2021学年高中数学第一章预备知识3不等式1.3.2基本不等式导学案北师大版必修一.doc
高中数学第1章预备知识3不等式3.2第2课时基本不等式的综合应用学案含解析北师大版第一册
第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!；（2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。
上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？（2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．a C．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是()A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1C［∵x＞0，∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。
当且仅当3x＝错误!，且x＞0,即x＝33时，等号成立．］3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离，∴y1＋y2＝错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x<32时，求函数y＝x＋错误!的最大值．[解]y＝错误!（2x－3)＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∵当x〈错误!时，3－2x>0，∴3－2x2＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即x＝－错误!时取等号．于是y≤－4＋错误!＝－错误!，故函数有最大值－错误!。
新教材高中数学第一章预备知识3不等式2基本不等式的应用同步课件北师大版必修第一册
3x8有3最x 大值4.
答案:4
4.已知x>0,y>0,且 1 9 =1,则x+y的最小值为
.
xy
【解析】因为x>0,y>0,1 9 =1,
xy
所以x+y=( 1 9 ()x+y)= y +9 x10≥6+10=16,
xy
xy
当且仅当 y = 9,即x x=4,y=12时,上式取等号.
x
3 时,取等号.
2
答案: 8
3
角度2 消元法
【典例】已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为
.
【思路导引】先把2a+b=ab-1变形为用b表示a的形式,再把a+2b中的a消去,配凑
成能利用基本不等式求解的式子.
【解题策略】 1.常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为: (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值.
B.4
C. 9
D.5
2
2
2.(2020·天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,则 1 1 8 的最小值为
2a 2b ab
.
【补偿训练】
若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是 ( )
A . 2 B .22 C . 3 D .23 3333
【解析】选B.对于x2+3xy-1=0可得y1=( 1 x ),
北师版高中数学必修第一册精品课件 第1章 预备知识 3.2 第1课时 基本不等式
腰直角三角形的面积与矩形的面积,你能
发现一个不等式吗?
提示: · ≤
即 ≤
+
.
(
)
+ (
2
)2,
2.基本不等式
(1)如果
+
a≥0,b≥0,那么
≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
+
这个不等式称为基本不等式,其中, 称为
当且仅当 x= ,即 x=1 时,“=”成立,这时 y≥2.
当 x<0 时,x+=- - + ≤-2 -· =-2,
-
-
当且仅当-x= ,即 x=-1 时,“=”成立.
-
这时 y≤-2.
故函数值 y 的取值范围为{y|y≥2 或 y≤-2}.
由于 y=x+ 中x的取值范围为x>0或x<0,故要对x的符号加以
这时只需 x 与 y 同号即可,故③错误.综上②正确.
答案:②
+
对于基本不等式
≥ 的理解要抓住以下两个方面:
(1)不等式成立的条件是 a,b 都是非负实数.
(2)当且仅当 a=b 时, ≤
+
的等号成立.
忽视基本不等式成立的条件致误
【典例】 求函数 y=x+的函数值
讨论,而不能直接用基本不等式.
错解 ∵x+≥2 ·=2,
y 的取值范围.
∴函数值y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
新教材高中数学第一章预备知识3不等式 基本不等式第1课时基本不等式素养作业北师大版必修第一册
第一章 §3 3.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a ＜0,则a ＋4a≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错；a ＝4,b ＝16,则ab ＜a ＋b2,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( B ) A ．x ≥2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x ＞2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x ＜2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x －2y ＞0,即x ＞2y ,且等号成立时(x －2y )2＝1,即x －2y ＝1,故选B ．3．已知正数a ,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210,等号在a ＝b ＝10时成立,故选D ． 4．已知0＜x ＜1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(3－3x )22＝13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时取等号．5．设0＜a ＜b ,且a ＋b ＝1,在下列四个数中最大的是( B )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,∴ab ＜14,∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0,a ＋b ＝1,∴a 2＋b 22＞12,∴a 2＋b 2＞12． ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0,∴b ＞a 2＋b 2,∴b 最大． 6．已知a ＞0,b ＞0,A ＝a ＋b2,B ＝ab ,C ＝2aba ＋b,则A ,B ,C 的大小关系为( D ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知,A ≥B ,2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ,所以B ≥C ,当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a ＜1,则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__． [解析] 因为a ＜1,即a －1＜0, 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a,即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1．8．设x ＞0,则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为．[解析] 由x ＞0,可得x ＋1＞1．令t ＝x ＋1(t ＞1),则x ＝t －1,则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t－1≥2t ·3t－1＝23－1,当且仅当t ＝3,即x ＝3－1时,等号成立．三、解答题9．当x 取什么值时,x 2＋1x2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2,当且仅当x 2＝1x2,即x ＝±1时等号成立．∴x ＝1或－1时,x 2＋1x2取得最小值,最小值为2．10．已知x ,y 都是正数,且x ≠y ,求证：(1)x y ＋y x＞2； (2)2xyx ＋y＜xy ． [证明] (1)∵x ＞0,y ＞0,∴x y ＞0,y x＞0, ∴x y ＋y x ≥2x y ·y x ＝2,∴x y ＋yx ≥2． 由于当且仅当x y ＝y x,即x ＝y 时取“＝”,但x ≠y ,因此不能取“＝”． ∴x y ＋y x＞2．(2)∵x ＞0,y ＞0,x ≠y ,∴x ＋y ＞2xy ,∴2xy x ＋y ＜1,∴2xy ·xyx ＋y ＜xy ,∴2xyx ＋y＜xy ． B 组·素养提升一、选择题1．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,当3x ＋4y 取得最小值时,x ＋2y 的值为( B ) A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ,x ＞0,y ＞0,∴15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y5x＝5, 当且仅当3x 5y ＝12y5x,即x ＝2y ＝1时取等号,∴当3x ＋4y 取得最小值时,x ＝2y ＝1,∴x ＋2y 的值为2,故选B ． 2．若正数x ,y 满足x 2＋3xy －1＝0,则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23 B ．223C ．33D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ．因为x ＞0,所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22时,等号成立)．故x ＋y 的最小值为223．3．(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a ＋b ＝2,则必有( ABC ) A ．ab ＜1 B ．1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22D ．a 2＋b 22＜ab[解析] ∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,a ≠b ,∴ab ＜1,又∵a 2＋b 22＞a ＋b2,a ＋b ＝2,∴a 2＋b 22＞1,∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x ＞0时,x ＋1x≥2B ．当x ＞2时,x ＋1x的最小值是2C ．当x ＜54时,y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x ＞0,y ＞0时,x y ＋y x≥2[解析] 在A 中,当x ＞0时,x ＞0,x ＋1x≥2,当且仅当x ＝1时取等号,结论成立；在B 中,当x ＞2时,x ＋1x≥2x ·1x＝2,当且仅当x ＝1时取等号,但x ＞2取不到1,因此x ＋1x 的最小值不是2,结论错误；在C 中,因为x ＜54,所以5－4x ＞0,则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时取等号,结论错误；显然D 正确,故选AD ．二、填空题5．当x ＞0时,若2x ＋ax(a ＞0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝__18__．[解析] ∵a ＞0,且2x ＋a x≥22x ·a x ＝22a ,当且仅当2x ＝a x ,即x ＝2a 2时,2x ＋a x取得最小值,∴2a2＝3,解得a ＝18．6．已知3a ＋2b ＝1,a ＞0,b ＞0,则2a ＋1b的最小值为．[解析] ∵3a ＋2b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab≥8＋212＝8＋43,当且仅当a ＝3－36,b ＝3－14时取到最小值．三、解答题7．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1．证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．[解析] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1,所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a＋a ≥2c ,故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． 又a ＋b ＋c ＝1,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．8．已知实数a ,b 满足a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2,且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立,求实数m 的最大值．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2, 令a ＋1＝p ,b ＋1＝q ,则p ＞1,q ＞1, ∴a ＝p －1,b ＝q －1,p ＋q ＝4, ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(p －1)2p＋(q －1)2q＝p ＋q －4＋1p ＋1q ＝4pq≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22＝1,∴m ≤1,所以实数m 的最大值为1．。
新教材高中数学第一章预备知识3不等式 不等式的性质课件北师大版必修第一册
【学法解读】 在相等关系与不等关系的学习中,学生通过类比学过的等式与不等式 的性质,进一步探索等式与不等式的共性与差异．
第1课时 集合的概念
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测较两个实数a,b大小的基本事实
文字语言 如果a－b是___正__数___,那么a＞b,反过来也成立 如果a－b等于0,那么a＝b,反过来也成立 如果a－b是________,那么a＜b,反过来也成立
[归纳提升] 作差法比较大小的步骤
作差
—
两个实数(或代数式)的大小，可以根据 它们的差的符号进行判断
变形
—
(1)进行因式分解转化为多个因式相乘 (2)通过配方转化为几个非负实数之和
判号 — 注意题目本身提供的字母的取值范围
定论 — 根据符号判断大小
【对点练习】❶ 当x≤1时,比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解析] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． 因为x≤1,所以x－1≤0, 而3x2＋1＞0． 所以(3x2＋1)(x－1)≤0, 所以3x3≤3x2－x＋1．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”,错的打“×”) (1)若a＞b,则ac2＞bc2． (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的． (3)设a,b∈R,且a＞b,则a3＞b3． ( ) (4)若a＋c＞b＋d,则a＞b,c＞d．
(×) (×)
√ (×)
[解析] (1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0 时，a＞ b ac2＞bc2．
[解析] (1)∵c＜d,∴－c＞－d, ∵a＞b, ∴a－c＞b－d． (2)∵c＜d＜0,∴－c＞－d＞0． ∵a＞b＞0, ∴－ac＞－bd,∴ac＜bd．
2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识3.2第2课时基本不等式与最大小值课件北师大版必修
2.若将例
2 满足的条件改为 + =1,其他不变,如何求
最小值?
解:∵x>0,y>0,且 + =1,
∴x+y=(x+y)·1=(x+y)· +
=3+4+ + ≥7+2 · =7+4√,
+
=
,
= + √,
· = .
= ,
=
时,等号成立]
故当 a=,b=时,y= + 取得最小值.
1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一
正、二定、三相等”的忽视.特别是多次使用基本不等式,要注
意等号成立的条件要一致.
2.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,
此时 y 取最小值 7.
答案:B
)
3.已知 0<x<1,则当 x(1-x)取最大值时,x 的值为(
A.
B.
C.
D.
解析:因为 0<x<1,所以 1-x>0,所以 x(1-x)≤
当且仅当 x=1-x,即 x= 时等号成立.
答案:B
+(-)
)
= ,
4.若实数 a,b 满足 + = √,则 ab 的最小值为(
当且仅当
即
时等号成立.
= + √
新教材高中数学第一章预备知识3不等式3-2基本不等式第1课时基本不等式课件北师大版必修第一册
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
名师点睛
1.基本不等式的条件是 a,b 都是非负实数,当且仅当 a=b 时,等号成立,即“a=b”
a+b
是“
2
= ab”的充要条件.
2.基本不等式的变形公式:①a+b≥2
1
立);②a+a ≥2(a∈R+)(当且仅当
a=1
a+b 2
(1)若 x+y=s(s 为定值),则当且仅当 x=y 时,xy
2
取得最大值 4 ;
(2)若 xy=p(p 为定值),则当且仅当 x=y 时,x+y 取得最小值 2 .
名师点睛
1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:
(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;
(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定
第一章
第1课时 基本不等式
课标要求
a+b
1.理解基本不等式
(a≥0,b≥0).
≥ ab
2
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
ab,ab≤( ) (当且仅当
2
时,等号成立);③
+
a=b 时,等号成
≥2(a,b
同号)(当且
仅当 a=b 时,等号成立).
3.由公式 a +b ≥2ab
1.3.2基本不等式说课稿 教案--2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册
3.2基本不等式一、教材分析本节课选自北师大2019版第一册第一章《预备知识》3.2节。
它是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
教材着重解决两个问题，一是推导出基本不等式，二是用基本不等式求最值。
本节内容由旧版教材的必修五部分提至到第一册的第一章充分强调了基本不等式在高中数学的基础作用，尤其在不等式的证明和求函数最值等方面尤为突出。
教材在本节课的设计上考虑到高一学生知识的有限性，与旧版教材相比内容上比较基础，重在强调基本不等式在证明和求最值中的重要性，为学生的后续学习打下坚实的基础。
下面我以本节课第一课时为例来阐述我对教材的理解和教学设计。
二、学情分析1、认知基础学生已掌握不等式的基本性质，这有助于本节课对基本不等式的探索。
2、能力分析学生通过高中一段时间的学习初步具备了一定的分析问题、解决问题的能力，同时对新知有强烈兴趣。
3、困难分析学生对本节课需要用到的分析法感到陌生，推导过程中蕴含的数学思想有待进一步培养。
三、教学目标分析结合上述分析，并根据新课程标准对学生学科素养的要求，我制定了如下教学目标。
1、通过折纸拼图的实际操作，从中发现、提出、概括重要的不等关系，发展学生数学建模素养。
2、通过阅读教材，反思得到基本不等式的方法，从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式。
3、初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推理素养，培养发现问题、提出问题的意识与能力。
四、重难点分析基于以上对教材的分析和新课程标准的要求，我制定了本节课的教学重难点。
重点：从实际生活情境或数学情境有意识地发现、提出不等关系，代数、几何角度证明基本不等式难点：运用基本不等式解决简单的证明问题，培养发现问题、提出问题的意识与能力。
五、教法学法分析教法：科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍。
根据本节课的特点并结合新课改的要求本节课采用引导探究式教学方法。
通过教学设计的各个环节逐步引导学生探究问题、解决问题。
2021高中数学第一章预备知识4套 导学案北师大版必修第一册
第一章 集合第1.1节 集合的概念与表示1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法．2.了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.3.了解有限集、无限集，空集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.1.集合的概念：2.集合与元素的关系3.集合中元素的特征4.常用数集的符号5.集合的表示方法例1：用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合 （2）方程x2-9=0的所有实数解组成的集合 例2：用描述法表示下列集合 （1）小于10的所有有理数组成集合A （2）所有奇数组成集合B（3）平面 a 内，到定点O 的距离等于定长r 的所有点组成集合C 【答案】 例1（1）A={4,5,6,7,8,9} （2）B={-3,3}例2（1） A={ x ∈Q |x<10} （2）B={x|x=2n-1, n ∈N } （3）C={ M ∈a| |MO|=r }【习题练习】用列举法把下列集合表示出来：①A =};99|{N N ∈-∈x x ②B =};|99{N N ∈∈-x x③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；⑤E ＝⋅∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x qpx 【答案】①由9－x ＞0可知，取x ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x ＝0，6，8时199=-x，3，9也是自然数，∴A ＝{0，6，8} ②由①知，B ＝{1，3，9}．③∵y ＝－x 2＋6≤6，而x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2符合题意． ∴C ＝{2，5，6}．④点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,5,1,6,0y x y x y x ∴D ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． ⑤由p ＋q ＝5，p ∈N ，q ∈N *得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0q p q p q p q p q p 又∵q px =，∴}4,23,32,41,0{=E1．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A 2．设x ∈N ，且x1∈N ，则x 的值可能是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．0或13．下面四个关系式：π∈{x |x 是正实数}，0.3∈Q ，0∈{0}，0∈N ，其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．集合{x ∈N |－1<x <211}的另一种表示方法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5} 5．集合M ＝{(x ，y )|xy <0，x ∈R ，y ∈R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．已知集合M ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．点P(1,3)和集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}之间的关系是____________．8．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为____________．9．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝____________．10．“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”．(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来．【答案】1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．P∈A8．{(0,3)，(1,2)，(2,1)} 9．{4,9,16}10．三女相会的日数，即为5,4,3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60,120,180}．第1节集合1.2集合的基本关系1.掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、 、 、=”等符号表示；2.掌握集合相等的含义；3.能使用Venn图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
2021北师大版(2019)高中数学必修一教案：：1.3.2 基本不等式含解析
第一章预备知识第三节不等式3.2基本不等式教学设计本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
一．教学目标：1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．借助基本不等式解决简单的最值问题，二. 核心素养1.数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”2. 逻辑推理：本节内容进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3. 数学运算：利用基本不等式求最值4. 直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；5. 数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
重点：应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2baab+≤的证明过程及应用。
PPT1.知识引入对于任意实数x和y，（x一y)2≥0总是成立的,即x2 -2xy+y2≥0,所以222x yxy+≥,当且仅当x=y时，等号成立若a≥0,b≥0,取,x a y b==,2a bab+≥当且仅当a=b时，等号成立这个不等式称为基本不等式，其中2a b+称为a,b的算术平均数，ab a,b的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。
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第一章 预备知识
第三章 不等式
3.2 基本不等式 导学案
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2． 借助基本不等式解决简单的最值问题，
1. 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值
2. 若a≥0,b≥0,取,x a y b ==，则：,2
a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立 这个不等式称为__________
3. 当x,y 均为正数时,下面的命题均成立：
（1） 若x+y = s （s 为定值）则当且仅当x=y 时,xy 取得
最大值________
（2） 若xy=p(p 为定值）则当且仅当x=y 时,x+y 取得最小值_____
1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ）
A ．≥（a ＞0，b ＞0）
B ．（a ＞0，b ＞0）
C ．≥（a ＞0，b ＞0）
D ．a 2+b 2
≥2ab （a ＞0，b ＞0）
2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）
A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3
3．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（）
A．B．C．D．
4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2]
1．下列命题中正确的是（）
A．若a，b∈R，则
B．若x＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x∈R，则
2．下列函数中，最小值是2的是（）
A．y＝B．y＝
C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0）
3．函数的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）
A．9 B．C．5 D．4
5．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（）
A．4 B．16 C．8 D．10
6．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A．B．C．D．
7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）
A．9 B．12 C．15 D．
8．已知正实数满足a+2b＝1，则+最小值为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；
（2）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．
10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．
（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；
（2）求广告牌的面积的最小值．
【答案】：
【实践研究】
1.【解析】解：由射影定理可知CD2＝DE•OD，即DE＝＝，
由DC≥DE得≥，
故选：A．
2．【解析】解：∵a，b＝R*，ab+2a+b＝4，
∴b（a+1）＝4﹣2a，
∴b＝＝﹣＝﹣＝﹣2+，
∴a+b＝a﹣2+＝a+1+﹣3
∵a＞0，b＞0，。