沪教版高中数学高二上册第八章8.2平面向量的数量积课件
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平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
高中数学沪教版高二上册第8章《8.2 向量的数量积》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学沪教版高二上册第8章《8.2 向量的数量积》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1、知识与技能:阐明平面向量的数量积及其几何意义。
会算一个向量在另一个上投影的概念,运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法:以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究,通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。
3、情感态度与价值观:由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。
2学情分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念;第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数量积的性质与运算律。
使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点。
不仅应用广泛,而且很好的体现了数形结合的数学思想。
学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫,使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解。
一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的;另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。
高二数学 平面向量数量积课件
ab
12 a在b方向上的投影是 | a | cos 5
b在a方向上的投影是 | b | cos 4
再接再厉 如图，△ABC为等腰直角三角形，且直角
边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0
BC 1, CA 2, 且 BC与CA 的夹角是135
B b B b b B
O
a
A
B1 当为锐角时，
b cos 0
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
当 为钝角时， b cos 0
当 为直角时， b cos 0
当 0时， b cos b
当 180时， b cos b
F
F S =| F || S | cos
所以a·b=2×3 ×(－0.5)= －3.
(2) a⊥b, 所以 a·b=0. (3) a//b, 所以 a·b=6或－6.
例4. 如图，△ABC为等腰直角三角形，且
直角边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0 又 | BC | 1,| CA | 2, BC, CA 135
３ 判断正误：
已知a,b是实数 ,且a 0,若a b 0，则b 0 正确 已知a,b是向量,且a 0,若a b 0，则b 0 错误
想一想
已知 a 5, b 4 (1)若a与b的夹角 =120, 求a b;
解： 1 （1） a b a b cos 5 4 cos120 5 4 ( ) 10 2
BC CA 1 2 cos135 1
沪教版(上海)高中数学高二上册第八章8.3平面向量的分解定理课件
一一对对实实数数1、1、2，2，使使得得aa1 e1 e1 12 2ee2 2. .
其中，不平行向量e1、e2叫做这一平面内 所有向量的一组基.
零向量不 能作为基
平面向量分解定理（另一种陈述）
平面内任一向量可以唯一地表示为两 个指定向量的线形组合的充要条件是两 个指定向量不平行.
例1.若向量e1 (1，2)，e2 (1，- 1)，a (1，8), 用e1，e2表示a.
MB 1 a 1 b 22
D
C
b
M
A
a
B
CM 1 a 1 b 22
MD 1 a 1 b 22
变式：
如图，向量 AB与AD不平行，AB a, AD b，
且M满足以下条件，试用a, b表示 AM .
（1）BM 1 BD AM 2 a 1 b
3
33
M
（2）BM k BD (k R)
N
B
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
2、平面向量分解定理的应用-
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2 一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2
e2
平面向量分解定理（另一种陈述）
成竖直向上和水平向前的两个分速度．
D
BM k BD k(b a)
b
M
则AM AB BM
A
B
a k(b a) (1 k)a kb
a
如图，向量 AB与AD不平行，AB a,
AD b，且满足BM k BD
M
则AM AB BM
D
a k(b a) (1 k)a kb
b
其中，不平行向量e1、e2叫做这一平面内 所有向量的一组基.
零向量不 能作为基
平面向量分解定理（另一种陈述）
平面内任一向量可以唯一地表示为两 个指定向量的线形组合的充要条件是两 个指定向量不平行.
例1.若向量e1 (1，2)，e2 (1，- 1)，a (1，8), 用e1，e2表示a.
MB 1 a 1 b 22
D
C
b
M
A
a
B
CM 1 a 1 b 22
MD 1 a 1 b 22
变式：
如图，向量 AB与AD不平行，AB a, AD b，
且M满足以下条件，试用a, b表示 AM .
（1）BM 1 BD AM 2 a 1 b
3
33
M
（2）BM k BD (k R)
N
B
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
2、平面向量分解定理的应用-
歼-15在起飞后的某一时刻，速度可以分解
一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2 一盏吊灯，拉力F 可以分解为拉力F1和F2
e2
平面向量分解定理（另一种陈述）
成竖直向上和水平向前的两个分速度．
D
BM k BD k(b a)
b
M
则AM AB BM
A
B
a k(b a) (1 k)a kb
a
如图，向量 AB与AD不平行，AB a,
AD b，且满足BM k BD
M
则AM AB BM
D
a k(b a) (1 k)a kb
b
沪教版(上海)数学高二上册-8.2 向量的数量积 课件 优质课件PPT
即有向线段OB1的值。
几何意义：数量积a b等于a的模与b
在a方向上投影 b cos 新疆 王新敞 奎屯
的乘积
数量积的运算律：
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (ma) b m(a b) a (mb)
⑶分配律：
(a b) c a c b c
注意：数量积不满足结合律
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 1000前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉 通乱忙乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力 我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你 是90分，而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了 你，你现在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能 倍，得分却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米， 出水来了，而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是有 终得到的结果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出最 再以此类推，排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒体 第一位。而新媒体所需学习的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人感觉自己写还是有点小基础的，所以就给自己一 文字，加强文案方面的训练。而另外PS也是做运营的必备条件之一，所以在训练文案的同时，还得练习PS，给自己的要求是每天练习PS半小时。还有别的吗？不敢有 不多了。一直很喜欢作家刘瑜的一段话：每当我一天什么也没干的时候，我就开始焦虑。每当我两天什么都没干的时候，我就开始烦躁。每当我三天什么都没干的时候 我三天什么都没干啊，我寝食难安……这正是我三个月前的真实写照。多年来，我已经养成一种习惯，绝不让任何一分钟死有余辜：我在堵车的时候听日语，在等人的 在任意两件事的衔接点那里扒出细缝，用来回邮件、回短信……我以为这就是所谓的勤奋，也心安理得地享受着同伴的钦佩。但我很快就发现，我的工作时间越来越长 绪越来越焦躁，只要有十分钟的无作为，我就会变得非常慌张！而我的社交时间也不得不尽量地缩短，我甚至不再有功夫交朋友。更可怕的是，我的工作量明明没有变 递增。我开始害怕夜幕降临的那一刻，因为那意味着这一天有更多的事情被贴上了“没完成”的标签。我责备那是自己“无能”的表现，直到我意识到问题的关键“没
沪教版(上海)数学高二上册-8.2 向量的数量积 课件 优秀课件PPT
W | f || s | cos (| f | cos ) | s |
f
f
f2
s
f1
向量数量积的几何含义
a b | a || b | cos | a | (| b | cos )
设 a,b 是非零向量，把| b | cos 叫做向量b 在
向量 a 方向上的投影，它是数量.
B
b
a
O
B1 A
投影>0
一.问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和 数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那
么该力对此物体所做的功为多少？
W | F || s | cos
F
┓
s
其中力 F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
F
┓ s
向量的夹角
(1)a b
(2) (a+2b) ·(a-3b)
(3) (a+b)2
(4) |3a-4b|
已知 a, b, c均为非零向量,试判
断下列说法是否正确:
(1)0 a 0
(×)
(2)0 a 0
(×)
(3)若a b | a | | b |,则a || b ( √ )
(4)a a
2
a
|
a
|2
向量b 在 a方向上的投影| b | cos 的乘积. 思考 a b | b | (| a | cos )的几何意义是？
例2.已知 | a | 5， (1) b 在 a 方向上的投影为4，求a b ； (2) a b 10，求 b在a 方向上的投影； (3) a,b 的夹角为135，求a 在 b方向上的投影.
f
f
f2
s
f1
向量数量积的几何含义
a b | a || b | cos | a | (| b | cos )
设 a,b 是非零向量，把| b | cos 叫做向量b 在
向量 a 方向上的投影，它是数量.
B
b
a
O
B1 A
投影>0
一.问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和 数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那
么该力对此物体所做的功为多少？
W | F || s | cos
F
┓
s
其中力 F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
F
┓ s
向量的夹角
(1)a b
(2) (a+2b) ·(a-3b)
(3) (a+b)2
(4) |3a-4b|
已知 a, b, c均为非零向量,试判
断下列说法是否正确:
(1)0 a 0
(×)
(2)0 a 0
(×)
(3)若a b | a | | b |,则a || b ( √ )
(4)a a
2
a
|
a
|2
向量b 在 a方向上的投影| b | cos 的乘积. 思考 a b | b | (| a | cos )的几何意义是？
例2.已知 | a | 5， (1) b 在 a 方向上的投影为4，求a b ； (2) a b 10，求 b在a 方向上的投影； (3) a,b 的夹角为135，求a 在 b方向上的投影.
沪教版数学高二上册向量的数量积课件1
练习1：已知正ABC的边长为6, M在线段BC上， 且BM =2，求：AB BM。
练习2：已知正六边形P1P2 P3P4 P5P6， 下列向量的数量积最大的是( )。 A.P1P2 P1P3 B.P1P2 P1P4 C .P1P2 P1P5 D.P1P2 P1P6
向上的投影 | b | cos 的乘积.
我们把 | b | cos叫做b在a方向上的投影. | a | cos叫做a在b方向上的投影.
4.向量的投影：
平面向量数量积的几何意义：
投影何时为正 力所做的功：W = |F| |S|cos ， 是F与S的夹角.
① 时，| b | cos =0, a b=0 一个物体在力F 的作用下产生的位移为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？
a b 12 （1） 与 同向时，
（4）两非零向量的夹角的取值范围是
| a | cos 力所做的功：W = |F| |S|cos ， 是F与S的夹角.
分别说出下列各组中两个向量 和 的
| b | 5 两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量，
两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量， 一个物体在力F 的作用下产生的位移为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 (2) 两个向量的数量积称为内积，写成 “ ”; 两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量， 0 ≤ ≤180 力所做的功：W = |F| |S|cos ， 是F与S的夹角. 平面向量数量积的几何意义： 一个物体在力F 的作用下产生的位移为S，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 平面向量数量积的几何意义： 两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量， 力所做的功：W = |F| |S|cos ， 是F与S的夹角. （1） 与 同向时，
沪教版高二上册 8.2向量的数量积(教案)
８．2(2）向量的数量积（2)教学目标设计1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件;2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．教学重点及难点重点:向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用。
教学用具准备直尺,投影仪教学过程设计一．情景引入：1．复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念:对于两个非零向量,a b,如果以O为起点，作,==，那么射线,OA OBOA a OB b的夹角θ叫做向量a与向量b的夹角，其中0θπ≤≤．(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量,a b 的夹角为θ（0θπ≤≤），那么我们把||||cos a b θ叫做向量a 与向量b 的数量积，记做a b ，即cos a b a b θ=．并规定0与 任何向量的数量积为0．(3) “投影”的概念:定义:||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0；当 = 0时投影为b ；当 = 180时投影为b -． (4)向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影||cos b θ|的乘积．（5）向量的数量积的运算性质:对于R λ∈，有（1）2||0,a a a ⋅=≥当且仅当0a a ⋅=时，a ＝0（2）a b b a ⋅=⋅（3）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅(4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅２．分析思考：（1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅是否成立？学生通过讨论，回答:()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅一般不成立(2）如果一个物体在大小为２牛顿的力f 的作用下，向前移动１米,其所做的功的大小为１焦耳，问力f 的方向与运动方向的夹角是否为0o？分析：设该物体在力f 的作用下产生位移s ，f 所做的功为W ,f 与s 的夹角为θ， 则由||||cos W f s θ=知11cos 60212||||o W f s θθ===⇒=⨯ 二．学习新课:1。
(上海)数学高二上册-8.1 向量的运算—数量积 课件
例2.在矩形ABCD中，若AB 2，BC 2，点 E为BC的中点，点F在边CD上，若AB AF 2， 则AE BF _____
变式题
已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61 (1)求a与b的夹角； (2)求|a+b|； (3)若AB a, BC b,求ABC的面积。
例1.已知两个向量a,b的夹角为30，|a|= 3， b为单位向量，c ta (1 t)b,若b c 0, 则 t _____
变式题
1.设a,b, c是单位向量，且a b 0，则 (a c)(b c)的最小值为______
2.已知，是平面内两个相互垂直的单位向量， 且(3 )(4 )=0，则| |的最大值为_____
例3.已知向量a (1, 2),b (1,1)，且a与a b 的夹角为锐角，则实数的取值范围为____
变式题
已知非零向量AB, AC和BC满足（ AB + AC ） BC=0， |AB| |AC|
且 AC BC 2 ，则ABC为_______ | AC | | BC | 2
A.等边三角形 B.等腰三角形非直角三角形 C.非等腰三角形 D .等腰直角三角形
课堂小结
1.数量积的定义与性质 2.数量积在平面直角坐标系中的应用 3.数形结合的数学思想
肯承认错误则错已改了一半。 这个世间只有圆滑，没有圆满的。 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进货的源泉。——爱因斯坦 是非天天有，不听自然无；是非天天有，不听还是有；是非天天有，看你怎么办？ 才须学也。非学无以广才，非志无以成学。——孔明 成功这件事，自己才是老板！ 最困难的事情就是认识自己。——希腊 最能保人心神之健康的预防药就是朋友的忠言规谏。——培根 浪费时间是一桩大罪过。——卢梭 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。
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沪教版高中数学高二上册第八章8.2平 面向量 的数量 积课件 【精品 】
2、已知a, b是两个单位向量，给出下列命题： （1）a, b是模相等且互相垂直的向量； （2）若a // b，则a与b是相等的向量；
（3）a b＝1 （4）a2＝b2 其中真命题的个数 _1__ 个
3、已知下列命题： （1）任意一个向量a都存在一个负向量－a
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
如何运用此结论判断三角形形状？
沪教版高中数学高二上册第八章8.2平 面向量 的数量 积课件 【精品 】
沪教版高中数学高二上册第八章8.2平 面向量 的数量 积课件 【精品 】
对 非 零向 量 a, b
例、(1)已知 a 2,b 3,且a与b的 夹角为π，求 3a 2b
3 (2)已知 a 2,b 4,ka b与ka b 垂直，求实数k的值
课后练习：8.2（1）
沪教版高中数学高二上册第八章8.2平 面向量 的数量 积课件 【精品 】
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3 c 3a 5b, d ma 3b,当m为何值时，c d
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补充用向量方法证明：直径所对的圆周
角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分O析上：任要意证一∠点A。CB求=9证0°∠，AC只B须=9证0°向A
求：AB AC与AB BC
A
60
B
C
120
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在数量积的定义a b a b cos中，我们把 b cos叫作
b在向量a的B方向上的B 投影，即有向线段OB1的B值
O
B1 A B1 O
A
当0 时，
2 有向线段OB1的值
等于向量OB1的模 OB1
当 时，
2 有向线段OB1的值
等于 OB1
O (B1)
A
当 时，
2 有向线段OB1的值 等于0
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bB
O
θ |b|cosθ B1 a
8.2.1 平面向量的夹角 8.2.2平面向量的数量积
a
是向量
（1） a a
a
3a
(2)当 0时，a与a方向相同
当 0时，a与a方向相反 当＝0时，a为零向量
特别地：
当＝1时，a＝a 当＝－1时，a＝－a
a // a 注意：
0
a
0
a0 0
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
使a (a) 0; (2)如果k a 0,那么a 0;
(3) a b c a b c ; (4) a b c a b c ;
其中正确的命题有__1__ 个
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a b a | b | cos
cos a b
| a || b |
（1）当a、b同向时 a b a b
（2）当a、b反向时 a b a b
对任意向量a, b
（3）当a、b垂直时 a b 0 (4) | a b || a || b |
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讲义例2
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数量积的运算性质
对于 R，有
（1）a a a a cos 0
即：a 2
2
a
(2)a b b a
3 a b a b a b (4)a b c a b a c
注意：a b c a b c
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练习：
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(1)若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0． √ (2)若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
(3)若a ≠0，a ·b =0，则b=0 ×
A
a
b 等于
a
的长度
|
a
|与
b在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
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向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正和b都是非零向量，且 a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b 垂直，求a与b夹角
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例、已知 a 3, b 2, a与b的夹角为
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
2
a
2
b
| a |2
| b |2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
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B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们学过功的概念，即一个物体在力 F
的作用下产生位移 s（如图） F
θ
s
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
一般地，如果两个非零向量a、b的夹角为 0
那么我们把 a b cos叫作向量a与向量b的数量积，
记作：a b
即：a b a b cos
注意：向量的 数量积是一个 数量。
“.”不能省
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
2
0a 0 aa a
零向量与其它向量的夹角根据讨论需要确定
例、已知三角形ABC 为边长是6的正三角形 ，
(4)若a ·b=0，则a ·b中至少有一个为0．× (5)若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × (6)若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． × (7)对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
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