最佳分数值逼近(mathematica数学实验报告)

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实验题目 最佳分数值逼近

评分

实验目的：

1、用“连分数展开”的方法计算圆周率π的近似值；

2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣；

3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。 实验环境：

学校机房，Mathematica4.0软件 实验基本理论和方法：

1、Mathematica 中常用的展开数与多项式的函数的使用；

2、计算圆周率π“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。 实验内容和步骤：

（一）多项式的展开与化简

多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica 提供一组按不同形式表示代数式的函数。如：

1、 对12

x 1-进行分解，使用的函数为Factor ：

2、 展开多项式

7

x+2（）与5

x+y+7（），使用的函数为Expand:

3、 化简(1)^4(2)^(3)x x x +++与(1)^3(2)^4(3)^(1)x x x x +++-，使用的函数为

Pimplify:

4、 连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic 中提供两个

函数PolynomialQuotient 和PolynomialRemainder 分别返回商式和余式：

（二）π的连分数展开

π的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的π的近似值求解方法，我们在所得整数3的基础上进行分析，有了整数3，则

π=3+1x ，其中10.141592653579...x =是3的误差，101x <<。只要能找到1x 的最佳分数逼近值，再加3就得到π的最佳分数近似值。从而我们使用一种方法“连分数展开“，其原理是： 为了寻找与1x 接近的分数，先找与11

1

7.062513305931...A x =

=接近的整数，显然

是7.于是111223377

A π=+

≈+=，这是祖冲之的效率。 在此基础上，我们可以再用上述方法，要找到比

22

7

误差更小的分数近似值，只需要找到比整数7更接近1A 的分数来作为1A 的近似值。由于127A x =+，其中

200.062513305931...1x <=<。先找22

1

15.996594406685...A x =

=的最佳整数近似值，显然是16.于是1211113771616A A =+

≈+=，从而1

2

111355

3331

1113

7716

A A π=+=+≈+

=

+

+，这就得到祖冲之的密度。

如果还要进一步提高精确度，就应当在考虑2A 的整数近似值16的误差

32160.003405593314...x A =-=，取33

1

293.6345910144...A x =

=的整数近似值294，则可

得到π的更好的近似值

1

3

1

7

1

16

294

+

+

-

。将这样的过程无限的进行下去，得到的π的越

来越精确的近似值。

对于的连续分式的5项，Mathematics程序运行如下，得到的近似值为3.14159，精确度为小数点后5位。

（三）其他一些数的连分数展开

1、有理数

2、二次无理数 (循环连续分式）

当精度超出范围，停止 ContinuedFraction

3、e的连续分式的 n项是很有规律

4、 的连续分式前 1000 项的几何平均数