第十二篇 概率、随机变量与分布第7讲 正态分布
正态分布及正态随机变量
正态分布及正态随机变量正态分布是连续型随机变量概率分布中的⼀种，你⼏乎能在各⾏各业中看到他的⾝影，⾃然界中某地多年统计的年降雪量、⼈类社会中⽐如某地⾼三男⽣平均⾝⾼、教育领域中的某地区⾼考成绩、信号系统中的噪⾳信号等，⼤量⾃然、社会现象均按正态形式分布。
正态分布中有两个参数，⼀个是随机变量的均值 µµ，另⼀个是随机变量的标准差σσ，他的概率密度函数 PDF 为：fX(x)=1√2πσe−(x−µ)2/(2σ2)fX(x)=12πσe−(x−µ)2/(2σ2)。
当我们指定不同的均值和标准差参数后，就能得到不同正态分布的概率密度曲线，正态分布的概率密度曲线形状都是类似的，他们都是关于均值 µµ 对称的钟形曲线，概率密度曲线在离开均值区域后，呈现出快速的下降形态。
这⾥，我们不得不专门提⼀句，当均值 µ=0µ=0，标准差σ=1σ=1 时，我们称之为标准正态分布。
还是⽼规矩，眼见为实，下⾯来观察两组正态分布的概率密度函数取值，⼀组是均值为 00，标准差为 11 的标准正态分布。
另⼀组，我们取均值为 11，标准差为 22。
代码⽚段：from scipy.stats import normimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport seabornseaborn.set()fig, ax = plt.subplots(1, 1)norm_0 = norm(loc=0, scale=1)norm_1 = norm(loc=1, scale=2)x = np.linspace(-10, 10, 1000)ax.plot(x, norm_0.pdf(x), color='red', lw=5, alpha=0.6, label='loc=0, scale=1')ax.plot(x, norm_1.pdf(x), color='blue', lw=5, alpha=0.6, label='loc=1, scale=2')ax.legend(loc='best', frameon=False)plt.show()。
(课件)概率论与数理统计：正态分布
(1) 0.6664
(2) 2 (1.8) 1
2 0.9641 1 0.9282 (3) 1 0.6664 0.3336
(4) 2 (1.8) 1=0.9282 (5) (0) 0.5
将上述结论推广到一般的正态分布,
X N ( , 2 ) 时，
Y
X
~N(0,1)
P (|Y | ) 0.6826
Φ (0) = 0 .5 , Φ (1) = 0.8413 , Φ(2) = 0.9772 ,
Φ (3) = 0.9987
(1) (0.43) ? (2) (1.8) (1.8) ?
(3) P{0.43 X 4.3} ? (4) P{1.8 X 1.8} ? (5) P{ X 0} ?
正态分布在十九世纪前叶由高斯 加以推广，所以通常称为高斯分布。
谢谢聆听！
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
(1) 曲线关于 x μ 对称;
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
第7讲(2) 正态分布及其运用1105
结论1：若随机变量X1 ,X2,……Xn相互独立并分别服从标准 正态分布，则随机变量Y服从自由度为n的X2(卡方)分布。 Y=X12 +X22+…+Xn2
( x)
n=1
方差的分布将用到 2-分布：概率分布图
n=4 n=10 n=20
2
■2-分布的由来
k个相互独立的随机变量1， 2，3，... k ,且都服从N(0,1)。
【例1】设X~N(0，1)，求以下概率：
教材P155的练 习
(1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)； (3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2) 解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=0.9332 (2) P(X >2)=1- P(X 2)=1-0.9973=0.0227
最大值f（x）=？
1）图形是关于 x= 对称钟形曲线，且峰值在x= 处。
2）均值 和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确定。 不同参数的正态分布，构成一个完整的“正态分布族”。均 值决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的陡峭程度。 3）当X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个
Z X
55 0 10
标准正态分布
X 6.2 5 Z 0.12 10
1
.0478
一般正态分布
0.12
请查表求： P(5≤X≤6.2)=?
Z
1
5 6.2
x
标准化例子: P(2.9 X 7.1)
X 2.9 5 Z .21 10 X 7.1 5 Z .21 10
3、 2-分布概率分布的计算
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
(鲁京津琼专用)2020版高考数学复习第十二章概率、随机变量及其分布12.4二项分布与正态分布课件
3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种 试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p，则P(X＝k)＝C__knp_k_(1_－__p_)_n_－_k_(k_＝__0_,_1_,2_，__…__，__n_)，此时称随机变 量X服从_二__项__分__布_，记为_X_～__B_(_n_，__p_)，并称p为成功概率. 4.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝_p_，D(X)＝_p_(_1_－__p_) . (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_n_p_，D(X)＝_n_p_(1_－__p_)_.
5.正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝
1
e
(
x u )2
22 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参
2π
数(σ>0，μ∈R).我们称函数φμ，σ(x)的图象为__正__态__分__布__密__度__曲__线__，简称正态
曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴_上__方__，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线_x_＝__μ_对称；
＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
1234567
3.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现 需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下， 第二次拿到红球的概率为
3 A.10
√1
B.3
3 C.8
2 D.9
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}， 则 P(AB)＝CC11210×CC3119＝115，P(A)＝CC11210＝15， 所以 P(B|A)＝PPAAB＝13.
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布考点讲解
正态分布考点讲解正态分布在大学数学里可是个超有趣又很重要的概念呢！咱先来说说正态分布长啥样吧。
正态分布的概率密度函数图像就像一个钟形，中间高两边低，特别对称，就像一个完美的小山丘。
它的这种形状决定了很多数据在现实世界中的分布规律哦。
比如说，人的身高、考试成绩这些，大部分都近似地符合正态分布。
那正态分布的参数有啥意义呢？它有两个重要参数，均值μ和标准差σ。
均值就像是这个分布的中心位置，如果μ变大或者变小，整个钟形曲线就会在数轴上左右平移。
标准差σ呢，它决定了这个钟形的胖瘦。
如果σ小，曲线就比较瘦高，说明数据比较集中在均值附近；要是σ大，曲线就矮胖一些，数据就比较分散啦。
再讲讲正态分布的一些特性。
它具有对称性，也就是关于均值对称。
这就意味着在均值左边和右边相同距离处的概率是相等的。
而且呀，在均值加减一个标准差的范围内，大概包含了68%左右的数据；在均值加减两个标准差的范围内，就大约包含了95%的数据；在均值加减三个标准差的范围内呢，能包含差不多99.7%的数据。
这几个比例可都是很关键的考点哦。
在计算方面呢，正态分布也有一些常见的公式。
比如说求某个区间的概率，就需要用到积分的知识。
不过呢，我们通常会借助标准正态分布表来简化计算。
先把一般的正态分布转化为标准正态分布，也就是让均值为0，标准差为1的正态分布，然后再去查标准正态分布表找到对应的概率值。
正态分布在很多实际应用中都发挥着巨大的作用。
在质量管理里，产品的尺寸等指标如果符合正态分布，就可以通过控制均值和标准差来保证产品的质量。
在金融领域，股票价格的波动也常常被假设为近似正态分布，这样就能对风险进行一定的评估。
在做正态分布相关的题目时，有一些小窍门。
比如遇到求概率的问题，先判断是不是标准正态分布，如果不是，赶紧转化。
还有，要清楚各个参数对分布的影响，这样才能准确地分析题目。
正态分布真的是一个超级神奇又实用的数学概念，把它学透了，在很多学科里都能派上大用场呢。
正态分布及随机变量函数的分布
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
第7讲正态分布
2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示
Hale Waihona Puke (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
六条性质 正态曲线的性质
三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲 线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件， 这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【示例】已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)， 则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )． D A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15%
D
考向一正态曲线的性质
[审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析 式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决 定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有 关．
【反思与悟】 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式 与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对 曲线的影响．
专题十二 概率、随机变量及其分布
第7讲 正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义． 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含 义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
(2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是 正态分布的两个特征数．
[审题视点]将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线 的对称性求解．
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的分布之一。
它的形状呈钟形曲线，被广泛应用在各个领域，由于其重要性，也被称为“常态分布”或“高斯分布”。
本文将对正态分布的概念、性质以及使用方法进行介绍。
一、概念和性质正态分布的概念最初由德国数学家高斯提出，并且在很多实际问题中都能够很好地适应数据分布。
正态分布的概率密度函数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$其中，$x$ 表示随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布的均值决定了其分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状的宽度。
正态分布具有以下几个重要的性质：1. 正态分布是对称的。
其概率密度函数关于均值对称，即在均值两侧的概率是相等的。
2. 均值、中位数和众数相等。
在正态分布中，这三个统计量都落在分布的中心位置。
3. 标准差决定形状。
标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
4. 经典的“68-95-99.7”法则。
在正态分布中，约有68%的数据点落在一个标准差内，约有95%的数据点落在两个标准差内，约有99.7%的数据点落在三个标准差内。
二、正态分布的应用正态分布在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：1. 自然科学与工程领域。
在物理学、化学、生物学、电子工程等领域，很多现象都服从正态分布。
例如，测量的误差、物理实验的结果、机械零件的尺寸等都可以用正态分布进行建模和分析。
2. 金融与经济学。
正态分布在金融与经济学中有着广泛的应用。
股票价格、汇率变动、经济指标等的波动性通常都可以用正态分布进行建模。
3. 社会科学。
正态分布在统计学、心理学、人口学等社会科学领域也有重要应用。
例如，智力测验、身高分布、心理测量等都可以用正态分布来描述。
4. 质量管理与过程控制。
在企业的生产与服务过程中，正态分布可以用来分析质量数据，判断生产过程是否稳定，并进行质量改进与控制。
正态分布ppt课件
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
《正态分布》课件
1
定义标准正态分布
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
2
概率密度函数
标准正态分布的概率密度函数是标准形式的正态分布。
3
转化为标准正态分布
通过标准化方法，可以将任意正态分布转化为标准正态分布。
正态分布的应用
1 股票市场
正态分布被广泛应用于股票市场的波动性分析和预测。
2 IQ 测试
正态分布在智商测评中用于解释测试结果的分布情况。
平均数和标准差
在正态分布中，平均数和标准差决定了分布的位置和形状。
对称性
正态分布以均值为对称中心，左右两侧呈对称分布。
正态分布的概率密度函数
概率密度函数
正态分布的概率密度函数描述了不同取值的概率分 布情况。
图形表示
概率密度函数可在图形上呈现出钟形曲线的形状， 帮助理解正态分布的特点。
标准正态分布
结论
正态分布是统计学中的重要概念，具有广泛的应用领域。深入理解正态分布有助于我们在实践中进行数据分析 和预测。
《正态分布》PPT课件
# 正态分布 PPT 课件大纲 正态分布是一种常见的概率分布，广泛应用于统计学和科学研究中。
引言
正态分布是一种对称分布，具有许多重要的性质和应用。通过本节课件，我 们将了解正态分布的基本概念和实际应用。
正态分布的定义和性质
定义正态分布
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布 概率分布
正态分布概率分布
正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最重要的概率分布之一。
它具有许多重要的特性，因此在自然界和社会科学中经常出现。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，对称轴对称，其形状由均值
和标准差决定。
在正态分布中，大部分的数据聚集在均值附近，而
离均值越远的数值出现的概率越小。
正态分布在现实世界中的应用非常广泛。
例如，在自然界中，
身高、体重、智力水平等许多特征都服从正态分布。
在工程和经济
学中，许多随机变量的分布也可以用正态分布来近似描述。
由于中
心极限定理的作用，许多随机现象都可以用正态分布来进行建模和
分析。
正态分布的数学性质也使其成为许多统计推断和假设检验的基础。
许多统计学方法都建立在对数据是否符合正态分布的假设上。
同时，正态分布也是许多随机过程和连续随机变量的理想模型。
总之，正态分布作为一种概率分布，在统计学和自然科学中发
挥着重要作用。
它的特性和应用广泛，对于研究和解释许多随机现
象都具有重要意义。
因此，正态分布的研究和应用将继续在各个领域中发挥重要作用。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。
它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。
一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。
二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。
即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。
2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。
3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。
4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。
68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。
2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。
通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。
3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。
我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。
4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。
通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。
四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。
正态分布知识点
正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用。
让我们一起来深入了解一下正态分布的相关知识。
正态分布也被称为高斯分布，其概率密度函数呈现出一种独特的钟形曲线。
这条曲线左右对称，中间高，两边逐渐降低并且无限趋近于横轴。
为什么正态分布如此重要呢？首先，它在自然界和社会现象中大量存在。
比如，人的身高、体重，学生的考试成绩，产品的质量指标等，很多都近似服从正态分布。
这是因为在许多情况下，众多微小的、相互独立的随机因素共同作用，最终导致了总体呈现出正态分布的特征。
正态分布具有两个关键参数：均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差则决定了曲线的“胖瘦”程度。
标准差越大，曲线越“胖”，数据的离散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中在均值附近。
我们来具体说一说正态分布的性质。
正态分布的概率密度函数在均值处达到最大值。
而且，大约 68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，大约 95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约 997%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这就是所谓的“68-95-997规则”，它为我们快速估计数据的分布范围提供了很大的便利。
正态分布的数学表达式看起来可能有些复杂，但理解其背后的意义是关键。
从实际应用的角度来看，正态分布为我们提供了一种方便的方式来描述和分析大量的数据。
比如在教育领域，学生的考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以通过分析成绩的分布情况，了解学生的整体学习水平和差异程度。
如果成绩分布过于集中，可能意味着教学难度不够，无法区分学生的能力；如果分布过于分散，则可能需要反思教学方法是否存在问题。
在工业生产中，产品的质量指标如尺寸、重量等也常常符合正态分布。
通过控制生产过程中的各种因素，使质量指标的分布尽可能接近正态分布，并将均值调整到目标值，同时减小标准差，可以提高产品的一致性和质量稳定性。
随机变量及其分布正态分布
03
社会科学
在社会科学领域，有些数据的分布也 呈现出正态分布的特点，例如人类的 考试分数、人口数量等。
04
正态分布的数学表达与计 算
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数表达式为：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * exp(- (x - μ) ^ 2 / (2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。
随机变量及其分布正态分布
2023-11-03
contents
目录
• 随机变量及其分布 • 正态分布 • 正态分布的应用场景 • 正态分布的数学表达与计算 • 正态分布的统计特性与参数估计 • 正态分布的假设检验与模型评估
01
随机变量及其分布
离散随机变量及其分布
伯努利分布
离散型概率分布，成功概率为p，失败概率为1-p。
指数分布
连续型概率分布，表示某个事件在单位时间内发生的概率，其中平均发生率为 λ。
均匀分布与指数分布
均匀分布：连续型概率分布，表示在某个区间内随机变量以相同的概率取值。 指数分布与泊松分布在一定条件下可以相互转换。
02
正态分布
正态分布的定义
定义
如果一个随机变量的概率密度函数是具有均值μ和标准差σ的高斯函数，则称 该随机变量服从正态分布，记作N(μ, σ²)。其中，μ是均值，σ²是方差。
05
正态分布的统计特性与参 数估计
均值与方差
均值
正态分布的平均值，描述了分布的中心位置。
方差
衡量分布的离散程度，描述了分布的宽度。
偏度与峰度
偏度
描述分布的不对称性，正态分布一般为对 称分布。
VS
峰度
描述分布的尖锐程度，正态分布的峰度为 3。
正态分布说课课件
四、教学方法分析
教学 问题1
如何引导学生理解正态分布？
教学 如何引导学生了解正态分布的特征？ 问题2 启发引导法：引导学生观察正态曲线和动图展示，了解σ和μ的实际意义
如何引导学生建立正态分布模型解决问题？ 教学 问题3
五、教学过程分析
提创出问设题情境 引入新课
高斯：正态分布
提问出问题题探究 新课讲解
设计意图：通过数学史的介绍，提升学生对本节课的兴趣
复第二习环旧节知：问题探究、新课讲解
前面学习了离散型随机变量，那么，对于连续型随机变量我们该如何研究呢？
问题1：(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
追问：随着样本数据量增大，分组 越来越多，组距越来越小，得到的 图形有什么特征？
设计意图：通过对动画的展示，让学生感悟参数μ和σ对正态曲线的影 响，以及结合离散型随机变量的研究，了解μ和σ的实际意义
问题4：观察正态分布曲线我们可以知道，是一个对称图形，那么下面 我们来看一下特殊区间内的概率
若X ~ N (, 2 ),则
3 原则
P( X ) 0.6827;
P( 2 X 2 ) 0.9545;
问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?
追问 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
设计意图：通过问题2和追问，让学生发现并总结正态曲线的性质，提升学生 逻辑推理和数学直观想象核心素养
第三环节：问题思考，性质探究
问题3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形 状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?μ和σ的意义是什么？
7.5 正态分布
CONTENTS
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则 P(X＞4)等于( )．
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6
D．0.158 5
1 解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线 x＝3 对称，∴P(X＞4)＝0.5－
2 1 P(2≤X≤4)＝0.5－ ×0.682 6＝0.158 7.故选 B. 2
答案 B
4．(2010·山东)已知随机变量 X 服从正态分布 N(0，σ2)，若 P(X>2)＝0.023，则
常的试验中，取 1 000 个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多
少个？
( )1
1
解 ∵X～N 4， ，∴μ＝4，σ＝ .
9
3
∴不属于区间(3,5]的概率为 P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5) ＝1－P(4－1＜X≤4＋1) ＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)， 即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个．
x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象(如图)为正
态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是 x 定义域是 R，即 x∈(－∞，＋∞)．
②解析式中含有两个常数：π 和 e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ 和 σ，其中 μ 可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的
1 ∴P(3<X≤5)＝ [P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]
2 1 ＝ [P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] 2 1 ＝ [P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] 2 1 ＝ ×(0.954 4－0.682 6) 2 ＝0.135 9. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
2 ＝2，∴c＝2.
答案 B
考向一 正态曲线的性质
【例 1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 1 .
4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． [审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中
的两个参数 μ，σ 的值，其中 μ 决定曲线的对称轴的位置，σ 则与曲线的形状和
服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态
密度曲线和 x 轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当 P(ξ＞x1)
x1＋x2 ＝P(ξ＜x2)时必然有 2 ＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
( )1
【训练 3】 工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N 4， ，问在一次正 9
六条性质 正态曲线的性质
1
x－μ2
正态曲线 φμ，σ(x)＝
e－ 2πσ
2σ2
，x∈R 有以下性质：
(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
1
(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值
；
σ 2π
(4)曲线与 x 轴围成的图形的面积为 1；
(5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移；
解析 根据正态分布 N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线 x＝μ 对称，在 x＝μ 处取得最大值的连续钟形曲线；σ 越大，曲线的最高点越低且较 平缓；反过来，σ 越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A.
答案 A 考向二 服从正态分布的概率计算
【例 2】►设 X～N(1,22)，试求 (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)． [审题视点] 将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ] 上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解． 解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，
【训练 2】 随机变量 ξ 服从正态分布 N(1，σ2)，已知 P(ξ＜0)＝0.3，则 P(ξ＜2)＝ ________. 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线 x＝1 对称，所以 P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)
＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.
答案 0.7
考向三 正态分布的应用
【例 3】►2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有 着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造
解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握
函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
【训练 1】 设两个正态分布 N(μ1，σ21)(σ1＞0)和 N(μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图象 如图所示，则有( )． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
第 7 讲 正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数 μ、σ 的含义，会由其对称性求 解随机变量在特定区间上的概率．
1．正态曲线及性质
基础梳理
(1)正态曲线的定义
1
x－μ2
函数 φμ，σ(x)＝
e－
，
2πσ 2σ2
P(－2≤X≤2)等于( )．
A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
解析 P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝0.954.
答案 C
5．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则 c 等于
( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
c＋1＋c－1 解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于 x＝2 对称，于是
阅卷报告 19——正态分布中概率计算错误 【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然
不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一
个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．
【防范措施】 对正态分布 N(μ，σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透 彻并记住，且注意第二个数值应该为 σ2 而不是 σ，同时，记住正态密度曲线的六
(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分
布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概 率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依 据．
双基自测 1
＝0.15%.故选 D. 2 答案 D
( )1
【试一试】 在正态分布 N 0， 中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率 9
为( )．
A．0.097
B．0.046
C．0.03
D．0.002 6
1 解析 ∵μ＝0，σ＝ ，∴P(x＜－1 或 x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，且 f(x)＝ e－ 8π
x－102 ，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )．
8
A．10 与 8
B．10 与 2
C．8 与 10
D．2 与 10
1 x－102 1
x－μ2
解析 由 e－
＝ e－
，可知 σ＝2，μ＝10.
8π
8
2πσ 2σ2
1 ∴P(X≥5)＝ [1－P(－3<X≤5)]
2 1 ＝ [1－P(1－4<X≤1＋4)] 2 1 ＝ [1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] 2
1 ＝ ×(1－0.954 4)＝0.022 8.
2 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲
线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
最大值有关．
解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴对
1
1
称，即 μ＝0.由 ＝
，得 σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式
2πσ 2π·4
是
1
x2
φμ，σ(x)＝ 4
e－ ，x∈(－∞，＋∞)． 2π 32
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
条性质．
【示例】► 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N(116，64)，则成绩在 140 分
以上的考生所占的百分比为( )．
A．0.3%
B．0.23%
C．1.5%
D．0.15%
错因 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数 μ，σ 导致计算无从下手．(2)对正
态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．
两个特征数．
1 ④解析式前面有一个系数为 ，后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式，
2πσ
x－μ2
幂指数为－
.
2σ2
2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ b aφμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布，记作N(μ，σ2)． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.