高数上期中试卷及答案

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2022-2023学年河南省商开高一数学上学期期中考试卷及答案解析

商开大联考2022-2023学年上学期期中考试高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析（2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ，故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立，当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。

【必考题】高一数学上期中试题(及答案)

【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？（2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论．【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+，则有101xx->+，解可得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称，又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+，即函数()f x 为奇函数，设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数，而y lnt =在()0,∞+上为增函数，故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；故选:D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)．又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1，令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根，函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根，即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数，由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案．【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩，则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±，所以1a =±，故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案解析：][()2,33,2⋃--【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--．故答案为][()2,33,2⋃--．【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

高数期中考试题目及答案

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

高数期中练习题

高等数学（上）期中练习题一、单项选择题1.下列函数中，是奇函数.A.32xx y += B.xx y sin =C.x x y cos =D.xx y -+=ee 2.当0→x 时，下列说法正确的是.A.1e 2-x 是比x sin 高阶的无穷小B.32x x +是比2x 高阶的无穷小C.)1ln(2x -与2x 是等价无穷小D.x cos 1-与1sec -x 是等价无穷小3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，则0=x 是函数)(x f 的.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点4.设1)(='a f ，则=∆-∆-→∆xa f x a f x )()2(lim.A.1B.-1C.2D.-25.下列说法正确的是.A.函数3x y =在点0=x 处可导B.曲线3x y =在点)0,0(处有切线C.函数||x y =在点0=x 处可导D.曲线||x y =在点)0,0(处有切线二、填空题6.=--+→132lim 221x x x x .7.=∞→xx 1e lim .8.曲线13222-++=x x x y 的水平渐近线是.9.设)2023()3)(2)(1()(++++++=x x x x x x f ，则=')0(f .10.设函数)(x f 可导，则函数)e (xf y =的导数=xy d d .11.函数3x y =当1=x ，01.0=∆x 时的微分=y d .12.设函数x y 2sin =，则=y d x d .13.设函数)cos (sin e x x y x+=，则==0d d x xy .三、判断题（）14.若n n x ∞→lim 存在，则该极限唯一.（）15.若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都不存在，则)]()([lim x g x f ax +→一定不存在.（）16.两个无穷小的商一定是无穷小.（）17.单调递增且有上界的数列必有极限.（）18.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.（）19.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.（）20.函数)(x f 在点x 处可微，那么函数在该点处一定连续.（）21.函数)(x f 在点x 处可导是函数在该点处连续的必要不充分条件.（）22.)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在且相等.四、计算题23.求)1)(cos 121(sin tan lim0----→x x xx x .24.求145lim1---→x xx x .25.求)1ln(1)211(lim 3220x x x x +--→.26.求2163lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x .27.求由方程yx xy +=e所确定隐函数的导数.28.设)(1ln 2x y +=，求y ''.29.求曲线⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x 在3π=θ相应点处的切线方程及法线方程.五、综合题30.证明方程0155=+-x x 在)1,0(内至少存在一个根.31.讨论⎩⎨⎧≥+<=0),1ln(,0,sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性.32.讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 处的连续性与可导性.。

高数(上)期中试题

《高等数学》（上）期中考试题及评分标准1．（6分）已知11()()()212xF x f x =+-为偶函数，判断()f x 的奇偶性。

解：令11()212xx ϕ=+-，于是1121()212122xx xx ϕ--=+=+--11()()212x x ϕ=-+=-- （4分）()()()()()F x f x x f x x ϕϕ-=--=--()()f x f x =-- （5分） ()f x ∴为奇函数。

（6分） 2．求极限（每小题4分，共12分）（1）lim 1)x x x →+∞--解：原式=22(2321)lim1x x x x x x x →+∞++---++ （2分）=22lim 1211x x→+∞==++ （4分）（2）cot 0lim(sin cos )xx x x →+解：原式=12tan 0lim(12sin cos )xx x x →+ （1分）1sin cos 2sin cos tan 0lim(12sin cos )x xx x xx x x ⋅→+ （2分）=sin lim cos tan 0x x xx e ⋅→ （3分） =e （4分）（3）22ln(122)lim1x x x x x e →++-2220(24)ln(122)122lim 2x x x x x x x x xe→++++++ (1分）、 =2220001ln(122)24lim [lim lim ]2122x x x x x x x e x x x-→→→++++++ （2分）=20122(lim 2)2x x xx →++ （3分）=1(22)22+= （4分）3．（8分）当x →+∞时，判断下列各式哪些是无穷小，并指出其中是否有等价无穷小（写出判断过程）。

（1）- （2）3221x x ++ （3）11sin sin x x x x-解:2lim lim sin 0x x →+∞→+∞-==+ （2分）32122lim lim 011x x x x →+∞→+∞+==++ （4分）1sin11sin lim(sin sin )lim lim 1011x x x x x x x x xx→+∞→+∞→+∞-=-=-= （6分）x ∴→+∞时，（1），（2）两式是无穷小，（3）不是无穷小。

新高三数学上期中试卷(附答案)

新高三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）． A ．1B ．6C ．7D ．6或77．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n8．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．2018 B ．2019C ．4036D ．40379．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c da b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d11．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 14．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为．15．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 16．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ . 17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是．18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．26．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．D解析：D 【解析】【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围．【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．C解析：C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<，所以11n n S S n n +<+，所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+，所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-，所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零，所以n S 的最小值为7S ，故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.7．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=；考点：累加法求数列通项公式8．C解析：C 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.9．B解析：B 【解析】试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.10．B解析：B 【解析】【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确；故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.11．A解析：A 【解析】【分析】【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．D解析：D 【解析】【分析】先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析：1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+，而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.14．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的解析：5 【解析】试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭，解得5x =，故最大面积为15522S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.15．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了解析：12【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==.故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.17．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则，当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上，的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题解析：1941【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得．【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =，故答案为1941.【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．19．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行解析：4[,13]5【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22xy+的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.20．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想三、解答题21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）72【解析】【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()2sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++= 2sin sin 0C C C +=，∴2cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为22a b ==，，34C π=，由余弦定理得 22222cos 24222102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴10c =由5sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以25cos B = 5254sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 55B C B C B C ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 23．（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔ 11232a a a -<-<-，解得：15521a ++<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.24．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 25．(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 26．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭．即2160c -=．解得c =-c =所以12422S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.。

【典型题】高三数学上期中试题(附答案)

【典型题】高三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（） A ．810B ．840C ．870D ．9004．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（）A ．5B ．25C D ．6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（） A ．134B ．135C ．136D ．13710．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（） A ．3B ．13+C ．12+D ．411．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．212．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 14．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 15．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．17．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________． 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 23．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围；（3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =．（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 4．A解析：A 【解析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．D解析：D 【解析】【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 当2x =时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.9．B解析：B 【解析】【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.10．A解析：A 【解析】【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.【详解】当2x >时，20x ->，则()()()11122222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅+--- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12．A解析：A 【解析】【分析】分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

山东高三高中数学期中考试带答案解析

山东高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．7.在中，若，则（）A．B．C．D．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．2.已知，，则__________．3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.山东高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合或，集合，所以，或，所以可得，，故选D.2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数，，故选B.3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当,,所以不是的充分条件,同理,当时,所以不是的必要条件,即是的既不充分又不必要条件,选D.4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在和上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，幂函数在上递增，指数函数在上递增递减，，，即，故选C.6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是非奇非偶的，故可排除选项，对于选项当趋向于时，趋向于，故可排除选项，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，，所以,故选Ｃ．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如图所示，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，依次类推，第七次循环：，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：？执行框②应填入，③应填入：，故选B.9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，又点在函数的图象上，则，由定积分几何意义，围成图形的面积为，故选B.10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，解得满足的的取值范围是，故选C.11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为的零点，为图象的对称轴，即，即为正奇数，在，则，即，解得，当时，，，此时在不单调，不满足题意，当时，，，此时在单调，满足题意，故的最大值为，故选D.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，又，当时，上述两个函数都是关于对称，画出两函数图象，如图，由图象可得两函数图象在区间上有三个交点，所以方程在区间上的实根有个，满足满足，方程在区间上的所有实根之和为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数与方程思想，属于难题. 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．【答案】【解析】非零单位向量满足，则，，设与的夹角是的夹角是，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.2.已知，，则__________．【答案】【解析】，解得故答案为：3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．【答案】【解析】由于函数的周期为，故个周期即，故把函数的图象向右平移个周期，故把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数的解析式为，故答案为.4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为.三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，从而可得结果；（2）由为，可得，所以，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知，所以，，所以，解得，又因为，所以.（2）因为，所以，则，所以，因为，则，解得.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量频数假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据卖出一枝可得利润元,卖不出一枝可得赔本元，以花店一天购进枝玫瑰花为分点即可建立分段函数；（2）根据表格中的数据，讨论需求量得到这天的日利润的平均数，利用天的销售量除以即可得到结论.试题解析：（1）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以.（2）当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以日利润的平均数（元）.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合范围，解得，可得的值；（2）由三角形的面积公式可求，利用余弦定理解得的值，即可得解的周长.试题解析：（1）由已知，化简得，因为，解得，因为，所以.（2）由已知，所以，又因为，解得，所以，解得，所以的周长为.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为，；（2）.【解析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可将函数解析式化为，利用三角函数的有界性求解函数的最值，令，可得对称轴方程；（2）由，得,所以，则.试题解析：（1）由已知，，因为，所以，则的最大值为，最小值为.令，解得，，（2）因为，所以所以，则.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.【答案】（1）极大值是；（2）无零点.【解析】（1）求出，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点.试题解析：（1）当时，，当时，，所以，则单调增，当时，，所以，则单调减，所以是的极大值点，极大值是.（2）由已知，当时，，所以，令，令，在上递减，又，在上有唯一的零点，，当时，则，所以在内单调递增；当时，则，所以在内单调递减则.故当时，，故，所以当时，在定义域内无零点.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数在上单调递增，等价于恒成立，得，则；（2）函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，可求得，结合韦达定理可得，利用导数研究函数的单调性，证明函数的最小值大于零即可.试题解析：（1）由已知，所以所以当时，恒成立，即…（*）因为，则由（*）得，则.（2）由已知因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令，对称轴为则，解得且则，同理可得.令则因为，所以，又有，所以，则在上单调递增，所以，即，所以.。

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

高一上学期期中数学试卷(基础篇)(解析版)

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大一高等数学(上)期中测试

高等数学（上）期中测试题一填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设1(1),0(),0x x x f x x a x ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =-1e。

解()()111100lim 1lim 1xxx x x x e -----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已知 (3)2f '=,则0(3)(3)lim2h f h f h →--=1-。

解已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h→--'== 则00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=-()1132122f '=-⋅=-⨯=-3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解令()12sin 0f x x '=-=得6x π=()026622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩ ，则t dy dx==0,22t d y dx==120解()05sin 051cos t t t dy dy t dt dx dxt dt======+220t t t dy d dy dx d d y dx dt dx dxdxdt===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭==()()()22cos 1cos sin 1cos 151cos 20t t t tt t =+++==+5. 设1(0)xy xx +=>，则y '=()1ln xx x x x ++解两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y xx y x'+=+,整理后即得结果 6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy --。

高三数学上学期期中试题理含解析 6

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期期中试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.在复平面内，复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合A={x|3x-x2＞0}，B={x|-1＜x＜1}，那么A∩B=〔〕A. B. C. D.3.以下说法正确的选项是〔〕A.“假设,,那么〞B.,使C.“假设,D.,4.双曲线C：=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为，那么C的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.5.曲线y=e-x cos x在点〔0，1〕处的切线方程为〔〕A. B. C. D.6.假设执行程序框图，且输入n=6，m=4，那么输出的p=〔〕A.240B.120C.720D.3607.假设当x=时，函数f〔x〕=A sin〔x+φ〕〔A＞0〕获得最小值，那么函数y=f〔-x〕是〔〕A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于直线对称C.奇函数且图象关于直线对称D.偶函数且图象关于点对称8.3男2女一共5名同学站成一排合影，那么2名女生相邻且不站两端的概率为〔〕A. B. C. D.9.x=log52，y=log2，z=，那么以下关系正确的选项是〔〕A. B. C. D.10.△ABC中，，延长BD交AC于E，那么=〔〕A. B. C. D.11.对于函数y=f〔x〕，假设存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]〔k＞0〕，那么称y=f〔x〕为k倍值函数假设f〔x〕=e x+2x是k倍值函数，那么实数k的取值范围是〔〕A. B. C. D.12.双曲线-=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，假设e为双曲线的率心率，那么〔〕A. B.C. D.与关系不确定二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.根据某地方的交通状况绘制了交通指数的频率分布直方图〔如图〕，假设样本容量为500个，那么交通排指数在[5，7〕之间的个数是______14.a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c=2，且2c cos B=2a-b，那么△ABC面积的最大值为______15.假设数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=，那么a25=______．16.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，其外接球的外表积为56π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，那么a=______．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕17.等差数列的公差d≠0，其前n项和为S n，假设，且成等比数列．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设，证明：.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD，PA⊥PD，∠PAD=60°，Q为PD的中点．19.〔1〕证明：CQ∥平面PAB；20.〔2〕求二面角P-AQ-C的余弦值．21.在△ABC中，点D在边AB上，DA=DC，BD=2，∠B=45°．22.〔1〕假设△BCD的面积为3，求CD；23.〔2〕假设AC=2，求A．25.26.27.28.椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，经过点〔1，〕．经过F1，F2作平行直线m，n，交椭圆E于两点AB和两点C，D．29.〔1〕求E的方程；30.〔2〕求四边形ABCD面积的最大值．31.32.33.34.35.36.37.38.函数f〔x〕=2x-e x+1．39.〔1〕求f〔x〕的最大值；40.〔2〕x∈〔0，1〕，af〔x〕＜tan x，求a的取值范围．41.42.43.44.45.46.48.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：，t为参数，θ∈[0，π〕．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ=8sin〔θ+〕．49.〔1〕在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；50.〔2〕设点P〔1，〕，假设直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|•|PB|为定值，并求出该定值．51.52.53.54.55.56.57.58.函数．求不等式的解集M；59.设a，，证明：．60.61.62.63.64.65.答案和解析1.【答案】A【解析】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限．应选：A．利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．此题考察了复数的运算法那么、几何意义，属于根底题．2.【答案】C【解析】解：∵A={x|0＜x＜3}，B={x|-1＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．应选：C．可以求出集合A，然后进展交集的运算即可．此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．3.【答案】C【解析】解：Aa≤1，那么a2≤1〞；B错，根据指数函数的性质，第一象限内，底大图高，所以不存在∃x0∈〔0，+∞〕，使；CDx2+x-m=0有实根，那么m＞0“，方程x2+x-m=0有实根，所以不成立．应选：C4.【答案】A【解析】解：双曲线的离心率为，那么=，令c=t，a=2t，那么b==t，那么双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，应选：A．运用离心率公式，令c=t，a=2t，那么b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．此题考察双曲线的方程和性质，考察离心率公式和渐近线方程，考察运算才能，属于根底题．5.【答案】D【解析】解：由题意，y′=-e-x cos x-e-x sin x=-e-x〔sin x+cos x〕，那么y′|x=0=-e0〔0+1〕=-1．∴曲线y=e-x cos x在点〔0，1〕处的切线斜率为-1，∴曲线y=e-x cos x在点〔0，1〕处的切线方程为y-1=-〔x-0〕即：x+y-1=0．应选：D．此题先求出曲线y=e-x cos x的一阶导数，然后代入x=0计算出曲线y=e-x cos x在点〔0，1〕处的切线斜率，即可得到切线方程．此题主要考察函数求导运算才能，以及根据导数代入详细点的横坐标，得到切线斜率，从而得出切线方程．此题属根底题．6.【答案】D【解析】解：根据题中的程序框图，模拟运行如下：输入n=6，m=4，k=1，p=1，∴p=1×〔6-4+1〕=3，k=1＜4，符合条件，∴k=1+1=2，p=3×〔6-4+2〕=12，k=2＜4，符合条件，∴k=2+1=3，p=12×〔6-4+3〕=60，k=3＜4，符合条件，∴k=3+1=4，p=60×〔6-4+4〕=360，k=4=4，不符合条件，故完毕运行，输出p=360．应选：D．根据题中的程序框图，模拟运行，依次计算k和p的值，利用条件k＜m进展判断是否继续运行，直到k≥m那么完毕运行，输出p的值即为答案．此题考察了程序框图，主要考察了循环语句和条件语句的应用．其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于根底题．7.【答案】D【解析】分析：由f〔〕=A sin〔+φ〕=-A可求得φ=2kπ-〔k∈Z〕，从而可求得y=f〔-x〕的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．此题考察由y=A sin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，求φ是难点，考察正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题．解：∵f〔〕=A sin〔+φ〕=-A，∴+φ=2kπ-，∴φ=2kπ-〔k∈Z〕，∴y=f〔-x〕=A sin〔-x+2kπ-〕=-A cos x，令y=g〔x〕=-A cos x，那么g〔-x〕=-A cos〔-x〕=A cos x=g〔x〕，∴y=g〔x〕是偶函数，可排除A，C；其对称轴为x=kπ，k∈Z，对称中心为〔kπ+，0〕k∈Z，可排除B；令k=0，x=，那么函数的对称中心〔，0〕，应选：D．8.【答案】B【解析】解：3男2女一共5名同学站成一排合影，根本领件总数n==120，2名女生相邻且不站两端包含的根本领件个数m==24，∴2名女生相邻且不站两端的概率为p==．应选：B．根本领件总数n==120，2名女生相邻且不站两端包含的根本领件个数m==24，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．此题考察概率的求法，考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．9.【答案】A【解析】解：x=log52＜=，y=log2＞1，z==∈〔，1〕．∴x＜z＜y．应选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．此题考察了指数与对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．10.【答案】C【解析】解：依题意，设=，=μ，那么==λ〔-3+6〕=-3+6，又=+=+=+μ〔〕=〔1+μ〕-μ，所以，两式相加得λ=，即=，所以==，应选：C．设=，=μ，分别将分解为用基底，表示的向量，根据对应系数相等得方程组，即可求得λ．此题考察了向量的线性运算，考察向量的分解，主要考察计算才能，属于根底题．11.【答案】B【解析】解：f〔x〕在定义域R内单调递增，∴f〔a〕=ka，f〔b〕=kb，即e a+2a=ka，e b+2b=kb，即a，b为方程e x+2x=kx的两个不同根，∴，设g〔x〕=，，∴0＜x＜1时，g′〔x〕＜0；x＞1时，g′〔x〕＞0，∴x=1是g〔x〕的极小值点，∴g〔x〕的极小值为：g〔1〕=e+2，又x趋向0时，g〔x〕趋向+∞；x趋向+∞时，g〔x〕趋向+∞，∴k＞e+2时，y=k和y=g〔x〕的图象有两个交点，方程有两个解，∴实数k的取值范围是〔e+2，+∞〕．应选：B．可看出f〔x〕在定义域R内单调递增，从而可得出e a+2a=ka，e b+2b=kb，即得出a，b是方程e x+2x=kx 的两个不同根，从而得出，可设，通过求导，根据导数符号可得出g〔x〕的极小值为g〔1〕=e+2，并判断出g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，并得出x趋向0时，g〔x〕趋向正无穷，x趋向正无穷时，g〔x〕趋向正无穷，这样即可得出k＞e+2时，方程e x+2x=kx有两个不同根，即得出k的取值范围．此题考察了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考察了推理才能和计算才能，属于难题．12.【答案】C【解析】解：F1〔-c，0〕、F2〔c，0〕，内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，那么|〔x+c〕-〔c-x〕|=2a∴x=a；|OA|=a，在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=〔PF1-PC〕=〔PF1-PF2〕=×2a=a．∴|OB|=|OA|．应选：C．根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|-|PF2|=2a，转化为|AF1|-|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．此题考察双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等．13.【答案】220【解析】解：由频率分布直方图得：交通排指数在[5，7〕之间的频率为：，∴交通排指数在[5，7〕之间的个数为：0.44×500=220．故答案为：220．由频率分布直方图得交通排指数在[5，7〕之间的频率，由此能求出交通排指数在[5，7〕之间的个数．此题考察频数的求法，考察频率分布直方图的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．14.【答案】【解析】解：∵2c cos B=2a-b，由正弦定理可得，2sin C cos B=2sin A-sin B，∴2sin C cos B=2sin〔B+C〕-sin B，∴2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B-sin B，∴2sin B cos C-sin B=0，∵sin B≠0，∴cos C=，∵C∈〔0，π〕，∴C=由余弦定理可得，4=a2+b2-2ab×cos60°=a2+b2-ab，≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≤4，∴△ABC面积s==，即面积的最大值为．故答案为：由结合正弦定理及两角和的正弦公式化简可求cos C，进而可求C，然后由余弦定理可得，c2=a2+b2-2ab cos C，由根本不等式可求ab的范围，代入三角形的面积公式s=可求．此题主要考察了正弦定理，余弦定理，和角正弦公式，根本不等式及三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．15.【答案】5-2【解析】【分析】此题考察数列的递推公式，关键是根据数列的递推公式，求出数列的前n项，分析其变化的规律．根据题意，对数列的递推公式S n+1+S n=，①变形可得S n+S n-1=，②，将2个式子相减，即可得a n+1+a n=〔-〕，变形可得a n+1-=-〔a n+〕，令n=1、2、3、…，求出数列的a2、a3、a4…，归纳可得a n=-，将n=25代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}中S n+1+S n=，①那么有S n+S n-1=，②①-②可得：S n+1+S n-S n-S n-1=-，即a n+1+a n=-，那么a n+1-=-〔a n+〕，当n=1时，有a2-=-〔a1+〕=-2，解可得a2=-1，当n=2时，有a3-=-〔a2+〕=-2，解可得a3=-，当n=3时，有a4-=-〔a3+〕=-2，解可得a4=-，…归纳可得：a n=-，那么a25=-=5-2，故答案为5-2．16.【答案】2【解析】根据题意，画出示意图如右图所示，O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，那么|OA|=|OP|=R，设|OM|=h，∵外接球的外表积是56π，∴R=∴h2+=14+〔-h〕2=14，联立以上两式解得a=2，故答案为：2．利用外接球的外表积56π，求出四棱锥的外接球半径，进而利用勾股定理求解；考察四棱锥外接球的理解，勾股定理的应用，正确画出示意图是解决此题的关键；17.【答案】解：〔1〕因为{a n}为等差数列，且a2+a8=22，∴，由a4，a7，a12成等比数列，得，即〔11+2d〕2=〔11-d〕•〔11+7d〕，∵d≠0，∴d=2，∴a1=11-4×2=3故a n=2n+1〔n∈N*〕〔2〕证明：∵，∴，∴=故．【解析】此题考察数列的综合应用，等差数列以及等比数列的应用，裂项相消法求数列的和，考察计算才能．属于中档题.〔1〕利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求数列{a n}的通项公式；〔2〕化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可推出结果．18.【答案】解：〔1〕证明：取PA中点N，连结QN，BN，∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=，∵PA⊥PD，∠PAD=60°，∴PA=AD，∴BC=AD，∴QN=BC，又AD∥BC，∴QN∥BC，∴BCQN为平行四边形，∴BN∥BC，又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．〔2〕解：取AD中点M，连结BM，取AM的中点O，连结BO，PO，设PA=2，由〔1〕得PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM，同理，BO⊥AM，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，那么A〔0，-1，0〕，C〔，2，0〕，P〔0，0，〕，Q〔0，，〕，=〔〕，=〔0，，〕，设平面ACQ的法向量=〔x，y，z〕，那么，取y=-，得=〔3，-，5〕，平面PAQ的法向量=〔1，0，0〕，∴cos＜＞==，由图得二面角P-AQ-C的平面角为钝角，∴二面角P-AQ-C的余弦值为-．【解析】〔1〕取PA中点N，连结QN，BN，推导出BCQN为平行四边形，从而BN∥BC，由此能证明CQ∥平面PAB．〔2〕取AD中点M，连结BM，取AM的中点O，连结BO，PO，推导出PO⊥AM，BO⊥AM，从而PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法二面角P-AQ-C的余弦值．此题考察线面平行的证明，考察二面角的正弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．19.【答案】解：〔1〕∵△BCD的面积为3，∴，∴BC==，在△BCD中，由余弦定理，有，∴=；〔2〕在△ACD中，由正弦定理，有，∴CD=，在△BCD中，由正弦定理，有，∴==，∵A∈〔0°，6°〕，∴90°-A∈〔2°，90°〕，135°-2A∈〔0°，135°〕，∴90°-A=135°-2A或者〔90°-A〕+〔135°-2A〕=180°，∴A=45°或者A=15°．【解析】〔1〕由△BCD的面积求出BC，再利用余弦定理求出CD；〔2〕在△ACD中，由正弦定理将CD用cos A表示，再在△BCD中，利用正弦定理建立关于角A的方程，然后求出A即可．此题考察了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式，考察了转化思想和计算才能，属中档题．20.【答案】解：〔1〕由题，所以c2=，那么b2=，将点〔1，〕代入方程得，解得：a2=4，b2=3，所以E的方程为；〔2〕当直线m的斜率存在时，设斜率为k，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，又F1〔-1，0〕，所以直线m的方程为y=kx+k，联立，得〔3+4k2〕x2+8k2x+4k2-12=0，所以，，所以|AB|====，因为m，n之间的间隔就是F2〔1，0〕到直线m：kx-y+k=0的间隔：d=，所以四边形ABCD面积为：S=|AB|•d=×=，令t=3+4k2〔t≥3〕，那么S==6，因为t≥3，所以0＜≤，所以0＜S＜6，当直线m的斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×，综上，四边形ABCD的面积最大值为6．【解析】〔1〕利用离心率求得a，b关系，再将点坐标代入椭圆方程求得a，b即可；〔2〕m斜率存在时，设出方程y=kx+k，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，再结合图形因为m，n之间的间隔就是F2〔1，0〕到直线m：kx-y+k=0的间隔：d=，表示出S=|AB|•d，运用换元思想，求出S的范围；m斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×，综上可得面积最大值为6．此题是直线与椭圆的综合问题，能有图象判断出m，n之间的间隔就是到直线m的间隔是一个关键，属于中档题．21.【答案】解：〔1〕f〔x〕=2x-e x+1，f′〔x〕=2-e x，令f′〔x〕＞0，解得：x＜ln2，令f′〔x〕＜0，解得：x＞ln2，∴f〔x〕在〔-∞，ln2〕递增，在〔ln2，+∞〕递减，∴f〔x〕的最大值是f〔ln2〕=2ln2-1；〔2〕x∈〔0，1〕时，f〔x〕在〔0，ln2〕递增，在〔ln2，1〕递减，且f〔0〕=0，f〔1〕=3-e＞0，∴f〔x〕＞0，∵tan x＞0，∴a≤0时，af〔x〕≤0＜tan x；a＞0时，令g〔x〕=tan x-af〔x〕，那么g′〔x〕=+a〔e x-2〕，∴g〔x〕在〔0，1〕递增且g′〔0〕=1-a，①0＜a≤1时，g′〔0〕≥0，g′〔x〕≥0，∴g〔x〕在〔0，1〕递增，又g〔0〕=0，∴此时g〔x〕＞0，即af〔x〕＜tan x成立，②a＞1时，g′〔0〕＜0，g′〔1〕＞0，∴∃x0∈〔0，1〕，使得g′〔x0〕=0，即x∈〔0，x0〕时，g′〔x〕＜0，g〔x〕递减，又g〔0〕=0，∴g〔x〕＜0与af〔x〕＜tan x矛盾，综上：a≤1．【解析】〔1〕求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；〔2〕求出f〔x〕在〔0，1〕为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的详细范围即可．此题考察了函数的单调性、最值问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22.【答案】解：〔1〕圆C的极坐标方程为：ρ=8sin〔θ+〕．转换为直角坐标方程为：，转换为HY式为：圆，所以圆心的直角坐标为〔2，2〕．〔2〕将直线l的参数方程为：，t为参数，θ∈[0，π〕．代入，所以：，〔点A、B对应的参数为t1和t2〕，那么：t1t2=-12，故：|PA||PB|=|t1t2|=12．【解析】〔1〕直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进展转换．〔2〕利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．23.【答案】〔1〕解：①当x≤-1时，原不等式化为-x-1＜-2x-2解得：x＜-1；②当时，原不等式化为x+1＜-2x-2解得：x＜-1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜-1或者x＞1}；〔2〕证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|-1＞0，那么f〔ab〕=|ab+1|，f〔a〕-f〔-b〕=|a+1|-|-b+1|．∴f〔ab〕-[f〔a〕-f〔-b〕]=f〔ab〕+f〔-b〕-f〔a〕=|ab+1|+|1-b|-|a+1|=|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b〔a+1〕|-|a+1|=|b|•|a+1|-|a+1|=|a+1|•〔|b|-1|〕＞0，故f〔ab〕＞f〔a〕-f〔-b〕成立．【解析】〔1〕把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．〔2〕由题意可得|a+1|＞0，|b|-1＞0，化简f〔ab〕-[f〔a〕-f〔-b〕]为|a+1|•〔|b|-1|〕＞0，从而证得不等式成立．此题主要考察绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。

高数期中考试及答案详解

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为（） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点；C 第一类跳跃间断点；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

高三数学上学期期中试题含解析试题

七宝中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一. 填空题的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，{1}，{2021}，{0,1}，{0,2021}，{1,2021}，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】此题主要考察集合的真子集及其个数，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.，，，那么图中阴影局部所表示的集合是________〔用区间表示〕【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影局部所表示的集合.【详解】由题得M={x|x>2或者x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，所以.所以阴影局部所表示的集合为[0,2].故答案为：【点睛】此题主要考察韦恩图和集合的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.3.命题“假设实数、满足，那么或者〞是________命题〔填“真〞或者“假〞〕【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3那么a+b＞5〞的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3那么a+b＞5〞，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】〔1〕此题主要考察原命题及其逆否命题，考察命题真假性的判断，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性一样，原命题的逆命题和否命题的真假性一样.所以，假如某些命题〔特别是含有否认概念的命题〕的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.，那么在本场考试时间是是内，该时针扫过的面积是________【答案】【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解.【详解】由题得该时针扫过的面积为故答案为：【点睛】此题主要考察扇形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.是奇函数，那么实数的值是________【答案】【解析】【分析】化简f(-x)+f(x)=0即得a=±1，再检验得a=-1.【详解】由题得，所以所以，经检验a=1不符合题意，所以舍去，故答案为：-1【点睛】此题主要考察奇函数的性质和对数的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.在上单调递增，那么实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】先对函数求导得在〔1,2〕上恒成立，再别离参数求出a的范围.【详解】由题得在〔1,2〕上恒成立，所以.故答案为：【点睛】(1)此题主要考察利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数≥0 .△中，角、、所对的边分别为、、，假设，，，那么△的面积为________ 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】∵a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．∴S△ABC===．故答案为：．【点睛】此题主要考察了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能与计算才能．，那么的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函数是定义域在上的增函数，所以,解不等式即得解.【详解】由于函数是定义域在上的增函数，所以故答案为：【点睛】(1)此题主要考察幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原那么〞，此题不要漏了3x-1≥0.的不等式在上恒成立，那么正实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或者2x-a＜x-1，所以a＜3x-1或者a＞x+1在[0,1]上恒成立，所以a<-1或者a>2,因为a>0,综合得a>2.故答案为：a>2【点睛】此题主要考察绝对值不等式的恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.，函数的图像经过点、，假设，那么________【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f〔x〕=的图象经过点P〔p，〕，Q〔q，〕．那么：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a＞0，故：a=4．故答案为：4【点睛】此题主要考察函数的性质和指数幂的运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.，假设，那么的最大值是________【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g〔x〕是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以==，所以的最大值为.故答案为：【点睛】〔1〕此题主要考察函数的奇偶性和单调性，考察函数的图像和性质，考察三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2)此题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.，假如函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC〔不能取到〕之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】〔1〕此题主要考察函数的图像和性质，考察求函数的解析式，考察函数的零点问题，意在考察学生读这些知识的掌握程度和数形结合分析推理才能.〔2〕解答此题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.二. 选择题13.“函数存在反函数〞是“函数在上为增函数〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

高等数学期中试题及答案

高等数学（上）期中试题一、单项选择和填空（共10小题，每题3分）1.f x ()在x 0的左、右极限存在且相等是f x ()在该点连续的( ) A.充分且必要的条件 B.充分非必要的条件C.必要非充分的条件D.既非充分也非必要的条件2.设y x x dx dyy =+=32,则＝( )A.2B.4C.12D.143.函数f x x x ()=-+268单调减少的区间是( )A.(,)-∞+∞B.(,]-∞3C.[,)-+∞3D.[,)3+∞4.设y x x x y =---'=()()(),()1231则( )A.0B.2C.3D.65.过原点作曲线y=e x 的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 6.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( )A.1B.2C.3D.47.∞→n lim （n n 2n 2-+）=______.8.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-+2x1ax 1 0)(x 0)(x =≠ ,在点x=0处连续，则：a=_____. 9.设y=xcos2x,则:f ′(x)=______. 10.曲线sin 2(0,1)cos 2ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在处切线为二. （10分）求0x lim →(1e 1sinx 1x--).三（10分）.设x arctgt y t ==+⎧⎨⎩ln()12,求dy dx d ydx ,22四（10分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。

五（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。

六（10分）设常数0k >，判断方程ln 0xx k e-+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。

七（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩，（1）讨论L 的凹凸性；（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。

高等数学(上)期中考试试卷

高等数学（上）期中考试试卷1 高等数学（上）期中考试试卷1一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 3，若f(x)的导函数为f'(x) = 6x^2 + 2ax + b，则a的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -32. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + k的图像必经过的点为（）A. (-1, -1)B. (1, -1)C. (2, 2)D. (-2, 2)3. 设函数y = e^x + a，若a = 1，求y在x = 0处的切线方程为（）A. y = x + 2B. y = 2x + 1C. y = x + 1D. y = 2x + 24. 函数y = a^x在点(0, b)处的切线方程为y = x + 1，求a和b的值。

A. a = 1, b = 1B. a = e, b = eC. a = 2, b = 2D. a = e, b = 15. 函数y = ln(x)在点(1, 0)处的切线方程为y = 2x - 2，求曲线在x = 1处的切线方程。

A. y = xB. y = x - 1C. y = 2x - 1D. y = 2x6. 函数y = cos(x)在区间[0, π/2]上的最小值为（）A. -1B. -√2/2C. -1/2D. 0二、计算题（共70分）1. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x在区间[0, 2]上的定积分。

2. 求曲线y = x^2 - 2x的长度。

3. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点。

4. 求函数y = ln(x)与y = x的交点坐标。

5. 已知函数y = e^x满足条件∫(1, a) y dx = 5，求a的值。

6. 求函数y = x^2 - 2在区间[-2, 2]上的平均值。

三、证明题（共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 4，证明f(x)在区间[-1, 1]上有且仅有一个零点。

高三数学上学期期中试题含解析试题_1

2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.〕()f x 的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞考点：函数定义域()2,3a =-与向量(),6b x =-一共线，那么x =______.【答案】4【解析】【分析】由向量一共线的条件求解.【详解】∵,a b 一共线，∴2(6)(3)0x ⨯---=，4x =.故答案为4.【点睛】此题考察向量一共线的条件，属于根底题.α的终边过点()1,2-，那么tan α=______.【答案】-2【解析】【分析】由正切函数定义计算.【详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--. 故答案为－2.【点睛】此题考察三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题根底. {}n a 中，11a =-，427a =，那么5a=______.【答案】-81【解析】【分析】先求公比q ，再求5a . 【详解】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-.故答案为－81.【点睛】此题考察求等比数列中的项，可根据等比数列的通项公式求出公比q ，然后再求某一项.{}|31A x x =-<<，集合{}|,B x x a a Z =<∈，假设A B 中恰好含有一个整数，那么a 的值是______.【答案】-1【解析】【分析】根据集合A ，B 的形式，它们交集中只有一个整数，必定是－2．【详解】由题意2AB -∈，1A B -∉，∴21a -<≤-，又a 为整数，∴1a =-．故答案为－1．【点睛】此题考察集合的交集运算，掌握交集定义是解题根底． y=x ﹣2sinx 在〔0，2π〕内的单调增区间为___________【答案】5,33ππ（）【解析】对函数求导可得'12cos y x =-，其单调增区间满足12cos 0x ->，得1cos 2<，即增区间为π5π2π2π33k x k +<<+，限定在()0,2π范围内，那么有π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．故此题应填π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()f x 在[0,)+∞上单调递减，且满足()()21f x f x >+，那么x 的取值范围为______. 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用偶函数的性质把不等式化为(2)(1)f x f x >+，然后利用单调性求解．【详解】∵()f x 是偶函数，∴原不等式可化为(2)(1)f x f x >+，又()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴21x x <+，解得113-<<x ．故答案为1(,1)3-．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为12()()f x f x >的形式，其中12,x x 在()f x 的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“f 〞后求解． ()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】10x y -+=【解析】【分析】求出导函数，得'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由题意()cos sin x x f x e x e x '=-，∴'(0)1f =，又(0)1f =，∴所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．故答案为10x y -+=．【点睛】此题考察导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．9.sin 3cos 0αα+=，那么sin 2α=______. 【答案】35 【解析】【分析】由求出tan α，由二倍角公式得sin 22sin cos ααα=，把它转化为关于tan α的代数式．【详解】∵sin 3cos 0αα+=，∴tan 3α=-， ∴22222sin cos 2tan 2(3)3sin 22sin cos sin cos tan 1(3)15ααααααααα⨯-=====-++-+．故答案为35．【点睛】此题考察同角间的三角函数关系，考察正弦的二倍角公式．解题中注意“1〞的代换，利用“1〞的代换可化sin ,cos αα的二次式为二次齐次式，从而可化为tan α的代数式，这样解题可减少计算量．()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π.函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【解析】【分析】由两个对称性可得函数的周期，从而可求得ω的值，再由函数图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得ϕ，最终可求()4f π．【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π. ∴44T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()sin(2)f x x ϕ=+， 1()sin(2)662f ππϕ=⨯+=，2πϕ<，∴6πϕ=-，∴()sin(2)sin 4463f ππππ=⨯-==【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，考察三角函数的解析式．属于根底题． 2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是消费1L 甲种饮料得3元，消费1L 乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是______元.【答案】10000【解析】【分析】设消费甲和饮料x L ，消费乙种饮料y L ，根据题意列出,x y 满足的不等关系，然后求()max 34x y +．【详解】设消费甲和饮料x L ，消费乙种饮料y L ，消费甲种饮料需要()34x L ，李子汁和()14x L 苹果汁，消费乙种饮料需要()12y L ，李子汁和()12y L 苹果汁，那么312000*********20,0x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥≥⎪⎪⎩，.利润34z x y =+，由312000*********2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得20001000x y =⎧⎨=⎩，作出可行域，如图四边形OABC 内部〔含边界〕，作直线:340l x y +=，平移直线l ，当l 点(2000,1000)B 时，34z x y =+获得最大值10000．故答案为10000.【点睛】此题考察简单的线性规划，解题时设出两个变量,x y ，列出,x y 满足的不等关系，即约束条件，同时表示目的函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解．ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，ABC ∆的面积为2，那么AM AN ⋅的最小值为______.【答案】169【解析】以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，由面积求得AC ，即C 点坐标，计算出,M N 的坐标，再计算AM AN ⋅，最后利用根本不等式可得最小值．【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，∵122ABC S AB AC ∆=⋅=， 4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 22232641699819AM AN t t ⋅=+≥=，当且仅当2223299t t=即2t =时取“=〞， ()min 169AM AN ⋅=. 故答案为169. 【点睛】此题考察平面向量的数量积，考察根本不等式求最小值．由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度． {}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，那么q =______. 【答案】23-【解析】由n b 求出n a 的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定q ．【详解】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，那么{}12,4,3,8,18n a ∈---，∵()212818-=⨯， n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-. 故答案为23-. 【点睛】此题考察等比数列的性质，三个数非零实数,,x y z 成等比数列的充要条件是2y xz =．()()2221,2log 2,2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，那么方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭恰好有6个不同的解，那么实数a 的取值范围为______.【答案】(0,1]【解析】【分析】令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x =++图像，通过图象分析解的各种情况．【详解】令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x=++图像，1︒2a >时，()f t a =有两根，设为1t ，2t ，那么123t <<，23t >，即1114x t x++=，此时有2个根， 2114x t x++=，此时有2个根，一共4个根，不满足条件.2︒2a =时，()f t a =，解得1t =或者94或者6，即1114x x++=，无解， 19144x x ++=，2解， 1164x x ++=，2解，一共4个解，不满足条件.3︒12a <<时，()f x a =，有四个根，设为3t ，4t ，5t ，6t ，其中301t <<，412t <<，59542t <<，646t <<，即3114x t x++=，无解， 4114x t x++=，无解， 5114x t x++=，2解， 6114x t x ++=，2解，一共4个解，不满足条件.4︒1a =时，()f t a =有4个根，0，2，m ，n 〔23,3m n <<>〕， 1104x x++=，1解， 1124x x++=，1解， 114x m x++=，2解， 114x n x ++=，2解，一共6解，满足条件.5︒01a <<时，()f t a =，有3个根，设为7t ，8t ，9t ，其中90t <，8532t <<，934t <<，即7114x t x++=有2解， 8114x t x++=有2解， 9114x t x ++=有2解，一共6解，满足条件.6︒0a =时，()0f t =，有两根12--和3，11124x x++=--有2个根， 1134x x ++=有2个根，一共4个根，不满足条件，综上01a <≤.故答案为(0,1].【点睛】此题考察函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设114t x x =++，方程化为()f t a =，114t x x=++，这样可作出两个函数()y f x =和114t x x =++的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．二、解答题：〔本大题一一共6小题，一共90分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AB 的中点，点F 为1A D 的中点.求证：〔1〕//EF 平面ABCD ；〔2〕1AA EF ⊥.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕由中位线定理证明//EF BD 即可；〔2〕直四棱柱中1AA ⊥平面ABCD ，从而1AA BD ⊥，再由平行线的性质得1AA EF ⊥. 【详解】证明：〔1〕连接1A B ，BD ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴四边形11A ABB 为平行四边形，∴E 为1A B 的中点，又∵F 为1A D 的中点，∴//EF BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD .〔2〕∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1AA ⊥平面ABCD ，又∵BD ⊂平面ABCD ，∴1AA BD ⊥.又∵//EF BD ，∴1AA EF ⊥.【点睛】此题考察线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于根底题.16.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两数轴，1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，假设向量12OP xe ye =+，那么把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.〔1〕设()0,1M ，()1,0N ，求OM ON ⋅的值；〔2〕假设1232OP e e =+，计算OP 的大小.【答案】〔1〕12〔219【解析】【分析】〔1〕由向量数量积的定义计算.〔2〕把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.【详解】解：〔1〕1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅︒=. 〔2〕2222129412OP e e e e =++⋅941211cos6019=++⨯⨯⨯︒=.∴19OP =【点睛】此题考察向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用22a a =转化为向量的数量积运算.17.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上〔不与端点重合〕，且12AD BC =.〔1〕假设60BAC ∠=︒，求sin sin B C 的值.〔2〕求b c c b+的取值范围. 【答案】〔132〕2,22⎡⎣ 【解析】【分析】〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；〔2〕同〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由根本不等式得最小值.【详解】解：〔1〕AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅=， 13sin 24ABC S AB AC BAC AB AC ∆=⋅∠=⋅， ∴2134BC AB AC =⋅， ABC ∆中由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得 213sin sin 4A B C =，3sin sin 4B C =. 〔2〕22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠+，()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，当4BAC π∠=时c b b c+取最大值22， 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=〞即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴c b b c+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考察两角和的正弦公式、正弦函数的性质，根本不等式等知识，考察知识较多，要求较高，属于中档题型.18.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上〔不与端点重合〕，且12AD BC =.〔1〕假设310sin BAC ∠=sin sin B C 的值.〔2〕求b c c b+的取值范围.【答案】〔1〔2〕2,⎡⎣ 【解析】【分析】〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；〔2〕同〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由根本不等式得最小值.【详解】解：〔1〕AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅= 1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠， ABC ∆中的正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可得 211sin sin sin sin 42C B C BAC =∠∴1sin sin sin 220B C BAC ⋅=∠=. 〔2〕22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠，∴211sin 42a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠，()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，当4BAC π∠=时c b b c+取最大值22， 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=〞即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴c b b c+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考察两角和的正弦公式、正弦函数的性质，根本不等式等知识，考察知识较多，要求较高，属于中档题型.19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育老师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角ABC ∆斜边AC 的中点F 处，乙站在B 处，丙站在C 处.游戏开场，甲不动，乙、丙分别以()/v m s 和()2/v m s 的速度同时出发，匀速跑向终点A 和B ，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如下图的DEF ∆.〔规定：只要有一人跑到终点，游戏就完毕，且()03/v m s <≤〕.AB 长为40m ，BC 长为80m ，记经过()t s 后DEF ∆的面积为()2S m .〔1〕求S 关于t 的函数表示，并求出t 的取值范围；〔2〕当游戏进展到10s 时，体育老师宣布停顿，求此时()2S m 的最小值.【答案】〔1〕()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦，其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕()2S m 最小值为2400m 【解析】【分析】〔1〕求出路程,BD CE ，从而可得BE ，由勾股定理得DE ，以,BC BA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，可得直线DE 的方程，求出F 到直线DE 的间隔，即FDE ∆的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到,A B 所用时间是24080,v v ，比拟它们的大小，可得t 的取值范围.〔2〕由〔1〕得()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+，利用导数求出其最小值.【详解】解：以B 为坐标原点，分别以BC 、BA 为x 、y 轴建立直角坐标系，40AB =，那么()0,40A ，80BC =，那么()80,0C ，F 为AC 中点，那么()40,20F ，t 秒后BD vt =，2CE v t =，280BE v t =-，()()22280DE vt v t =+-，直线DE 方程为：2180x y v t vt+=-， ()()2280800vtx v t y vt v t +---=，F 到DE 间隔d =322=，∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦， 040BD ≤≤，即040vt ≤≤，那么400t v≤≤， 080BE ≤≤，即208080v t ≤-≤，那么2800t v ≤≤， ()22240280408040v v v v v v---==，当02v <≤时，400t v≤≤，当23v <≤时，2800t v ≤≤， ∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦，其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 〔2〕∵10t s =，∴()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+， ()22'15020020050344S v v v v =--=--()()50322v v =+-，令'0S =得2v =，当02v <<时，'0S <，S 为单调递减，当23v <≤时，'0S >，S 为单调递增，∴当2v =时S 取最小值，此时2400S m =，答：此时()2S m 最小值为2400m .【点睛】此题考察函数的应用，解题关键是列出函数式，此题通过建立坐标系用解析法求点到直线的间隔即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，假如函数较复杂，可用导数求最值.{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，当2n ≥时，满足()112n n nS nS n S -=+-.〔1〕求证：2132a a a =+；〔2〕求证：数列{}n a 为等差数列；〔3〕假设12a =-，公差*d N ∈，问是否存在n ，d ，使得15n S =？假如存在，求出所有满足条件的n ，d ，假如不在，请说明理由.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析〔3〕存在，219n d =⎧⎨=⎩或者37n d =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】〔1〕条件是2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =可证结论2132a a a =+；〔2〕条件变形()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n -----()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，用累加的方法得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，从而()21112n a a S n n na -=⋅-+()3n ≥，把此式再写一次：当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-，两式相减得：4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-，同时123,,a a a 也合适此式，从而证明{}n a 是等差数列；〔3〕由12,15n a S =-=求得()3041nd n n +=-，让n 从2开场一一检验，看是否有*d N ∈，当然9n ≥时，有1d <，*d N ∉.【详解】〔1〕证明：∵2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =得21333S S S =+，()12112333a a a a a a +=+++， ∴2132a a a =+.〔2〕由()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n nn n S S n n -----()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，∴()()()321341111121322113243231112121n n S S a S S a S S a n n n n n n -⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪-----⎝⎭⎩，各式相加得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，()21112n a a S n n na -=⋅-+，当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-，由4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-，而1a ，2a ，3a 也满足上式，∴{}n a 为等差数列. 〔3〕∵12a =-，公差为d ，∴()11152n n n S na d -=+=，()12152n n n d --+=，()3041n d n n +=-，当2n =时，19d =，当3n =时，7d =，当4n =时，*236d N =∉〔舍〕，5n =时，*52d N =∉〔舍〕，当6n =时，*95d N =∉〔舍〕，7n =时，*2921d N =∉〔舍〕，当8n =时，*3128d N =∉〔舍〕，当9n ≥时，()()25130430363060n n n n n --≥--==+>-， ∴()1304n n n ->+，*d N ∉〔舍〕，综上219n d =⎧⎨=⎩或者37n d =⎧⎨=⎩.【点睛】此题考察等差数列的证明，由n S 的递推关系证明数列{}n a 是等差数列，由于式较复杂，因此关键是第一步的变形：()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n nn n S S n n -----()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，这样可用累加法求得n S ，再由1n n n a S S -=-得n a 〔4n ≥n S 与n a 的关系，要注意在推理过程中n 的取值范围.()()21x e x bf x x-+=. 〔1〕当0b =时，求()f x 的单调区间；〔2〕当[)0,1b ∈,(]0,2x ∈时，记()f x 的最小值为()h b ，求()h b 的最大值. 【答案】〔1〕()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.〔2〕()2max 4e h b = 【解析】【分析】〔1〕求导数'()f x ，由导数确定函数的单调区间；〔2〕求导数'()f x ，变形为：()()32(2')2x e bx x xx f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>，∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，由()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.这个0x 就是()f x 的最小值点，min0()()()h b f x f x ==，由0()0g x =，得()00022t e x b x -=+，代入()h b ，即化()h b 为0x 的函数，再用导数可求得得其最大值.【详解】解：〔1〕当0b =时，()2x e f x x =，()()24322'xx x x f x e e x x e x x⋅-⋅-==，当0x <时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减；当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.综上可得：()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2. 〔2〕()()()242'1xxe b x x e x b xf x ⎡⎤---+⎣⎦=()()3222xx e b x e x bx--++=()()()()3322222x x e b e b x x x x x x x +--+++==⋅+ 令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>， ∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，且()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =. 且当00x x <<时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减；当02x x <≤时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增.∴()()()()00min0201x f e x b x x h b f x ===-+，而()000202x e x b x -+=+， ∴()00022t e x b x -=+，∴()()()0000002212x x e x e x x f x x --+⋅+= ()0020200022x x e x e x x x ⋅==++，(]00,2x ∈，令()2xe h x x =+，()()()()()2202212'x x x x x h x e e e x x -==++>++， ∴()h x 在(]0,2上单调递增，()()224e h x h ≤=，∴()2max4e h b =，当2x =，0b =时取到. 【点睛】此题考察用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间.求最值时，由于有参数b ，因此需定性分析.对'()f x 变形为()()32(2')2x e b x x xx f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，再用导数研究()g x 的单调性，确定它有零点0(0,2]x ∈，同时建立0x 与b 0()()h b f x =，利用前面0x 与b 的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.此题难度很大，对学生的分析问题解决问题的才能，对运算才能的要求都较高，属于困难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高三数学上学期期中试题理含解析100001

卜人入州八九几市潮王学校第七2021届高三数学上学期期中试题理〔含解析〕一、单项选择题〔每一小题5分〕{}311A x x =<<，{}2337B x a x a =-≤≤-，假设B A ⊆，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(36)，B.(,6)-∞C.[4,6)D.(,4)-∞【答案】B 【解析】【分析】对集合B 分成两种情况考虑，即B =∅和B ≠∅，分别求得a 的范围再取并集. 【详解】当B =∅时，此时B A ⊆，所以23374a a a ->-⇒<；当B ≠∅时，因为B A ⊆，所以2337,233,463711,a a a a a -≤-⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-<⎩；综上所述：6a <. 应选B.【点睛】此题考察根据集合间的根本关系求参数的取值范围，求解过程中注意不等式的等号能否取到是成功解决问题的关键.f (x )＝21,2(3),2x x f x x ⎧+≥⎨+<⎩那么f (1)－f (3)等于()A.－7B.－2C.7D.27【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式，分别求得()1f 、()3f 的函数值，再作差就可以.【详解】依题意()()2144117f f ==+=，()233110f =+=，所以()()137f f -=，选C.【点睛】本小题考察分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于根底题.sin sin 122x xy =+的局部图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122x xy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122x xy =+大致的图象应为D 项，应选D.()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩,满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，那么实数a 的取值范围为()A.(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B.考点：分段函数的单调性.【易错点晴】此题主要考察分段函数的单调性,属于易错题.从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x=处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤.此题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.()0,∞+上的函数()f x 满足：①()()m f x mf x =，0x >，m ∈R ；②存在实数1a >，使得()1f a =．那么以下选项正确的选项是〔〕A.()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B.()()3232f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C.()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D.()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据抽象函数关系，确定()f x 为对数型函数，设()log b f x x =，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进展求解即可．【详解】解：在()0,∞+上()f x 满足：①()()m f x mf x =，0x >，m ∈R ；∴()f x 为对数型函数，设()log b f x x =，②假设在实数1a >，使得()1f a =．即当1a >时，()log 1b a f a ==，即1b a =>那么函数()log b f x x =为增函数，那么()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，应选C ．【点睛】此题主要考察函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决此题的关键．6.在△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，且△ABC的面积ABC S ∆=，那么边BC 的长为〔〕B.3D.7【答案】C 【解析】因为△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，且△ABC的面积1sin 22ABC S bc A ∆==，1b ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=.选C.x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，那么9x y -的取值范围是〔〕A.[7,26]-B.[1,20]-C.[4,15]D.[1,15]【答案】B 【解析】【分析】令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围.【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,那么855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故此题选B. 【点睛】此题考察了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.()1f x x=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是〔〕 A.2ln21-+ B.2ln 21-C.ln 2-D.ln 2【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案．【详解】441ln ln 41=2ln 21ee dx x x⎰==-- 应选B【点睛】此题考察定积分的几何意义，属于根底题． 9.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，那么C = A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin 〔A+C 〕=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA〔sinC ﹣cosC 〕=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A=3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ，∴C=π6，应选B ．点睛：此题主要考察正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中假设边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.,x y 满足35x y xy +=，当34x y +获得最小值时，2x y +的值是〔〕A.245B.2C.285D.5【答案】B 【解析】【分析】将方程变形13155y x +=代入可得3x+4y=〔3x+4y 〕〔1355y x+〕=1334+555x y y x +×3，然后利用根本不等式即可求解．【详解】∵x+3y=5xy，x ＞0，y ＞0∴13155y x+=∴3x+4y=〔3x+4y 〕〔1355y x+〕=1334+555x yy x +×31355≥=当且仅当312=55x yy x即x=2y=1时取等号,2x y +的值是2. 故答案为B.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．解决二元的范围或者者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()f x f x -=-，(2)()f x f x -=，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =.假设()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞在上有且仅有三个零点，那么a 的取值范围为〔〕A.11,(3,7)86⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B.11,(4,6)86⎛⎫⋃⎪⎝⎭ C.11,(3,7)95⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D.11,(4,6)96⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得函数的奇偶性，对称性和周期性，作出函数的图象，把()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，转化为函数()y f x =和log ay x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于y 轴对称，又由()(2)f x f x -=，那么()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =-+，可得()()24f x f x +=-+，代入可得()(4)f x f x =+，所以函数的图象关于1x =对称，且是周期为4的周期函数，又由当[1,0]x ∈-时，()2f x x =，画出函数的图象，如下列图，因为()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，即函数()y f x =和log a y x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，当1a >时，那么满足log 31log 71a a<⎧⎨>⎩，解得37a <<；当01a <<时，那么满足log 51log 91a a >-⎧⎨<-⎩，解得1195a <<；综上所述，可得实数a 的取值范围是11(,)(3,7)95，应选C. 【点睛】此题主要考察了函数的零点的应用，其中解答中根据题意得出函数的根本性质，作出函数的图象，把问题转化为函数()y f x =和log a y x =的图象在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于根底题.2(),(0,)x e f x ax x x=-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A.2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】令()()g x xf x =，由()()1221f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过别离变量可得23x ea x≤，令()()20xe h x x x=>，利用导数可求得()()2min24e hx h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果.【详解】由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3x gx xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230xg x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23x ea x≤令()()20xe h x x x =>，那么()()32x e x h x x-'= ()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()2min24e h x h ∴==234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是可以将关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为别离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|lg(3)B x y x ==-，那么A B =_________. 【答案】(03)，【解析】【分析】求出A 中函数的值域确定出A ，求出B 中函数的定义域确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】由A 中的函数y ＝2x＞0，得到A ＝〔0，+∞〕；B ＝{x |y ＝lg 〔3﹣x 〕}＝{x |3﹣x ＞0}＝{x |x ＜3}，那么A ∩B ＝〔0，3〕．故答案为〔0，3〕．【点睛】此题考察了交集及其运算，考察了集合的表示方法，注意描绘法中代表元素的意义是解此题的关键．,x y 满足22024010x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么22x y +的最小值为__________．【答案】45【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目的函数的几何意义求解即可．【详解】实数x ，y 满足22024010x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，如下列图可行域，令22zx y =+．结合图象，z 可看作原点到直线220x y +-=的间隔d 的平方，根据点到直线的间隔可得d ==故22245zx y d =+==．【点睛】此题考察线性规划的简单性质，考察数形结合以及转化思想的应用，考察计算才能．()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于以下说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数.那么上述说法正确的选项是________〔填入所有正确说法的序号〕.【答案】②④ 【解析】【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2gx x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确.【点睛】此题考察了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考察了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题. ()22x k f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，那么实数k 的取值范围是________．【答案】21,e⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】由()'x f x e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()x gx e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围.【详解】解：由()22x k f x e x kx =-+，那么()'x f x e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增，那么()'0x f x e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()x gx e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，那么只需()00g ≥，求得10k -≤≤，②由()'x gx e k =-，1当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0gx ≥，那么只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k<≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0gx ≥，那么只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21ke <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，那么只需()min 2ln 0g x k k k =-≥，即2ke <，综上可得实数k 的取值范围是21,e⎡⎤-⎣⎦，故答案为21,e⎡⎤-⎣⎦.【点睛】此题考察了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考察了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型. 三、解答题〔一共70分〕{}22210,A x x mx m =-+-≤{}2450B x x x =--≤.〔1〕假设5m =,求A B .〔2〕A B B ⋃=，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕{}|45A B x x ⋂=≤≤〔2〕04m ≤≤【解析】【分析】〔1〕首先求集合A 和B ，再求A B ；〔2〕首先解集合A ，假设A B B A B ⋃=⇒⊆，再根据包含关系列不等式组，求m 的取值范围. 【详解】解：〔1〕当m =5,{}=|46A x x ≤≤{}|15B x x =-≤≤(2)A B B =A B ∴⊆ⅰ〕A =∅令0<，无解ⅱ〕A ≠∅{}|11A x m x m =-≤≤+【点睛】此题考察集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，一般含有参数的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根据集合的包含关系求参数时，1.不要忘了空集的情况，2,.一般需要借助数轴表示集合的包含关系.()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.〔1〕求()f x 的最小正周期；〔2〕求()f x 在[]0,π上单调递增区间.【答案】(1)Tπ=；〔2〕递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】〔1〕由三角恒等变换的公式，化简()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期的公式，即可求解；〔2〕令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，求得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又由由[0,]x π∈，即可求解函数的单调递增区间．【详解】〔1〕由题意，函数33()cos 2sin 2sin 22f x x x x =+-=13sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．〔2〕令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．()x x f x 22-=+．()1求方程()f x 2=的实根；()2假设对于任意x R ∈，不等式()()f 2x mf x 6≥-恒成立，务实数m 的最大值．【答案】〔1〕x=0；〔2〕4 【解析】【分析】(1)由题得2(2)2210x x -⨯+=,再解即得.(2)先化简得，再利用根本不等式求右边函数的最小值即得解. 【详解】〔1〕 (2)由条件知所以而2(())444()2()4()))f x f x f x f x f x f x +=+≥⋅=（（.当且仅当f(x)=4()f x ,即f(x)=2,x=0时获得最小值.所以4m ≤,所以实数m 的最大值为4.【点睛】(1)此题主要考察指数方程的解法，考察不等式的恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理转化才能.(2)处理参数问题常用的方法有别离参数和分类讨论.此题利用的是别离参数法. 20.,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=．〔1〕求角C ；〔2〕假设22sinsin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积．【答案】〔1〕3C π=〔2 【解析】试题分析：〔1〕由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；〔2〕由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，3b =，2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC 的面积．试题解析：解：〔1〕由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-==22221222a b ab ab ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=．〔2〕由()22sinsin sin 2sin2sin B A C A C -=-，得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac+-=．①又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，②由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得a =，b =．所以222b a c=+．所以2B π=．所以ABC 的面积11222S ac ===．〔1〕求f x （）的定义域；〔2〕判断f x （）的奇偶性并给予证明；〔3〕求关于x 的不等式0f x （）＞的解集．【答案】〔1〕11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔2〕详见解析；〔3〕详见解析. 【解析】【分析】〔1〕根据题意，由函数的分析式分析可得120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案；〔2〕根据题意，由函数的分析式分析可得f x f x -=-（）（），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；〔3〕根据题意，分1a ＞与01a ＜＜两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．【详解】解：〔1〕根据题意，函数log 12log 12a a f x x x=+--（）（）（），那么有120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得1122x -<<，即函数f x （）的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔2〕首先，定义域关于原点对称，函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（），那么[12121212]a a a a f x log x log x log x log x f x -=--+=-+--=-（）（）（）（）（）（）那么函数f x （）为奇函数，〔3〕根据题意，12120a a log x log x +--（）（）＞即1212a a log x log x+-（）＞（），当1a ＞时，有1201201212x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解可得102x ＜＜，此时不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，有1201201212x x x x+⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＜，解可得102x -<<，此时不等式的解集为102-（，）；故当1a ＞时，不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，不等式的解集为102-（，）．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的断定以及性质，注意分析函数的定义域，属于根底题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要根据有：〔1〕分式的分母不为零；〔2〕偶次被开方式不小于零；〔3〕对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.〔1〕假设4a =-，求()f x 的单调区间和极值点；〔2〕假设()()2211gx f x x x =++++在[)0,+∞单调递增，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕单调减区间为()1,1-，单调增区间为()1,+∞，极小值点为1x =；〔2〕[)0,+∞.【解析】【分析】〔1〕将4a =-代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后解导数方程()0f x '=，并列表分析()f x '的符号和()f x 的增减性，可得出函数()y f x =的单调区间与极值点；〔2〕求出函数()y g x =的导数为()()()222111ag x x x x '=+-+++，由题意得出()0g x '≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，然后利用参变量别离法得出()22211a x x ≥-++，然后利用单调性求出函数()()22211h x x x =-++在[)0,+∞上的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】〔1〕当4a =-时，()()24ln 1f x x x =-+，定义域为()1,-+∞，()()2224211x x f x x x x +-'=-=++，令()0f x '=，得1x =或者2x =-〔舍去〕. 列表如下：因此，函数()y f x =的单调减区间为()1,1-，单调增区间为()1,+∞，极小值点为1x =；〔2〕()()()2222121ln 111g x f x x x x a x x x =+++=+++++++， ()()()222111a g x x x x '∴=++-++，由题意知，不等式()0g x '≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，得()22211a x x ≥-++，构造函数()()22211h x x x =-++，其中[)0,x ∈+∞，那么()()()224101h x x x '=--+<+，所有，函数()()22211hx x x =-++在[)0,+∞上为减函数，那么()()max 00h x h ==， 0a ∴≥，因此，实数a 的取值范围是[)0,+∞.【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间与极值点，同时也考察利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在某区间上恒成立，利用分类讨论思想和参变量别离法求解，考察运算求解才能，属于中等题.。