人教版八年级上册数学 分式解答题单元培优测试卷

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．

（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．

（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12

S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．

【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）方案二所用的时间少

【解析】

【分析】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；

（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x

=+， 解得：150x =，

检验，当150x =时，()300x x +≠，

∴原分式方程的解为：150x =，

30180x +=，

答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab

+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b

=+， ∴2

2()22()

a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，

∴()20a b ->，

∴

202a b S S ab a b

+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．

【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．

2．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求2

41

x x +的值。 解：由2112x x =+知x ≠0，所以2112,2x x x x

+=+=即 ∴2

422221112222x x x x x x +⎛⎫=+=+-=-= ⎪⎝⎭，故241x x +的值为12 评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目 已知2117x x x =-+，求2

421

x x x ++的值。 【答案】

163

． 【解析】

【分析】 首先根据解答例题可得21x x x -+=7，进而可得x +1x =8，再求2

421

x x x ++的倒数的值，进而可得答案．

【详解】 ∵21x x x -+=17，∴21x x x

-+=7，x +1x =8． ∵4221x x x ++=x 2+21x +1=（x +1x ）2﹣2+1=82﹣1=63，∴2

421x x x ++=163

． 【点睛】

本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．

3．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用

电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．

【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%

【解析】

【分析】

（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.

（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.

【详解】

解：（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：

300x ：3000.6x

+ =4：1， 解得：x=0.2， ∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.

（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：

0.48×55=26.4（元），

∴新能源汽车每公里所需电电费为：

26.4÷400=0.066（元/公里），

依题可得燃油汽车400公里所需费用为：

400×0.8=320（元），

∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：

26.4÷320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

4．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111

x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111

x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++.