计量经济学之-概率论和统计学知识复习

（5）一个非参数检验的例子：正态分布检验（J-B检验）
ˆ 3) 2 n ˆ2 ( JB 6 4
ˆ) E (
ˆ ) Var( ˆ) Var( 1 2
（2）无偏估计：
ˆ , ˆ 都是 的无偏估计 （3）有效估计： 1 2
一致性是估计量的最低要求，也是最为重要的性质。一致性是在样本量无 限大时对估计量的评价，有效性则是在样本量有限时对估计量的比较。
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由大数定律，
1 n r p r X E ( X )， r 1,2,, k i n i 1
样本偏度和峰度收敛度总体偏度Skew和峰度κ
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统计学复习
参数估计：
总体
X ~ F ( x, )
θ为未知参数，用样本提供的信息估计出θ
（1）矩估计： 1 n p E ( X r ) r ( ), r 1,2, , k X ir n i 1
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样本：
样本矩： 样本偏度和样本峰度：
1 n r X i , r 1,2, , k n i1
1 n 3 ( X X ) i n ˆ i 1 , 2 3/ 2 (S ) 1 n 4 ( X X ) i n ˆ i 1 2 2 (S )
μ=0，σ=1
： 标准正态分布 随机变量标准化：
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概率论复习 随机变量的统一定义：（1）取一切实数；（2）用概率函数描述概率分布 概率函数：
F ( x) P( x)
连续随机变量：
离散随机变量：
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概率论复习 随机变量的数字特征： 数学期望（Expectation，mean）Ec：随机变量取值的概率加权平均。 方差（Variance） Var(c)：随机变量的随机性。方差等于0？ Var(c)=E(c-Ec)2= Ec2- E(c)2
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概率论复习 连续随机变量：在连续的实数区间取值，用概率密度函数描述概率分布。 连续随机变量的取值均假设为一切实数，只取部分实数时，将不取值部分 对应的概率密度设为0。如候车时间范围为[0,5)时，变量的取值情况。 重要特例：正态分布（Normal distribution） 取值：（-∞，+∞） 概率密度：
L( x1 , x2 , , xn ; θ) f ( xi , θ)
i 1
n
对数似然函数
l ( x1, x2 ,, xn ; θ) ln L( x1, x2 ,, xn ; θ)
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参数估计：
估计量的评价标wk.baidu.com： （1）一致估计：
ˆ p limn
偏度（Skewness）：
峰度（Kurtosis）：
正态分布的偏度为0、峰度为3
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- 分布
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概率论复习 随机向量： （1）联合分布 联合分布函数： 联合密度函数 （2）矩 数学期望向量： 方差-协方差矩阵：
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概率论复习 随机变量：取值和概率分布为其决定因素，分为离散和连续 例子：表示“抛一枚硬币”试验、“乘客候车时间”试验结果的变量 离散随机变量：取有限或者可列无限多值，用分布函数描述概率分布。如 例子：抛硬币时，结果有正面和反面，如果正面为1，反面为0，可引入随 机变量X，则X等于1或者0。 重要特例：二项分布（binomial distribution） 取值：0，1，2，……n， 概率： n=1时为两点分布（0-1分布） 取值：0，1 概率：
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概率论复习 随机向量： 协方差和相关系数：
相关系数等于0意味着什么？相关系数等于1呢？
（3）条件分布 条件概率分布函数： 条件概率密度函数： 乘法公式：
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概率论复习 随机向量： （3）条件分布 条件矩： 条件数学期望：
条件方差：
条件数学期望和条件方差都是条件随机变量（ξ）的函数，是随机变量。
令
1 n r ˆ), r 1,2, , k ˆ r ( ) r ( Xi n i1
从中解出估计量 ˆ
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参数估计：
总体
X ~ F ( x, )
θ为未知参数，用样本提供的信息估计出θ
（2）极大似然估计： 样本似然函数 （i）离散总体 n L(1 , 1 , , n ; θ) P(i ) i 1 （ii）连续总体
如果是正态总体，
1 n 1 n 2 2 X Xi , S ( X X ) i n i1 n 1 i1
2 (n 1) S 2 2 X ~ N , , ~ (n 1) 2 n 如果是非正态总体，由中心极限定理
n 1(S 2 2 ) ~(a) N (0, ), E( x )4
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极限定理：
（1）大数定律（LLN: Law of Large Number）
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极限定理：
（2）中心极限定理（CLT: Central Limit Theory）
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统计学复习
样本：
（1）样本是随机变量 （2）统计量是样本的函数 样本均值和样本方差：
统计学复习
假设检验： 为什么进行假设检验？样本中的随机性（噪音）对判断的干扰 （1）假设检验的原理：小概率事件原理 （2）原假设和备择假设：双边检验和单边检验 （3）假设检验的关键：构造检验统计量，给定显著水平，计算小概率 事件（拒绝域）。 （4）假设检验方法的评价标准：两类错误和检验功效（Power）