人教版八年级下册数学第2课时二次根式的混合运算(导学案)

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人教版八年级数学下册16.3二次根式的混合运算导学案

庙渠初中“三环四步”导学案
年级
八
科目
数
课题
16.3二次根式的混合运算
主备人
周次
教学辅助手段
导学
目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
重点
难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
导学
模式
自学--------展示-------反馈
导学策略及学法指导（师生互动设计）
导
学
过
程
四
步
设
计
自
主Байду номын сангаас
学
习
【自主学习】
计算：
（1） · · （2）
（3）
【合作交流】
1、探究计算：
（1）（）× （2）
2、探究计算：
（1）（2）
3.计算：（1）（2）
（3）（4）（ - ）（- - ）
合
作
探
究
导
学
过
程
四
步
设
计
交
流
展
示
【交流展示】
同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，下面我们观察：
反之，
∴
∴ = -1
仿上例，求：（1）；
（2）你会算吗？
【反馈检测】
1、计算：
（1）（2）
（2）（a>0,b>0）
（4）
2、已知，求的值。
导学策略及学法指导（师生互动设计）

新人教版八年级下册数学导学案

目录学习目标学习目标学习目标＄16.1二次根式（一）导学案＄16.1二次根式（一）导学案＄16.1二次根式（一）导学案＄16.1二次根式（一）导学案＄16.1二次根式（一）导学案二次根式（二）导学案＄16.1＄16.1二次根式（二）导学案＄16.1二次根式（二）导学案＄16.1二次根式（二）导学案＄16.1二次根式（二）导学案＄16.2二次根式的乘除（一）导学案＄16.2二次根式的乘除（一）导学案＄16.2二次根式的乘除（一）导学案＄16.2二次根式的乘除（一）导学案＄16.2二次根式的乘除（一）导学案作业独立完成（）求助后独立完成（）未与时完成（）未完成（）＄16.2二次根式的乘除（二）导学案备课时间2014年（ 2 ）月（26 ）日星期（三）学习时间2014年（）月（）日星期（）学习目标1、理解ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）与利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式与利用它们进行计算和化简．学习重点理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）与利用它们进行计算和化简．学习难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定．＄16.2二次根式的乘除（二）导学案＄16.2二次根式的乘除（二）导学案＄16.2二次根式的乘除（二）导学案＄16.2二次根式的乘除（二）导学案＄16.2二次根式的乘除（三）导学案＄16.2二次根式的乘除（三）导学案＄16.2二次根式的乘除（三）导学案＄16.2二次根式的乘除（三）导学案＄16.3二次根式的加减（一）导学案备课时间2014年（ 3 ）月（ 2 ）日星期（日）学习时间2014年（）月（）日星期（）学习目标1、理解和掌握二次根式加减的方法．2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．3、运用二次根式、化简解决问题．学习重点把二次根式化简为最简根式，合并同类二次根式．学习难点会判定是否是最简二次根式．学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等学习内容学习活动设计意图一、创设情境独立思考（课前20分钟）1、阅读课本P 12～13 页，思考下列问题：（1）分析P12页问题，理解二次根式加减的方法。

二次根式的除法(导学案)-八年级数学下册(人教版)

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册16.2.2二次根式的除法导学案一、学习目标：1.了解二次根式的除法法则.2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算.难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.二、学习过程：课前热身一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？1.二次根式的乘法法则：______a b （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：_______________________________________________.2.积的算术平方根的性质：_______ab （a≥0，b≥0）语言表述：_______________________________________________.应用范围：_______________________________________________.二、练一练：1.计算：312 的结果是()学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.2B.6C.8D.162.计算：20•51的结果是____.3.等式162 x =4 x •4 x 成立的条件是__________.合作探究探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)94=()，94=()；(2)2516=()，2516=()；(3)4936=()，4936=().思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？一般地，二次根式的除法法则是______ ba (a≥0，b＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).m a a b n n b典例解析例1.计算:24331(2);28342561111.226学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【针对练习】计算：(1)218 (2)aa 26(3)672(4)53123452 二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).aa b b语言表述：_______________________________________________.我们可以运用它来进行二次根式的_______和________.例2.化简:375(1)(2);100277(3)2;9281(4)0;25x x 0.09169(5).0.64196【针对练习】化简:学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________735;;1441251(3)2;4227(4)0.16x x ＜自主学习思考：前面我们学习了二次根式的除法法则，23这样的式子分母的根号吗？（请结合分式的基本性质，用多种方法尝试解决）2323【归纳】___________________________________________就叫做分母有理化.典例解析例3.计算:(1)53(2)2723(3)a28【归纳】最简二次根式22，33，103，515，36，aa 2.观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：(1)_________________________；学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)_________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.【针对练习】把下列二次根式化成最简二次根式：(1)32(2)40(3)5.1(4)34例4.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=32，b=10，求a.【针对练习】1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是h 1km，h 2km，那么它们的传播半径的比为2122Rh Rh .2.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=16，b=10，求a.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.计算：1(1)2182;632(2)68(0).3m m m m＞达标检测1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）13B．7C．9D．2022的倒数是（）A．2B．2C．−22D．−2m+34−m=m+34−m成立，则m 的值可以是（）A．-4B．2C．4D．5350时，最好将分子、分母都乘以()A.50B.10C.5D.25.下列计算正确的是()A.11515=355 B.332=255 C.0.50.50.25==20.25D.7733学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.二次根式222145,30,2,40,2a b a b 中，最简二次根式是______________.7.已知长方形的面积是48cm 2，其中一边的长是32cm ,则另一边的长是______cm.8.已知等式223344552=234=45=5338815152424，，，，，请你根据上述的规律，写出用正整数n(n>1)表示的式子___________________.9.把下列二次根式化成最简二次根式：48;(2)120;(3) 3.2;7.1210.化简.122x x 567(2)0.125;a b c 32(3)416.a a 11.计算.3903;52312a b222(3)2.335学习笔记记录区12．若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

人教版八年级数学下册导学案(全册)【最新】

第十六章二次根式第1课时二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。

理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用学法指导：小组合作交流一对一检查过关导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。

（2）被开方数必须是数。

判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。

巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有。

2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是。

3.已知122+-+-=x x y ，则=yx4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。

人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案

在教学方法上，我也要不断尝试创新。例如，利用多媒体教学手段，以动画或图像的形式展示二次根式的混合运算过程，让学生更加直观地理解。同时，引入一些趣味性的数学游戏，让学习变得更加轻松愉快。
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

新人教版八年级数学下导学案(全册)

， ,b - 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.第十六章二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质： a ≥ 0(a ≥ 0) 和 ( a ) 2 = a (a ≥ 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质 a ≥ 0(a ≥ 0) 和 ( a ) 2 = a (a ≥ 0) 。

三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知 x 2 = a ，那么 a 是 x 的_____; x 是 a 的____, 记为____, a 一定是 ____数。

（2）4 的算术平方根为 2，用式子表示为=______；正数 a 的算术平方根为4_____，0 的算术平方根为____；式子 a ≥ 0(a ≥ 0) 的意义是。

（二）自主学习(1) 16 的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是 t (单位：秒)与开始下落时的高度 h ( 单位：米 ) 满足关系式 h = 5t 2 。

如果用含 h 的式子表示 t ，则t =；(3)圆的面积为 S ，则圆的半径是；(4)正方形的面积为 b - 3 ，则边长为。

思考： 16 ，h 5s π定义: 一般地我们把形如 a （ a ≥ 0 ）叫做二次根式，a 叫做______。

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3 ， - 16 ， 34 ， -5 ， a (a ≥ 0) ， x 2 + 13。

2、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。

所以，在二次根式a中，字母a必须满足,a才有意义。

3、根据算术平方根意义计算：(1)(4)2(2)(3)2（3）(0.5)2（4）(13)2根据计算结果，你能得出结论：(a)2=________，其中a≥0,4、由公式(a)2=a(a≥0)，我们可以得到公式a=(a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》

八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》学情分析本节课是在学生已经学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

教学目的1、掌握二次根式的混合运算的运算法则。

2、会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。

教学重点二次根式的混合运算的运算法则。

教学难点运用法则进行计算。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入1、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么？m（a+b+c）= ma + mb + mc（m+n）（a+b）= ma + mb + na + nb2、多项式与单项式的除法法则是什么？（ma+mb+mc）÷m = a+b+c思考：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。

二、讲授新课1、二次根式的混合运算及应用计算：（1）（√8 + √3）×√6 = 2√2 ×√6 + √18= 2√12 + 3√2= 2 × 2√3 + 3√2= 4√3 + 3√2（2）（4√2 - 3√6）÷ 2√2 = 4√2 ÷ 2√2 - 3√6÷2√2= 2 - 3/2√32、利用乘法公式进行二次根式的运算（1）整式乘法运算中的乘法公式有哪些？平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗？二次根式运算类比整式运算同样适用。

3、计算：（1）（√2 + 3）（√2 - 5 ）解：原式 = （√2）2+ 3√2 - 5√2 - 15= 2 - 2√2 - 15= -13 - 2√2（2）（√5 + √3）（√5 - √3 ）解：原式 = （√5）2 - （√3）2= 5 - 3= 24、求代数式的值。

新人教版八年级下册数学教案《导学案》

新人教版八年级下册数学教学设计《导教案》一、选择题1．以下式子中，是二次根式的是（）A．-7B．37C．x D．x2．以下式子中，不是二次根式的是（）A．4B．16C．8D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5B．51D．以上皆不对C．5二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提升题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，2x3x+x2在实数范围内存心义？3．若3x+x 3存心义，则x2=_______．4.使式子(x5)2存心义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A2．D3．B二、1．a（a≥0）2．a3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2x30，x 32．依题意得：2x0x0∴当x>-32x3且x≠0时，x＋x2在实数范围内没存心义．213.34．B5．a=5，b=-4新人教版八年级下册数学教学设计《导教案》第二课时作业设计一、选择题1．以下各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144，二次根式的个数是（）．A．4B．3C．2D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0B．a≥0C．a<0D．a=0二、填空题1．（-3）2=________．2．已知x1存心义，那么是一个_______数．三、综合提升题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（16）2（4）（-32）2 23(2332)(2332)2．把以下非负数写成一个数的平方的形式:（1）5（2）3.41（4）x（x≥0）（3）63．已知xy1+x3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解以下因式:（1）x2-2（2）x4-93x2-5第二课时作业设计答案:一、1．B2．C二、1．32．非负数三、1．（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（16）2=1×6=3 242（4）（22(5)-6 -3）2=9×=6332．（1）5=（5）2（2）3.4=（ 3.4）2（3）1=（1）2（4）x=（x）2（x≥0）66x y10x3x y=34=81 3．30y4x4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）新人教版八年级下册数学教学设计《导教案》（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3）(3)略第三课时作业设计一、选择题1．(21)2(21)2的值是（）．33A．02C．42D．以上都不对B．332．a≥0时，a2、(a)2、-a2，比较它们的结果，下边四个选项中正确的选项是（）．A．a2=(a)2≥-a2B．a2>(a)2>-a2C．a2<(a)2<-a2D．-a2>a2=(a)2二、填空题1．-0.0004=________．2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提升题1．先化简再求值：当a=9时，求a+12a a2的值，甲乙两人的解答以下：甲的解答为：原式=a+(1a)2=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+(1a)2=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原由是__________．2．若│1995-a│+ a 2000=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数仍是负数，去掉绝对值）3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)2+x210x25。

二次根式的有关概念及性质专题(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。

二次根式的混合运算(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次根式的乘除法则是什么？问题2：二次根式的加减法则是什么？问题3：实数混合运算的顺序是什么？问题4：什么是分母有理化？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：二次根式的乘除法则是什么？答：二次根式的乘除法则：①；②．问题2：二次根式的加减法则是什么？答：二次根式的加减法则：①化成最简二次根式；②合并同类二次根式．问题3：实数混合运算的顺序是什么？答：实数混合运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，则先算括号里面的．问题4：什么是分母有理化？答：分母有理化，通过适当的变形把分母化成有理数的过程．在转化过程中需注意保持分子、分母同时乘以相同的因式．二次根式的混合运算（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.计算的结果是( )A.6B.8C.12D.24答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的混合运算2.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算3.计算：=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数的混合运算4.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算5.计算：( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的混合运算6.计算：( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算7.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的混合运算8.计算：( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算9.计算：=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数的混合运算10.计算：( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算11.计算：( )A.0B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数混合运算。

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算(分母有理化)》教学设计

16.3.3 二次根式的混合运算(分母有理化)教学设计教学目标：1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式.3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。

教学重点：有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。

教学难点：运用分母有理化熟练进行二次根式的计算教学过程：一．复习引入：1分母有理化回顾如何将x二．新课探索：1分母有理化。

1．学生尝试将x+y（学生可能出现几种目前做不出的情况，有针对性的分析引导学生思考）2．上述两题的分母有理化中，分母x x=x(yx+)(x- y)=x-y提问：等号左边两个含有二次根式代数式相乘，它们的积有什么特征？3．两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.如x与x互为有理化因式，(yx+)与(x- y)互为有理化因式4．提问：-2x可以是x的有理化因式吗？为什么？填空：x的有理化因式可以是x+的有理化因式可以是y小结：一个含有二次根式的代数式的有理化因式不唯一。

5．想一想：a x+b y的有理化因式是什么？（填一个答案即可）6．说出下列各式的有理化因式：12-a 472- x ++11三．巩固运用：1．（口答）说出下列各式的一个有理化因式： 35+ b a -2 1-x 1-x 21x x ++ 21x x +-2．把下列各式分母有理化（集体练习，个别演示）（1）133+ （2）23341+ （3）)(n m n m nm ≠+-（提醒此题也可以约分做）3．计算：（集体练习，个别演示）（1）154510-- （2） 221111x x x x +-+++4．（备用）已知2231+=x ，求31-x 的值 5．（备用）解不等式：（１）（21-）x ﹥1（2）x x 332>-四、总结交流：这节课你有什么收获？五、作业布置：练习册习题。

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》评课稿

人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》评课稿一、引言本评课稿以人教版八年级数学下册《二次根式的混合运算》为对象，对教材内容、教学目标、教学方法、评价方式等进行细化分析和评价。

通过评课，可以更好地了解该章节教学的特点和问题，提供与教师、教学内容和教学方法相关的反馈和建议。

二、教材内容分析该章节主要涉及二次根式的混合运算，并提供了一些解题技巧。

其中内容包括： - 二次根式的加减与乘除 - 含有二次根式的分数的加减 - 二次根式的约分 - 二次根式的化简与提取公因式 - 含有二次根式的方程三、教学目标设定根据教材内容的分析，本节课的教学目标可以设定如下：1. 了解二次根式的混合运算方法2. 能够对含有二次根式的表达式进行加减乘除运算 3. 能够将含有二次根式的分数进行加减运算，掌握约分方法 4. 能够化简和提取含有二次根式的式子 5. 能够解决含有二次根式的方程四、教学方法与策略本章节的教学可以采用多种教学方法和策略，包括： 1.教师讲解法：通过讲解基本原理和方法来引导学生理解与掌握2. 示范演示法：通过展示具体例题，让学生跟随教师一起完成演示运算 3. 合作学习法：将学生分成小组合作，共同解决问题和讨论 4. 情境教学法：通过设置实际问题和情境，提高学生的兴趣和参与度五、教学过程安排1.导入：通过提出一个生活中的问题，引起学生对二次根式的兴趣，如：小明将一面大片的草坪分成两块，其中一块的面积是另一块的三倍，可以用二次根式来表示吗？2.概念讲解：对二次根式的概念进行详细解释和讲解，引导学生正确理解。

3.基本运算讲解：教师通过讲解加减乘除的运算规则和技巧，引导学生掌握运算方法。

4.练习与讲解：教师提供一些例题，学生在老师的指导下完成运算，并进行相关讲解。

5.小组合作：将学生分成小组，通过合作学习解决一些综合运算题目。

6.拓展练习：提供一些较难的练习题，让学生进行思考和独立解决。

7.指导解析：教师对拓展练习题进行解析和讲解，引导学生发现问题和解决方法。

第2课时二次根式的混合运算

第2课时二次根式的混合运算教学目标【知识与技能】会进行二次根式的混合运算.【过程与方法】通过对二次根式的加减乘除的混合运算，提高学生综合解题的能力.【情感态度】通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】会进行二次根式的混合运算.【教学难点】二次根式混合运算的顺序的确定和运算的准确性.教学过程一、复习问题，导入新课1.计算： (1)146×38； (2)542×14.解：(1)146×38＝14×36×8＝33； (2)542×14＝542×14＝153. 【教学说明】让学生自主完成，检验计算的掌握情况.2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来.答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加.用式子表示为(a ＋b )(m ＋n )＝am ＋an ＋bm ＋bn ，其中a ，b ，m ，n 都是单项式.完全平方式是(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ；(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab .【教学说明】通过对相关的运算律的回顾，为后面的运用奠定基础.3.在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.【教学说明】教师引导学生回答整式的运算律在二次根式的运算中同样适用.二、示例讲解，掌握新知【例1】计算： (1)(6＋8)×3 (2)(46－32)÷22【分析】刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋2 6. (2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32. 【教学说明】学生初次在二次根式的计算中使用运算律，还不太习惯，教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定可以使用什么运算律进行计算，然后再尝试运用.还要注意比较使用运算律后是否便于计算.【例2】计算 (1)(5＋6)(3－5)； (2)(10＋7)(10－7).【分析】刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5. (2)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.【教学说明】让学生先观察，再进行计算，注意计算的结果要进行化简，能合并的一定要合并.(2)可以使用平方差公式进行计算，这里可以将使用公式和不使用公式相比较，体会使用公式计算的简便性.同时对使用公式要注意的问题进行强调.三、练习反馈，巩固提高1.(－12＋32)2的计算结果(用最简根式表示)是__1－22.(1－23)(1＋23)－(23－1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是3.若x ＝2－1，则x 2＋2x ＋1＝__2__.4.已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2b －ab 2＝5.化简5＋710＋14＋15＋21.解：原式＝5＋725＋27＋35＋37＝5＋72（5＋7）＋3（5＋7）＝12＋3＝2－32－3＝3－26.当x＝12－1时，求x＋1＋x2＋xx＋1－x2＋x＋x＋1－x2＋xx＋1＋x2＋x的值.(结果用最简二次根式表示)解：原式＝（x＋1＋x2＋x）2＋（x＋1－x2＋x）2（x＋1）2－（x2＋x）2＝2（x＋1）2＋（x2＋x）×2x＋1＝2（x＋1）（x＋1＋x）x＋1＝2(2x＋1)∵x＝12－1＝2＋1原式＝2(22＋3)＝42＋6.【教学说明】第1、2、3题要注意完全平方公式的使用，第4、5两题可以先分解因式，再进行化简比较简单.第6题比较复杂，教师可适当进行引导.四、师生互动，课堂小结1.进行二次根式的混合运算应该注意哪些问题？(1)注意理清运算的顺序，(2)结果化为最简二次根式，(3)正确进行每一步的运算2.可以利用运算律进行运算课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。

人教版-数学-八年级下册《二次根式的加减》教学详案

《二次根式的加减》教学详案1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.2.培养学生的计算能力.鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.【重点】二次根式的加减运算.【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.第课时理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.体会合作学习的乐趣.【重点】二次根式加减法的运算.【难点】快速准确进行二次根式加减法的运算.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习整式的计算.导入一:(出示教材第12页问题)现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?提问:①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算+的结果呢?引导学生思考,并进行交流.两个小正方形的边长分别为dm和dm,均小于5 dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.怎样计算+呢?下边我们来探究二次根式的加减.设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.导入二:我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗?提问:-=正确吗?本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.1.二次根式的加减法我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢?思路一教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:+=2+3.追问:可以像合并同类项那样合并吗?学生小组讨论回答:相当于x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.思路二(1)合并同类项:①2x+3x=;②2a2-3a2+5a2=.(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.①2+3=;②2-3+5=.学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a2-3a2+5a2=(2-3+5)a2=4a2,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.追问:第(1)问中的①中x换成,②中a2换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢? 学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.引导学生总结:第(2)问中的①和②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.2.例题讲解(教材例1)计算:(1)-;(2)+.引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.解:(1)-=4-3=.(2)+=3+5=8.(教材例2)计算:(1)2-6+3;(2)+.指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗?学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.解:(1)2-6+3=4-2+12=14.(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.二次根式的加减运算,第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.师生共同回顾本节课所学主要内容:二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是()A.+=B.4-3=1C.2×3=6D.÷=3解析:A.不是同类二次根式,不能合并,故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.2.以下二次根式:①,②,③,④中,化简后与被开方数相同的是()A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④解析:①=2;②=2;③=;④=3.故选C.3.(2015·重庆中考)计算3-的值是()A.2B.3C.D.2解析:3-=(3-1)=2.故选D.4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为.解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=解析:由题意得4a2+1=6a2-1,解得a=±1.故填±1.6.计算:(1)2+3-3+;(2)-5+.解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4.(2)-5+=2-5×+==.第1课时1.二次根式的加减法2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.【选做题】教材第15页习题16.3第5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·衡阳中考)计算-=.2.(2014·遵义中考)计算+=.3.若+2+x=10,则x的值等于.【能力提升】4.计算4+3-的结果是()A.+B.C. D.-5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是()A.3-3B.C.1D.36.计算:(1)-2;(2)+;(3)5+5-+;(4)-2.7.如图所示,面积为48 cm2的正方形的四个角都是面积为3 cm2的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.【拓展探究】8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).【答案与解析】1.(解析:原式=2-=.)2.4(解析:+=3+=4.)3.2(解析:+2+x=10化简得=2,故x=2.)4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)6.解:(1)-2=5-2=3.(2)+=+=.(3)5+5-+=5+5-3+3=2+8.(4)-2=--+4=.7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.练习(教材第13页)1.解:(1)不正确.-=2-.(2)不正确.+=2+3=5.(3)正确.3-=(3-1)×=2.2.解:(1)2-6=(2-6)=-4.(2)-+=4-2+=(4-2+1)=3.(3)+(-)=3+(7-3)=10-3.(4)(+)-=2+-+=3+.3.解:d=R-r=-≈-=-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)计算:(1)+3--;(2)--a2+(a>0,b≥0).解:(1)原式=2+2--=0.(2)原式=a-b-a +=(1-b).第课时在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.【重点】能熟练进行二次根式的混合运算.【难点】灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习总结二次根式的加减运算的方法.导入一:教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800 cm2,另一张面积为4500 cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2 m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?引导学生计算所需金彩带的总长,列式为4(+),思考计算方法.如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望.导入二:让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?计算:(1)+;(2)×;(3)÷.学生计算交流后,提出问题:(+)应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题.通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标.1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用思路一下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?(1)怎样计算4(+)?引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.4(+)=4+4=4×20+4×30=80+120.(2)怎样计算(+2)(-2)?引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计算,并全班交流.(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.(3)(+2)2和(-2)2又该如何计算呢?学生讨论,用完全平方公式计算.(+2)2=()2+2××2+(2)2=3+4+8=11+4.(-2)2=()2-2××2+(2)2=3-4+8=11-4.进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用.用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望.思路二(1)请同学们完成下列各题:计算:①(2x+y)·zx;②(2x2y+3xy2)÷xy;③(2x+3y)(2x-3y);④(2x+1)2+(2x-1)2.学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.如果把上面的x,y,z改成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.(+)×=(2+3)×=5×=10,(+)×=×+×=4+6=10.引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用.(2)自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.小组讨论后,全班交流.(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2==2x(-2y+2z)=-4xy+4xz.2.二次根式的混合运算怎样计算(-2)(2-)?同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.(-2)(2-)=×2-×-2×2+2×=6--4+4=-5+10.教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.3.例题讲解刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.(教材例3)计算:(1)(+)×;(2)(4-3)÷2.引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.解:(1)(+)×=×+×=+=4+3.(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.(教材例4)计算:(1)(+3)(-5);(2)(+)(-).学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.解:(1)(+3)(-5)=()2+3-5-15=2-2-15=-13-2.(2)(+)(-)=()2-()2=5-3=2.(1)像(+)与(-)乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.1.下列各式计算正确的是()A.-2=-B.=4a(a>0)C.=×D.÷=解析:-2=(1-2)=-,故选项A正确;=2a(a>0),故选项B错误;与无意义,故选项C错误;÷=,故选项D错误.故选A.2.下列计算正确的是()A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3B.(2+)(-)=2x-yC.(3-)2=32-()2=6D.(+)(-)=1解析:(3-2)(3+2)=9-8=1,所以A选项错误;(2+)(-)=2x-2+-y=2x--y,所以B选项错误;(3-)2=9-6+3=12-6,所以C选项错误;(+)(-)=(+)(-)=x+1-x=1,所以D选项正确.故选D.3.(2015·孝感中考)已知x=2-,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是()A.0B.C.2+D.2-解析:把x=2-代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得:(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+4-3+=49-48+1+=2+.故选C.(1)×;(2)-;(3)÷-×+.解:(1)原式=×+×-3×=+10-15=-4.(2)原式=-=3+2--1=2+.(3)原式=-+2=4+.第2课时1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用2.二次根式的混合运算3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.【选做题】教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.二、课后作业【基础巩固】1.化简-(1-)的结果是()A.3B.-3C.D.-2.如图所示,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+等于()A. B.2 C.3 D.23.计算(-)+的值是.4.计算-(5-)的值为.【能力提升】5.计算:--+|2-|.(1)-2;(2)+-;(3)(5+2)(5-2);(4).7.先化简,再求值:+÷,其中a=1+.8.已知x=-1,y=+1,求+的值.【拓展探究】9.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求x+y2-的值.10.(2015·山西中考)阅读与计算:阅读以下材料,并完成相应的任务.斐波那契(约1175~1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.【答案与解析】1.A(解析:原式=-+3=3.故选A.)2.C(解析:根据对称的性质:对称点到对称中心的距离相等,得到x的值后代入代数式化简求值.由题意得x=1-(-1)=2-,原式=-x+=-2++=2-2+=2-2+(+1)=3.故选C.)3.2(解析:原式=2-+=2.)4.-2+2(解析:二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.-(5-)=3+-5+=-2+2.)5.解:原式=2--2+2-=.6.解:(1)-2=+1-2=-1=1.(2)+-=+-=+2-10=+2-10=-.(3)(5+2)(5-2)=52-(2)2=25-12=13.(4)=12-2××+=12-8+=.7.解:原式=+×=+=,当a=1+时,原式===.8.解:因为x+y=-1++1=2,xy=(-1)(+1)=2,所以+====4.9.解:∵4x2+y2-4x-6y+10=0,∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0.∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=,y=3.原式=x+y2-x2 +5x=2x+-x+5=x+6.当x=,y=3时,原式=×+6=+3.10.解:第1个数:当n=1时,n-==×=1.第2个数:当n=2时,n-===××1=1.教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.练习(教材第14页)1.解:(1)(+)=+.(2)(+)÷=+=4+2.(3)(+3)(+2)=5+2+3+6=11+5.(4)(+)(-)=()2-()2=6-2=4.2.解:(1)(4+)(4-)=42-()2=16-7=9. (2)(+)(-)=()2-()2=a-b.(3)(+2)2=()2+4+22=7+4.(4)(2-)2=(2)2-2×2+()2=22-4.习题16.3(教材第15页)1.解:计算均不正确.理由如下:(1)(2)题不能合并,因为它们不是同类二次根式;(3)题在合并同类二次根式时,误把的系数看作0,并去掉,导致运算错误;(4)题是二次根式化简错误,==.2.解:(1)2+=4+3=7.(2)-=3-=.(3)+6=2+3=5.(4)a2+3a=2a2+15a2=17a2.3.解:(1)-+=3-4+=0.(2)-+-=5-3+4-6=-.(3)(+)-(-)=(3+3)-(2-5)=3+3-2+5=8+.(4)(+)-(+)=+--=--.4.解:(1)(+5)=×+5×=+5=6+10.(2)(2+3)×(2-3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.(3)(5+2)2=(5)2+(2)2+2×5×2=75+20+20=95+20.(4)+÷=÷+÷=+=+.5.解:5-+=-+3=,∵≈2.236,∴原式=≈×2.236≈7.83.6.解:∵x=+1,y=-1,∴x+y=(+1)+(-1)=2,x-y=(+1)-(-1)=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12.(2)x2-y2=(x+y)·(x-y)=2×2=4.7.解:如图所示,作AB边上的高CD,∵∠ACB=90°,CB=CA=a,∴△ABC,△ACD,△BCD都是等腰直角三角形,∴CD=BD=AD=AB,若设CD=BD=AD=x,则AB=2x,S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴a2=x2+x2,∴x2=a2,∴x=a(x=-a不符合题意,舍去),∴AB=2x=2×a=a.8.解:∵a+=,∴=()2,∴a2++2=10,∴a2+=8,∴a2+-2=6,即=6,∴a-=±.9.提示:(1)x1=,x2=-.(2)x1=-5+2,x2=-5-2.复习题16(教材第19页)1.解:(1)由二次根式的意义,可知3+x≥0,∴x≥-3,∴当x≥-3时,在实数范围内有意义.(2)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2x-1>0,∴x>,∴当x>时,在实数范围内有意义.(3)由二次根式的意义及分母不能为0,可知2-3x>0,∴x<,∴当x<时,在实数范围内有意义.(4)由二次根式的意义及分母不能为0,可知(x-1)2>0,∴x≠1,∴当x≠1时,在实数范围内有意义.2.解:(1)==10.(2)==2.(3)===.(4)==.(5)=··=xy.(6)==.3.解:(1)-=-=2---=-.(2)2×÷5=(×÷)=×==.(3)(2+)(2-)=(2)2-()2=12-6=6.(4)(2-3)÷=2÷-3÷=2-3 =4-=-.(5)(2+3)2=(2)2+2×2×3+(3)2=8+12+27=35+12.(6)===-2××+=-+=5-.4.解:由题意可知a2=96×12,∴a===24(负值已舍去).5.解:∵x=-1,∴x2+5x-6=(-1)2+5(-1)-6=5-2+1+5-5-6=3-5.6.解:∵x=2-,∴(7+4)x2+(2+)x+=(7+4)(2-)2+(2+)(2-)+=(7+4)(7-4)+22-()2+=72-(4)2+4-3+=49-48+1+= 2+.7.解:由Q=I2Rt,得I=,当R=5,t=1,Q=30时,I==≈2.45(A).8.解:∵==3,且是整数,n是正整数,∴n的最小值为21.9.解:(1)略.(2)由题意可知由①得OD=OA,把OD=OA代入②中,得OC=OA,把OC=OA代入③中,得OB=OA,∴OB=OA,OC=OA,OD=OA.10.解:三个式子都成立,举例:=5,=6,=7.规律:=n.证明如下:左边===n=右边,所以结论=n成立.二次根式的大小比较策略二次根式的大小比较,是二次根式内容中的一种题型,如果能根据不同的特点,掌握二次根式比较大小的常用方法、解法技巧,会起到事半功倍的作用.比较二次根式的大小,通常有被开方比较法、平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法、设参比较法、比较整数部分法等.(1)运用被开方法比较4和3的大小.解:∵4==,3==,又32>27,∴4>3.(2)运用平方法比较4和3的大小.解:∵(4)2=42×2=32,(3)2=32×3=27,又32>27,∴4>3.(3)运用作差法比较4和3的大小.解:∵4-3=-=->0,∴4>3.(4)运用作商法比较4和3的大小.解:∵===>1,∴4>3.(5)运用倒数法比较-与-的大小(其中n为正整数).解:∵=+,=+,其中n为正整数,且+>+,∴-<-.(6)运用分子有理化法比较与的大小.解:∵==,==,而<,∴<.(7)运用设参法比较A=与B=的大小.解:设x=54321,则A==,B==, ∵x2+3x<x2+3x+2,∴<,∴A<B.。

新人教版八年级下册数学导学案(总)

0.2 1-2a⑶(a-1)2⑸(-65)2a新人教版八年级下册数学导学案(总)③从运算结果来看：(a)2=，a2==第一周导学案编号001【课题】二次根式(1课时) 4.归纳，二次根式的性质有：①a≥0,a≥（双重非负性）②(a)=a(a≥0)【学习目标】1、使学生理解二次根式的概念2、使学生掌握二次根式的化简和计算【重点难点】重点：二次根式有意义的条件难点：算术平方根的意义课前准备：1、什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的等于a，则这个数就叫做a的平方根，a的平方根是2、什么是一个数的算术平方根？如何表示？③【二、合作交流】小组内交流完成教材P4练习1、2题（组内核对答案，不懂的才问）【三、展示评价】对学生自主学习和合作交流部分学习困难较大的知识点进行点评。

【四、再认重构】（请同学们静下心来认真独立完成下面的检测）1.当a是怎么样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？若一个的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根，表示为3、认真完成教材P2思考的三个小题：⑴-a+2⑵1⑷-5a⑴，⑵⑶观察以上结果，它们都有什么特点？【一、自主学习】阅读教材P2–P4,结合教材完成下面问题：1.二次根式的定义：注意：定义包含三个内容①1.必需含有二次根号“”②被开方数a≥0③a可以是数,也可以是含有字母的式子判断：2-234a m（m≥0）n2+1是二次根式的有（被开方数或者字母的取值必须大于等于零）2.二次根式有意义的条件：练习：当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴a-2⑵5-2a⑶-2a⑷a2+23.(a)2和a2的区别：①从运算顺序来看,(a)2是而a2是；②从取值范围来看，(a)2中a而a2中a；2.计算：⑴(7)2⑵(-23)2⑶(3)2⑷(-7)253⑹(-)2⑺-(-m)2653.思维拓展：⑴若a.b为实数,且2-a+b-2=0，求2+b2-2b+1⑵已知24n是整数，求正整数n的最小值。

人教版八年级下册数学《二次根式的混合运算》二次根式说课教学复习课件

）
随堂练习
3．已知＝ − ，则代数式(＋ ) ＋＋＋的值是（C
．
A．
4．已知＝

－
，＝
．＋

＋
． −
，则＋＋＝_______．

）
随堂练习
5．计算:
（1） (1＋ )(2－ )；
解： (1＋ )(2－ )
问卷调查，统计如下表所示：
颜色
学生人数
黄色绿色白色紫色红色
100
180
220
80
750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是( C )
A. 平均数
C. 众数
B. 中位数
D. 方差
课堂检测
基础巩固题
2.学习了《数据的分析》后，某同学对学习小组内甲、乙、丙、
丁四名同学的数学月考成绩进行了统计，发现他们的平均成绩
这些平均数受这个人的影响，而中位数是210件，众数
是210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学.
巩固练习
1.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均分都
是88分，甲的方差为0.61，乙的方差为0.72，则（ A
A、甲的成绩比乙的成绩稳定
B、乙的成绩比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样好
D、甲、乙两人的成绩无法比较
＝( )²＋2× ×1＋1²
＝5－2
＝3＋2 ＋1
＝3．
＝4＋2 ．
典例精析
例3
计算下列各式：

（1）
；
−

解：
−
+
＝
( −)( +)
+

人教八年级下册数学-二次根式的混合运算导学案

16.3 二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

二、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程（一）自学导航（课前预习）计算：（1）6·a 3·b 31 （2）16141÷ （3）50511221832++-（二）合作交流（小组互助）1、探究计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-2、探究计算：（1）)52)(32(++ （2）2)232(-计算：（1）12)323242731(⋅-- （2）)32)(532(+-（3）2)3223(+ （4）（（三）展示提升（质疑点拨）同学们，我们以前学过完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之，23211)-=-=∴ 231)-=∴ 223-=2-1仿上例，求：（1）；324+（2）你会算124-吗？（四）达标检测 A 组1、计算：（1）5)9080(÷+ （2）326324⨯-÷（3）)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a >0,b >0）（4）52)(2652)2、已知121,121+=-=b a ，求1022++b a 的值。

B组计算：（1）)1--(3(33+（2）20092009(+23)(12【素材积累】1、2019年，文野31岁年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。

这一年，他摘心里对自己的定位，从穷人变成了有钱人。

一些人哪怕有钱了心里也永远甩不脱穷的影子。

２、10月19 日下战书，草埠湖镇核心学校组织全镇小学老师收看了江苏省泰安市洋思中学校长秦培元摘宜昌所作的教训呈文录象。

八年级-人教版-数学-下册-[基础诊断]第2课时-二次根式的混合运算(一)

第2课时二次根式的混合运算（一）
1．计算(⎛÷ ⎝的结果为（）．
A ．5
B ．－5
C ．7
D ．－7 2．下列运算正确的是（）．
A B ．
C 2=
D ．3=
3的运算结果应在（）． A ．6到7之间
B ．7到8之间
C ．8到9之间
D ．9到10之间
4
__________．
5．已知长方形的长a b = （1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
6．计算：
（1）⨯；
（2）(3+．
参考答案
1．【答案】A
【解析】原式(((5=÷=-÷=． 2．【答案】C
【解析】选项A 不能合并，∴A 选项错误；选项B ：原式＝6×2＝12，∴B 选项错误；
选项C 2=，∴C 选项正确；
选项D ：原式＝D 选项错误．
3．【答案】B
【解析】原式===．
∴78<<．
4．【答案】
=
5．【答案】解：长方形的长a ==b =
（1）长方形的周长＝2⨯=；
（2）∵正方形的面积＝4，
∴正方形的边长为2，周长为8．
∵8，
∴长方形的周长＞正方形的周长．
6．【答案】解：（1）⨯
⎛=⨯ ⎝⎭
=
⎭
=
8
（2）(3+
=
=
=-。