记 RWIRE) 是它的特
例 ,通常所研究直线上的随机游动是在直线上每点
处确定一个环境 ,质点按确定的环境作运动 ,而直线
上的 RWIRE 则假定环境是随机变化 ,即有 n ∈Z(全
体整数) 处转移概率 Pn , n + 1 是随机变化 ,称为随机环
境 1M. V. Kozlov 在文献[ 1 ]中首先提出 RWIRE ,其后
Solomn 在 文 献 [ 2 ] 中 研 究 环 境 是 独 立 同 分 布 的
RWIRE ,本文研究此环境是独立但不必同分布 1 定义 1 设 αn , n ∈Z 为概率空间 (Ω , F , P) 上
一列独立的随机变量序列 ,定义在 Z 上的 REIRE ,
第 48 卷 第 5 期 武汉大学学报 (理学版) 2002 年 10 月 J . Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. )
Vol148 No15 Oct. 2002 ,539～543
文章编号 :025329888 (2002) 0520539205