算术平方根与立方根小数点移动规律
11.《数的开方》题目类型
《数的开方》题目类型整理类型一：求平方根、算术平方根、立方根1．平方根等于它本身的数是．算术平方根等于它本身的数是．2．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是．3．设a是倒数等于本身的数，b是最大的负整数，c是平方根等于本身的数，则a+b+c=．4．144的平方根是．7的平方根是．25的算术平方根是．的算术平方根是6．5．若x2=256，则x=，若x3=﹣216，则x=．6．5的平方根是；的算术平方根是．7．4a2的算术平方根是．已知a＜0，则化简=．8．﹣8的立方根是；0.216的立方根是9．的平方根是，﹣的立方根是．10．已知（1﹣）2=3﹣2，那么3﹣2的算术平方根是．11．计算：=．=．12．已知x=，则x3+12x的算术平方根是．类型二：根据平方根与立方根求原数（或字母的值）【例题】1．已知x=是M的立方根，是x的相反数，且M=3a﹣7，那么x的平方根是．2．已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．3．已知一个正数的平方根为2a﹣1和﹣a+2，求这个正数．4．若一个数的算数平方根是2m﹣6，平方根为和±(m-2)，求这个数．类型三：算数平方根的非负性1．要使有意义，x的取值范围是2．要使式子有意义，则x可以取的最小整数是．3．若x、y都是实数，且y=++8，求x+3y的立方根．4．若实数x，y满足y=+4，则x﹣y=．5．若实数x，y满足y=++4，则x=，y=．6．若y=++，则（x﹣y）2016的值是．7．当+1取最小值时，x=．8．已知|a+|++（c﹣2）2=0，则a bc的值为．9．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是．10．已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=．类型四：利用平方根与立方根解方程基础题：若x2=256，则x=，若x3=﹣216，则x=．【例题1】解方程：（1）9x2=121；（2）9x2﹣121=0；（3）4(x-3)2=121．（4）(3x+1)2﹣169=0．【例题2】解方程：（1）-x3=121；（2）(2x+7)2-215=1；（3）64(x+1)2=125．（4）8(x-1)3+27=0．类型五：开平方与开立方的运算规律1.100= ，10000= ，1000000= 。
2018年七年级数学下册 春季课程 第三讲 平方根与立方根的认识试题(无答案)(新版)新人教版
第三讲平方根与立方根的认识一、知识梳理：要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.3.立方根的定义（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.（2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点二：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三：平方根及立方根的性质平方根的性质：立方根的性质：要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.二、课堂精讲：【典型例题】类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念例1：（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．（2）、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【随堂演练1】【变式1】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.【变式2】下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数【变式3】下列说法正确的是（）A．﹣4的立方是64 B．0.1的立方根是0.001 C． 4的算术平方根是16 D．9的平方根是±3例2：为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)．【随堂演练2】【变式1】已知，求的算术平方根．类型二、平方根及立方根的运算例3：求下列各式的值．（1）； (2)．（3）（4）（5）（6）（7）【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【随堂演练3】【变式1】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.类型三、利用平方根或立方根解方程例4：求下列各式中的.（1）（2）；（3）（4）（x﹣2）3=﹣125．【随堂演练4】【变式1】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【变式2】求下列等式中的：（1）若，则＝______；（2），则＝______；（3）若则＝______；（4）若，则＝______．类型四、平方根与立方根的综合应用例5：已知、是实数，且，解关于的方程．【随堂演练5】【变式1】若，求的值．例6：（1）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.（2）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【随堂演练6】【变式1】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【变式2】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)三、课后作业：【平方根——巩固练习A组】一.选择题1．下列说法中正确的有（）．①只有正数才有平方根．②是4的平方根．③的平方根是．④的算术平方根是．⑤的平方根是．⑥．A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（）A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜53. 试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.是6的平方根D.－没有平方根4. 能使－3的平方根有意义的值是（）A. ＞0B. ＞3C. ≥0D. ≥35.若=a，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±16. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（）A.0B.1C.－1D.－2011二.填空题7. 若，则＝__________.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为________.9. 下列各数：81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.10．（1）的平方根是________；（2）的平方根是________，算术平方根是________；（3）的平方根是________，算术平方根是________；（4）的平方根是________，算术平方根是________．11．已知，求a﹣b= ．12. 若，则____________.三.解答题13．为何值时，下列各式有意义？（2）（3）（4）14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，求x+y+z值的平方根．15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简【立方根——巩固练习B组】一.选择题1．下列结论正确的是（）A．的立方根是B．没有立方根C．有理数一定有立方根D．的立方根是－12．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）A．－＝B．－＝C．＝D．＝3.下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A．1 B．2 C．3 D．44.是的平方根，是64的立方根，则＝（）A. 3B. 7C.3，7D. 1，75.的立方根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±16. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二.填空题7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．8．－8的立方根与的平方根的和是______．9．若则与的关系是______．10．计算= ．11. 如果那么的值是______．12.若，则____________.三.解答题13.若和互为相反数，求的值.14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根．15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．。
平方根、立方根
B. a 是 S 的算术平方根 D. S＝ a ） C. BC D. CD A B C D
2.5 3.6 4.7 5.8
*3. 如图，数轴上有 O、A、B、C、D 五点，根据图中各点所表示的数，判断 18在数轴
*4. 下列说法中，不正确的是（ A. －2 是 4 的一个平方根 B.
3
）
8是 8 的立方根
n n
－a一定无意义 －a一定有意义
n
C. 若 n 为偶数，则 －a一定无意义 D. 若 n 为奇数，则 －a一定有意义 二、填空题 *7. 若 x2＝64，则 3 x＝__________。 *8. 已知：一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是__________。 *9. 若 x2＝（－2）2，则 x＝__________；若 x3＝－23，则 x＝__________。 **10. 借助计算器计算： 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝ __________，…请你观察上面几道题的结果，试猜想： 444…4 ＋333…3 ＝__________。
二、重、难点提示
重点：求一个数的算术平方根、平方根、立方根； 难点：算术平方根、平方根、立方根的性质及应用。
一、知识列表
定义 算术平 方根 如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x ＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 如果一个数的平方等于 a， 那么 平方根 这个数叫做 a 的平方根（或二 次方根） ，即如果 x ＝a，那么 x 叫做 a 的平方根。 如果一个数的立方等于 a， 那么 立方根 这个数叫做 a 的立方根或三次 方根，这就是说，如果 x3＝a， 那么 x 叫做 a 的立方根。
立方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a =3a =特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．如果21x -的平方根是3±，x y +是18的立方根，那么34x y +的值是多少？【答案】﹣3【分析】根据题意求出x ，y 的值，再代入所求代数式求解即可． 解：∵21x -的平方根是3±，∵21x -＝9， 解得x ＝5，∵x y +是18的立方根，∵x y +＝12，把x ＝5代入x y +＝12得， 5＋y ＝12， 解得y ＝﹣92，∵34x y +＝3×5＋4×（﹣92）＝﹣3．【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．【变式1】我们知道a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；（26的值． 【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0． 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出x 的值，再计算即可．解：（1）2(2)0+-=，而且328=，3(2)8-=-，有880-=， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1则28x -和28x --也互为相反数， 即：28280x x ---=， 36x ∴=，6660=-=．【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．【变式2】一个正数的平方根分别是25a +和21a -，30b -的立方根是3-．求a ，b 的值．【答案】a ＝-1，b ＝3【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a 、b 的值； 解：由题意可知： (2a +5)+(2a −1)=0 ， b −30=(−3)³=−27 解得：a ＝-1，b ＝3．【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．类型二、求一个数的立方根2．一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，求m 的立方根． 【答案】m 的立方根为4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a +2+a ﹣11＝0，解方程求出a 即可得到m ，再根据立方根定义求出m 的立方根．解：∵一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，∵2a +2+a ﹣11＝0， 解得：a ＝3， ∵2a +2＝8， 故m ＝82＝64，∵m ＝4．【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程：（4x）3＝﹣512．【答案】x ＝﹣32【分析】利用立方根的定义求出解即可．解：（4x）3＝﹣512，4x＝﹣8， x ＝﹣32．【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式22【答案】1-【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．解：原式=(425--+=425--+=1-【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是-2，求a 、b 的值． 【答案】a =5，b =-22【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程求出a 和b 的值即可． 解：∵2a -1的平方根是±3，∵2a -1=9， ∵a =5，又∵3a +b -1的立方根是-2， ∵3a +b -1=-8， ∵b =-22．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】已知：2x -的平方根为2±，27x y ++的立方根为4，求：x y -的值． 【答案】－39【分析】先利用平方根求出x ，再代入立方根求出y ，最后代入代数式求解． 解：∵2x -的平方根为2±∵()2224x -=±= ∵6x =∵27x y ++的立方根为4 ∵327464x y ++== ∵45y =∵64539x y -=-=-【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．【变式2】已知21a +的平方根是±3，324a b +-的立方根是-2方根．【答案】2【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值，然后代入求解即可．解：根据题意得：2193248a a b +=⎧⎨+-=-⎩，解得：48a b =⎧⎨=-⎩，=， ∵8的立方根是2，2．【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．类型四、立方根的实际运用4.【发现】2(2)0+-=1(1)0=+-=10(10)0+-=11044⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式∵，∵，∵，∵，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a ，b 0=，则0a b +=； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)210616a b -=，求a 的值．【答案】3(3)0+-=(2)10【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a 的值．解：3(3)0+-=，符合上述规律，3(3)0+-=；， ∵238620a b -+-=，解得2322a b -=，代入210616a b -=中， 解得，210a =，∵a =【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】填写下表，并回答问题：（20.1738 1.738=，求a 的值． 【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）5.25 【分析】（1）根据被开方数a 的小数点每向右或向左移动三位，或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∵0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm ，8cm ，3cm 的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】6cm【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．解：由题意得：长方体的容积为3983216(cm )⨯⨯=∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满， ∵长方体和正方体的容积相等，∵6(cm)．【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5.已知：21a -的算术平方根是3，31b +的立方根是2-，c 是30的整数部分，求23a b c +-的值．【答案】8-【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a ，bc 值，代入即可．解：∵21a -的算术平方根是3，∵219a -=， ∵5a =，∵31b +的立方根是2-， ∵318b +=-， ∵3b =-，<即：56<， ∵5c =，∵2325(3)358a b c +-=⨯+--⨯=-．【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m A =3m n ++算术平方根，2m n B -=4620m n +-1=-【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组2{233m n m n -=-+=，再解方程组求解,m n 的值，从而可得答案.解：根据题意得：2{233m n m n -=-+=，解得：42m n ⎧=⎨=⎩，∵39m n ++=，46208m n +-=， ∵3A =；2B =， ∵1B A -=-，1=-【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解42m n ⎧=⎨=⎩是解本题的关键.【变式2】已知a 的平方根是24b +的立方根是2 （1）求,,a b c 的值；（2）求2a b c ++的算术平方根．【答案】（1）a =5、b =2、c =1或c =0；（23． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a 、b 的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c ；（2）分c =0和c =1两张情况分别解答即可．解：（1）∵a 的平方根是24b +的立方根是2∵a =5，2b +4=8，即b =2=∵c =1或c =0∵a =5、b =2、c =1或c =0；（2）当c =1=当c =0；∵2a b c ++或3．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c 的值成为解答本题的关键．。
数的开方知识点章末重难点题型(举一反三)
专题1.1数的开方章末重难点题型【考点1 平方根与立方根的定义】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．【例1】（2020春•东昌府区期末）下列说法中，正确的是（）A．﹣5是（﹣5）2的算术平方根B．16的平方根是±4C．2是﹣4的算术平方根D．27的立方根是±3【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．【答案】解：A、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；B、16的平方根是±4，符合题意；C、2是4的算术平方根，不符合题意；D、27的立方根是3，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键． 【变式1-1】（2020春•南昌期末）下列结论中，其中正确的是（ ） A ．√81的平方根是±9 B ．√100=±10C ．立方根等于本身的数只有0.1D ．√−63=−√63【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．【答案】解：A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误； B .√100=10，故原说法错误；C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；D .√−63=−√63，故原说法正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解． 【变式1-2】（2020春•海安市期中）下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③−√−83=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可． 【答案】解：①3是27的立方根，原来的说法错误； ②116的算术平方根是14，原来的说法错误；③−√−83=2是正确的；④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ．【点睛】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个． 【变式1-3】（2020春•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ） A ．若√a 2=−a ，则a ＜0B ．若√a 2=a ，则a ＞0C．√a4b8=a2b4D．3的平方根是√3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【答案】解：A、若√a2=−a，则a≤0，故本选项错误；B、若√a2=a，则a≥0，故本选项错误；C、√a4b8=a2b4，故本选项正确；D、3的平方根是±√3，故本选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．【考点2算术平方根的小数点移动规律】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；【例2】（2020春•嘉祥县期末）由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．【答案】解：∵√300≈17.32，∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；故答案为：0.1732，173.2，两．【点睛】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式2-1】（2020春•海淀区校级期末）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．a…0.0000010.011100100001000000…√a…0.0010.11101001000…【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．【答案】解：∵√a=180，且−√3.24=−1.8，∴√3.24=1.8，∴√32400=180，∴a ＝32400， 故答案为：32400．【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a 的值． 【变式2-2】（2020春•唐县期末）若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（ ） A ．50.36B ．503.6C ．159.06D ．1.5906【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果． 【答案】解：∵√25.36=5.036，∴√253600=√25.36×√10000=5.036×100＝503.6， 故选：B ．【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．【变式2-3】（2020春•杭州期中）设√5=m ，√7=n ，则√0.056可以表示为（ ） A ．mn 25B ．mn 20C ．mn 15D ．mn 10【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．【答案】解：√0.056=√561000=√56010000=√560100=√16×5×7100=4×√5×√7100=mn25； 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算． 【考点3算术平方根的非负性】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.【例3】（2020春•滨城区期末）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+√=0，则（x +y ）3的平方根为（ ） A ．4B ．8C ．±4D ．±8【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x ，y 的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【答案】解：∵|x ﹣3|+√y −1=0， ∴x ﹣3＝0，y ﹣1＝0， ∴x ＝3，y ＝1，则（x +y ）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．【变式3-1】（2019春•潍城区期中）已知实数x和y满足√x2−4+（y3+8）2＝0，则x+y的值为（）A．0B．﹣4C．0或﹣4D．±4【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【答案】解：由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，∴x＝±2，y＝﹣2，∴x+y＝0或﹣4，故选：C．【点睛】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．【变式3-2】（2020春•海勃湾区期末）已知（2a+b）2与√3b+12互为相反数，则b a＝．【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．【答案】解：由题意得，（2a+b）2+√3b+12=0，则2a+b＝0，3b+12＝0，解得，a＝2，b＝﹣4，则b a＝（﹣4）2＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竹溪县期末）已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b+√3|+√2009−c=0，求：b a+c+8的值．【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．【答案】解：由题意得a−2=0，b+√3=0，2009−c=0，解得a＝2，b=−√3，c＝2009，∴b a+c+8=(−√3)2+2009+8＝2020．【点睛】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．【考点4利用平方根与立方根性质解方程】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 【例4】（2020春•广丰区期末）计算下列各式的x 的值： （1）12x 2=8；（2）13（x +1）3＝﹣9．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根的定义化简即可求出解． 【答案】解：（1）方程变形得：x 2＝16， 开方得：x ＝±4；（2）方程变形得：（x +1）3＝﹣27， 开立方得：x +1＝﹣3， 解得：x ＝﹣4．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【变式4-1】（2020春•越秀区期末）求下列各式中x 的值 （1）25x 2＝4； （2）（x +1）3＝﹣27．【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案； （2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【答案】解：（1）方程两边都除以25，得 x 2=425， 开方得， x =±25；（2）开立方得， x +1＝﹣3， 移项得， x ＝﹣4．【点睛】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．【变式4-2】（2020春•蕲春县期中）求下列各式中的x ： （1）4（x +2）2﹣16＝0； （2）（2x ﹣1）3+2627=1． 【分析】（1）先求出（x +2）的值，然后解方程即可； （2）求出（2x ﹣1）的值，解方程即可得出x 的值． 【答案】解：（1）由题意得，4（x +2）2＝16， ∴（x +2）2＝4， ∴x +2＝±2， 解得x ＝0或﹣4；（2）由题意得，（2x ﹣1）3=127， ∴2x ﹣1=13， ∴x =23．【点睛】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．【变式4-3】（2020春•西城区校级期中）解方程： （1）（x ﹣4）2＝6； （2）13(x +3)3−9＝0．【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）把方程整理为（x +3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可． 【答案】解：（1）（x ﹣4）2＝6， x −4=±√6，∴x ＝4+√6或x ＝4−√6；（2）13(x +3)3−9＝0，13(x +3)3=9，（x+3）3＝27，3，x+3=√27x+3＝3，∴x＝0．【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【考点5平方根与立方根性质的运用】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．【例5】（2020春•石城县期末）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．（1）求a与b的值；（2）求2a+b﹣1的立方根．【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．【答案】解：（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．（2）∵a＝2，b＝5，∴2a+b﹣1＝2×2+5﹣1＝8，3=2．∴2a+b﹣1的立方根是：√8【点睛】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．【变式5-1】（2020春•安定区期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【答案】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．【变式5-2】（2020春•盐池县期末）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．【答案】解：∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，解得a＝4，b＝﹣8，∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a﹣5b+8的立方根是4．【点睛】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．【变式5-3】（2020春•汉川市期末）已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求n m的平方根．【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．【答案】解：∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，∴a＝5，又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，∴m＝4，∵5a +2的立方根是n ，即27的立方根是n ， ∴n ＝3，则n m ＝34＝81的平方根为±9．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义． 【考点6无理数的概念】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【例6】（2020春•陇西县期末）在以下实数227，3.14159265，√93，√36，π3中，无理数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【答案】解：227是分数，属于有理数；3.14159265是有限小数，属于有理数； √36=6，是整数，属于有理数； 无理数有：√93，π3共2个．故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【变式6-1】（2020春•崇川区校级期末）在√16，−π2，﹣5.1⋅8⋅，−√93，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【答案】解：√16=4，是整数，属于有理数；−5.1．8．是循环小数，属于无理数；47是分数，属于有理数；无理数有：−π2，−√93，0.317311731117…共3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-2】（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为√3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③【分析】根据运算规则即可求解．【答案】解：①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，√4=2，即y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-4】（2019春•南昌期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．（1）当x为16时，y值为；（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；（3）当输出的y值是√3时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．【答案】解：（1）当x＝16时，√16=4，√4=2，故y值为√2．故答案为：√2；（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．【考点7估算无理数的大小】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【例7】（2020•玄武区二模）下列整数中，与6−√11最接近的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．【答案】解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∵3.52＝12.25＞11，∴3＜√11＜3.5∴2.5＜6−√11＜3．∴与6−√11最接近的是3．故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式7-1】（2020•福州模拟）若a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把√28−√7化简，再估算√7的范围即可．【答案】解：√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．故选：B．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算√7的范围是解答本题的关键．【变式7-2】（2020春•郯城县期中）阅读下面的文字，解答问题，例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是，小数部分是．（2）已知：5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．【答案】解：（1）∵√16＜√17＜√25，∴4＜√17＜5，∴√17的整数部分是：4，小数部分是：√17−4；故答案为：4，√17−4；（2）∵5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，∴m＝5−√17，n＝6+√17−10=√17−4，∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．【变式7-3】（2020春•延平区期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−√13的值．（2）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【分析】（1）先估算出√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（2）先估算出√3的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．【答案】解：（1）∵3＜√13＜4，∴a＝3，b=√13−3，∴a2+b−√13=32+√13−3−√13=6；（2）∵1＜√3＜2，又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=√3−1，∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√13，√3的范围是解此题的关键．【考点8实数与数轴的对应关系】【例8】（2020春•孟村县期中）如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是√3和﹣1，则点C 对应的实数是（）A．2√3B．2√3−2C．√3+1D．2√3+1【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．【答案】解：AB =√3−（﹣1）=√3+1，∵AB ＝AC ，A 所表示的实数为√3，点C 在点A 的右侧， ∴点C 所表示的数为：√3+（√3+1）＝2√3+1， 故选：D ．【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，【变式8-1】（2020春•西城区校级期中）如图，3，√11在数轴上的对应点分别为C ，B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（ ）A ．−√11B ．3−√11C ．√11−3D ．6−√11【分析】设点A 表示的数是x ，再根据中点坐标公式即可得出x 的值． 【答案】解：设点A 表示的数是x ，∵数轴上表示3、√11的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点， ∴√11+x2=3， 解得x ＝6−√11． 故选：D ．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式8-2】（2019秋•桂林期末）在数轴上，点A 表示实数3，以点A 为圆心，2+√5的长为半径画弧，交数轴于点C ，则点C 表示的实数是（ ） A ．5+√5B ．1−√5C ．√5−1或5+√5D ．1−√5或5+√5【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C 表示的实数． 【答案】解：根据题意得：3+2+√5=5+√5，3﹣（2+√5）＝1−√5， 则点C 表示的实数是5+√5或1−√5， 故选：D ．【点睛】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．【变式8-3】（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B ，点A 表示−√2，设点B 所表示的数为m ． （1）求m 的值． （2）求|m ﹣1|+m +6的值．【分析】（1）根据正负数的意义计算；（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．【答案】解：（1）由题意A 点和B 点的距离为2，A 点的坐标为−√2，因此B 点坐标m ＝2−√2． （2）把m 的值代入得：|m ﹣1|+m +6 ＝|2−√2−1|+2−√2+6， ＝|1−√2|+8−√2， =√2−1+8−√2， ＝7．【点睛】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．【考点9实数大小比较】【例9】（2020春•西城区校级期中）比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）． ①π 3.14159；②√5034；③√22 √33． 【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可． 【答案】解：①π＞3.14159；②∵4=√643∴√503＜4； ③（√22）2=12，（√33）2=13，∵12＞13， ∴√22＞√33． 故答案为：＞；＜；＞．【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【变式9-1】（2019秋•沧州期末）5−√2，2+√52，2+√2的大小关系是（ ）A ．2+√2＞2+√52＞5−√2 B ．5−√2＞2+√52＞2+√2C ．2+√52＞5−√2＞2+√2 D ．5−√2＞2+√2＞2+√52【分析】先根据√52＜√2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小． 【答案】解：∵5＜8， ∴√5＜√8， ∴√52＜√2， ∴2+√52＜2+√2，∵（5−√2）﹣（2+√2）＝3﹣2√2＞0， ∴5−√2＞2+√2＞2+√52； 故选：D ．【点睛】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．【变式9-2】（2020春•文登区期中）已知0＜x ＜1，则√x 、1x 、x 2、x 的大小关系是（ ）A ．√x ＜x 2＜x ＜1xB ．x ＜x 2＜1x＜√xC ．x 2＜x ＜√x ＜1xD ．1x＜√x ＜x 2＜x【分析】根据0＜x ＜1，可得：0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x＞1，据此判断即可．【答案】解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x ＞1，∴x 2＜x ＜√x ＜1x． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【变式9-3】（2020•黄州区校级模拟）已知min {√x ，x 2，x }表示取三个数中最小的那个数，例如：当x ＝9，min {√x ，x 2，x }＝min {√9，92，9}＝3﹒当min {√x ，x 2，x }=116时，则x 的值为（ ） A ．116B ．18C ．14D ．12【分析】本题分别计算√x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．【答案】解：当√x=116时，x=1256，x＜√x，不合题意；当x2=116时，x＝±14，当x=−14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，√x=12，x2＜x＜√x，符合题意；当x=116时，x2=1256，x2＜x，不合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．【考点10实数的混合运算】【方法点拨】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．【例10】（2020春•巩义市期末）计算﹣12﹣（﹣2）3×18+√−273×|−13|+|1−√3|【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．【答案】解：原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【变式10-1】（2020春•孝南区期末）计算：3×(√4−√3)×√1−19 273−|√3−2|【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【答案】解：原式＝3×（2−√3）×23−（2−√3）＝4﹣2√3−2+√3＝2−√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【变式10-2】（2020春•潮南区期末）计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【答案】解：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13） ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．【变式10-3】（2020春•营山县期末）计算：√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2 【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【答案】解：原式＝﹣2−35+√5−2+4 =−35+√5．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 【考点11实数中的定义新运算】【例11】（2020•青海）对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b =√a+b √a−b，如：3⊕2=√3+23−2=√5，那么12⊕4＝ ．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【答案】解：12⊕4=√12+4√12−4=√2．故答案为：√2．【点睛】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键． 【变式11-1】（2020春•房县期末）对于能使式子有意义的有理数a ，b ，定义新运算：a △b =3a+ba−3b．如果|x +1|+√y −3+|xz +2|＝0，则x △（y △z ）＝ ．【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x 、y 、z 的值，再根据新运算的规定计算x △（y △z ）的值．【答案】解：∵|x +1|≥0，√y −3≥0，|xz +2|≥0， 又∵|x +1|+√y −3+|xz +2|＝0， ∴|x +1|＝0，√y −3=0，|xz +2|＝0．∴x +1＝0，y ﹣3＝0，xz +2＝0． ∴x ＝﹣1，y ＝3，z ＝2． ∵y △z =3y+z3−3z =−113． x △（y △z ）＝﹣1△（−113）=3×(−1)−113−1−3×(−113)=−20310=−23． 故答案为：−23．【点睛】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．【变式11-2】（2020春•西城区校级期中）对任意两个实数a ，b 定义两种运算：a ⊕b ={a(若a ≥b)b(若a ＜b)，a ⊗b ={b(若a ≥b)a(若a ＜b)，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（√5⊕2）⊗√273等于（ ） A ．3√5B ．3C ．√5D ．6【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【答案】解：（√5⊕2）⊗√273=√5⊗√273=√5⊗3 =√5． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．【变式11-3】（2019春•临渭区校级月考）对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b={b(a≤b)√a2−b2(a＞b)，则√7★（√2★√3）＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】先依据法则知√2★√3=√3，据此得出原式=√7★√3，再次利用法则计算可得．【答案】解：∵√2＜√3，∴√2★√3=√3，则原式=√7★√3=√(√7)2−(√3)2=√7−3=√4＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．【考点12实数的性质综合】【例12】（2019春•嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点A表示的数减去边长即可得解．【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√2，∴S正方形ABCD=(√2)2=2；（3）∵正方形ABCD的边长为√2，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1−√2，故答案为：﹣1−√2．【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．【变式12-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数√8．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数√8的位置．【答案】解：（1）正方形的边长是：√5，面积为：√5×√5=5．（2）见图：在数轴上表示实数√8，【点睛】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式12-2】如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）这个魔方的棱长为cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．【答案】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝64∴a＝4故答案为4．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝64∴b＝2∴所以根据勾股定理得CD2＝22+22∴CD＝√8答：这个正方形的边长是√8cm．（3）由（2）知，AD＝√8∴点D对应的数的绝对值是√8-1，∵点D对应的数是负数∴点D对应的数是1﹣√8故答案为1﹣√8．【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．。
部编数学七年级下册专题09算术平方根与立方根的综合运用(解析版)含答案
专题09 算术平方根与立方根的综合运用【例题讲解】已知4是32a -的算术平方根，215a b --的立方根为5-．(1)求a 和b 的值；(2)求24b a --的平方根．【详解】（1）解：∵4是32a -的算术平方根，∴3216a -＝，∴6a =，∵215a b --的立方根为5-，∴215125a b --=-，∴2156125b -´-=-，∴37b =．（2）解：242376464b a --=´--=，64的平方根为8±，∴24b a --的平方根为8±．【综合解答】1270-=，那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】根据非负数的性质，得出a ，b 的值，再代入计算即可．【详解】：270-=，0=，3270b -=∴3640a +=，3270b -=，∴a=-4，b=3，∴6()a b +=1，∴6()a b +的立方根为1，故答案为：B ．【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．2的值为( )A ．114-B ．114±C ．154D ．134【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.【详解】原式1300.52=---++11300.524=---++324=-；故答案为：A.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.3 1.442=0.6694=等于（ ）A ．57.68B ．115.36C ．26.776D ．53.552【答案】C【解析】【分析】根据立方根的运算法则即可．【详解】440.669410426.776===´´=，故答案为：C ．【点睛】进行正确的拆分．4．下列计算正确的是（ ）．A 3B 8=±C 7=-D 13=-【答案】D【解析】【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．【详解】，故原选项计算错误，不合题意；B.8=，故原选项计算错误，不合题意；C. 7=，故原选项计算错误，不合题意；D. 13=-，故原选项计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键．5．一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.42=16Q 4(2)=16-，\16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232=Q ，5(2)32-=-，\32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y ==则155153232,28,x y ====1515,x y \> 且1,1,x y >>,x y \>\当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．6．已知a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，则x 和y 分别是（ ）A ．,1001000a x y b ==B ．1000,1000b x a y ==-C ．,1000100a x y b ==-D ．,1000100a x yb ==【答案】C【解析】【分析】根据题意，x 的算术平方根和-b 的立方根，然后根据x 的算术平方根和a 的算术平方根即可求出x 与a 的关系，根据-b 的立方根和y 的立方根关系即可求出y 与b 的关系．【详解】解：∵a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，∴x 的算术平方根是1.23，-b 的立方根是45.6∵1.23=110×12.3，456=10×45.6∴x =2110a æöç÷èø，y=103（-b ）即,1000100a x yb ==-故选C ．【点睛】此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．7．实数a ___________．【答案】8【解析】【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．8．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求1＝_____．【答案】0．【解析】【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．已知21a -的平方根是±3，b +2 的立方根是2，则b a -的算术平方根是___________【答案】1【解析】【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 后再代入进行计算求出b a -的值，然后根据算术平方根的定义求解．【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴b a-的算术平方根是1，故答案是：1.【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【解析】【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为_____．【答案】4【解析】【分析】由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a 、b 的大小，可得c 的值，进而可得a+2b+c ，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；解得：a=5，b=2；又有7＜8，可得c=7；则a+2b+c=16；则16的算术平方根为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．12A B ，则A ＋B ＝________．【答案】【解析】【详解】===A+B=三、解答题13．()20151-．(2)已知∶2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值．(3)已知a b -3是400．【答案】(1)114；(2)m +2n =13；=6【解析】【分析】(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m 、n 的值，据此即可解答；(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a 、b 的值，据此即可解答．【详解】解：(1) ()20151+-52314=+-- 114=(2)Q 2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，2216m \+=，3m +n +1=25，解得m =7，n =3，272313m n \+=+´=；(3)\，13，13a \=，又Q b -3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，320b \-=，解得b =23，6==．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．14．已知4是32a -的算术平方根，2+a b 的立方根是2．C 的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)6a =，1b =， 5c =(2)3±【解析】【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a ，b ，c 的值即可．（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．(1)解：由题有2324a -=，322a b +=解得： 6a =；1b =．<∴5< ，∴5c =，即：6a =，1b =，5c =；(2)（2）解：把6a =，1b =，5c =，代入2a b c -+得26215a b c -+=-´+，29a b c -+=，∴2a b c -+的平方根是3±．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．15．（1）计算：①②（2）求方程中的x 的值①()242160x +-=②()32621127x -+=【答案】（1）①12；②142）①0x =或4x =-；②23x =【解析】【分析】（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．【详解】（1）①解：原式＝()442-´-48=+12=②解：原式＝()())563114-----+-563114=-+++14=（2）①()242160x +-=()224x +=22x +=±解得0x =或4x =-②()32621127x -+=()312127x -=1213x -=解得23x =【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．16．（1）一个正数m 的两个平方根分别为3a -和21a +，求这个正数m ．（2）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求3a b c -+的平方根．（3）3a =，求a b +的立方根．【答案】（1）49；（2）4±；（3）－1【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a 、b 、c 的式子求值，再计算平方根即可；（3）先根据二次根式有意义的条件求出b 的值，从而得出a 的值，再计算两数的和，从而得出立方根．【详解】解：（1）解：依题意：3210a a -++=，解得4a =-，37a -=，2m 749==．（2）解依题意：3523a +=，2314a b +-=，34<<解得5a =，2b =，3c =316a b c -+=，16的平方根是4±（3）解：依题意2020b b -³ìí-³î，得2b =，代入3a =，得3a =-1ab +=-，a b +的立方根是－1．【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2=2.236=7.071=0.7071=22.36，（3=1=10=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）=2.154=4.642，=21.54，=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．。
第六章 实数复习一-教师用卷
第六章实数复习一班级： 姓名： 学号：一、全章知识梳理1. 算术平方根、平方根和立方根： 算术平方根平方根立方根定义 x 2=a (x >0), x 叫a 的算术平方根x 2=a, x 叫a 的平方根x 3=a, x 叫a 的立方根符号性质正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根为任意数正数的立方根是正数.负数的立方根为负数. 0的立方根是0.2. 开方与乘方互为逆运算3. 被开方数的小数点向右或者向左移动2n （3n ）位，它的算术平方根（立方根）的小数点就相应地向右或者向左移动n 位.4.实数 （1） 分类①按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数零负有理数负实数负无理数①按属性分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 （2）实数的连续性.实数和数轴上的点是一一对应关系. （3 实数的有序性任何两个实数都可以比较大小，常用方法：估算法、平方法、作差比较法等（4）实数的稠密性任何两个实数之间，都有无数多个实数. （5）实数四则运算的封闭性任何两个实数进行加、减、乘、除的结果都是实数. 数系扩充后原有的运算法则、运算律仍然成立. 二、全章知识结构三、典型习题1. 下列说法中，正确的有( )①只有正数才有平方根；②a 一定有立方根；③√−a 没有意义；④√−a 3=−√a 3；⑤只有正数才有立方根．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质.利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可． 【解答】解：非负数都有平方根，所以①是错误的； 任何数的立方根都只有一个，所以②是正确的； a >0时，√−a 没意义，所以所以③是错误的；√−a 3=−√a 3，所以④是正确的．所以正确的有2个． 故选B ．2. 下列各式成立的是A. √(−2)2=−2B. √52=−5C. √x 2=xD. √(−6)2=6【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的性质可逐项计算，进而判断求解．【解答】解：A．√(−2)2=2，故错误；B.√52=5，故错误；C.√x2=x(x≥0)，故错误；D.√(−6)2=6，故正确；故选D．3.在以下数0.3，0，π−3，π，0.123456…(小数部分由相继的正整数组成)，20.1001001001…中，其中无理数的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查无理数的概念.无理数就是无限不循环小数．根据无理数的定义求解即可．【解答】解：无理数有：π−3，，0.123456…(小数部分由相继的正整数组成)，共有3个．故选B．4.如图所示，数轴上表示2，√5的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是()A. −√5B. 2−√5C. 4−√5D. √5−2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数轴上两点之间中点的计算方法．首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．【解答】解：∵表示2，√5的对应点分别为C，B，∴CB=√5−2，∵点C是AB的中点，则设点A表示的数是x，则x=4−√5，∴点A表示的数是4−√5．故选C．5.有资料表明，一粒废旧的纽扣电池大约会污染60万升水．某校七年级(1)班有50名学生，若每名学生都丢弃一粒纽扣电池，污染的水大约为A. 3×103万升B. 3×102万升C. 6×105万升D. 3×107万升【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了科学计数法的应用，根据题意，一个纽扣电池会污染60万升水，则50个学生会每人丢弃一颗纽扣电池会污染50×60万升水，再用科学技术法表示即可，属于基础题；【解答】解：根据题意50个学生会每人丢弃一颗纽扣电池会污染50×60万升水，50×60=3000=3×103(万升)，故选A．6.①倒数等于本身的数为1；②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于−1；③对于任意实数x，|x|+x一定是非负数；④一个数前面带有“−”号，则这个数是负数；⑤整数和小数统称为有理数；⑥数轴上的点都表示有理数；⑦绝对值等于自身的数为0和1；⑧平方等于自身的数为0和1；其中正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数，掌握相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数的定义是解决问题的关键.直接利用倒数以及绝对值和相反数的性质分别分析得出答案。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
解方程：
（1）（x-1）3 125 （4）2（7 x 2）3 125 0
（2）23x 12 8
3
（5） 4x2 25
（3）（x 2）2 3 (6)9x2 49 0
填空题
1.当x X〈时0，.52x-1没有平方根 2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0,1
0
0,1,-1
a
a2 a = 0
a
2 a a
a= 1 ,x=
4
3.若 x 2 2，则2x 5的平方根———±——3———
4.化简（a 1）（2 a 1）=——a——-1————
(3 )2
π-3
————————
已知 x y 4 x 2y 5 0，求x，y的值
问题：90的整数部分是什么？小 数部分是什么？
算术平方根平方根立方根表示方法负数正数一个没有互为相反数两个没有正数一个负数一个求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方是本身011在求立方根时被开方数越大开立方的结果也越大2开立方前被开方数中小数点每向右或左移动三位开方后立方根中小数点向右或左移动一位
算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)
专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系(课堂PPT)
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根
的运算叫开平方 的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
不 要 遗 漏 哦！
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。
负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。
注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
平方根、立方根的探究规律
1、填空：3 8 ______， 3 8 ______． 2．据1，当 3 a m 时， 3 a ____．
3．若 3 2 x 1 与 3 x 2 互为相反数，求x的值．
4．若 2x 4 和 3 y 互为相反数，求x+y 的值
5．讨论总结：对比3，4，你能得到什么样的规律？
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试一试：
121 11
12321111
12343211111
…… 试猜想
12345678987654321
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10
试一试：
121(121)1122222
1 2 3 2 1 (1 2 3 2 1 )1 1 1 2 3 2 3 3
1 2 3 4 3 2 1 ( 1 2 3 4 3 2 1 ) 1 1 1 1 2 4 2 4 4
0,1
0
0,1,-1
观察下表，说说你能发现什么规律？
a 0.01 1
a 0.1 1
2.25 9 1.5 3
16 25 100 4 5 10
探究1
你肯定行！
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你 发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 …
试猜想
1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 ( 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 2 1 )
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结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
算术平方根与立方根小数点移动规律
6.25 2.5
625
25
62.5 7.91 6250 79.1
62500 250
你能直接说出 6250000 与 625000 的值吗？ 你发现其中有什么规律 ？
被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,那么它
的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位
1.若 12.5 3.535 ，1.25 1.118
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
1.双重 非 负性：
a 0, a 0
2.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.x2a源自a a _____2
3.一个 非 负数
的算数平方根的 平方是它本身：
(a 0) a ( a) ______
3
（ 1 ） 0.000342
3 （2） 34200000
0.06993 -324.6 -0.1507
3
（3） 3 0.00342
3 3 3
2.已知 32.8 3.201，2.28 1.316，
3 y 68.96， 0.328 0.6896， x 13.16，
2280 ；y 328000 则x .
0.3535 那 么 125 11.8 ； 0.125 。
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
74500 那 么y 。
观察下列数值：
3
3
0.1 0.001
3
-0.06 0.000216
1 1
x y 4 | x 2 y 5 | 0求x，y的值．
x y 4 0 x 2y 5 0
八年级数学第二章平方根立方根
第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x 为何值时，x x +-1有意义。
例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。
例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。
请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
【提高版】初一寒假 第11讲平方根、立方根(含答案)
平方根与立方根辅导教案学生姓名年级初一学科数学上课时间教师姓名课题平方根与立方根教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.教学过程教师活动学生活动1. 如图，已知AB、 CD相交于O, OE⊥CD 于O,∠AOC=30°，则∠BOE=( )A.30°B.60°C.120°D.130°2. 如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（）A.46°B.44°C.36°D.22°1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．2.当n为奇数时，()()()1111144n n nn++--+--=．1.此题考查了有理数中相反数、倒数与绝对值，解答题目的关键在于学生需要清楚这三个定义，知道互为相反数和为0，互为倒数积为1，绝对值的计算取值等。
2. 本题考查了有理数的乘方：“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负。
知识点一、平方根要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.【注意】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.22 +；34例10. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？1．下列说法中正确的有（ ）．①只有正数才有平方根． ②2-是4的平方根． ③16的平方根是4±． ④2a 的算术平方根是a ． ⑤2(6)-的平方根是6-．⑥93=±．A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2．若m ＝40－4，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2 B. 2＜m ＜3 C. 3＜m ＜4 D. 4＜m ＜53. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.6是6的平方根D.－a 没有平方根4. 能使x －3的平方根有意义的x 值是（ ）A. x ＞0B. x ＞3C. x ≥0D. x ≥35.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x ＝64时，输出的y 等于（ ）A.2B.8C.32D.22 6．若x 与y 的立方根互为相反数，则x 与y 的关系是______．7．一个数的平方等于64，则这个数的立方根是______．8．如果344,a +=那么()367a -的值是______． 9. 若，则____________.10.x 为何值时，下列各式有意义？(1)2;x （2）;x - （3）2;x （4） 1.x -11.已知1y -和12x -互为相反数，且0x ≠，求yx的值．1. 若x ，y 为实数，且|x ＋1|＋1y -＝0，则2013x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A.0B.1C.－1D.－20112.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.x 是()29-的平方根，y 是64的立方根，则x y +＝（ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，74. 若10404102=，则 1.0404＝__________.5. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm 和5cm 的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________.6. 下列各数：81，1625，1.44，124，81的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.1. 下列各式中，正确的是（ ）A.164=±B.()255-=- C.22-=- D.331010-=-2. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（ ）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④3．（1）25的平方根是________；（2）()25-的平方根是________，算术平方根是________； （3）2x 的平方根是________，算术平方根是________； （4）()22x +的平方根是________，算术平方根是________．4．若实数x y 、满足21(5)x +y =+-0，则y x 的值为 . 5. 若，则____________.6. 一个长方体的长为5cm ，宽为2cm ，高为3cm ，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长a ．（结果精确到0.01cm ）7．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．8.若321a -和313b -互为相反数，求a b的值.参考答案1. 【答案】C2. 【答案】A1. 【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立．(2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立．【答案与解析】因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn )a+(x+y )2009+(-mn )2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．2. 【答案】0类型一、平方根和算术平方根的概念例1. 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；22+25=34--⨯0.360.6543327(1)100031101310xxx+=-+=-=-(3) 3(23)216236=4.5xxx-=-=(4) 【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，（2）（3）（4）小题中运用了整体思想，分散了难度.类型七、立方根实际应用例10.【思路点拨】铁块排出的643cm水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的643cm的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm，可列方程364,y=解得4y=设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程216649xππ⨯=,解得x=6.答：烧杯内部的底面半径为6cm，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.1. 【答案】A；【解析】只有②是正确的.2. 【答案】B；【解析】6407<<，所以2＜40－4＜3 .3. 【答案】C；【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵6是6的一个平方根，故选项C正确；D.当a≤0时，－a也有平方根，故选项D错误．4. 【答案】D；【解析】要使x －3的平方根有意义，∴x －3≥0，即x ≥3．5. 【答案】D ；【解析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是22，是无理数则输出．6. 【答案】0x y +=；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.7.【答案】2或-2；【解析】∵64的平方根是±8，±8的立方根是±2，∴这个数的立方根是±2．8.【答案】－343；【解析】a ＋4＝64，a ＝60，a －67＝－7，()37343-=-.9.【答案】； 【解析】x －1＝－2，x ＝－1.10.【解析】解：（1）2x ≥0，解得x ≥0；（2）－x ≥0，解得x ≤0；（3）20,x ≥解得x 为一切实数；（4）x －1≥0，解得x ≥1.11.【解析】解：两个非负数互为相反数则只能均为0，于是y －1＝0，1－2x ＝0，求得y ＝1, 12x =∴y x＝2.1. 【答案】C ；【解析】x ＋1＝0，y －1＝0，解得x ＝－1；y ＝1．2013x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－1.2. 【答案】A ；【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1．3. 【答案】D ；【解析】∵x 是()29-的平方根，y 是64的立方根，∴x ＝±3，y ＝4则x y +＝3＋4＝7或x y +＝－3＋4＝1.4. 【答案】1.02；【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.5. 【答案】34cm ；【解析】这个正方形的边长为223534+=.6. 【答案】±9；±45；±1.2；±32；±3；9；45；1.2；32；3.1.【答案】D ；【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.2-无意义.2. 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．3.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）±x ，|x |；（4）±（x ＋2）,| x ＋2|；【解析】2||a a =.4.【答案】－1；【解析】x ＝－1，y ＝5.()511-=-.5.【答案】；【解析】12x +=±，x ＝. 6.【解析】解：依题意得：3a =5×2×3×2=60，解得：a=360≈3.91，答：这个正方体的棱长是3.91cm ．7.【解析】解：∵5x ＋19的立方根是4 ∴34=5x ＋19，即64＝5x ＋19，解得x ＝9∴2x ＋7＝25∴2x ＋7的平方根＝255±=±.8.【解析】解：∵321a -和313b -互为相反数∴321a -＋313b -＝0，∴321a -＝－313b -，。
算术平方根与立方根小数点移动规律-2023年学习资料
念完著、性赁-1双量非负生，-a≥0，Va≥0-2.任何一个数的平方的算术平-5-lal-方根 于这个数的绝对值。-3.一个非负数-的算数平方根的-a2=aa≥0-平方是它本身
学以致用-2.13的算术平方根是-2√81的算术平方根是3-30和1的算术平方根等于它本身.若√天=2，则X=-4-5若√3+x=3,则x=6-6诺V3-x=x-3,则-X≥3
拓展：已知Vx-y-4+x-2y-5=0求x,y的值.-x-y-4=0-解方-V52+122=-2.如果一个正数的算术平方根为m,则比这个 大-2的数的算术平方根是-Vm2+2-4.-5-√a+b的最大值为-此时a与b的关系为-5.己 x-12+y+2+Vz-3=0-求x+y+z的算术平方根。
观察下列数值-√0.0625=0.25-√0.625=0.791-V6.25=-2.5-√62 5=7.91-√625=-√6250=79.1-√62500=250-你能直接说出625000 与√625000的值吗：-你发现其中有什么规律-被开方数的小数点每向右（或左）移动两位，那么它 的算术平方根的小数点向右（或左）移动一位
1.已知/0.342=0.6993,3.42=1.507，-/34.2=3.246,求下列各式 值：-1/0.000342-0.06993-2/-34200000--324.6-3-/0.0 342--0.1507-2.己知/32.8=3.201/2.28=1.316，-0328=0. 896,/x=13.16y=68.96,-则x=2280;y=328000
1.若/12.53.535,1.25≈1.118-那么√125≈11.8；√0.125≈-0. 535。-2若已知V7.45=2.729,V了=272.9：-那么y=74500。
小学数学中的算术平方根和立方根掌握算术平方根和立方根的计算方法
小学数学中的算术平方根和立方根掌握算术平方根和立方根的计算方法算术平方根和立方根是小学数学中比较常见的概念，它们在解决一些实际问题时非常有用。
掌握算术平方根和立方根的计算方法，不仅可以提高孩子们对数字的理解和计算能力，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍小学数学中的算术平方根和立方根的计算方法。
一、算术平方根的计算方法算术平方根是指一个数的平方与给定的数相等的被开方数。
以数学表达式来表示，就是√a = b，其中a是被开方数，b是开方后得到的结果。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
小学生在学习算术平方根时，一般可以用试误法或逼近法来计算。
试误法是指通过尝试不同的数来寻找一个数的平方等于给定的被开方数。
逼近法则是通过逐步逼近的方法计算出给定数的平方根。
举个例子说明试误法的计算方法：如果我们要计算√16，我们可以从1开始尝试，将1、2、3、4依次平方，直到找到一个数它的平方等于16，我们就可以确定这个数的算术平方根。
显然，在这个例子中，4的平方等于16，所以√16 = 4。
逼近法的计算方法通常可以通过正方形或长方形的面积来逼近。
例如，如果我们要计算√18，我们可以假设一个接近18的数，如4，然后计算这个数的平方。
如果这个数的平方大于18，我们就可以逐步减小这个数的值，再次计算平方，并继续逼近。
反之，如果这个数的平方小于18，我们就可以逐步增大这个数的值，并再次计算平方，直到我们找到一个数，它的平方接近于给定的数。
二、立方根的计算方法立方根是指一个数的三次幂与给定的数相等的被开方数。
以数学表达式来表示，就是∛a = b，其中a是被开方数，b是开方后得到的结果。
例如，∛8 = 2，因为2的三次幂等于8。
小学生在学习立方根时，一般也可以用试误法或逼近法来计算。
试误法和逼近法的原理同样适用于立方根的计算。
举个例子说明试误法的计算方法：如果我们要计算∛27，我们可以从1开始尝试，将1、2、3依次立方，直到找到一个数它的三次幂等于27，我们就可以确定这个数的立方根。
1.3.1 第六种数学运算 平方根与立方根
1.3.1．平方根与立方根〇. 第六种数学运算——开方一级运算: 加法与减法互为逆运算二级运算: 乘法与除法互为逆运算三级运算: 乘方与开方互为逆运算例 x 2=16,x =? 面积为5的正方形边长是几？∵42=(-4)2=16, ∴x =±4. 不再唯一.y 2=5,y =? 引进符号,是字母r(根号的开头字母)的变形,y =±5. 一. 平方根与算术平方根1. 定义例 区分平方根与算术平方根:16的平方根是 ±4 ,16的算术平方根是 2 .2. 性质例 下列结论正确的是( A ). A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- C.16)16(2±=- D.25)25(2=--3. 算术平方根的求法例 直接写出结果：2≈ 1.414 (计算器),1691201= 1317 (观察心算) 300在整数 17与18 之间. (估算)5．4的平方根是;x2的算术平方根是.6. 如果一个数的绝对值和平方根都是本身,则这个数是 .7．a的两个平方根是方程 3x+2y＝2的一组解,则a3的算术平方根是.8. 若x2=(-3)2,y3=(-3)3,则x-y的算术平方根是.9. 30的平方根在两个连续整数a和a+1之间,那么a＝.10. 一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是.二. 有关算术平方根的问题1. 小数位置例若a=1.23,，则a10000+a.0= 123.123 .01规律: 被开方数的小数点每移动两位,所得的算术平方根的小数点相应地移动一位.2. 最小整数例a2000是个整数,那么最小的正整数a是 5 .3. 整数部分[a]: a-1<[a]≤a. 小数部分{a}: {a}= a-[a] ={a+整数}例若4+7的小数部分是a,4-7的小数部分是b，则a b=a+b 的值是 1 .解：7≈2.646,[4+7]=6,[4-7]=1.1. 已知34.12＝a,4.123＝b.则0001234.0＝ .1310234.1⨯＝ .2. 已知:a 2＝72.27,b 2＝7.227,则用a,b 表示72270000＝ ;0007227.0＝ .3. a 1962是整数,正整数a 的最小值是 .4. 若5+1的小数部分为a,5-1的小数部分为b,则a+b ＝ .5. 如果x 与y 为正整数,分别用a,b 表示x+y 与 x-y 的小数部分,求a+b 的值.三. 立方根1. 定义 33a x a x =⇔=. 33a a -=-.非负数的非负立方根叫做算术立方根.2. 性质 任何数有且只有一个立方根.例 -0.125的平方的立方根是 0.25 ;0.25的立方的平方根是 ±0.125 .3. 求法 ① 观察法，② 计算器法.例 计算: 3833= 23 ;3728.1= 1.2 ;31683-= 25- ;3333543++= 6 .1. -3.375的立方根是 ; 31331-3343= ; 332717-= . 2. 若x 3+0.064=0,则x = ;若2x 3+54=0,则x = .若(3x+2)3-64=0,则x = ;若3(2-x)3=81,则x = .3. 已知x 是30的算术平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是 . 已知x 是30的平方根的整数部分,则(x-1)2(x-5)+27的立方根是4. 若5是2a+b 的一个平方根,3是a+2b+1的立方根,求与a+b 的立方根最接近的整数.5. 利用计算器可求2≈1.414,32≈1.260,根据这一结果填空:200≈ ,02.0≈ ;32000≈ , 3002.0≈ . 你发现小数点的移动有什么规律了吗?6. 观察下列等式:33722722⋅=, 3326332633⋅=, 3363446344⋅=,…,写出一般规律.四*. n 次方根1. 奇次方根 任何数(正数、零、负数)有且只有一个奇次方根: 12-k a (k 为正整数).2. 偶次方根① 正数的偶次方根有两个,它们互为相反数: k k a x a a x 22)0(±=⇔>=(k 为正整数).② 零的偶次方根是零;③ 负数没有偶次方根;3. 算术根 非负数的非负n 次方根叫做算术根.(双重非负数) 例 判断: 正数a 的n 次方根叫a 的n 次算术根.( × )n a 表示a 的n 次方根.( × )4. 开方运算① 开方运算是乘方运算的逆运算;② 任何实数开奇次方,结果唯一;③ 只有非负数才能开偶次方,结果不唯一.例 1024的的5次方根是 4 ,1024的10次方根是 ±2 ;55)2(-= -2 ; 1010)2(-= 2 .若(x-1)6-729=0,则x = 4或-2 .1. 判断:① 16的4次方根是2. ( ) ② 16的4次算术根是2. ( ) ③ 2是16的4次方根. ( ) ④ -243的5次算术根是3.( )2．下列命题中真命题是( ).A. 任何实数可以开n 次方B. a n 的n 次方根就是aC. n a 表示a 的n 次方根D. 非负数的非负n 次方根叫做算术根.3. (-4)4 的4次方根是 . 1024·(-2)14的6次算术根是 .4. 已知M =n m m -+2是m+2的立方根,N =n m n +-2是n-2的9次方根,则M-N 的值是 .5. 求x: ①16154=-x ,x = . ② 01024.0)1(5=-x ,x = . 6*．设997x 3＝998y 3＝999z 3＞0,且3333222999998997999998997++=++z y x ,求x,y,z 的倒数和.。
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被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,那么它
的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位
1.若 12.5 3.535，1.25 1.118 那么 125 1 1. 8 ； 0.125 0 .35 35 。
2.若已知 7.45 2.729，y 272.9； 那么y 74 50 0 。
x y4 0
x
2
y
5
ห้องสมุดไป่ตู้
0
解方程组得，
x y
3 1
动动脑
1. 16的算术平方根是 ； 52 122 。
2.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
２的数的算术平方根是____m__2___2___
4. 5 a b的最大值为 ， 此 时a与b的 关 系 为 。
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
1.双重 非 负性： a 0, a 0
2.任
何
一
个
数
的x2 a
平
方
的
算
术
平
方根等于这个数的绝对值.
a2 _ _a___
a 3.一个 非 负数
的算数平方根的
( a)2 ____ (_a_ 0)
平方是它本身：
学以致用
2. (1) ３的算术平方根是＿＿3＿．
(2) 81 的算术平方根是＿3＿＿．
⑶＿0＿和＿1 的算术平方根等于它本身．
⑷ 若 x 2 , 则 x ____4_
⑸若 3 x 3 ,则 x ___6_
(6)若 3 x2 x 3 ,则 x 3
拓展:已知 x y 4 | x 2y 5 | 0求x，y的值．
1.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
3 34.2 3.246，求下列各式的值 :
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 -324.6
（3） 3 0.00342 -0.1507
2.已知3 32.8 3.201，3 2.28 1.316， 3 0.328 0.6896，3 x 13.16，3 y 68.96， 则x 228 0 ； y 3 28 000 .
观察下列数值：
3 0.001 0. 1
3 1 1
3 1000 10
3 0.000216 - 0. 06
3 0.216 - 0. 6
3 216 -6
3 216000 -6 0
被开方数的小数点每向右(或左)移动三位, 则它的立方根的小数点向右(或左)移动一位.
５.已知（ｘ１）2 y 2 z 3 0 求x y z的算术平方根。
观察下列数值： 0.0625 0.25
0.625 0.791
6.25 2.5
62.5 7.91
625 25
6250 79.1
62500 250
你能直接说出 6250000与 625000的值吗？ 你发现其中有什么规律？