数列大题专题训练)
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。
有条件9可知a>0,故1q。
311a。
故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。
〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。
最新高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)
高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片）一．解答题（共50题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．5．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．6．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．7．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．8．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．9．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．10．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．11．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．14．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．15．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．16．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．17．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．【分析】（1）由2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0可得，可知数列{}是等差数列，求出的通项公式可得a n；（2）由（1）知＝，然后利用裂项相消法求出a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n，再解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值．【解答】解：（1）∵2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．∴，又，∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，∴；（2）由（1）知，＝，∴a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＝＝，∵a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜，∴＜，∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N*，∴n的最大值为9．【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【分析】（1）定义法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n＝log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）b n＝log2a n＝，∵b1＝1，b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．5．（2018•全国）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2．（1）求S n；（2）求++…+．【分析】（1）由数列递推式可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，运用等差数列的定义和通项公式可得所求S n；（2）化简＝＝（）＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．【解答】解：（1）a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2，可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，即数列{S n2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得S n2＝2+2（n﹣1）＝2n，由a n＞0，可得S n＝；（2）＝＝（）＝（﹣），即++…+＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）＝（﹣1）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．6．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【分析】（1）根据a1＝﹣7，S3＝﹣15，可得a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，得S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，∴S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．7．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）由于（常数），数列{b n}是为等比数列；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．8．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q＝±2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由等差数列的通项公式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：数列{b n}的各项都为正数，且，两边取倒数得，故数列为等差数列，其公差为1，首项为；（2）由（1）得，，，故，所以，因此．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q2＝5，解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），则{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b1＝1，T3＝21，可得1+q+q2＝21，解得q＝4或﹣5，当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．11．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【分析】（1）由题意可知a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2＝2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n＝＝＝﹣[2+（﹣2）n+1]，则S n+1＝﹣[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，＝﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝﹣[4+2（﹣2）n+1]＝2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．12．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项；（Ⅱ）化简b n＝＝＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和S n＝n2，可得a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，上式对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），则数列{b n}的前n项和为（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝（（﹣1）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．15．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n＝1，可得a1＝2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．16．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n＝1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，将a1＝1代入可得a2的值，进而令n＝2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，将a2＝代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+a n+1）＝0，进而分析可得a n＝2a n+1或a n＝﹣a n+1，结合数列各项为正可得a n＝2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，又由a2＝，解可得a3＝，故a2＝，a3＝；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n＝2a n+1，故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，故a n＝（）n﹣1．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n与a n+1的关系．17．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据b n＝[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝4，a5+a7＝6．∴，解得：，∴a n＝；（Ⅱ）∵b n＝[a n]，∴b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3，b9＝b10＝4．故数列{b n}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．18．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．可得a4＝4，则公差d＝1．a n＝n，b n＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．19．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣．两式相减，得2a n＝，由此能证明数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．﹣1（Ⅱ）求出2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．∴当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣1﹣．两式相减，得2a n＝，∴2×2n a n＝2×2n a n＝2×2n﹣1a n﹣1﹣4，∴＝﹣2n﹣1a n﹣1＝＝﹣2，又2a1＝2，∴数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．（Ⅱ）∵数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，∴2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，∴a n＝．∴{a n}的通项公式为a n＝．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n＝4S n+3，可知a n+12+2a n+1＝4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）＝4a n+1，即2（a n+1+a n）＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，∵当n＝1时，a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{a n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵a n＝2n+1，∴b n＝＝＝（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n＝（﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．考点卡片1．等差数列的性质【等差数列】等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2．等差数列的通项公式【知识点的认识】a n＝a1+（n﹣1）d，或者a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列的性质例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．5．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．6．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．7．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．二、解题步骤：1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【典型例题分析】典例：已知f（x）＝log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（a n）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{a n}成等比数列；（II）设b n＝a n f（a n），数列{b n}前n项和是S n，当时，求S n．分析：（I）先利用条件求出f（a n）的表达式，进而求出{a n}的通项公式，再用定义来证{a n}是等比数列即可；（II）先求出数列{b n}的通项公式，再对数列{b n}利用错位相减法求和即可．解答：证明：（I）f（a n）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即log a a n＝2n+2，可得a n＝a2n+2．∴＝＝为定值．∴{a n}为等比数列．（II）解：b n＝a n f（a n）＝a2n+2log a a2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）当时，．（8分）S n＝2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ①2S n＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ②①﹣②得﹣S n＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12分）＝﹣（n+1）•2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．∴S n＝n•2n+3．（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．10．数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{a n}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，。
数列高考大题练习 专题训练
数列大题一．证明等差（比）数列【例1】 已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312n n n n nb a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若不等式()112nn n nT λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围.练习1-1 设数列的前项和满足()312n n S a =-（1）求证数列是等比数列并求通项公式n a ；（2）设21n b n =-，,n n n c a b =⋅为{}n c 的前n 项和，求.练习1-2 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*1121,n n n a a S n N n++==∈． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．二．求通项【例2】各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数(),,2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，(24)n n C f =+，n N *∈ ，求数列{}n C 的前n 项和n T ．练习2-1 设数列{}a的前n项和为n S，n a是n S和1的等差中项．n（1）求数列{}a的通项公式；n（2）求数列{}na的前n项和n T．n练习2-2 已知数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ． （1）求}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T ．练习2-3 已知数列{}n a 与{}n b 满足()()112n n n n a a b b n N *++-=-∈. （1）若11,35n a b n ==+数列{}n a 的通项公式；（2）若()16,2n n a b n N *==∈且22n n a n λλ>++对一切n N *∈恒成立,求实数λ的取值范围.。
数列大题训练50题及答案
数列大题训练50题及答案本卷含答案及知识卡片，同学们做题务必认真审题，规范书写。
保持卷板整洁。
一.解答题(共50题),2a n+1a n+a n+1−a n=0.1. (2019•全国)数列{an}中, a1=13(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求满足a1a2+a2a3+⋯+a n−1a n<1的n的最大值 .72.( 2019•新课标Ⅰ )记 Sn为等差数列{aₙ}的前 n项和 .已知Sg= -a₅.(1)若 a₃=4,求{aₙ}的通项公式 ;(2)若 a₁>0, 求使得Sₙ≥aₙ的n的取值范围 .3.( 2019·新课标Ⅱ)已知数列aₙ和bₙ满足a₁=1,b₁=0,4aₙ₊₁=3aₙ−bₙ+4,4bₙ₊₁=3bₙ−aₙ−4.( 1) 证明 : aₙ+bₙ是等比数列，aₙ−bₙ是等差数列；(2)求{aₙ}和bₙ的通项公式 .4.( 2019•新课标Ⅱ)已知{ aₙ}是各项均为正数的等比数列， a₁=2,a₃=2a₂+16.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)设bₙ=log₂aₙ,求数列bₙ的前n项和 .5.(2018•新课标Ⅱ)记 Sn为等差数列aₙ}的前 n项和 , 已知a₁= - 7 , S₃= -15 .(1)求{ aₙ}的通项公式；(2)求Sₙ,并求Sₙ，的最小值 ..6 .( 2018•新课标Ⅰ )已知数列{ aₙ满足a₁=1,naₙ₊₁=2(n+1)aₙ,设b n=a nn(1)求b₁,b₂,b₃;( 2) 判断数列{bₙ}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{aₙ}的通项公式 .7.( 2018•新课标Ⅲ ) 等比数列{aₙ}中 ,a₁=1,a₅=4a₃·(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)记 Sn为{aₙ}的前 n项和 .若Sₙ=63,求m..8.(2017•全国)设数列{bₙ}的各项都为正数 , 且b n+1=b nb n+1}为等差数列；( 1) 证明数列{1b n(2)设 b₁=1,求数列{ bₙbₙ₊₁的前n项和Sₙ.9 .( 2017•新课标Ⅱ )已知等差数列{aₙ}的前 n项和为 Sₙ,等比数列{bₙ}的前 n项和为Tₙ,a₁=−1,b₁=1,a₂+b₂=2(1)若 a₃+b₃=5,又求{bₙ}的通项公式 ;(2)若 T₃=21, 求 S₃.10 .( 2017•新课标Ⅰ )记. Sₙ，为等比数列{aₙ}的前 n项和 .已知 S₂=2,S₃=-6.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求Sₙ,并判断Sₙ₊₁,Sₙ,Sₙ₊₂是否成等差数列 .11 .( 2017•新课标Ⅲ)设数列{aₙ}满足a1+3a2++(2n−1)a n=2n.(1)求{an}的通项公式 ;}的前 n项和 .(2)求数列{a n2n+112.( 2016·全国) 已知数列aₙ}的前 n项和Sₙ=n².( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;,求数列{bₙ}的前 n项和 .(Ⅱ)记b n=√a n+√a n+113 .( 2016•新课标Ⅲ ) 已知数列aₙ}的前n项和Sₙ=1+λaₙ,其中λ≠0.(1) 证明{aₙ}是等比数列，并求其通项公式；,求λ .(2)若S5=313214 .( 2016•新课标Ⅰ ) 已知{aₙ}是公差为 3 的等差数列 , 数列{ bₙ满足b₁=1,,a n b n+1+b n+1=nb n.b2=13( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;(Ⅱ)求{bₙ}的前n项和.15 .( 2016•新课标Ⅲ) 已知各项都为正数的数列aₙ满足a1=1,a n2−(2a n+1(1)aₙ−2aₙ₊₁=0.(1)求 a₂, a₃;(2)求{aₙ}的通项公式 .16 .( 2016•新课标Ⅱ ) 等差数列{aₙ}中 ,a₃+a₄=4,a₅+a₇=6.( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;数列全国高考数学试题 参考答案与试题解析一 . 解答题(共50 小题)1.( 2019•全国)数列{a ₙ}中 , a 1=13,2a n+1a n +a n+1−a n =0.(1)求{a ₙ}的通项公式 ;( 2)求满足 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n <17的n 的最大值 .【解答】解:(1) ∵2a n+1a n +a n+1−a n =0.∴1a n+1−1a n=2,∴a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(13−12n+1),∵a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n <17,∴12(13−12n+1)<17, ∴4n +2<42,∴n <10,∵n ∈N ∗, ∴n 的最大值为9.【点评】本题考查了等差数列的定义 ，通项公式和裂项相消法求出数列的前 n【分析】(1)由 2aₙ₊₁aₙ+aₙ₊₁−aₙ=0可得−=2,可知数列 {}是等差数列 ，求出- 的通项公式可得 an ；(2)由(1)知1a a =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),然后利用裂项相消法求出 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n 再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值 . 又1a =3,∴数列 {}是以3为首项 ，2 为公差的等差数列 ， ∴1a =2n +1,∴a n =12n+1;(2)由(1)知 , a n−1a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),。
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
数列的大题
{
}
4、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 S n 2an n, 且bn n . a a n n 1 （1） 求证： {an 1} 为等比数列； (2) 求数列 b } 的前 n 项和 T
n
a 1
n
5 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2 . (1)设 bn=
2a1 3a2 1, a32 9a2 a6
． （I）求数列
{an }
的通项公式．
（II）设 bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an ，求数列 { 1 } 的前 n 项和．
bn
an 4、已知等差数列{an}满足 a2=0，a6+a8=-10 （II）求数列 2 n 1 的前 n 项和． （I）求数列{an}的通项公式；
考点三：数列的求和 1、已知数列 an 的各项均是正数，其前 n 项和为 S n ，满足 S n 4 an . ( n N ) （Ⅰ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn
3 1 (n N ), 数列 {bnbn 2 } 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn . 4 2 log 2 an
3
5、 已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列， 且 a3 +1 是 a1+1 与 a7+1 的等比中项;设数列 bn 的
n
前 n 项和为 S ，且 bn 2 S n ；（1）求数列 {a } 和 b 的通项公式； n n （2）若 cn （an -1） bn ( n N * )， Tn 为数列 cn 的前 n 项和，求 Tn .
考点四、数列的应用 13 1、已知等比数列{an}的公比 q＝3，前 3 项和 S3＝ . (1)求数列{an}的通项公式； 3 π (2)若函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在 x＝ 处取得最大值， 且最大值为 a3， 求函数 f(x) 6 的解析式．
数列常见大题(含答案)
Tn 3 2 2 (22 23 2n ) (2n 1)2n1
2 22 23 2n1 (2n 1)2n1
2(2n1 1) (2n 1)2n1 (2n 1)2n1 2
Tn (2n 1)2n1 2
（12 分）
4．
已知数列{an } 满足：
1 a1
2 a2
n 3 (32n 1), n N *. an 8
8da1 4d
12d 2
16
，解得
ad1
8, 2,
或
ad1
8 2
因此 Sn 8n nn 1 nn 9，或Sn 8n nn 1 nn 9
9.设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求an 的通项公式； （Ⅱ）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
①当1 n 11时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 |
| an | a1 a2 a3
an
n(10
11 2
n)
n(21 2
n)
②当12 n 时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 | | an | a1 a2 a3 a11 (a12 a13 an )
所以Tn 3 7 2 11 22 ... 4n 1 2n1 ，
2Tn 32 722 1123 ... 4n 1 2n ，
2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n1)]
(4n 5)2n 5
Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.
13.【2012 高考重庆文 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分））
解得 k 6 或 k 1（舍去），因此 k 6 。
数列大题训练20题
数列大题训练20题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++．2．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和nS ；（Ⅲ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．3 ．已知函数x ab x f =)( (,a b 为常数)的图象经过点11,8P ⎛⎫⎪⎝⎭和()4,8Q ．(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记()2log n a f n =,n 是正整数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，求n S 的最小值．4 ．已知()y f x =为一次函数，且(2)f 、(5)f 、(4)f 成等比数列，(8)15f =．求(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+的表达式．5．已知数列}{n a 的前n 项和)(n f 是n 的二次函数，)(n f 满足),2()2(n f n f -=+且.3)1(,0)4(-==f f（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足21++=n n n a a b ，求}{n b 中数值最大和最小的项．6．已知数列{}n a 中，12a =，且当2n ≥时，1220n n n a a ---=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．7．正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1n a =+，试求：（I ）数列{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，数列的前n 项的和为n B ，求证：12n B <．8．已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中, 11220n n n n a a a a ++-+=，11a =，且0n a ≠，数列}{n b 中，()1n n b f a =- （1）求证：数列{na 1}是等差数列； （2）求数列}{n b 的通项公式； （3）求数列{n b }的前n 项和n S ．9．设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S ． （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．在数列12,2,}{11+==+n nn n a a a a a 已知中 （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：3)1()1()1(2211<-++-+-n n a a a a a a11．已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且（1）求证：数列{nna 2}是等差数列；（2）求数列{n a }的通项公式； （3）设数列{n a }的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n． 12．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=。
数列基础大题20道练习
所以 .
（2）当 时， ，
而 ，
所以数列 是等比数列，且首项为3，公比为3.
（3）由（1）（2）得 ，
，
所以
①
②
由①-②得
，
所以 .
因为 ，
所以 .
【点睛】
本题考查了利用 和 的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题.
5．（1） ；（2） .
（2）由（1）得 ，然后利用裂项相消法可求得
【详解】
解：（1）设 的公差为d，因为 ， ， 成等比数列，所以 .
即 ，即 又 ，且 ，解得
所以有 .
（2）由（1）知：
则 .即 .
【点睛】
此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题
13．（1） ；（2）
【分析】
（1）利用递推关系式，根据 ，逐项代入即可求解.
（2）由（1）可知 ，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得
解得 ，
所以等差数列 的通项公式可得 ;
（2）由（1）可得 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
18．（1） ， ，或 ， ，（2） 或
【分析】
4．数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）设数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： .
5．已知等差数列 的前 项和 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
数列大题精选(含答案解析)
1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n nb b b b b b b b b b +++++⋯+=． 详解：()41133n n S a =-， 可得1114133a S a ==-，解得11a =，2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+，即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列，则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22nn n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n nb b n n +==⋅++， 则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．2．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 详解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- 1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=.（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为x ==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==， 又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12(1)(1)nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，得11a ，= 当2n ≥时，有1121n n S a --=-， 所以1122n n n n n a S S a a ，--=-=- 即12n n a a -=，满足2n ≥时，12nn a a -=， 所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列， 故通项公式为12n n a -=．（2）()()()()111221121121212121n n n n nn n n n a b a a --+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 123011223111111222212121212121n n T b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 2121n n-=+．4．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53332S =，求λ．【详解】（1）∵1n n S a λ=+,0λ≠,∵0n a ≠． 当2n ≥时,111n n S a λ--=+,两式相减,得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-,即()11n n a a λλ--=, ∵0λ≠,0n a ≠．∵10λ-≠．即1λ≠,即11n n a a λλ-=-,（2n ≥）, ∵{}n a 是等比数列,公比1q λλ=-,当1n =时,1111S a a λ=+=,即111a λ=-, ∵1111n n a λλλ-⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭；（2）若53332S =,则4513311132S λλλλ⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,即5331113232λλ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, 则112λλ=-,得13λ=5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若223a =，3462a a a =.(1)n S t <恒成立，求t 的最小值； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)因为{}n a 为等比数列，所以3416a a a a =，所以341662a a a a a ==，60a ≠，所以12a =，又223a =，所以13q =，所以121313131313n n n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因为n S t <恒成立，所以3t ≥，即t 的最小值是3. (2)由(1)可知22123n n n a a q--=⋅=，所以132n n n b -⋅=，故01113233222n n n T -⨯⨯⨯=+++① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++++ ②① -②得：0111333322222n n n n T -⨯⨯-=+++-，()1313131322132n nn --⨯⨯+--=整理得，()21318n n n T -+=6．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331n nn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n n S a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=， 而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-，故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．7．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2458,15a a S ⋅==；等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）当{}n a 各项为正时，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和． 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d ⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或， 11,1,n d a a n ∴==∴=，11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-，当2n ≥时，112n nn n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=．（II ）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===，()01221122232122n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， ()12312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()111222121n n n n T n n --=+++-⨯=-⨯-，故()121n n T n =-⨯+．8．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++的值．【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=．9．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解析】 （1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2n n a =．当1n =时：111112222a S +==-==成立，故所求()2n n a n N +=∈．（2）2nn a =，22log 2n nb a n ==，()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+．10．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）由53535S a ==，得37a =，由2a ，31a +，6a 成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以123n nT b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭31nn =+.11.（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2nn a -的前n 项和n S .【解析】（1）∵{}n a 的公差为2d =,∴212a a =+,134a a =+.∵11a +,22a +,34a +成等比数列, ∴()()()2111184a a a ++=+,解得18a =,从而()82126n a n n =+-=+.（2）由（1）得26n a n =+,2(26)2n nn a n ∴-=+-，()()281026222n n S n ∴=++⋅⋅⋅++-+++.()826222212nn n ++-⨯=--()()1722n n n +=+--21722n n n +=+-+12．（12分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1n n nb S S =+，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 【解析】（1）由题意可知：324224S S S =-+，即()()1231212342a a a a a a a a a ++=-+++++，∴4312a a =-，即公比12q =-，又132a =，∴13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当n 为偶数时112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而增大， ∴3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，根据勾型函数性质，此时1252,12n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.当n 为奇数时112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而减小，∴31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，根据勾型函数性质，此时1132,6n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.又1325612>， ∴132,6n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值为16.13.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和． 【解析】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()111n n na n a n n +-+=+，所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=， 所以{}n b 为等差数列，其首项为111b a ==，公差1d =． 所以()11n b n n =+-=．（2）由（1）及题设得，2n n c n =-， 所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++()1222122n n n +-⨯=-- 21222n n n ++=--．14．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．又2log n n a b =，即2n an b =，所以2n n b =．（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+-1(1)222n n n ++=+-． 又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=， 因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数，所以8n =．15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()212n n n S a a =-+，且()*0n a n N >∈。
高考数列经典大题
1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有++=L ．（Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；++L∈n N *）．3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2121N n n n S S n n ∈++=+（1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。
4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(111≥-+=--n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ．5： 已知数列{}n a 是等差数列，()*+∈-=N n a a c n n n 212（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ΛΛ，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。
若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。
6.已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,其中*∈Nn .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列}{n b 满足nnnn na b 2)12(⋅+=,是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.(3) 令1n nnc a =+,记数列}{n c 的前n 项积为n T ,其中*∈N n ,试比较n T 与9的大小,并加以证明.7.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中， 对于一切n ∈N*,有1nk ==， 且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.8.已知函数213(),{},22n f x x x a =+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *∈）均在函数()y f x =的图象上。
高三数列专题练习30道带答案
高三数列专题训练二一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ． 13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
数列大题综合(含答案)
数列大题综合1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2022春·广东广州·高二校考期中）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，33a S =，244a a S =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．4．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）设{}n a 是首项为1的等比数列，且1a 、23a 、39a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．6．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT.7．（2022春·广东广州·高二统考期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，24a =，3424a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .8．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知数列{}n a 、{}n b 满足1233= nbn a a a a ，若数列{}n a 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .9．（2022春·广东佛山·高二校考期中）在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．10．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .11．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足322n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．13．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．（2022春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，*121(N )n n a a n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .15．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.16．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，前n 项和为n S ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）在①35a =，5722a a +=；②11a =，525S =；③2n S n =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，()*211n nb n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .20．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()1212n n S S n -=+≥.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若a 3＋a 5＝5，S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221n n a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .22．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）23．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n d 的前n 项和2n S n n =+，且2d ，4d 为等比数列数列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++< 24．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足，110a =，且210a +，38a +，46a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．26．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列{}n a 为单调递增的等比数列，且1432a a =，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（2022春·广东韶关·高二校考期中）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．28．（2022春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N ∈在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．数列大题综合答案1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 0n 的前项和，33244(1)求数列{}n a的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值，n 满足：4，10，其前项和为n (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．n 是首项为1的等比数列，且1、2、3成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列n a 的前n 项和为n S ，且222n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．n 的前n 项和为n 1，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}nb 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT .n 的各项均为正数，2，34(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .n 、n 满足123nn n 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .n 中，公比，其前n 项和为n ，且2，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．n 的前项和为n ，且n n ，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .n 的前n 项和为n ，满足322n n Sa =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .n 前n 项和为n ，且36，9．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．n 的前n 项和为n ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 中，1，1n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .n 中，1，2，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.n 是公差大于1的等差数列，前项和为n ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.3，57；②1，5；③n 条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足11,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，*21n n b n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .n 的前项和为n ，且满足1，1n n -(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .35S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221nn a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）n n S n n =+2，4列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++<n 的前项和为n ，且n n (1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .n 12，3，4成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】(1)28n a n =+(2)()116272n n S n +=-++⋅【详解】（1）等差数列{}n a 的首项110a =，公差设为d ，由210a +，38a +，46a +成等比数列，则()()()23248106a a a +=+⋅+，即()()()2111281036a d a d a d ++=++⋅++，即()()()218220163d d d +=+⋅+，解得2d =，所以()1128n a a n d n =+-=+.n 14，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .n 为等差数列，n 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．n 中，前项和为n ，1，n 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列n 的前项和为n ，点，n 在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。
数列专题训练(含答案)
数列专题训练1．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 014的值是A ．8B ．6C ．4D ．2 2．（合肥市2014年第一次教学质量检测）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，并满足：n n n a a a -=++122，354a a -=，则=7S （ ）A ．7B ．12C ．14D ．21 3．在等差数列{}n a 中，912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．24 B ．48 C ．66D ．1324. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4540,||a a a <>，则使0n S >成立的最小正整数n 为A ．6B ．7C ．8D ．95. (南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．1B ．－1C ． 2D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且20101-=a ，32008201120082011=-S S ，则2a =（ ） A ．2008- B ．2012- C ．2008 D ．2012 7.(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．248．（成都七中高2014届一诊模拟数学试卷）已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。
若存在两项,m n a a14a =，则19m n+的最小值为( ) A 83B 114C 145D 1769．[江苏省苏北四市（徐、淮、连、宿）2012届高三10月抽测试卷]已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 。
10．（宁夏银川一中2014届高三年级月考）数列{}n a 的通项为(1)sin 12n n n a n π=-⋅⋅+ 前n项和为n S , 则100S =_________.11．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列．(2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .13．数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）. （Ⅰ）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.15. 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且3a 2是a 1＋3和a 3＋4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12.16. 已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．17. 已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，11a =，n S 与13n S +-的等差中项是2()3n N *-∈．(1)证明数列23n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)若对任意正整数n ，不等式n k S ≤恒成立，求实数k 的最大值． 18. 已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n n a a a （+∈N n ）． ⑴求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列； ⑵设1+⋅=n n n a a b （+∈N n ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足20121005>n S 的最小正整数n ．19. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项． 20.已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3nn d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；数列{}n b 为公比大于1的等比数列，且42,b b 为方程064202=+-x x 的两个不相等的实根. （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和.21.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．参考答案：1.【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 014＝a 4＝8，故选C.2.【答案】C 由n n n a a a -=++122知数列}{n a 为等差数列，由354a a -=得53174a a a a +==+，所以()1777142a a S +== 3.【答案】 D 由题意可得6613(6)62a d a d +=++，得612a =，又11111611()111322a a S a +===（作为选择题，可以用常数列求解）4.【答案】C 由题意知()()184********=70,0,022a a a a S a a a S ++<+>\==> 5.【答案】A ()()1116111995111111921999112a a a S a a S a +===?+6.【答案】A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1()2n n n a a S +=得12n n S a a n +=，又32008201120082011=-S S ，所以1201012008322a a a a++-=，得201020086a a -=，所以26d =，解得3d =，所以21201022008a a d =+=-+=-7. A8.【答案】A 【解析】设数列的公比为q ，由7652a a a =+得25552a q a q a =+，解得2(1舍）q q ==-14a =得221124m n a a +-=，所以6m n +=，所以19m n+19199586666633m n m n m n n m +⎛⎫=+=+++≥+= ⎪⎝⎭ 9.【解析】由已知得1233a a a =,129n n n a a a --=,两式相乘得12132()()()27n n n a a a a a a --= 所以由等比数列的性质得12132n n n a a a a a a --==,所以13n a a =.记121n n x a a a a -=gL g ,则121n n x a a a a -=g L g ,两式相乘得 21211211()()()()()n n n n n n x a a a a a a a a a a --==g L g所以由题意可得22433n=,解得10n =.10.【答案】150 【解析】由数列的通项公式得(0141)(4181)n S =++++-++++K ，四项为一组，每组的和都是6，所以100256150S =⨯=11.【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.3分所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.5分(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；6分 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件.7分故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.9分记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；10分 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式.12分综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.13分 12. (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2 ① 知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14,a n ＝(3n －1)·2n －2. 13.（Ⅰ）由已知可得1122n n n n n a a a ++=+，即11221n n n n a a ++=+，即11221n nn na a ++-=∴ 数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴ 21n n a n =+ ……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知2nn b n =⋅,231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅L23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ……10分相减得：231122222222212n nn n n S n n ++-⋅-=++++-⋅=-⋅-L11222n n n ++=--⋅ ………12分∴ 1(1)22n n S n +=-⋅+………13分14.(1)解 因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c ，……(2分)当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝2a 2－c ，解得a 2＝3c ，……(3分) 所以3c ＝6，解得c ＝2；……(4分)则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.……(6分) (2)证明 因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝14×6＋16×8＋…＋1(2n ＋2)(2n ＋4)＝12(14－16)＋12(16－18)＋…＋12(12n ＋2－12n ＋4)＝12[(14－16)＋(16－18)＋…＋(12n ＋2－12n ＋4)]……(8分) ＝12(14－12n ＋4)＝18－14(n ＋2).…(10分) 因为n ∈N *，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.……(12分)15.解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，则a 1q ＝2，∴a 1＝2q，a 3＝a 1q 2＝2q .由S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1，∴q ＝2.∴a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a 2＝2n －1.(2)证明：∵b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝2n －1(2n －1＋1)(2n＋1)＝12n －1＋1－12n ＋1，∴T n ＝⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝11＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1<12. 16.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3.∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *，经验证，满足题意．(2)由(1)知S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)，∴3(2n －1)>k ·3·2n －1－2，∴k <2－13·2n －1.令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53.∴k <53.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，53. 17.解:（1）因为n S 和13+-n S 的等差中项是23-， 所以331-=-+n n S S （*N n ∈），即1311+=+n n S S ， …………2分 由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），………3分即3123231=--+n n S S （*N n ∈）， ……………4分 又21232311-=-=-a S ， 所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列. ……………5分（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），………6分所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…8分 又1=n 时，11=a 也适合上式，所以)(31*1N n a n n ∈=-. ……………9分 （3）要使不等式n k S ≤对任意正整数n 恒成立，即k 小于或等于n S 的所有值.又因为1)31(2123--=n n S 是单调递增数列, ……………10分且当1=n 时，n S 取得最小值1)31(2123111=-=-S , ……………11分要使k 小于或等于n S 的所有值，即1≤k , ……………13分所以实数k 的最大值为1. ……………14分18.证明与求解：⑴由11=a 与121+=+n nn a a a 得0≠n a ……1分，nn n n a a a a 121211+=+=+……3分， 所以+∈∀N n ，2111=-+nn a a 为常数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列……5分 ⑵由⑴得12)1(2111-=-+=n n a a n ……7分 )121121(21)12)(12(11+--=+-=⋅=+n n n n a a b n n n ……8分所以1211111111(1)()()2323522121n n S b b b n n =+++=-+-++--+L L …9分，)1211(21+-=n ……10分，12+=n n……11分， 由20121005>n S 即2012100512>+n n 得2150221005=>n ……13分， 所以满足20121005>n S 的最小正整数503=n ……14分．19.【解析】(1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-， 由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，（3分）又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =，所以数列{}n a 的通项公式27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．(2)方法一12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，设23m t -=，则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t t t--=+-， 所以t 为8的约数，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1,2t m ==时，863,2573t t +-=⨯-=，是数列{}n a 中的项；当1,2t m =-=时，8615,t t+-=-，是数列{}n a 中的最小项是5-，不符合；所以满足条件的正整数2m =．（12分）方法二 因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项， 故28m a +为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即 经检验，符合题意的正整数只有2m =．．20.【解析】：（Ⅰ）3(1)2n n d +-=Q ，∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232nn ⨯== ……………………………………………3分因为42,b b 为方程064202=+-x x 的两个不相等的实数根.所以2042=+b b ，6442=⋅b b ……………………………………………………………4分解得：42=b ，164=b ,所以：nn b 2=……………………………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=-- ………………………………12分 21.【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.3分所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.5分(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；6分 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件.7分故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.9分记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；10分当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式.12分综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.13分。
数列大题训练50题及答案
数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ， （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
数列专项练习题大题
数列专项练习题大题1. 一个等差数列的首项是1，公差是3。
求数列的第10项是多少？解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
对于这个题目，a1=1，d=3，n=10。
代入公式计算，可得：a10 = 1 + (10-1) * 3 = 1 + 9 * 3 = 28所以数列的第10项是28。
2. 一个等比数列的首项是2，公比是5。
求数列的第6项是多少？解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
对于这个题目，a1=2，r=5，n=6。
代入公式计算，可得：a6 = 2 * 5^(6-1) = 2 * 5^5 = 2 * 3125 = 6250所以数列的第6项是6250。
3. 一个递推数列的首项是1，规律是每一项都是前一项的平方。
求数列的第5项是多少？解析：根据递推数列的规律，可以列出数列的前几项：1, 1^2,(1^2)^2, ((1^2)^2)^2, (((1^2)^2)^2)^2可以观察到规律，每项都是前一项的平方。
所以第5项就是前一项的平方的平方的平方的平方。
计算过程如下：1^2 = 1(1^2)^2 = 1^2 = 1((1^2)^2)^2 = (1^2)^2 = 1(((1^2)^2)^2)^2 = ((1^2)^2)^2 = 1所以数列的第5项是1。
4. 一个等差数列的首项是3，末项是11。
求数列的公差和项数。
解析：对于这个题目，已知数列的首项和末项，可以使用公式an = a1 + (n-1)d来求解。
代入已知的值，即3 = 3 + (n-1)d，然后化简得到：0 = (n-1)d由于等差数列的公差是非零的常数，所以只有当n-1=0时，等式才成立。
也就是n=1。
所以数列的公差是0，项数是1。
5. 一个等比数列的首项是2，前三项的和是14。
求数列的公比。
数列难题专题(含答案)
数列难题专题一．解答题（共50小题）1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和T n ．2．已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n •3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3）．令b n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若f （x ）=2x ﹣1，求证：T n =b 1f （1）+b 2f （2）+…+b n f （n ）＜（n ≥1）．4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =（﹣1）n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．5．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 2•S 3=36． （Ⅰ）求d 及S n ；（Ⅱ）求m ，k （m ，k ∈N *）的值，使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．16．已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．17．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{c n }对任意自然数n 均有=a n+1成立，求c 1+c 2+…+c 2014的值．18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，，n ∈N *．（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．19．数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n =（n ≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）..（1+S n ）对一切n ∈N ×都成立，求k 的最大值． 20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，．（1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列； （2）求数列{S n }的前n 项和T n ．21．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n ，其中n=1，2，3，…． （Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n+1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2．（ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列； （ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．22．在数列{an }中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．23．设数列{an }的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an }的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an }是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an }，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．24．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an} 前n项和为Sn ，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an }前2k项和S2k；（3）在数列{an }中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．25．已知数列{an }满足a1=1，|an+1﹣an|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{an }是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．26．已知数列{an }满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．27．设数列{an }的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．28．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an }的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{an }的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．29．已知数列{an }的各项均为正数，bn=n（1+）n an（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令cn =（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．30．设等差数列{an }的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．31．正整数列{an }，{bn}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，ak是ak﹣1与bk﹣1的等差中项，bk是ak﹣1与bk﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{an }是等差数列的充要条件是{an}为常数数列；（3）记cn =|an﹣bn|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由．32．已知数列{an }是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{an }中，求证：数列{an}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{an }中任何一项都不等于1，记bn=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{bn}是单调递减数列．33．对于项数为m的有穷数列{an }，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，a k 中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{an }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．（2）设{bn }是{an}的控制数列，满足ak+bm﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），an =an2﹣n，{bn}是{an}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．34．已知数列{an }是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn =（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn．35．已知f（x）=，数列{an }为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列{an }和{bn}的通项公式（2）令，{cn }的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有1≤Tn＜4．36．已知数列{an }满足a1=，an=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn =ansin，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：对任意的n∈N*，Tn＜．37．已知数列{an }满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an }是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．38．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b、c满足的关系式．（2）若c=2时，各项不为零的数列{an }满足4Sn•f（）=1，求证：＜＜．（3）设bn =﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．39．在数列{an }中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）设bn =，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an }的前n项和Sn．40．已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式an；（Ⅱ）设Tn 为数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）设bn =，证明：b1+b2+b3+…+bn＜．41．已知数列an满足（1）求数列an 的通项公式an；（2）设，求数列bn 的前n项和Sn；（3）设，数列cn 的前n项和为Tn．求证：对任意的．42．如图，已知曲线C 1：y=（x ＞0）及曲线C 2：y=（x ＞0），C 1上的点P 1的横坐标为a 1（0＜a 1＜）．从C 1上的点P n （n ∈N +）作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n+1．点P n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n } （Ⅰ）试求a n+1与a n 之间的关系，并证明：a 2n ﹣1＜； （Ⅱ）若a 1=，求证：|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |＜．43．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=（n ∈N *）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）数列{b n }满足b n =（3n ﹣1）••a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式（﹣1）n λ＜T n +对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．44．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点（n ，）都在函数f （x ）=x+的图象上．（1）计算a 1，a 2，a 3，并归纳出数列{a n }的通项公式；（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6），（a 7，a 8，a 9，a 10）；（a 11），（a 12，a 13），（a 14，a 15，a 16），（a 17，a 18，a 19，a 20）；（a 21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5+b 100的值； （3）设A n 为数列的前n 项积，若不等式A n ＜f （a ）﹣对一切n ∈N *都成立，求a的取值范围．45．数列{bn }的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{an }共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（﹣1）i bi （i∈N*）后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．46．已知数列{an}的首项，，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：．47．已知数列{an }的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{an }是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn ≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．48．已知数列{an }满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }滿足，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：．49．已知数列{an }的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有an+12﹣1=4an（an+1），bn=2log2（1+an）﹣1．（1）求证：{1+an }是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若数列{bn }中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，求c1+c2+…+c100；（3）设dn =，数列{dn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．50．在数列{an }中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an﹣2n}为等差数列；（2）设数列{bn }满足bn=log2（an+1﹣n），若…对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn }的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an }的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．2．已知数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（1）由数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由an =2n，知bn=an•3n=2n•3n，所以Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，再由错位相减法能够求出数列{bn }的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵an=2n，∴bn =an•3n=2n•3n，∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3∴Sn=+．【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．3．已知数列{an }中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．令bn=．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【分析】（Ⅰ）由题意知an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）=，由此可证明Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知Sn ﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3）即an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（Ⅱ）由于bn=，f（x）=2x﹣1，∴=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）==．【点评】本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．4．已知等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn =（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn ==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴an =a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．5．已知等差数列{an }的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及Sn；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am +am+1+am+2+…+am+k=65．【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n项和公式，把条件转化为关于公差d的二次方程求解，注意d的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{an }的通项公式，利用等差数列的前n项和公式，对am+am+1+am+2+…+am+k=65化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，k ∈N *进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a 1=1，S 2•S 3=36得， （a 1+a 2）（a 1+a 2+a 3）=36，即（2+d ）（3+3d ）=36，化为d 2+3d ﹣10=0， 解得d=2或﹣5， 又公差d ＞0，则d=2， 所以S n =n=n 2（n ∈N *）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， 由a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65得，，即（k+1）（2m+k ﹣1）=65，又m ，k ∈N *，则（k+1）（2m+k ﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k ﹣1）=1×65， 下面分类求解：当k+1=5时，2m+k ﹣1=13，解得k=4，m=5；当k+1=13时，2m+k ﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去； 当k+1=1时，2m+k ﹣1=65，解得k=0，故舍去；当k+1=65时，2m+k ﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去； 综上得，k=4，m=5．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n +3n ，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．所以b n =S n ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．（Ⅱ）由题设条件知S n =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，a n =S n ﹣S n ﹣1=，由此可以求得a 的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n =a n+1=S n +3n ，即S n+1=2S n +3n ， 由此得S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．（4分）因此，所求通项公式为bn =Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n =Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，an an+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an =an+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣an }是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故bn ＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）=由此可知bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知bn＜bn+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣an}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）= =又由（1）知an ＞0且an≠1，故bn+12﹣bn2＞0，因此bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由an≠1可得，即两边开平方得．即bn ＜bn+1，n为正整数．【点评】本题考查数列的综合应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．【分析】（I）使用三角不等式得出|an |﹣|an+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|an|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|an|≤2．【解答】解：（I）∵|an ﹣|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1，∴﹣≤，n∈N*，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+==1﹣＜1．∴|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤++…+=＜．∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①由m的任意性可知|an|≤2．否则，存在n∈N*，使得|a|＞2，取正整数m0＞log且m＞n，则2•（）＜2•（）=|a|﹣2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，都有|an|≤2．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可．【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*．∴当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）当n=1时，a1=S1==1．因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{an }的通项公式an=3n﹣2．（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．则，∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），化为m=3n2﹣4n+2，∵n＞1，∴m=3n2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【分析】（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a 3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当an ≥﹣c时，an+1﹣an=c+8＞c；当﹣c﹣4≤an ＜﹣c时，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当an ＜﹣c﹣4时，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．又{an }为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{an }为递增数列，故an≥a2=0＞﹣c，∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{an }的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则an=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴an=，n≥1，则a3=；（2）∵an=，n≥1，∴数列{an}是公比q=，则数列{an }的前 n项和Tn==2﹣21﹣n．（3）bn =+（1+++…+）an，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴bn =+（1+++…+）an，∴Sn =b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an 与Sn的关系，将条件转化为an的方程，从而求出an；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．（2）由得：．∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0．∴．∴当n≥2时，，又∵a1=2=2×1，∴．（3）由（2）可知=，∀n∈N*，=＜=（），当n=1时，显然有=＜；当n≥2时，＜+=﹣•＜所以，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）分am =2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d．∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4+d=2q，又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d+2q．解得：d=2，q=3．∴对于k∈N*，有．故；（2）若am =2k，则由amam+1=am+2，得2•3k﹣1（2k+1）=2•3k，解得：k=1，则m=2；若am=2k﹣1，则由（2k﹣1）•2•3k﹣1=2k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．故满足条件的正数为2；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①．∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3．当L=1时，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立；当L=2时，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1．若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令，则=．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此时m=2，L=2=a2．当L=3时，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3．综上，存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．【分析】（1）由题意，得，由此可解得an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，∴S22=SmS1，即，解得m=12．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤an+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．17．已知等差数列{an }的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{an }与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．【分析】（Ⅰ）依题意，a2，a5，a14成等比数列⇒（1+4d）2=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{an }的通项公式；由b2=a2=3，b3=a5=9，可求得q与其首项，从而可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an =2n﹣1，bn=3n﹣1，由++…+=an+1，可求得c1=b1a2=3，=an+1﹣an=2（n≥2），于是可求得数列{cn }的通项公式，继而可求得c1+c2+…+c2014的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2），∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn =2bn=2•3n﹣1（n≥2），∴cn=．∴c1+c2+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32013=3+2×（3+32+ (32013)=3+2×。
(完整)高考数列大题专题
(完整)高考数列大题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考中的数列—最后一讲（内部资料勿外传）1．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小．4．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．6．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．7.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0．（Ⅰ）若S 5=5，求S 6及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围．8．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．9．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m ﹣1+a 2n ﹣1=2a m+n ﹣1+2（m ﹣n ）2（1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n ∈N *），证明：{b n }是等差数列；（3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ．10．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．11．已知数列{a n }满足，，n ∈N ×．（1）令b n =a n+1﹣a n ，证明：{b n }是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b ≠1，b ，r 均为常数）的图象上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记b n =n ∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．13．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．15．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；16．已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．17．设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．18．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．19．已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20.在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。
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数列大题专题训练1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d.4 1 -a.(1) 求b-,b2,b3,b4；(2) 求数列｛b n｝的通项公式；(3) 设S n = a£2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n <b n恒成立.2.在平面直角坐标系中，已知A n(n,a n)、B n(n,b n)、C n(n-1,0)(n・N*)，满足向量AA n1与向量B n C n共线，且点B n(n,g) (n，N*)都在斜率6的同一条直线上•(1)试用a1,b1与n来表示a n;(2)设a1 = a, d = -a，且12 ：：：a辽15，求数｛a n｝中的最小值的项•3.在公差为d (0)的等差数列｛a n｝和公比为q的等比数列｛b n｝中，已知a1=b1=1 , a2=b2, a8=b3.(1 )求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；(2)令c n = a n b n，求数列｛c n｝的前n项和T n.4、在数列｛a n｝中，a1 =1,其前n项和S n满足关系式3tS^(2t 30= =3t(t 0,n -2,3, )(1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列；1(2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 bb n_1(3)求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。
5 •设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ；(1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列；1 水(2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n • N *,n _ 2)求数列｛b n ｝的通项公式；6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y),(I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式；1(n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1)(n • N *),f(-2-a .)①求通项公式a n 的表达式；试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明1 a②令 b n=(?)n ,S n^b 1 b 2b n , T na 〔 a 2 a 2 a 31a n an 131 21 37. 设S n是正项数列｛a n｝的前n项和，且S n =—a n+~ 3n ~~ ,4 2 4(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)已知b n =2n,求T n H a』！• a?b2 •… ab n的值2 1 &已知二次函数f(x)二ax bx满足条件：①f(0) = f(1)；②f(x)的最小值为.8(1) 求函数f (x)的解析式；f4〕f(n)(2) 设数列｛a n｝的前n项积为T n,且T n = | —,求数列｛a.｝的通项公式；\5J(3) 在⑵的条件下，若5f (a n)是b n与a n的等差中项，试问数列｛b n｝中第几项的值最小？求出这个最小值。
9、设等差数列｛a n｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n.(1 )若a11=0,S14=98，求数列｛a n｝的通项公式；(2)在(1)的条件下求S n的表达式并求出S n取最大值时n的值(3)若a1> 6, an> 0, S^w 77,求所有可能的数列｛a n｝的通项公式10、设｛%｝是公比大于1的等比数列，S n为数列｛a n｝的前n项和•已知S3 =7，且a i - 3, 3a2, a3 4构成等差数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式.(n)令b n =ln a?. i, n =1,2,||(,求数列 g 的前n 项和「.11•已知等比数列｛a n｝中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a^i =64,公比q = 1(I)求a n；(n)设b n = log 2 a n，求数列｛| b n|｝的前n项和T.12、已知f (x) = log m x (m 为常数，m>0 且m = 1)设f(aj, f @), , f丽(n N )是首项为4，公差为2的等差数列.(I)求证：数列｛a n｝是等比数列；(n)若b n=a n • f (a n)，且数列｛b n｝的前n项和S n,当m「2 时，求S n；(川)若C n= a n lg a n，问是否存在m，使得｛c n｝中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.13.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足i(I )判断｛_｝是否为等差数列？并证明你的结论;Sn(H)求 S n 和 a n (川)求证：S 2 • S ； •• S ；乞1 一丄.2 4n14.已知数列｛a n ｝满足 a n =2a n 」2n -1(n — 2),且a^ 5.a + Z(l )若存在一个实数■,使得数列｛亠^ ｝为等差数列，请求出'的值2(II )在(I )的条件下，求出数列 a n 的前n 项和S n .15.设数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n , n =1, 2, 3，…. (I )求数列｛ a n ｝的通项公式； (n )若数列｛ b n ｝满足b 1=1，且b n 1二b n • a n ，求数列｛ b n ｝的通项公式; (川)设C n = n(3 -b n )，求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .1a"2,an 2SnSn 」5-2)参考答案1•••数列｛— ｝是以一4为首项，一1为公差的等差数列 b n -11 1S n =玄1玄2 ' 323^ ■ 3n 3n 1 二4 汇5 5 汉6 (n +3)(n+4)24aSb _ an n 2 _(a-1)n (3a-6)n-8 nnn 4 n 3 (n 3)( n 4)由条件可知(a_1n + (a3 n^)恒8成0立即可满足条件设2f(n) =(a -1)n3(a -2)n -8a = 1时，f (n) = -3n -8 ：：：0恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不可能成a <l时，对称轴弓豁「沽土厂0f(n)在(Y ,1］为单调递减函数.f (1) =(a -1)n 2 (3a -6) n -8 =(a 一1) (3a -6) -8 =4a -15 ：： 015.a•. a<1 时 4aS n ：： b 恒成立4综上知：a < 1时，4aS n < b 恒成立2.解：(1)V 点B n (n,b n )(n ，N*)都在斜率为6的同一条直线上,bn1 2 - b nb n0(2七)b n(1- a n )(1+ a n )6 一7-5 - 6--b n n-1 2 b-■1.解：(1) b3 一 4-,bh丄，4---4 -(n -1) - -n -3二 b nn 4(n 4)于是数列｛b n ｝是等差数列，故b n 二d ・6(n-1). ............................... 3分A n A n 1 = (1, a n 1 f a n ),B nC n = (-1，-b n ),又 A n A * 1 与 B n C n 共线，1 ( -b n ) -(_1)(an 1 - a n)— 0,即 a n 1 - an — b n - ........................................ 5 分当n _2时,a^a (a 2 —aj @3 —a ?)亠亠(a . — a . J 二a’ 0 b ? Q 亠•亠d (n -1) 3(n -1)( n -2). ...................... 7分当n=1时，上式也成立 所以 a * = a 「b 1 (n -1)3(n -1)(n -2). ........................ 8 分(2)把a 1 =a,t>1 =~a 代入上式，2得 a n = a - a(n -1)3(n -1)(n - 2) = 3n -(9 a)n 62a.12 : a ^15, 7 ：： < 4， 2 6•••当n=4时，a n 取最小值，最小值为 a 4 =18—2a.(2)T n = C 1C 2 • C3 •…-C n「二玄袒 a ?b 2 a s b 3a n 」b n 」 a n b n①=a 』2a ?b 3 *3匕4… a ./b na nb n 1②①—②：(1—q)T n 二aM 1 db 2 db^ db n^ db n —ab 1 二ab d b 2(1_q )七曲1—q•「=(n - 1)6n 1 ............ 14 分4.解:(1)由已知 3tS n -(2t - 3)S n4 =3t ，即有2t +33t (a 1 a 2) _ (2t ' 3)a^ = 3t 由 a 1 = 1 解得 a ?:bn 1 -b n(n 1) - n=6,即 b n 1 - b n 二 6,13分3.解：(1)由条件得:1 +d =q：1 +7d =q 2_a n = 5n - 4,b n = 6心- 5T n =156^1-5-(5n -4)6n3ta2 2t 3所以a1 3t当n _ 2时，有3tS n +1 -(2t 3)S n =3t ①3tS n -(2t3)S n 」=3t②①—②得3tan + 1 - (2t ' 3)a n = 0a n i _ 2t 3 a n 3t综上所述，知色」=迤3 n _1a n 3t因此｛a n ｝是等比数列；2t +3(2)由(1)知 f(t) =3t 123则使b 1 =1,b n 二一气2■ b n 」 3 —3bn 42所以 b n —b n 」二n =(2,3/ )21 因此，｛b n ｝是等差数列，且 th =1,b n 二 b •(n - 1)d n33(3) Db 2 -b 2b a b g b 4 -b 4b 5 …b2n/b 2n• b 2n b 2n 1=b 2(b 1 -b 3)b 4(b 3-b 5)…b 2n (b 2nv b^ 1 )4=(b 2 b 4 38 2 = n n 9 35•解：（1）由 S n 二（1 …）一 ’a n = S n_, = （1 …）一乜心（n - 2）a儿相减得：an - -'an • 'an4, n(n - 2),.数列｛a .｝是等比数列 a^1+九b 2n ) 一5 4n 1 n(3扎b n 1 1 (2) f ( 1 ). , 51 ,1+ 丸1估二b ng 二.｛丄｝是首项为 丄=2,公差为1的等差数列—=2 ( n —1) = n 1 b n D b nb n = ......................................................................................................................................................................... 8 分n 十1(3) ■ =1 时,a n =(1)n ‘, C n = a n (— -1)=(丄)"'n ,2 b n2111 T n =1 2(2)3(y2 n(-)nJ① 2T n =(1)2(1)2 酹)3n (2)n②①—②得：1 1、 J 、2 八、3 J 、n 」J 、n 2T n 二1（2）（2 （2）（2 _n （2），1T n 「（2）G ）2（1）3E ）n 」— n （》n 门一 n （£）n ,6. 解：(I )由题意，令 y=0 , x<0，得 f(x)[1 — f(0)]=0 ,••• x<0 时，f(x)>1.••• 1 — f(0)=0. f(0)=1. .......................................................................... 2 分1 x适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=( — ) ......... ....................................... 4分 (II [①由递推关系知f(a n+1) • f( — 2 — a n )=1，即 f(a n+1 — 2— aj=f(O).*八•/ f(x)的 R 上单调，••• a n+1 — a n =2 , (n € N ), ............... 6 分又 a 1=1，故 a n =2 n — 1. ................................................................... 7 分 ② b n =(」)a n=(丄)2n ',S n = b 1 + b 2+…+b n =丄+( 1 )'+ …+( 1 f 「12 2 2 2 24欲比较S n 与—T n 的大小，只需比较 4n 与2n+1的大小.3由=1 , 2, 3 代入可知 4n >2n+1，猜想 4n >2n+1. ................................. 10 分所以:1 1T n =4(1-(2门-2 n(?)n14分知(扩] 2 21^)2 T n 「丄a 〔 a 27)-a 2a31—an a n 1+…+丄2n -1 1 1―—+―— + …+ 1 3 3 5 (2n -1)(2n 1)11 1)(1 ) ...................................2 2n 12n 1Sn= f Tn I-1 3 心112 1 1 3 ------- )=—( )=— 2n 1 3 2n 1 4n 2 4n -(2n 1) (2n 1) 4n下用数学归纳法证明1(i) 当n=1 时，4 >2X 1+1 成立(ii) 假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1当n=k+1 时，4k+1=4 X 4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1 ,说明当n=k+1时命题也成立.由(i)( ii)可知，4n>2n+1对于n € N*都成立•4故S n> T n ... ................................................................................... 12 分3注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+c n 3 c2 32c n 3n _1 3n • 2n 1.1 2 1 37. 解(I)当n = 1 时，a t = $ ............................ a1a1,解出a1 =3 , 1 分4 2 4又4s n = a n + 2a n —3①当n _2 时4s n~1 = a n j + 2a n-1 —3②2 2 2 2①一② 4a n =an —a^ - 2(a^a nJ),即a^a nj -2(a n - a.」)=0 .............................................3分••• (a n a n」)(a n -a n」- 2) = 0, a n a n」0 a n - a n」=2 ( n — 2)……5分.数列｛a n｝是以3为首项，2为公差的等差数列.a^3 2( n- 1)=2 nJ •-7分(n) T n =3 21 5 22•山• (2n，1) 2n③又2T n =3 22 5 23W (2n -1) 2n - (2n 1)2n1④............ 9 分④-③ T n 二-3 21 -2(22232n) (2n 1)2n 1............. 11 分=-6 8 -2 2n 1(2n 1) 2n 1 .......... 13 分-(2n - 1)2n 1 2 .......... 14 分(1a b =0a 1 2 1&解：(1)由题知：解得 2 ....... ,故f (x) x x .3分h1 2 2b 二L 2a 0 = 1 .4a 一 8n 2 -n2~(n J)2Jnl): 2T n j — a i a 2 H f an J = l 5丿 (n -2), (n-2). a n T n4 — T n 15 n A(n N ). 4 a n :15丿⑶若5f (a n )是b n 与a n 的等差中项，则2 5f (a nH b n a n , …… 1 2 1 2 3 2 从而 10(；a n a n )二b n a n , 得d =5a n -6a n=5(a n)- 2 2 54 =—5 一一，即 n5 又a^T| =1满足上式.所以 因为a n 当a n ..... 10分n 1 (n • NJ 是n 的减函数，所以<3(n ・N”)时，b n 随n 的增大而减小，此时最小值为 b a；-4( n • N ”)时，b n 随n 的增大而增大，此时最小值为 b 4.12分又所以 ba :::b4 , :::3 ,即 n5 即数列｛0｝中b 最小,且b3=5阳卜由=一 2245 125 14分9、解：由 a“ =0,^4 =98得 a 1 10d =0 6 1解得：① 14a 1 91d =98 a n =a 「n -1 d = 22-2 n (a1+an)n 2 S n21n - n 2 令 a n =°得 n=11 -当n =11时， (3 )法一：由 务一6+10d >0 14印 +91d 喳77 (3) S n 取得最大值 a 1》6, an > 0, S 14W 77 得: (1) (2) 10分(2) ( -14)得: -14a 1 -140d 0 ( 4) (1) (-14)得:-14耳—84 (5) :'d Z,. d =T 代入(2)、( 3)得： a 1 10■ 1 0 :: a 1 -12 14a<^168 far Z,. a 1 =11 或 1211⑷ (3)得:d(5) - (3)得:d -9112分a a2 a3 =7,.a n =12 -n或a n =13 -n解得a2 = 2 .设数列｛a n｝的公比为q，由a：=2，可得& = 2, a^2q . .......................... 4分q2又S3 = 7，可知 2 ■ 2q = 7 ,q即2q2 _5q 2=0，1解得q<| = 2，q2：2由题意得q 1，q = 2 ..4 =1 . ...................................................................... 7 分故数列｛a n｝的通项为a n =2n J.(n)由于b n =ln a3n 1, n =1,2,由(1)得a3n 1 = 2.b n =1 n23n =3nln 2又b n 1 —b n =3In 2■ {b n}是等差数列.n(b「b n)2n(3In 2 3nln 2)211 .解：(I)依题意a^ - a4 ' 3( a3 - a4),即2a4 _3a2 a^ - 02a1q3 -3a1q3 a1q = 02 12q _3q 1 =0= q =1或q =_21q = 1 q ........... 4 分14分10•解：（I）由已知得(a i 3) @3 4) [ 2=3a?.10分故T n 3n(n 1)2In 2.3n(n 1)In 2 .14分2a a 2 a 3 =7,二数列｛a n ｝是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列(n)由题意 b n 二 a n f (a n )二 m 2n 2 log m m 2n 2 = (2n 2) m 2n 2 , 当 m = J 2时，b n =(2n 2) 2n 1 = (n 1) 2n 2 二 S n = 2 23 3 24 4 2— (n 1) 2n 2①........... 6 分① 式两端同乘以2，得2Sn =2 24 3 25 • 4 26 • ― n 2n 2 ' (n ' 1) 2n3 ②...... 7 分② —①并整理，得S n 八2 23 - 24 - 25 -26 -…-2n 2 (n 1) 2n 3二 -23 -{23 亠 24 亠 25 亠 亠 2n 2]亠(n 亠 1) 2n 3七一2^ (n 1) 2n 31-2二-23 23(1 — 2n ) (n 1) 2n 3故a n =64 (扩1(II ) b n = log 2[64(2)nl Hlog 2 27J=7 — n7-n二I 6 I"n —7(6 7 _n)n n(13_n) 2 - 2__当 n 7 时,|b 8|“,T n 二 T 7(1 n - 7)(n - 7) _ 21 . (n - 6)(n - 7)2 - 22(n _6)(n _7) +21(n >7) • 212分12、解：(I)由题意 f (a n ) = 4 • 2(n -1) = 2n 2, 即 log m a n = 2n 2,二 m 2n 2an 12(n 1) 2a n2n 2m■/ m>0且m^1，二m 2为非零常数，= 2n3n10 分(川)由题意C n=a n lga n=(2 n+2)m 2n "lgm2n lgm ：：：( n 1) m lg m 对一切 n_2 成立,(川)1°当n=1时，S 12 = 1 = 1成立4 2 4"1 12°假设n=k 时，不等式成立，即S|2 Sf ... S |f --—成立2 4k要使 c n 」：：：c n 对一切n 一2成立,①当 m >1 时，n ：：(n 1)m 2对n _ 2成立; 12分②当 0<m<1 时，n (n 1)m 22m2对一切n _ 2成立，只需1 -m2 m2：解得:6 •、6m ：：：—考虑到0<m<1 ,V6--0<m< .3综上，当0<m<丄6或m>13时, 数列｛5 ｝中每一项恒小于它后面的项14分13.解证：(I)S 1 — a1 -2丄=2 S 1a n = S n - S n 4即 S n - S n 4 = ~2S n S n 41 1SnSn J1=2故｛丄｝是以2为首项，以2为公差的等差数列.S n(n)由(I )得丄=2 (n -1) 2=2n,S n 」Sn2n当n > 2时，a n2n(n _1)(n =1)当n =1时，厲三a n2心严2)1_1 1 _1 1 4 k (k 1)2 2 4 2k 2 k _ 1 k(k 1) 一 2 4(k 1)an _2a nd. = 2^ 2n"是与n 无关的常数，则1— =0,得九=-1.2n则当 n=k+1 时，S ； +S ； + ... +S ： +S ：申1 < 21 4k 1 4(k 1)2即当 n=k+1 时，不等式成立由1 （川）另证:S 2 S2 …Sn,2°可知对任意1 14 4 22n € N 不等式成立.1 2 -4 324(11 1 1 .»(1 —匕 3十(n _ 1)n丄一 1n-1 n 24n14.解：（1）假设存在实数'符合题意,则吩必为与n 无关的常数。