椭圆中四边形面积最值问题一例刘向阳

椭圆中四边形面积最值问题一例

-------教学设计

扬中市第二高级中学刘向阳

一、引入问题背景：

生活中我们经常要研究最优解的问题。在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.

二、教学内容分析：

解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.

几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.

三、学生学习情况分析：

椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.

在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。

由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。

四、教学目标：

1、 在学生原有的认知基础上进一步理解椭圆定义、标准方程和几何性质。

2、 椭圆中最值问题产生原因（ “动因”）如何分析

3、 能从代数和几何两个角度分析和解决椭圆最值问题，掌握解决最值问题的基本策

略。

4、 掌握求椭圆最值问题的一般方法，在问题的提出、建模、解模的过程中形成方法体

系。

重点：会求椭圆的最值问题

难点：参数的引入、建模过程、解模的方法

五、教学过程设计

（一）课前准备：我们已经复习了椭圆的概念、方程、几何性质，那么椭圆有那些性质呢？ 生：顶点坐标、椭圆上点的范围、对称性、离心率

（二）问题提出

已知椭圆C ： 上两点、

过椭圆中心O 的直线与椭圆 C 交于E 、F 两点，其中点E 在第一象限，求四边形AEBF 面积的最大值。

分析问题：

问题（1）：我们能从题目中得到哪些信息？（顶点坐标、焦点位置、E 位置，目标求四边形面积的最大值）

问题（2）：哪些是定量、哪些是变量？

问题（3）：求不规则四边形面积有哪些常见方法？（割补法：化为规则四边形，分割成两个三角形）

问题（4）：怎样分割这个四边形，这样分割的好处是什么？

以EF 为底进行分割 ；（板书） 以AB 为底进行分割 （板书）

问题（5）：怎样表示出要求的目标函数AEBF 的面积？选取什么变量来表示？

学生小组讨论（选EF 直线斜率，选E 点坐标）3分钟

问题（6）：提出问题，为什么要用直线EF 的斜率来建立目标函数？

欲求四边形AEBF 面积的最大值，说明四边形是变化的，否则只能求值，那么是谁让

22

134

x y +=S AEF BEF

AEBF S S =+四边形S AEB AFB AEBF S S =+四边形

四边形变化呢？从已知看应该是直线EF ，因为A,B 是定点，那么直线EF 又为什么动呢？已知它过原点，所以斜率使其运动，这样就分析出了四边形AEBF 面积的“动因”，从而用“动因”（即斜率）来建立目标函数。

四边形AEBF 的“动因”也可以看作是点E ，F ，因为直线EF 动可以看作是点E,F 在动，一个主动，一个被动，这是因为直线EF 过原点，两点只能确定一条直线，所以一旦E 确定，F 也随之确定。

我们知道，当一条直线过一定点的情况下，欲使之运动，可以从两个方面做到：一是使其斜率变化；二是让其再过一动点，所以对于四边形AEBF 面积“动因”的分析，表面不同，但本质上一致。

当目标函数的“动因”分析出来后，即可利用“动因”来建立目标函数，然后寻找“动因”范围（定义域），进而求出目标函数的最值。

问题（7）：由E 、F 的对称性，当直线EF 转动过程中，你能发现什么？

教师几何画板演示，注意阴影变化情况

学生会发现 （板书）

我们所求的四边形面积又可以怎样表示？

这样转化的好处是什么？（有两条边固定，把变量向定量转化---化归思想）（板书）

（三）解决问题：

学生动手尝试多角度建模解决问题（独立思考解决问题）。10分钟

幻灯展示：

（1）设EF 的斜率为k

问题转化为求

的最值。 （2）设点E

（3）AB 方程为

A,B

0(,)x

y 12

A,B d 到直线距离分别为12o o 1S=EF(d +d )=2x 2

,AOF AOF BOE BOF S S S S ==AEBO S 2AEBF S =四边形四边形

以AB 作底可化为

有线性规划去绝对值为 （4）以AO,BO 作底E 的横纵坐标做高 （5）三角代换

求最值

可让学生自由展示，教师加以补充。

（四）归纳总结，思维拓展：

回顾解决问题的方法：

（

1）

（2）先平方再基本不等式

（3）线性规划 联立使判别式为0

（4）三角代换

求最值

师：总结很全面，大家有没有注意到点变时所有问题都归结为求

的最值？ 那么，

的几何意义是什呢？ （五）问题探究：

学生分组讨论：发现 是与AB 平行且过原点的直线。

表示的是点E 到直线 的距离。 本题可以转化为点E 到AB 距离的最值。

几何画板演示解释本质当EF 为AB 共轭直径时四边形面积最大。

（六）退化与推广

请同学们思考下面两个问题： o o

S=2x o o

S=2x

((0,))22sin o o x y θπθθ

⎧=⎪∈⎨=⎪⎩)4πθ+转化为求≤=2224312o o o o o o s x y y y =++=+2224312o o o o s x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩((0,))22sin o o x y θπθθ

⎧=⎪∈⎨=⎪⎩)4πθ+转化为求o o S=2x o o

S=2x o o S=2x =