《电磁场与电磁波教程》教学课件—矢量分析与场论

第一章 矢量分析与场论
主要内容：
绪
矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础
论
场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
第一章 矢量分析与场论
1.1 矢量分析
• 1.1.1 标量（Scalar）和矢量(Vector)
绪
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，
例如，电压、温度、时间、质量、电荷等 。
论 既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，称为矢量，
A y
•
y
x
x
球坐标系
球坐标系中表示空间位置点的3个坐标变量是r、 和
它们的变化范围分别是
0 r 0
0 2
第一章矢量分析与场论
球坐标系与直角坐标系之间的变换关系：
绪
r x2 y2 z2
arccos(z / x2 y2 z2 )
或
x r sin cos
y
r
sin
sin
论
圆柱坐标系的长度元、面积元和体积元
体积元为
dV d ddz
A B = ( A B )e ( A B )e ( Az Bz )ez
第一章矢量分析与场论
A B ( Ae Ae Azez ) (Be Be Bzez )
A B A B Az Bz
绪
A B ( A e A e Azez ) (B e B e Bzez )
如电场强度、磁场强度、速度等等。
一个模为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。
eA
A A
A
式中，A为矢量A的模。
P
第一章矢量分析与场论
1.1.2 矢量的代数运算
绪
交换律 A B B A
结合律 ( A B) + C A+ (B C)
论
矢量减法 A B A (B)
1.1.3 矢量的标积与矢积
论 在圆柱坐标系中，位置矢量为
r e zez 其微分元
dr d (e ) d (zez ) d e de dzez
d e de dzez
第一章矢量分析与场论
在圆柱坐标系中，与3个坐标 单位矢量相垂直的三个面积
绪 元分别为
z
d
d
r
dz
dS ddz
o
y
论
dS d，dz
x
d
dSz ，d d
在直角坐标系中，位置矢量
r xex yey zez
其微分为 dr dxex dyey dzez
第一章矢量分析与场论
1.2.2 圆柱坐标系
绪 论
z
z
z为常数平面
0
z0
,来自百度文库 (
0
,
0
0,z0)
ez
e
y
O
ez
y
φ
0
e
x
e
x
e
为常数平面
φ为常数平面
圆柱坐标系由 , 和z三个坐标变量组成，它们的变
论
两个矢量的叉积是一个矢量
C
A B ec AB sin
O
B
A
矢积不服从交换律，而服从分配律
AB B A
第一章矢量分析与场论
标量三重积 A (B C) B (C A) = C ( A B)
矢量三重积 A (BC) B(AC) - C(A B)
绪
z
1.2 常用的正交坐标系
论 1.2.1 直角坐标系
arctan( y / x)
z r cos
单位矢量满足
er e e e e er e er e
它们与直角坐标系之间的变换关系：
er sin cosex sin siney cos ez
e co s cosex cos siney sin ez e sinex cosey
第一章矢量分析与场论
A与B的叉积
A B ( Axex Ayey Azez ) (Bxex Byey Bzez )
绪 ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )ey ( Ax By Ay Bx )ez
论
ex ey ez
＝ Ax Ay Az
Bx By Bz
化范围分别是 0 ， 0 2 ，－∞＜z＜∞。
第一章矢量分析与场论
圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系：
＝ x2 y2 , arctan( y x), z z
绪 或 x cos, y sin, z z
论 e e ez , e ez e , ez e e
e e 是随 变化的
第一章矢量分析与场论
或
ex sin coser cos cose sin e ey sin siner cos sine cose
绪
ez cos er sin e
e
sin ex
cosey
e
e
cosex
siney
e
y
e
ey
e
P
ex
单位圆
x
直角坐标系与圆柱坐标系的单位矢量的关系
第一章矢量分析与场论
任一矢量A在圆柱坐标系中可以表示为
A A e A e Azez
绪
其中A 、A 和 Az 分别是矢量A在 e 、e 和 ez 方向上的
投影。
两个矢量A与B标积(Scalar Product)，称为点积 （或内积），以“A·B”表示。两个矢量A与B矢积， 称为叉积（Cross Product）（或外积），以“A×B” 表示。
第一章矢量分析与场论
两个矢量的点积是一个标量
A B ABcos
绪
矢量的点积服从交换律和分配律
AB B A
A(B C) A B AC
论
( A Bz Az B )e ( Az B A Bz )e ( A B A B )ez
e e ez A A Az
B B Bz
第一章矢量分析与场论
＊1.2.3 球坐标系
绪 论
(r,θ,φ) θ为常数平面
r为常数平面
z
er e
r e
θ
φ
r
y
、
φ为常数平面
z
r • P(r,,)
z o
x
z0
绪
任一矢量A在直角坐标系中 可表示为
论
A Axex Ayey Azez
O
x0 x
F P(x0,y0,z0) ez y0 y
ex ey
A与B的矢量和
直角坐标系中一点的投影
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez A与B的标积
A B = ( Axex Ayey Azez ) (Bxex Byey Bzez ) Ax Bx Ay By Az Bz
直角坐标系中的3个 坐标变量是x,y,z，它们的 变化范围分别是-∞<x< ∞ ，
x
-∞<y< ∞ ，-∞<z< ∞ ，空 间任一点是3个坐标曲面 x=x0、y=y0和z=z0的交点。
ez
ey P
O
y
ex
直角坐标系
第一章矢量分析与场论
z
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey