浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用

学好构造法 妙解竞赛题

在数学竞赛辅导过程中,需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。其中构造法解题的思想,就是一种值得推广的解题思想方法。通过构造,可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化,让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用,融会贯通。 一、构造几何模型,使代数问题几何化。

代数运算虽然直接,但有时会比较抽象且运算复杂,构造合乎要求的几何图形,可以是所求解的问题变得直观明朗,从而找到一个全新的接替办法。

例一,设a 为实数,证明：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形,且三角形的面积为定值。

分析：从题目给出的三个根式我们知道,当实数a 去互为相反的两数时,只是其中两式角色互换,实质一样,故只需争对非负实数a 展开讨论即可。

()(

)

︒

⨯⨯⨯-+=++︒⨯⨯⨯-+=+-+=

+120cos 121160cos 12113

2342222222

22a a a a a a a a a a 构造合乎要求的几何图形如图所示：

︒

=∠︒=∠======120601CBE DAB CD BE AB a BC DF AD

于是：()(

)

343

2,3,222

2+=+=

=

=a a EF AE a AF

1

120cos 121,1,160cos 121,1,2

2

2

222++=︒⨯⨯⨯-+===+-=︒⨯⨯⨯-+====a a a a CE BE a BC a a a a DB FC AB a AD

所以：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形,即ECF ∆。 则：AEF AECF ECF S S S ∆∆-=

︒60 F

E

D

C

B

A ︒30

︒

120a

a

a

1 1

1

4

3322

1

120sin 121120sin 112160sin 12133=

⨯⨯-︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯⨯

=-++=∆∆∆∆a a a S S S S AEF

BCE ABE ABD 二、 构造方程模型,使几何问题代数化。

例二,周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在,则给出证明,若存在,请证明一共有几个？

分析：设两直角边长为b a ,,斜边为c ,面积s 为整数。于是原题中的条件可用方程组的形式给出如下：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

==+=++s ab c b a c b a 2

1

6222 故原问题即为讨论方程组使得面积s 为整数的解的情况。由前两式得：c ab 618-=,于是由韦达定理可构造出以b a ,为根的方程是：

()()()()36

126181460

61862

2

2-+=-⨯⨯--=∆=-+--c c c c c x c x

若方程有解,则,0≥∆即：6≥c

又：c b a c -=+<6 , ∴ 3

∴ 36<≤c

∵ c ab s 392

1

-==

为整数, ∴c 3为整数且：932.7<≤c ∴ c 3=8, ∴ 3

8

=c

代入方程可得：3

7

5,375+=-=

b a 。 可知满足题目条件的三角形只有一个。

三、构造极端情况,找到题目要求的最值。

例三、在一个有限的实数列中,任意七个连续项之和都是负数,而任意十一个连续项之和都是正数。试问：此数列最多能包含多少项？

分析：根据题目所给已知条件,可构造一个每横行七个数,每纵列十一个数的数阵如下：

17

14131211965438543274321 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 考虑到没一横行为连续七项,其和小于0,没一纵列为连续十一项,其和大于0。于是得到矛盾,所以 17 n 。

另一方面有可以构造一个连续十六项的数列满足题目要求：6,6,-15,6,6,6,-16,6,6,-16,6,6,6,-15,6,6,故符合条件的数列最多有十六项。 四、构造对应的平面模型,将空间问题降为平面问题处理。

例四,已知空间六条直线,任意三条中必有两条异面。求证：在这六条直线中总可以选出三条,其中任意两条都异面。

分析：空间问题的处理,往往比平面问题的处理显得更为复杂。如果能通过构造对应的平面模型,将空间问题转化为平面问题来处理,也许会产生清晰明了的新办法。

将空间六条直线654321,,,,,l l l l l l 对应为平面上六个点654321,,,,,P P P P P P ,若j i l l ,异面,则将

j i P P ,的连线段染成红色,若j i l l ,共面,则将j i P P ,的连线段染成蓝色。于是原问题变为：已知

平面内六点,其中任意两点的连线为红色或蓝色,且任意三点构成的三角形,三边中必有一条红边。求证：存在一个三角形三条边都是红色。

考虑从点1P 出发的五条线段6151413121,,,,P P P P P P P P P P ,用红蓝二色染色,其中必有三条直线同色,若同为蓝色,则与1P 相连的其余三点构成的三角形必定三条边均为红色,于是有原命题成立。若同为红色,而与1P 相连的其余三点构成的三角形中必有一条边为红色,于是也能得到三边均为红色的三角形。故原命题得证。