初中数学相似之动点问题综合测试卷word版
(完整word版)初中数学动点问题专题复习及答案
初中数学动点问题练习题1、佇夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B 时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t .求四边形MNQP的面C积S随运动时间t变化的函数关系式，并写岀自变量t的取值范围.QPAM N B2、如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AD 3，DC 5，AB 4. 2，Z B 45 .动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN // AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形.3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA// BC,点A的坐标为（6，0），点B 的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）.（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN // OC?⑵设△ CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式, 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？x(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之 停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒). (1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式； (2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； (4) 通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简要说明理由.5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
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一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtA ABC 中，/ ACB=90°, AC=3, BC=4,过点B作射线BB1// AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH丄AB于H, 过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；(2)当△ DEG与^ ACB相似时，求t的值. 4.如图所示，在^ ABC 中，BA= BC= 20cm , AC= 30cm, 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动•设运动的时间为x.(1)当x为何值时，PQ// BC?(2)△ APQ与△ CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由.2.如图，在△ ABC中，^ ABC= 90° AB=6m, BC=8m,动点P 以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动•同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)① 当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当△ CPQ为等腰三角形时，求出t的值. 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm, BC=6cm,点沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t (S)表示移动的时间(0v t < 6)。
(1)当t为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与^ ABC相似？在RtAABC 中，/ ACB= 90° AC= 6, BC= 8, 3.如图1 ,点D在边AB上运动，DE平分三CDB交边BC于点E,EM丄BD,(1)当AD= CD 时，求证：DE/ AC;垂足为M, EN丄CD,垂足为N.(2)探究：AD为何值时，△ BME与^ CNE相似？C/V /V z二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45。
中考数学高频考点《动点产生的相似、全等三角形问题》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《动点产生的相似、全等三角形问题》专项测试卷-带答案一阶方法突破练相似三角形问题1. 如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0),B(3,0),C(0,4),点D为x轴上一点，当△ABC∼△ACD时，求点D的坐标.2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点 B，已知点 C的坐标为( (−4,0),点 P 是直线 AB上的一个动点.若以A，P，C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标.3.如图，抛物线y=−12x2+32x+2交x轴于点A,B,交y轴于点C,点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N.若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标.● 全等三角形问题x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线AC⊥AB于点A，若点 D 是x轴上方直线AC4.如图,直线y=12上的一个动点，点E 是x轴上的一个动点，当△BOA≅△AED时，求点E的坐标.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+2x+3与 x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，点C是第一象限内抛物线上一点，过点C作( CD⊥x轴于点 D，直线y=x与CD所在直线交于y=x点 E,若直线: y=x；上存在一点 F，使得△ODE≅△FCE,求点 C的坐标.6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²−2x+3与x 轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC,若在第二象限内存在一点D，使得以A，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，求点 D 的坐标.二阶设问进阶练例如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1l与x轴交于点A，与y轴交于点 C，过点 C的抛物线y=3 4x2−52x+1与直线AC交于点B(4,3).(1)已知点P是x轴上一点(点 P不与点O重合)，连接CP，若△AOC∼△ACP,，求点P的坐标；(2)已知点Q(m,0)是x轴上一点,连接BQ,若以点A,B,Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点Q的坐标；(3)已知点E(0,n)为y轴正半轴上一点,点. D(0,−1),，若以点B，C，E为顶点的三角形与△ACD相似，求点 E 的坐标；(4)若点 F 是抛物线上一点，过点 F 作FG⊥y轴于点 G,点 J是y轴上一点，要使以F，G，J为顶点的三角形与△OAC全等，求点 F的纵坐标；(5)若点S为第一象限内抛物线上一点，过点S作ST⊥x轴于点T，点Z 是x轴上一点，要使以S，T，Z 为顶点的三角形与△AOC全等，求点 Z 的坐标；(6)如图⑥，已知L为AO的中点，连接OB，点R为平面直角坐标系内一点，是否存在点R，使得以L，O，R为顶点的三角形与△COB全等?若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.综合强化练1. 创新题·阅读理解题定义：将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线y=a(x −ℎ)²+k(h,k均大于0)，则将抛物线y=ax²称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线y=a(x−ℎ)²+k称为抛物线y=ax²的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离√ℎ2+k2称“衍生距离”.如图，已知抛物线L y=−1x2+2x与x轴交于点A,顶点为B,连接AB,OB.2x2为抛物线L的“原函数”，则抛物线L 的“衍生路径”为，平移前后对应点的“衍生(1)若抛物线y=−12距离”为；(2)若点Q是线段AB上一点，点C为OB的中点，连接CQ，点B 关于线段CQ的对称点为B′,当△B′CO为等边三角形时，求CQ的长；(3)若将抛物线L作为“原函数”，将其向左平移n(n⟩0))个单位得到它的“衍生函数”L'，L'与x轴的负半轴交于点E，与y轴交于点 D，点 P 为抛物线L'上一点，若△POE≅△POD,求两抛物线的“衍生距离”.作图区答题区2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2与x轴交于A(1,0) B(−3,0))两点,与y轴交于点C,连接AC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P是第二象限内抛物线上的动点，PQ⊥x轴于点Q，M是x轴上的点，当以P，Q，M为顶点的三角形与△AOC全等时，求 P点与M点的坐标；(3)如图②,连接BC,过点A作. AD‖BC交抛物线于点 D，E为BC下方抛物线上的一个动点，连接DE,交线段B C于点 F,连接CE,AF,求四边形ACEF 面积的最大值.作图区答题区3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−√3x+√3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，过点 B 的另一直线交x轴于点( C(−3,0).(1)求直线 BC的解析式;(2)创新题·动点求面积关系若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CA运动，过点 P作y轴的平行线交直线BC于点Q，连接BP.设△BPQ的面积为S，点 P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在直线BC上是否存在点 M，使得以A，B，M 为顶点的三角形与△AOB相似?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区4. 创新题·阅读理解题定义：若抛物线y=ax²+bx+c(ac≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.线段OA,OB,OC的长满足OC²=OA⋅OB,则这样的抛物线称为“黄金抛物线”.如图，“黄金抛物线y=ax²+bx+2(a ≠0)与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点 B，与y轴交于点 C，且OA=4OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为AC 上方抛物线上的动点，过点 P作PD⊥AC于点 D.①求 PD的最大值;②连接PC，当以点 P，C，D为顶点的三角形与△ACO相似时，求点 P 的坐标.作图区答题区5.如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点A,B,( C(−2,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，点 P 为直线AB上方抛物线上一动点，过点 P作PE‖BC交AB于点E，过点P作PF‖x轴交直线AB于点F，求△PEF周长的最大值及此时点 P的坐标；(3)如图②，将抛物线向右平移2个单位得到一个新的抛物线y′,，新抛物线与原抛物线交于点G，连接BG并延长交新抛物线y'于点 D，连接OG，作射线OD.动点M位于射线 OD下方的新抛物线上，动点 N位于射线OD上，是否存在动点M，N，使∠OMN=90°,,且以点O,M,N为顶点的三角形与△OBG相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区参考答案一阶方法突破练1. 解:∵A(-3,0),B(3,0),C(0,4)∴AB=6,AC=5.∵△ABC∽△ACD∴ABAC =ACAD,即65=5AD,解得AD=256.由题意得，点 D 在点A 的右侧∵OA=3,∴OD=AD−OA=76,∴点D 的坐标为(76,0).2. 解:在y=−43x+8中,令x=0,解得y=8,令y=0,解得x=6,∴A(6,0),B(0,8),∴AB=√62+82=10.分两种情况考虑，如解图所示①当△AOB ∽△ACP ₁时 ∠ACP ₁=∠AOB =90°,当x=-4时 y =−43x +8=403,∴点 P ₁的坐标为 (−4,403); ②当△AOB ∽△AP ₂C 时,设点P ₂的坐标为 (m ,−43m +8).∵点A 的坐标为(6,0),点 C 的坐标为(-4,0)∴AC=10.∵ △AOB ∽△AP ₂C∴CP 2BO =AC AB ,即 CP 28=1010,∴CP 2=8,∴√[m −(−4)]2+(−43m +8−0)2=8,整理，得 (53m −4)2=0,解得 m 1=m 2=125,∴点P ₂的坐标为 (125,245).综上所述，点P 的坐标为 (−4,403)或 (125,245). 3. 解:在 y =−12x 2+32x +2中,令x=0,得y=2,∴C(0,2),∴OC=2 令 −12x 2+32x +2=0,解得x=4或x=-1∵点B 在x 轴正半轴,∴B(4,0),∴OB=4.设 M (t ,−12t 2+32t +2),1N(t,0)∴MN =−12t 2+32t +2,ON =t. 分两种情况讨论：①当△BOC ∽△MNO 时 OC NO =BO MN ,即解得 t =−1+√172或 t =−1−√172(舍去); ②当△BOC ∽△ONM 时 OC NM =OB NO ,艮 2−12t 2+32t+2=4t , 解得 t =1+√5或 t =1−√5(舍去).综上所述，点M 的横坐标为 −1+√172或 1+√5.4. 解:如解图,∵ AC ⊥AB,∴∠BAC=∠AOB=90°∴ ∠ABO + ∠BAO = ∠CAE +∠BAO=90° 2t =4−12t 2+32t+2,∴∠ABO=∠CAE在y=1x+2中2令x=0,则y=2,令y=0,则x=-4∴OA=4,OB=2∵△BOA≌△AED,∴AE=OB=2,∴OE=AE+OA=6∴E(-6,0).5. 解:∵ CD⊥x 轴,直线 y=x 与 CD 交于点 E,∴∠OED=∠EOD=45°,OD=DE设D(m,0)如解图当点 C 在直线 y = x 上方时△ODE≌△FCE∴∠ODE=∠FCE=90°,ED=CE,∴C(m,2m),将 C 点坐标代入抛物线的解析式，得2m=−m²+2m+3,解得m=√3或m=−√3(舍去)∴C( √3,2 √3)当点 C 在直线y=x下方时，不存在满足条件的点 C.综上所述，点C的坐标为(√3,2√3).6. 解:∵抛物线y=−x²−2x+3与x轴交于点 A,B,与y轴交于点 C∴令x=0,解得y=3,令y=0,解得x=1或x=-3∴C(0,3),A(-3,0),B(1,0),∴OA=OC=3,OB=1.如解图，分两种情况讨论：①当△CD₁A≌△ABC时∵OA=OC=3,∴∠CAO=45°∵△CD₁A≌△ABC∴∠ACD₁=∠CAO=45°,∴CD₁‖AB,CD₁=AB=4,∴D₁(-4,3);②当△AD₂C≌△ABC时∠BAC=∠CAD₁=45°,AB=AD₁=4,∴∠D₂AB=90°,∴D₂(-3,4)综上所述,点D的坐标为(-4,3)或(-3,4).二阶设问进阶练例解:(1)∵直线AC经过点B(4,3),∴将点 B 的坐标代入直线 AC的解析式，得3=4k+1,解得k=1,2∴直线AC 的解析式为 y =12x +1,在 y =12x +1中,令y=0,解得x=-2 ∴ 点A 的坐标为(-2,0) ∴AO=2,CO=1∴AC =√AO 2+CO 2=√22+12=√5. 如解图①,设点 P(p,0),连接CP,∴PA=p+2.∵ △AOC ∽△ACP ∴ACAO =APAC ,即 √52=√5, p =12, ∴ 点P 的坐标为(( 12,0);(2)如解图②，分两种情况讨论：①△AOC ∽△AQ ₁B 时,∠AQ ₁B=∠AOC=90° ∴BQ ₁⊥x 轴. ∵B(4,3)∴点 Q ₁的坐标为(4,0);②△AOC ∽△ABQ ₂时,过点B 作BQ ₂⊥AB,交x 轴于点Q ₂,则点Q ₂(m,0) ∵AO AB =AC AQ 2,即 3√5=√5m+2. 解得 m =112,此时点Q ₂的坐标为 (112,0). 综上所述，点Q 的坐标为(4，0)或 (112,0);(3)∵A(-2,0),C(0,1),B(4,3),D(0,-1),E(0 n),∴AC =AD =√5,BC =2√5,CD =2,CE =|n −1| ∴分两种情况讨论：①当△ACD ∽△BCE 时 ACCD =BCCE , 即 √52=2√5|n−1|,解得n=5或n=-3(舍去);②当△ACD ∽△ECB 时AC EC=DC BC,即√5|n−1|=2√5,n=6或n=-4(舍去)综上所述,点E 的坐标为(0,5)或(0,6);(4)∵A(-2,0),C(0,1),∴OA=2,OC=1,分两种情况讨论： ①△OAC ≌△GJF 时∴OC=FG=1,∴点F 的横坐标为1或-1 将点 F 的横坐标代入 y =34x 2−52x +1,解得 y =−34或 y =174;②△OAC ≌△GFJ 时∴OA=FG=2,∴点F 的横坐标为2或-2,将点 F 的横坐标代入 y =34x 2−52x +1,解得y=-1或y=9 ∴ 点 F 的纵坐标为 −34或 174或-1或9; (5)∵OA=2,OC=1 分两种情况讨论：①如解图③,当△AOC ≌△STZ 时,ST=AO=2,OC=TZ=1,∴ys=2 在 y =34x 2−52x +1中，令y=2,得 34x 2−52x +1=2,解得 x =5+√373或 x =5−√373舍去),(1∴S (5+√373,2),T (5+√373,0), ∴Z (2+√373,0)或 (8+√373,0);②如解图④,当△AOC ≌△ZTS 时,ST=CO=1,AO=TZ=2,∴ys=1 在 y =34x 2−52x +1中，令y=1,得 34x 2−52x +1=1,解得 x =103或x=0(舍去)∴S (103,1),T (103,0),∴Z (43,0)或 (163,0),∴点Z 的坐标为 (2+√373,0)或 (8+√373,0)或 (43)0)或(( 163,0);(6)存在.∵ B(4,3)∴OB=√(4−0)2+(3−0)2=5,∴在△COB中,( CO=1,BC=2√5,OB=5∵L为AO 的中点,OA=2,CO=1∴LO=CO=1,L(-1,0)设R点坐标为(x,y)则LR²=(x+1)²+y²,OR²=x²+y²,∵ LO=CO,如解图⑤,分两种情况讨论: ①当△LOR≌△COB时,RL=BC,OR=OB.∴{(x+1)2+y2=20x2+y2=25,解得{x1=−3y1=4,{x2=−3y2=−4,即R点坐标为(-3,4)或(-3,-4);②当△OLR≌△COB时,RL=OB,OR=CB.∴{(x+1)2+y2=25x2+y2=20,解得{x3=2y3=4,{x4=2y4=−4,即R点坐标为(2,4)或(2,-4).∴综上所述,R点坐标为(-3,4)或(-3,-4)或(2,4)或(2,-4).三阶综合强化练1.解：(1)将原函数向右平移2个单位，再向上平移2个单位，2 √2; 【解法提示】∵y=−12x2+2x=−12(x−2)2+2,.将原函数y=−12x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到y=−12x2+2x,根据公式得“衍生距离”为√22+22=√8=2√2.(2)【思路点拨】审题后，根据题意画出草图，由△AOB的三边关系可判定△AOB 为等腰直角三角形，由对称性和等边三角形的性质结合锐角三角函数求解即可.根据题意画出图象，如解图①在y=−12x2+2x中令y=0,解得x=0或x=4,∴A(4,0).∵ B 为抛物线 L 的顶点∴B(2,2),∴OB=BA=2√2.∵ C 是OB的中点∴OC=BC=√2.∵△OB'C为等边三角形,∴∠OCB'=60°.又∵点 B 与点 B'关于线段CQ 对称∴∠B'CQ=∠BCQ=60°.∵OA=4,OB=2√2,AB=2√2,∴OB²+AB²=OA²,∴∠OBA=90°在 Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC= √2∴cos∠BCQ=BCCQ =√2CQ=12,∴CQ=2√2;(3)【思路点拨】由全等三角形对应边角关系可得OD=OE,∠POD=∠POE,由线段相等关系结合抛物线与坐标轴交点，列方程求解即可.∵将抛物线L作为“原函数”，将其向左平移n个单位得到它的“衍生函数”L'(n>0),L:y=- 12(x- 2)²+2,∴L′:y=−12(x−2+n)2+2,∵抛物线L的“衍生函数”L'与x轴的负半轴交于点E,与y轴交于点 D∴令x=0,得y=−12n2+2n,令y=0,得x=-n或x=4-n∴OD=|−12n2+2n|,OE:=n或OE=4-n∵△POE≌△POD,∴OD=OE如解图②，当−12n2+2n>0,即0<n<4时,有−12n2+2n=n,解得n=0(舍去)或n=2,或有−12n2+2n=4-n,解得n=4(舍去)或n=2∴抛物线L 的“衍生函数”L'为y=−12x2+2,∴两抛物线的“衍生距离”为√22+02=2;如解图③，当−12n2+2n<0时，即n<0(不符合题意)或n>4时,4-n<0,∴有12n2−2n=n,解得n=0(舍去)或n=6∴两抛物线的“衍生距离”为√62+02=6,综上所述，两抛物线的“衍生距离”为2或6.2. 解:(1)把A(1,0),B(-3,0)代入y=ax²+bx−2中,得{a+b−2=09a−3b−2=0,解得{a=23b=43∴抛物线的解析式为y=23x2+43x−2;(2)【思路点拨】∵以P，Q，M 为顶点的三角形与△AOC全等,由于∠AOC=∠PQM=90°,故分两种情况,①△PQ M≌△AOC,②△MQP≌△AOC,分别求解即可.在y=23x2+43x−2中,令x=0,则y=-2∴C(0,-2),∴OC=2 ∵A(1,0),∴OA=1设P(x,23x2+43x−2),分两种情况讨论：①如解图①,当△PQM≌△AOC 时,PQ=OA =1,QM=OC=2∴23x2+43x−2=1,解得x=−√222−1或x=√222−1(舍去)∴P(−√222−1,1),∴Q(−√222−1,0),∴M(−√222−3,0)或M(−√222+1,0);②如解图②,当△MQP≌△AOC时,PQ=OC=2,QM=OA=1∴23x2+43x−2=2,解得x=−√7−1或x=√7−1(舍去) ∴P(−√7−1,2),∴Q(−√7−1,0),∴M(−√7−2,0)或M(−√7,0),综上所述，点 P，M的坐标为：P(−√222−1,1),M(√222−3,0)或M(−√222+1,0);P(−√7−1,2),M(−√7−2,0)或M(−√7,0);(3)【思路点拨】分别求出BC，AD 的解析式确定点D坐标，连接DC，将四边形ACEF的面积转化为△DEC 的面积，表示出面积关系式，利用二次函数的性质即可求出最大值.∵B(-3,0),C(0,-2)∴直线 BC 的解析式为y=−23x−2,∵AD∥BC,∴设直线AD 的解析式为y=−23x+b2,将A(1,0)代入得b2=23,∴直线AD 的解析式为y=−23x+23,令−23x+23=23x2+43x−2,解得x=-4或x=1(舍去)∴D(−4,103),如解图③,连接DC∵AD∥BC∴S AFC=S DFC,∴S四边形ACEF=S DEC,∵D(-4 103),C(0,-2)∴直线 DC 的解析式为y=−43x−2.过点 E 作 EQ⊥x轴交 CD于点 Q设E(m,23m2+43m−2),则Q(m,−43m−2),∴S圆锥侧ACEF=S DEC=12×4×(−43m−2−23m2−43m+2)=−43(m2+4m)=−43(m +2)2+163,∴−43<0,∴当m=-2时,四边形 ACEF 面积的最大值为 163.3. 解:(1)∵一次函数 y =−√3x +√3的图象经过A ，B 两点，∴当x=0时,y= √3,∴B(0 √3) 设直线BC 的解析式为y=kx+b(k ≠0),将 B(0 √3),C(-3,0)两点坐标代入 得 {b =√3−3k +b =0, 解得 {k =√33.b =√3 ∴ 直线 BC 的解析式为 y =√33x +√3;(2)由题意可得CP=t,则OP=|t-3|,∴P(t-3,0),∵ PQ ∥y 轴 ∴Q 点的横坐标为t-3,将x=t-3,代入直线BC 的解析式得 y =√33t,∴Q (t −3,√33t), 当0≤t<3 时,△BPQ 在 y 轴左侧,此时 PQ =√33t,OP=3-t ∴S BPQ =12PQ ⋅OP =12×√33t ×(3−t )=−√36t 2+√32t. 当t=3时,点B,Q 重合 ∴S=0;当t>3时,△BPQ 在y 轴右侧,此时 PQ =√33t,OP =t-3∴S BPQ =12PQ ⋅OP =12×√33t ×(t −3)=√36t 2−√32t. 当t=3时同样满足上式.综上所述，S 与t 的函数关系式为 S ={√36t 2+√32t(0≤t <3)√36t 2−√32t (t ≥3);(3)存在. ∵tan ∠OBC =OC OB=√3=√3,∴∠OBC =60∘,∴∠BCO=30°,∴BC=2OB=2 √3. 令 y =−√3x +√3=0,则x=1,∴A(1,0) ∵tan ∠OBA =OAOB =√3=√33,∴∠OBA =30∘,∴∠ABC=90°,AB=2OA=2.①当点 M 在 y 轴左侧,△MBA ∽△AOB 时,则 MB AO = BA OB ,卧 MB 1=√3∴MB =2√33, 如解图,过点M ₁作M ₁H ⊥y 轴于点H ∴M 1H =M 1B ⋅sin60∘=2√33×√32=1,BH =M 1B ⋅cos60∘=2√33×12=√33, ∴HO =BO −BH =√3−√33=2√33.∵点 M 在第二象限 ,∴M 1(−1,2√33);当△ABM ∽△AOB 时,则 BM OB =ABAO , 即√3=21,∴BM =2√3,此时点 M 与点 C 重合∴M ₁(−3,0);②当点 M 在 y 轴右侧,△MBA ∽△AOB 时,则 MB AO=BAOB,即MB 1=√3∴MB =2√33, 如解图,过点M ₃作M ₃N ⊥y 轴于点 N ∴M 3N =M 3B ⋅sin60∘=2√33×√32=1,BN =M 3B ⋅cos60∘=2√33×12=√33, ∴ON =√3+√33=4√33,∴M 3(1,4√33); 当△ABM ∽△AOB 时,则 MBBO =ABAO , 即√3=21,∴MB =2√3,如解图,过点M ₄作M ₄P ⊥y 轴于点P∴PM 4=M 4B ⋅sin60∘=2√3×√32=3,PB =M 4B ⋅cos60∘=2√3×12=√3,∴OP =OB +PB =√3+√3=2√3,∴M 4(3,2√3).综上所述，符合条件的点M 的坐标为 (−1,2√33)或(-3,0)或 (1,4√33)或(3,2 √3).4.解:(1)由题意得 OC ²=OA ⋅OB, ∵抛物线 y =ax ²+bx +2与y 轴交于点 C ∴C(0,2),∴OC=2 ∵OA=4OB,∴4=4OB ·OB ∴OB=1,OA=4 ∴A(-4,0),B(1,0)将点A(-4,0),B(1,0)代入抛物线y=ax²+bx+2中,得{16a−4b+2=0a+b+2=0,解得{a=−12b=−32∴抛物线的解析式为y=12x2−32x+2;(2)①【思路点拨】过点 P作y轴的平行线与直线AC交于点E,∠PED=∠ACO,由锐角三角函数将求PD的最大值转化为求PE的最大值，利用二次函数的性质求解即可.如解图①，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AC 于点E易知直线AC的解析式为y=12x+2,设P(m,−12m2−32m+2),则E(m,12m+2),∴PE=−12m2−32m+2−12m−2=−12m2−2m,∵−12<0,..当m=−b2a=−2时，PE有最大值∵∠PED=∠ACO,A(-4,0),C(0,2) ∴ sin∠PED=sin∠ACO∴AC=2√5,∴PD:PE=AO:AC=4:2 √5∴PD=2√55PE=2√55(−12m²−2m),∴当m=-2时,PD 有最大值,最大值为4√55;②【思路点拨】分两种情况,(i)△CPD∽△ACO,由对应角相等关系可得,PC∥AO,将OC=2=γ代入即可,(ii)△PCD∽△ACO,构造“A”字型与△PCD 相似的三角形，再构造“一线三垂直”模型，联立直线与抛物线的解析式求解即可.∵PD⊥AC,∴∠PDC=90°=∠AOC∴当以点 P，C，D为顶点的三角形与△ACO相似时，则△CPD∽△ACO或△PCD∽△ACO(i)如解图②,若△CPD∽△ACO,则∠PCD=∠CAO,∴CP∥AO∵C(0,2),∴点P 的纵坐标为2∵点P为AC上方抛物线上的动点∴2=−12x2−32x+2,解得x₁=0(不合题意，舍去)，x₁=−3,∴此时点 P的坐标为(-3,2);(ii)如解图③,过点A 作AC 的垂线,交 CP 的延长线于点 G,过点 G 作 GH ⊥x 轴于点 H,若△PCD ∽△ACO,则 ∠PCD =∠ACO,PD AO =CD CO ,∴PD CD =AO CO =42=2, ∵ PD ⊥AC,GA ⊥AC,∴GA ∥PD∴△GAC ∽△PDC∴GA PD =AC DC ,∴GA AC =PD CD =2,∵GA ⊥AC,GH ⊥x 轴∴∠GAC=∠GHA=90°∴∠AGH+∠GAH=90°,∠GAH+∠CAO=90°∴∠AGH=∠CAO又∵∠GHA=∠AOC=90°,∴△GHA ∽△AOC∴GH AO =AH CO =GA AC ,即 GH 4=AH 2=2,∴GH=8,AH=4,∴HO=AH+OA=8,∴G(-8,8)易知直线CG 的解析式为 y =−34x +2, 令 −34x +2=−12x 2−32x +2,解得 x ₁=0(不合题意，舍去)， x 2=−32, 把 x =−32代入 y =−34x +2 得 y =−34×(−32)+2=258,∴此时点 P 的坐标为 (−32,258). 综上所述，符合条件的点P 的坐标为(-3，2)或 (−32,258).5. 解:(1)∵直线y=-x+4与x 轴,y 轴分别交于点A,B,∴A(4,0),B(0,4)∴抛物线的解析式为 y =ax ²+bx +4将A(4,0),C(-2,0)分别代入 y =ax ²+bx +4中,得 {16a +4b +4=04a −2b +4=0,解得 {a =−12,b =1,∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4;(2)由题意知,△OBC三边之比为1:2: √5,如解图①，过点 P 作PH∥y轴交AB 于点H,作EK⊥PH于点 K ∴△PEK∽△BCO∴EKPK =COBO=12,由题意可知△EHK 与△FPH为等腰直角三角形. ∴EK=KH,PF=PH,设PH=l ∴PK+HK=l,EK=13l,∴EH=√23l,EF=2√23l,PE=√53l,则C PEF=(1+2√23+√53)l,设P(m,−12m2+m+4),则H(m,-m+4)∴PH=−12m2+2m,∴C PEF=(1+2√23+√53)⋅(−12m2+2m)=(1+2√23+√53)⋅[−12(m−2)2+2].∴−12<0,0<m<4,∴当m=2时,C△PEF 取得最大值,最大值为2+ 4√23+2√53,此时,点P的坐标为(2,4);(3)【思路点拨】分两种情况,①△MON∽△BOG,旋转OG构造∠MON=∠BOG,联立直线OM与抛物线的解析式求解即可,②△MNO∽△BOG,旋转OD 构造∠MON=∠BGO，联立直线OM与抛物线的解析式求解即可.存在.将抛物线向右平移两个单位得y′=−12(x−2)2+(x−2)+4=−12x2+3x,新抛物线与原抛物线交于点G,B(0,4)∴G(2,4),D(4,4)分两种情况讨论：①当△MON∽△BOG时如解图②,将 OG绕点 O 顺时针旋转45°得到点 G',延长 OG'交抛物线于点 M,过点 M 作OM⊥MN交射线OD 于点 N,过点 G作GH⊥OD 于点 H∵G(2,4),D(4,4),B(0,4)∴OD=4 √2,GD=2,OB=4,OG=2 √5∴GH=√22GD=√2,∵∠GHO=90°,∴OH=3 √2过点 G'作 G'Q⊥x轴于点 Q,则∠GOH=∠G'OQ,∠GHO=∠G'QO=90°,OG=OG' ∴△GOH≌△G'OQ∴G′Q=GH=√2,OQ=OH=3√2,∴G′(3√2,√2),∴直线OM 的解析式为y=13x,联立{y=13xy=−12x2+3x,解得{x1=0y1=0舍去) {x2=163y2=169∴M(163,169);②当△MNO∽△BOG时,∠NOM=∠OGB,如解图③，将OD 绕点 O顺时针旋转∠BGO 的度数交抛物线于点 M,过点 M作OM⊥MN交射线OD于点N同①理可得，直线OM 的解析式为y=−13x.联立{y=−13xy=−12x2+3x,解得{x1=0y1=0舍去) {x2=203y2=−209∴M(203,−209).综上所述，点M的坐标为(163,169)或(203,−209).。
中考数学复习《相似》专项综合练习含答案
中考数学复习《相似》专项综合练习含答案一、相似1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。
（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。
初中动点问题题目汇总定稿版
初中动点问题题目汇总精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】一.选择题1.（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）2.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A 点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C．D．3．（2015?甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）4．（2015?四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P 从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是5. （2015?四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．6. （2015?山东威海，第 11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）7. （2015山东省德州市，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ①③④D.②③④二.解答题1. （2015?四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．2. （2015?山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A 运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．3.（2015?山东日照，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？4.（2015?山东聊城,第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x 轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题：（1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；当x 为何值时，S 有最大值最大值是多少（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．5．(2015·深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ,现在三角板以2cm /s 的速度向右移动。
(完整word版)七年级数学下---全等三角形之动点问题练习
七年级数学下---全等三角形之动点问题练习1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm／s 的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ 的面积为9cm2？2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）填空：△ABC的面积为；（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值。
3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l 于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。
中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。
(完整word版)初一动点问题.docx
线段与角的动点专项1．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 20cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当 P 运动到线段AB 上且 PA＝ 2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点 Q 的运动速度；（2）若点 Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距 70cm？2．如图，直线l 上依次有三个点O， A， B，OA＝ 40cm， OB＝ 160cm．（1）若点 P 从点 O 出发，沿OA 方向以 4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点 Q 运动速度为1cm/s，则经过t 秒后 P， Q 两点之间的距离为cm（用含 t 的式子表示）②若点 Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝ 2PB，求点 Q 的运动速度．（2）若两点 P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取 OQ 和 BP 的中点 M，N，求的值．3．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 60cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点 P 运动到 AB 的中点时，所用的时间为秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、 Q 两点相距30cm？4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣ 3，点 B 在点 A 的右侧，且到点A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是；点C表示的数是；（2）若点 P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点 B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点 Q 之间的距离为6？（3）在（ 2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点 Q 与点 B 之间的距离表示为 QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝ 4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠ AOB＝ 155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠ AOD 与∠ BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠ DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．6．以直线AB 上点 O 为端点作射线OC，使∠ BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点 O 处．（1）如图 1，若直角△ DOE 的边 OD 放在射线OB 上，则∠ COE ＝；（2）如图 2，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠ AOC，说明 OD 所在射线是∠ BOC 的平分线；（3）如图 3，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得∠C OD ＝∠ AOE．求∠ BOD的度数．7．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠ BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠ BOC，问：此时直线ON 是否平分∠ AOC ？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图 1 中的三角板绕点O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠ AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．9．已知∠ AOC ＝ 40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M， O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图 1，当点 A 与点 M 重合，点 B 与点 N 重合，且射线OC 和射线 OD 在直线 MN 的同侧时，求∠BOP 的余角的度数；（2）在（ 1）的基础上，若∠BOD 从 ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5° /s，同时∠ AOC 从 OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3° /s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．10．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，将一直角三角形的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线 ON 是否平分∠ AOC？请说明理由；（2）若∠ BOC＝ 120°．将图 1 中的三角板绕点 O 按每秒 6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为（直接写出结果）；（3）在（ 2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使 ON 在∠ AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠ NOC 之间的数量关系，并说明理由．11．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，使∠ AOC：∠ BOC＝ 2： 1，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得 OM 落在射线OA 上，此时 ON 旋转的角度为°；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得 OM 在∠ BOC的内部，则∠BON﹣∠ COM ＝°；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠ BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为秒，简要说明理由．。
初一数学动点问题例题集(可编辑修改word版)
初一数学动点问题集锦1、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点D 为AB 的中点．（1） 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等， 经过1秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2） 若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：（1）①∵t = 1秒， ∴ BP = CQ = 3⨯1 = 3 厘米，∵ AB = 10 厘米，点D 为 AB 的中点， ∴ BD = 5 厘米． 又∵厘米，∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米PC = BC - BP ，BC = 8 ，∴PC = BD ．又∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴△BPD ≌△CQP ．（4 分）②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CQP ，∠B =∠C ，则BP =PC = 4，CQ =BD = 5 ，t =BP=4∴点P ，点Q 运动的时间 3 3 秒，v =CQ=5=15Q t 4 4∴ 3 厘米/秒．（7 分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，15x = 3x + 2 ⨯10由题意，得4 ，x =80解得 3 秒．80⨯ 3 = 80∴点P 共运动了3 厘米．∵80 = 2 ⨯ 28 + 24 ，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12 分）y =-3x + 62、直线 4 与坐标轴分别交于A、B 两点，动点P、Q 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A、B 两点的坐标；（2） 设点Q 的运动时间为t 秒， △OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；S =48（3） 当5 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1 分 （2） OA = 8，OB = 6∴ AB = 108= 8点Q 由O 到 A 的时间是1 （秒）6 +10 = 2∴点P 的速度是 8 （单位/秒） 1 分当P 在线段OB 上运动（或 0≤ t ≤ 3 ）时， OQ = t ，OP = 2tS = t 2 1 分当 P 在 线 段 BA 上 运 动 （ 或 3 < t ≤ 8 ） 时 ，OQ = t ，AP = 6 +10 - 2t = 16 - 2t ,PD = AP 如图，作PD ⊥ OA 于点D ，由 BO AB ，得 ∴ S = 1 OQ ⨯ PD = - 3 t 2 + 24tPD =48 - 6t5，1 分 2 5 5 1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）yBPO QAxP ⎛8 24 ⎫，⎪（3）⎝5 5 ⎭ 1 分I ⎛28 24 ⎫⎛12 24 ⎫⎛12 24 ⎫1 5⎪，M2 - ，⎪，M3 ，-⎪⎝ 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭⎝5 5 ⎭3 分3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8 分别与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3 为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？，4 4 5解：（1）⊙P 与 x 轴相切.∵直线 y=－2x －8 与 x 轴交于 A （4，0），与 y 轴交于 B （0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k ， ∴PB=PA=8+k.在 Rt △AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与 x 轴相切.（2）设⊙P 与直线 l 交于 C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于 E.1 3∵△PCD 为正三角形，∴DE= 2 CD= 2 ，PD=3，3 3∴PE= 2 .∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，3 3AO PE ,即 = 2∴AB PB PB ，PB = 3 15 ,∴2PO = BO - PB = 8 -3 15∴2 ，P (0, 3 15 - 8)∴ 2 ，k = 3 15 - 8 ∴ 2 .当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,－ 3 15 2 －8)，∴k=－ 3 152－8，∴当 k= 3 152－8 或 k=－ 3 152－8 时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H ．（1） 求直线 AC 的解析式；（2） 连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S （S ≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5 在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻BEQDA图 16C以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP 于点E．点P、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P、Q 运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2 时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．8解：（1）1， 5 ；（2）作QF⊥AC 于点F，如图3，AQ = CP= t，∴ AP = 3 -t ．由△AQF∽△ABC，BC == 4 ，QF=t得 4 5 ．∴S =1(3 -t) ⋅4tQF =4t5 ．∴ 2 5 ，S =-2t 2+6t即 5 5 ．（3）能．①当DE∥QB 时，如图4．图 4 ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．QGD C (E )PQGDA PC (E )[ (5AQ = AP由△APQ ∽△ABC ，得 AC AB ， Bt =3 - t 即35． 解得t = 9 8 ．②如图 5，当 PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形 QBED 是直Q D角梯形． E 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ =APAB AC ， APC图 5Bt =3 - t 即5 3 ． 解得 t = 15 8 ．（4） （4）t = 52 或t =45 14 ．①点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C ． 连接 QC ，作 QG ⊥BC 于点 G ，如图 6．A图 6B =3 24 2 PC = t ， QC 2 = QG 2 + CG 2 [ (5 - t )] 5+[4 - (5 - t )] 5 ． t 2 =3 24 25 由PC 2 = QC 2 ，得 [ (5 - t )] 5 +[4 - (5 - t )] 5 t = ，解得 2．②点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C ，如图 7．图 7(6 - t )2 = 3 - t )]2 +[4 - 4 (5 - t )]2 5 5t =45， 14 】6 如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90°，∠B = 60°BC = 2 ．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与 AC A重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交 AB 边于点D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为．A（1） ①当=度时，四边形EDBC 是B（备用图）等腰梯形，此时AD 的长为 ；l E OD CCO②当 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长3 为 ；（2） 当90° 时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解 （ 1） ① 30， 1； ② 60，1.5； .............................................................................. 4 分（2）当∠α=900 时，四边形 EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵ CE//AB, ∴ 四 边 形 EDBC 是 平 行 四 边形 ................................................. 6 分在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2 . 1AC∴AO= 2 =. ……………………8 分在 Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形 EDBC 是平行四边形，∴ 四 边 形 EDBC 是菱形 .................................................................................. 10 分352 - 42 ADA DN7 如 图 ， 在 梯 形ABCD 中，AD ∥ BC ，AD = 3，DC = 5，AB = 4 2，∠B = 45︒ 动AD点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长N度的速度向终点C 运动；动点 N 同时从C 点出 BM发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1） 求BC 的长．（2） 当MN ∥ AB 时，求t 的值．（3） 试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形．解：（1）如图①，过 A 、D 分别作 AK ⊥ BC 于K ， DH ⊥ BC 于H ， 则四边形 ADHK 是矩形∴KH = AD = 3在Rt △ABK 中， 1 分AK = AB sin 45︒ = 4 2． 2= 4 2BK = AB cos 45︒ = 4 22 = 42 2 分在Rt △CDH 中，由勾股定理得，HC = = 3 ∴ BC = BK + KH + HC = 4 + 3 + 3 = 10 3 分BK H（图①）CBCG M（图②）（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN ∥AB∴MN ∥DG∴BG =AD = 3∴GC = 10 - 3 = 7 4 分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，CN =t，CM = 10 - 2t∵DG ∥MN∴∠NMC =∠DGC又∠C =∠C∴△MNC ∽△GDCCN=CM∴CD CG 5 分t=10 - 2t即5 7t =50解得，17 6 分（3）分三种情况讨论：①当NC =MC 时，如图③，即t = 10 - 2tt =10∴ 3 7 分A DN A DNM HB C B E CM（图③）（图④）②当MN =NC 时，如图④，过N 作NE ⊥MC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得cos c =EC=5 -tEC =1MC =1 (10 - 2t )= 5 -t2 2在Rt△CEN 中，NC t 又在Rt△DHC 中，5 -t=3cos c =CH=3CD 5∴t 5t =25解得8 8 分解法二：∵∠C =∠C，∠DHC =∠NEC = 90︒ ∴△NEC ∽△DHCNC=EC∴DC HCt =5 -t即5 3t =25∴8 8 分③当MN =MC 时，如图⑤，过M 作MF ⊥CN 于F 点. FC =1NC =1t2 2解法一：（方法同②中解法一）1 tA Dcos C = FC MC = 2 = 310 - 2t 5 t = 60 解得 17B 解法二：∵∠C =∠C ，∠MFC = ∠DHC = 90︒ ∴△MFC ∽△DHC（图⑤）N FH MCFC = MC∴HC DC1 t2 = 10 - 2t即 3 5 t = 60∴ 17t =10 t = 25t =60综上所述，当 3 、 8 或 17 时，△MNC 为等腰三角形 9分8 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 AB 的中点，过点E 作EF ∥ BC 交CD 于点F ． AB = 4，BC = 6 ，∠B = 60︒.（1） 求点E 到BC 的距离；（2） 点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥ EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ，连结PN ，设EP = x .AD E F A D E F A EPD N F ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图 3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.BCBMCBCM 图 1 图 2 图 3 （第 25 题） ADEFBC图4（备用）BC图5（备用）22 -12 NH 2 + PH 2 ⎛ 5 ⎫22⎝ 2 ⎭ ⎪ + ⎛ 3 ⎫⎝ 2 ⎭ ⎪ 3 7 A D EFAND E PF H3 解（1）如图 1，过点E 作EG ⊥ BC 于点G ．1 分 ∵ E 为 AB 的中点，BE = 1AB = 2∴2 在Rt △EBG 中，∠B = 60︒ ∴∠BEG = 30︒2 分BGC图 1BG = 1BE = 1，EG = = ∴2即点E 到BC 的距离为 3． 3 分（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时， △PMN 的形状不发生改变．∵PM ⊥ EF ，EG ⊥ EF ∴ PM ∥ EG∵EF ∥ BC ∴ EP = GM ， PM = EG =同理MN = AB = 4． 4 分如图 2，过点P 作PH ⊥ MN 于H ，∵ MN ∥ AB ， ∴∠NMC =∠B = 60︒，∠PMH = 30︒PH = 1 PM = 3∴2 2∴MH = PM cos 30︒ = 2BG MC图 2NH = MN - MH = 4 - 3 = 5则2 2PN = = = 在Rt △PNH 中，∴△PMN 的周长= PM + PN + MN = + + 4． 6 分②当点 N 在线段 DC 上运动时， △PMN 的形状发生改变， 但△MNC 恒为等边三角形．33 7AEPDN FR3 当PM = PN 时，如图 3，作PR ⊥ MN 于R ，则MR = NRMR = 3类似①，2 ∴ MN = 2MR =3 7 分∵△MNC 是等边三角形，∴ MC = MN = 3此时， x = EP = GM = BC - BG - MC = 6 -1- 3 = 2 8 分A DEP FNADEF （P ） NBGMCBGMCBGM C图 3图 4图 5当MP = MN 时，如图 4，这时MC = MN = MP = 此时，x = EP = GM = 6 -1- = 5 - 当NP = NM 时，如图 5，∠NPM =∠PMN = 30︒ 则∠PMN = 120︒ 又∠MNC = 60︒ ∴∠PNM +∠MNC = 180︒因此点P 与F 重合， △PMC 为直角三角形．∴MC = PM tan 30︒ = 1． 此时， x = EP = GM = 6 -1-1 = 4综上所述，当x = 2 或 4 或(5 - 分3)时， △PMN 为等腰三角形． 109 如图①，正方形 ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（0，10），（8， 4），点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发33沿A→B→C→D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P、Q 保持原速度不变，当点P 沿A→B→C→D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1） Q（1，0） 1 分点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度． 2 分（2） 过点 B 作 BF ⊥y 轴于点 F ， BE ⊥ x 轴于点 E ，则 BF ＝8，OF = BE = 4 ．∴AF = 10 - 4 = 6 ．在 Rt △AFB 中， AB == 10过点C 作CG ⊥ x 轴于点G ，与FB M ∵∠ABC = 90︒,AB = BC∴△ABF ≌△BCH ．∴ BH = AF = 6, CH = BF = 8 ．∴OG = FH = 8 + 6 = 14, CG = 8 + 4 = 12 ． ∴所求 C 点的坐标为（14，12）．4 分（3） 过点 P 作 PM ⊥y 轴于点 M ，PN ⊥ x 轴于点 N ，则△APM ∽△ABF ．AP= AM =MP∴ t = AM = MP∴AB AF BF ． 10 6 8 ．AM = 3 t ，PM = 4 tPN = OM = 10 - 3 t , ON = PM = 4t∴5 5 ． ∴55 ．设△OPQ 的面积为S （平方单位）S = 1 ⨯ (10 - 3 t )(1+ t ) = 5 + 47 t - 3t 2∴2 5 10 10（0≤ t ≤10） 5 分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．47 t = -10 = 47 a = - 3∵ 10 <0∴当分2 ⨯ (- 3) 10 6时， △OPQ 的面积最大． 6DFDFFD94 53此时P 的坐标为（15 ，10 ）．7 分（4）当t =53 或t =29513 时，OP 与PQ 相等．9 分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF = 90 ，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A A AB C E GB B图1 图2 图 3）D F（2 分 解：（1）正确． （1 分）证明：在 AB 上取一点M ，使 AM = EC ，连接ME ．A ∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ．CF 是外角平分线， ∴∠DCF = 45° ， ∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ．∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ，∴ ∠BAE = ∠CEF ．∴△AME ≌△BCF （ASA ）．（5 分）∴ AE = EF ． （6 分）（2）正确． （7 分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使 AN = CE ，连接 NE ． （8分）∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． ∴∠DAE = ∠BEA ．∴∠NAE = ∠CEF ．∴△ANE ≌△ECF （ASA ）． （10 分）∴ AE = EF ． （11 分）FDMBECGN ABC E G11 已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB = 90°，OA = 2，OB = 4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边 AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点 A（Ⅱ）若折叠后点 B 落在边OA 上的点为 B '，设OB ' = x ， OC = y ，试写出 y 关于x 的函数解析式，并确定 y（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ' ，且使B 'D ∥OB ，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点 A 则△ACD ≌△BCD .设点C 的坐标为(0，m )(m > 0) . 则BC = OB - OC = 4 - m . 于是 AC = BC = 4 - m .在Rt △AOC 中，由勾股定理，得 AC 2 = OC 2 + OA 2，(4 - m )2= m 2+ 22，解得 m = 32 .⎛ 0 3 ⎫∴点C 的坐标为⎝ ， ⎪2 ⎭ . 4 分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则△B 'CD ≌△BCD . 由题设OB ' = x ，OC = y ， 则B 'C = BC = OB - OC = 4 - y ，在Rt △B 'OC 中，由勾股定理，得B 'C 2= OC 2+ OB '2.∴(4 - y )2= y 2 + x 2y = - 1x 2 + 2即8 6 分由点B '在边OA 上，有0 ≤ x ≤ 2 ，y = - 1x 2 + 2 (0 ≤ x ≤ 2)∴ 解析式8为所求.∴ 当0 ≤ x ≤ 2 时， y 随x 的增大而减小，3≤ y ≤ 2∴ y 的取值范围为 2. 7 分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ' ，且B 'D ∥OB . 则∠OCB ' = ∠CB 'D .又 ∠CBD = ∠CB 'D ，∴∠OCB ' = ∠CBD ，有CB '∥ BA . ， 即5 MF∴Rt △COB ' ∽ Rt △BOA . OB ' = OC有OA OB ，得OC = 2OB ' . 9 分在Rt △B 'OC 中，设OB ' = x 0 ( x > 0) ，则OC = 2x 0 .由（Ⅱ）的结论，得2x 0 = - 1 x 2+ 2 8 0 ，解得x 0 = -8 ± 4 5．x 0 > 0，∴ x 0 = -8 + 4 . ∴点C 的坐标为(0，8 5 -16) . 10 分12 问题解决A D如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在ECD 边上一点E （不与点C ， D 重合），压平后得到折痕CE 1 AMBNC=MN ．当CD 2 时，求 BN 的值．图（1）方法指导： AM 为了求得BN的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2类比归纳CE = 1，AMCE = 1在图（1）中，若CD 3 则 BN 的值等于 ；若CD 4AMCE =1 AM则 BN 的值等于；若 CD n （ n 为整数），则 BN 的值等M F于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点EAB = 1(m > 1CE = 1（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设BC m )，F CD n 则 AMAMD BN 的值等于．（用含m ，n 的式子表示）EBNC图（2）解：方法一：如图（1-1），连接BM ，EM ，BE ．AEBNC图（1-1）由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM =EM，BN =EN 1 分∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =∠C = 90° , AB =BC =CD =DA = 2CE=1，∴CE=DE=1∵CD 2 设BN =x 则NE =x NC = 2 -x 在Rt△CNE 中，NE2=CN 2+CE2．x2=(2-x)2+12x =5解得4BN =5，即 4 3 分在Rt△ABM 和在Rt△DEM 中，AM 2+AB2=BM 2，DM 2+DE2=EM 2，∴AM 2+AB2=DM 2+DE2 5 分设AM =y则DM=2-y，∴y2+22=(2-y)2+12y =1，AM =1．解得 4 即AM=1∴ BN 5 7 分4 6 分BN =5方法二：同方法一， 4 3 分如图（1－2），过点N 做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∴⎨ ⎩ △BCE ≌△NGM ，EC = MG∵AD ∥ BC ∴四边形GDCN 是平行四边形．∴ NG = CD = BC同理，四边形 ABNG 也是平行四边形．∴ ∵MN ⊥ BE ，∴∠EBC + ∠BNM = 90°AG = BN = 5 4 NG ⊥ BC ，∴∠MNG + ∠BNM = 90°，∴∠EBC = ∠MNG 在△BCE 与△NGM 中⎧∠EBC = ∠MNG ， ⎪BC = NG ， ⎪∠C = ∠NGM = 90° ∴５分AM = AG - MG ，AM = 5 -1 = 1∵AM =1 4 4 6 分 ∴ BN 57 分类比归纳2 4 9(n -1)25 （或10 ）； 17 ； n 2 +1 10 分联系拓广n2m2- 2n +1n2m2+1 12 分。
相似三角形的动点问题题型(整理)word版本
相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积； （2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
中考数学专题《相似》综合检测试卷及答案解析
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）.（1）AP=________cm（同含t的代数式表示）.（2）当点N落在边AB上时，求t的值.（3）求S与t之间的函数关系式.（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.【答案】（1）（10-5t）（2）解：如图①，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．（3）解：分三种情况讨论：a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．当时，．b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则．当时，．c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－ ×4t×（9t-6）－ ×（6t-6）（8t-8）= ．综上所述：（4）解：分三种情况讨论．①当NQ∥AB时，如图5，过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得：．②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得：．③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，此时DQ=AB= =6，t= =2．综上所述：或或．【解析】【解答】解：（1）（10-5t）；【分析】（1）由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;（2）由欧勾股定理的逆定理可得∠ABD=，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得比例式：,则可得关于t的方程，解方程即可求解；（3）由（2）知，当□PQMN全部在□ABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q 在BD边上的运动速度是8cm/s，在DC边上的运动速度是6cm/s，所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A，所以分3种情况：a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，当0 < t ≤时， S=BQ PE；b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，设PN交AB于点F，当< t ≤ 1 时，S =（PF+BQ）PE；c)如图④，当1 < t ≤ 2 时， S =平行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；（4）由题意NQ与△ABD的一边平行可知，有3种情况：①当NQ∥AB；②当AD∥NQ，且Q在BD上时；③当AD∥NQ，且Q在DC上时。
中考数学(动点相似(全等))专题强化练习卷试题
币仍仅州斤爪反市希望学校动点相似〔全等〕专题1.如图，抛物线的对称轴是y 轴，且点〔2，2〕，〔1，54〕在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点．〔1〕求抛物线的解析式及顶点N 的坐标；〔2〕求证：四边形PMDA 是平行四边形；〔3〕求证：△DPE ∽△PAM 时的点P 的坐标．2.二次函数y=﹣x 2+bx+c+1， ①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②假设c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③假设二次函数的图象与x 轴交于点A 〔x 1，0〕，B 〔x 2，0〕，且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式． 3．如下列图，在平面直角坐标系中，⊙C 经过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别相交于M 〔4，0〕，N 〔0，3〕两点．抛物线开口向上，与⊙C 交于N ，H ，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C 且垂直x 轴于点D ．〔1〕求线段CD 的长及顶点P 的坐标；〔2〕求抛物线的函数表达式；〔3〕设抛物线交x 轴于A ，B 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S 四边形OPMN =8S △QAB ，且△QAB ∽△OBN 成立？假设存在，请求出Q 点的坐标；假设不存在，请说明理由．4．如图，抛物线285y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F . 〔1〕试求该抛物线的表达式；〔2〕如图〔1〕，假设点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；〔3〕如图〔2〕，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，①求证：ACD ∆是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？5．抛物线2y ax bx c =++，其中20a b c =>>，且0a b c ++=.〔1〕直接写出关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；〔2〕证明：抛物线2y ax bx c =++的顶点A 在第三象限；〔3〕直线y x m =+与,x y 轴分别相交于,B C 两点，与抛物线2y ax bx c =++相交于,A D 两点.设抛物线2y ax bx c =++的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得ADF ∆与BOC ∆相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.6．定义：点P 是△ABC 内部或边上的点〔顶点除外〕，在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，假设至少有一个三角形与△ABC 相似，那么称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，那么△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决以下问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y =x ＞0〕上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．〔1〕如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP =∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 3〕，点N ，0〕时，求点P 的坐标；〔2〕如图3，当点M 的坐标是〔3，点N 的坐标是〔2，0〕时，求△MON 的自相似点的坐标；〔3〕是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？假设存在，请直接写出这两点的坐标；假设不存在，请说明理由．7．如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B . 〔1〕求点B 的坐标和抛物线的解析式；〔2〕M 〔m ，0〕为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ，①点M 在线段OA 上运动，假设以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上HY ，假设三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕，那么称M ，P ，N 三点为“共谐点〞.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点〞的m 的值.8．如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，A 〔3，0〕，且M 〔1，83-〕是抛物线上另一点． 〔1〕求a 、b 的值；〔2〕连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，假设以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；〔3〕假设点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点〔不与O、A重合〕，过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH 的面积为S，求S与t之间的函数关系式．9.抛物线y=ax2+bx+3经过点A〔1，0〕和点B〔5，0〕．〔1〕求该抛物线所对应的函数解析式；〔2〕该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值；假设不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？假设存在，求出满足条件的点P的坐标；假设不存在，说明理由．。
初中数学动点问题测试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列关于动点问题的说法，正确的是（）A. 动点问题只涉及几何知识B. 动点问题需要运用方程思想和数形结合思想C. 动点问题与实际生活无关D. 动点问题只出现在高中数学中2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边BC上，AD垂直于BC，点E在AD上，若BE=ED，则下列结论正确的是（）A. ∠BAC=∠BCAB. ∠B=∠CC. ∠A=∠BD. ∠A=∠C3. 在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C开始沿CD边以2cm/s的速度向点D运动，则下列结论正确的是（）A. 当P运动到B点时，Q运动到D点B. 当P运动到B点时，Q运动到C点C. 当Q运动到D点时，P运动到B点D. 当Q运动到D点时，P运动到C点4. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边BC上，AD垂直于BC，若BD=3cm，则AD的长度为（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm5. 在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C开始沿CD边以2cm/s的速度向点D运动，则下列结论正确的是（）A. 当P运动到B点时，Q运动到D点B. 当P运动到B点时，Q运动到C点C. 当Q运动到D点时，P运动到B点D. 当Q运动到D点时，P运动到C点二、填空题（每题4分，共16分）1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边BC上，AD垂直于BC，若BD=3cm，则AD的长度为______cm。
2. 在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C开始沿CD边以2cm/s的速度向点D运动，则当P运动到B 点时，Q运动到______点。
3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边BC上，AD垂直于BC，若∠BAC=30°，则BD的长度为______cm。
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初中数学相似之动点问题综合测试卷
一、单选题(共2道，每道50分)
1.如图,□OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴上,∠AOC=60°,OC=4cm.OA=8cm.动点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以acm/s 的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)当a=1时,设△OPQ的面积为S,则S与t的函数关系式为___________.
(2)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O,M,P为顶点的三角形与△OAB相似,则a与t的函数关系式为___________(并直接写出t的取值范围).
A.;(0<t≤8)或(0≤t≤8)
B.;(0<t≤8)
C.;(0<t≤8)或(6≤t≤8)
D.
;(0<t≤8)或(0≤t≤8)
2.如图,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3,动点M从D点出发,以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动,同时动点N从A点出发,以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动,当其中一点到达终点时,运动结束.过点N作NP⊥AB,交AC于点P,连接MP.设运动时间为t秒.
(1)试求△MPA的面积S与时间t之间的函数关系式,写出自变量t的取值范围;
(2)在这个运动过程中,当△MPA为等腰三角形时,则t的值为( )
A. B.
C. D.
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