1.2解三角形应用举例

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
b c b sin C (2)根据正弦定理， ,c , sin B sin C sin B 1 1 2 sin C sin A S bc sin A b , 2 2 sin B A 180 ( B C ) 180 (62.7 65.8 ) 51.5 , 1 sin 65.8 sin 51.5 2 2 S 3.16 4 . 0 ( cm ). 2 sin 62.7
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型
推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想
A
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ D G

C H

E B
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
例9 在ABC中，求证： a b sin A sin B （ 1 ） 2 ； 2 c sin C （2）a 2 b 2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ).
2 2 2 2
例10
在锐角ABC中，求证：
sin A sin B sin C cos A cos B cos C
A
a sin AC sin( )
D G


C H
E
B
a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( ) 27.3 cos 501' sin 54 40' sin( 54 40' 501' ) 177 (m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC AC sin ACB 55sin ACB AB sin ABC sin ABC 55sin 75 55sin 75 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向 上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25° 的方向上，仰角8°，求此山的高度CD. 解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=25°15°=10°. 根据正弦定理，
BC AB sin A sin C

（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
（3）根据余弦定理的推论，得 c a b 38.7 41.4 27.3 cos B 0.7679 2ca 2 38.7 41.4 2 2 sin B 1 cos B 1 0.7697 0.6384
2 2 2 2 2 2
1 应用S ca sin B, 得 2 1 S 38.7 41.4 0.6384 511.4(cm2 ). 2
例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区 域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三 条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少 （精确到0.1cm² ）? 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角
形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
抽象概括 示意图
数学模型 推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
2 2
10 A 50 40

BC 28
∴我舰的追击速度为14海里/小时，
B
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14

B 38
故我舰航行的方向为北偏东 50 38 12
总 结
实际问题
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行 67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东 32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航 行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行， 需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到 0.01n mile）? 解：在⊿ABC中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝ 137°，根据余弦定理，
c 2 a 2 b 2 127 2 682 882 cos B 0.7532, 2ca 2 127 68 sin B 1 0.7532 2 0.6578. 1 应用S ca sin B, 得 2 1 2 S 127 68 0.6578 2840.38(m ). 2 答：这个区域的面积是 2840.38m 2 .
1.2.1 应用举例
基础知识复习 1、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
最大角度
C A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行 113.15n mile.
例7 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积 S(精确到0.1cm² ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
1 解： (1)应用S ca sin B, 得 2 1 S 23.5 14.8 sin 148.5 90.9(cm2 ) 2
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向 上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25° 的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.
分析：要测出高CD,只 要测出高所在的直角 三角形的另一条直角 边或斜边的长。根据 已知条件，可以计算 出BC的长。
AC AB 2 BC 2 2 AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0 cos137 113.15
根据正弦定理， BC AC sin CAB sin ABC BC sin ABC sin CAB AC 54.0 sin 137 113.15 0.3255,
答：A,B两点间的距离为65.7米。
变式练习 1：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏 东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？


2 a km
练习2.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 20 12 2 12 20 ( ) 2 784