高数上期中试卷及答案

2015-2016学年第一学期高数期中试卷

一、（每小题6分，共12分） 1

、求函数()f x =

的定义域和值域。

解：由02sin ≥x 得: 1

2(21)()2

k x k k x k ππππ≤≤+⇒≤≤+

所以定义域为1

{|();}2

D x k x k k Z ππ=≤≤+

∈ 由12sin 0≤≤x 得：12sin 0≤≤x ，所以值域为]1,0[

2

、判断函数21,0()0x x f x x +≤⎧=>在分段点0x =处的左右极限，并据此判断函数在

这点的极限是否存在。

解：0

0/21

lim ()lim lim 2

x x x x f x x ++

+→→→=== 00

lim ()lim(21)1x x f x x -

-

→→=+= 因为0

lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，所以函数在0x =处的极限不存在。 二、（每小题6分，共12分）1、31

13lim(

)11x x x →--- 2、01cos lim sin x x

x x

→-

解：1、233211113221

lim(

)lim lim 11113x x x x x x x x x x →→→+-+-===--- 2、22001cos /21

lim

lim sin 2

x x x x x x x →→-== 三、（10分）求2(1)sin x x y e x

=-的间断点，并判断间断点的类型。

解：由(1)sin 0()x

e x x k k Z π-=⇒=∈,所以函数的间断点为()x k k Z π=∈

因为22

200lim lim 1(1)sin x

x x x x e x x

→→==-，所以0x =是可去间断点 因为2

(0)

lim (1)sin x

x k k x e x π→≠=∞-，所以(,0)x k k Z k π=∈≠是无穷间断点。

四、（每小题6分，共12分）求解下列各题 1、设2

sin (12)

x y e -=，求dy

解：因为

2sin (12)2sin(12)cos(12)(2)x y x x e -'=--⋅-2

sin (12)4sin(12)cos(12)x x x e -=--- 2

sin (12)2sin2(12)x x e -=--

所以2

sin

(12)

2sin2(12)x dy x e dx -=--

2、设函数()y y x =是由方程5

3

230y y x x +--=所确定的隐函数，求(0)y '

解：方程两边同时对x 求导有：4

2

52190y y x '+--=，所以24

1925x y y +'=+

当0x =时，0y =，所以20,04191(0)|252

x y x y y ==+'==+

五、（6分）设由参数方程(1sin )

cos x y θθθθ=-⎧⎨=⎩

所确定的曲线()y y x =在点0θ=处的切线和

法线方程。

解：因为当0θ=时，0,0x y ==，所以切点为)0,0(

cos sin 1sin cos dy

dy d dx dx d θθθθθθθθ

-==--，所以00cos sin ||11sin cos dy dx θθθθθθθθ==-==-- 从而切线方程为00y x y x -=-⇒= 法线的方程为0(0)y x y x -=--⇒=- 六、（每小题7分，共14分）求解下列各题

1、设2

ln(32),y x x =-+求(6)y

解：2

ln(32)ln[(1)(2)]ln(1)ln(2)y x x x x x x =-+=--=-+- 所以(6)

y

=(6)

(6)

[ln(1)]

[ln(2)]

x x -+-556666

(1)5!(1)5!5!5!(1)(2)(1)(2)x x x x ----=+=+---- 2、一同学自校门口径直地以6公里/小时的速度朝学校图书馆走去，若图书馆的高度为88米，求在走到离图书馆88米处该同学相对图书馆顶端仰角的变化率。（该同学的身高忽略不计）

解：设t 时刻该同学到图书馆的距离为x ，相对图书馆顶端的仰角为θ，则θ,x 均为t 的函

数，且88

tan x

θ=

，即tan 88x θ= 方程两边对t 求导，得

2tan sec 0dx d x dt dt

θθθ+= 将6000588,

,360034dx x dt πθ==-=-=代入上式，得5

528

d dt θ=

七、（10分）证明：当0x >时，2

112

x

e x x >++

证明：令2

1()12

x

f x e x x =---

，则()1,()1x x f x e x f x e '''=--=- 因为当0x >时，()10,x

f x e ''=->且()f x '在),0[+∞上连续，所以()f x '在),0[+∞上

单调增加，从而当0x >时，0)0()(='>'f x f ，

又因为()f x 在),0[+∞上连续，所以()f x 在),0[+∞上单调增加，从而当0x >时，

0)0()(=>f x f ，即2112

x e x x >++

八、（每小题8分，共16分）求解下列各题 1、求函数|1|ln x x y +-=的单调区间和极值； 解：函数的定义域为(,1)(1,)D =-∞-⋃-+∞

1

111+=+-

='x x

x y ，令0='y ，得：0=x 列表：

所以单调增加区间为(,1]-∞-，[0,)+∞，单调减少区间为[1,0]- 极小值为

(0)0y =

2、求曲线(4)x

y e x =-的凹凸区间和拐点、