三角函数中“1”的代换

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浅议“1”在三角函数中的作用

浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。

尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。

尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。

当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。

下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。

一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。

例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。

解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。

解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。

解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。

三角函数中的1

三角函数中的1
居小娟
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】在高中数学《三角函数》一章中，关于“1”的应用非常广泛，“1”经常出现在关于三角函数式的化简、求值及证明中，它的变换对解答这类题目有至关重要的作用．下面，笔者就对这类题目中的“1”的变换作个总结。

【总页数】2页(P1-2)
【作者】居小娟
【作者单位】北京市第140中学,100054
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.“三角函数线”在《三角函数》教学中的研究现状及教学建议 [J], 赵久勇;孟素红
2.三角函数线在三角函数教学中的应用 [J], 卓秀清
3.在鼓励中前进在前进中探索在探索中完善——记高三三角函数的一节复习课 [J], 任运广
4.在鼓励中前进在前进中探索在探索中完善——记高三三角函数的一节复习课[J], 任运广
5.分类思想在三角函数、反三角函数教学中的渗透 [J], 罗华
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“1”在三角函数中的灵活运用

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参考文献【】丁孝林．ｌ高校优秀学生干部培养教育研究．新西部，２０，１０７２ｆ李鹏飞，陈露．２１高校学生干部培养探究．人教两。２０．．７０８００４【李雪．３】论高校学生干部的角色定位与认知… 培养学生干部的 “ 己与宽人 ”意识．宁行政学院学报，２０，０律辽０９８【王敏丽．学生干部的选拔、培养与管理初探．４】高校中国科教创新导
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作者简介
翟会会（９５１８一），研究方向：体育教育训练学。

数学代换法的10种方式

㊀㊀艺术的大道上荆棘丛生,这也是好事,常人都望而生畏,只有意志坚强的人例外.雨果Җ㊀四川㊀蔡勇全㊀㊀对于某些数学表达式问题,若按常规寻求解题思路,往往非常棘手.这时若调整思维方式,考查数学表达式的结构特征,尝试用代换法,往往能茅塞顿开㊁化难为易.本文例谈数学代换法的10种方式,供同学们研读.1㊀对偶代换对偶代换是指对于某些结构特殊的数符表达式,通过合理构造对偶关系,进行适当的运算可以整体解决问题的一种代换.例1㊀求s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n20ʎco s80ʎ的值.令M =s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n 20ʎc o s 80ʎ,N =c o s 220ʎ+s i n 280ʎ+3c o s 20ʎs i n80ʎ,则M +N =2+3(s i n20ʎc o s 80ʎ+c o s 20ʎs i n80ʎ)=2+3s i n100ʎ.①M -N =3ˑs i n (-60ʎ)-c o s 40ʎ+c o s 160ʎ=-2s i n100ʎs i n60ʎ-32.②式①+②得2M =12,M =14,所以s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n20ʎc o s 80ʎ=14.另外,构造三角形,运用正弦定理㊁余弦定理也可解答本题.变式1㊀已知x ㊁y ㊁z ɪ(0,1),求证:11-x +y +11-y +z +11-z +x ȡ3.提示㊀令M =11-x +y +11-y +z +11-z +x ㊁N =(1-x +y )+(1-y +z )+(1-z +x ),则可推理得M +3=M +N ȡ6.变式2㊀求证:12㊃34㊃56㊃㊃2n -12n <12n +1(n ɪN ∗).提示㊀令M =12㊃34㊃56㊃㊃2n -12n ㊁N =23㊃45㊃67㊃㊃2n2n +1,则可推理得M 2<MN =12n +1.2㊀三角代换三角代换是指对于某些代数表达式,通过联想某个三角函数恒等式,将自变量设为关于某三角函数的中间变量的一种代换.三角代换将代数问题转化成三角函数问题,便于运用三角函数的等式和性质来解决问题.例2㊀已知数列{a n }满足a 1=1,a n =1+a 2n -1-1a n -1(n ɪN ∗且n ȡ2),求{a n }的通项公式.由题设易知a n >0,作三角代换a n =t a n θn(n ɪN ∗,θn ɪ(0,π2)),则a n =1+t a n 2θn -1-1t a n θn -1=1-c o s θn -1s i n θn -1=t a n θn -12(n ȡ2),即t a n θn =t a n θn -12(n ȡ2),则θn =θn -12ɪ(0,π2).又因为θ1=1,所以θ1=π4,数列{θn }是以π4为首项㊁12为公比的等比数列,θn =π4ˑ(12)n -1=π2n +1,故a n =t a n π2n +1.着眼于正常数a 和实变数u 的表达式a 2+u 2,可作三角代换u =a t a n θ;着眼于正常数a 和实变数u 的表达式a 2-u2,可作三角代换u =a s i n θ或u =a c o s θ等.变式1㊀已知数列{a n }满足a 0=13,a n =1+a n -12(n ɪN ∗),求证:数列{a n }是单调数列.提示㊀联想半角公式,令a 0=c o s θ=13(其中θ为锐角),则a 1=1+c o s θ2=c o s θ2,进而a 2=c o s θ4,a 3=c o s θ8, ,a n =c o s θ2n .变式2㊀设数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1+a n1-a n(n ɪN ∗),则a 2015=.41㊀㊀朝着一定目标走去是志 ,一鼓作气中途绝不停止是气 ,两者合起来就是志气 .一切事业的成败都取决于此.卡耐基提示㊀联想公式t a n (π4+θ)=1+t a n θ1-t a n θ,可作代换a n =t a n θn ,则t a n θn +1=t a n (π4+θn ),则t a n θn +4=t a n θn ,即a n +4=a n ,求得a 2015=a 503ˑ4+3=a 3=-2.变式3㊀已知实数x ㊁y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值.提示1㊀配方得(2x -54y )2+(394y )2=5,令2x -54y =5c o s θ,394y =5s i n θ,其中θɪ[0,2π),最后求得原式的值为85.提示2㊀设x =S c o s α,y =S si n α,{代入已知等式得4S -5S s i n αc o s α=5.3㊀增值代换增值代换是指若一个变量t 在某一常量(或变量)A 附近变化时,则作代换t =A +δ或t =A -δ.例3㊀已知x >y >0,且满足x y =1,求x 2+y 2x -y的最小值.因为x >y >0,可令x =y +α,则α>0,x 2+y 2x -y =(x -y )2+2x y x -y=α2+2α=α+2αȡ2α㊃2α=22(当且仅当α=2,即x =2+62,y =6-22时取等号,所以x 2+y 2x -y的最小值为22.解答本题,可尝试作减量代换y =x -α,利用增值的关系将式子进行改头换面是一种常见的基本技能,因为它可以将不等的问题转化为相等的问题来研究,从而便于更直观地比较大小.变式㊀设x i (i =1㊁2㊁3㊁4)为正实数,且满足x 1ɤ1,x 1+x 2ɤ5,x 1+x 2+x 3ɤ14,x 1+x 2+x 3+x 4ɤ30,求x 1+12x 2+13x 3+14x 4的最大值.提示㊀令x 1+α=1,x 1+x 2+β=5,x 1+x 2+x 3+γ=14,x 1+x 2+x 3+x 4+θ=30,其中α㊁β㊁γ㊁θ均为非负实数,所以x 1+12x 2+13x 3+14x 4=1-α+12(4+α-β)+13(9-γ+β)+14(16+γ-θ)=10-12α-16β-112γ-14θɤ10,接着检验.4㊀分式代换分式代换是指对如下2种情况的处理:1)当条件中出现形如 a b c =1的式子时,第1种代换策略是令a =x y ,b =y z ,c =z x ,第2种代换策略是令a =y z x 2,b =z x y 2,c =x y z 2;2)当条件中含有ðni =1xi=1时,可作代换x i =a iðnj =1aj(i =1,2,3, ,n,n ɪN ∗),如此便可使题目获得创造性的解决.例4㊀已知a ㊁b ㊁c ɪR +,且满足a b c =1,求12a +1+12b +1+12c +1的最小值.方法1㊀令a =x y,b =y z ,c =z x ,其中x ㊁y ㊁z ɪR +,所以12a +1+12b +1+12c +1=y y +2x +z z +2y +x x +2z .由柯西不等式得[y (y +2x )+z (z +2y )+x (x +2z )]㊃(y y +2x +z z +2y +x x +2z )ȡ(x +y +z )2(其中当x =y =z 时取等号),y y +2x +z z +2y +xx +2z ȡ(x +y +z )2y (y +2x )+z (z +2y )+x (x +2z )=1.所以所求表达式的最小值等于1.方法2㊀令a =y z x 2,b =z x y2,c =x y z 2,其中x ㊁y ㊁z ɪR +,则12a +1+12b +1+12c +1=x 2x 2+2y z +y 2y 2+2z x +z 2z 2+2x y .根据柯西不等式得(x 2x 2+2y z +y 2y 2+2z x +z 2z 2+2x y )㊃(x 2+2y z +y 2+2z x +z 2+2x y )ȡ(x +y +z )2(其中当x =y =z 时取等号),以下同方法1.本题的条件等式和目标代数式都分别是对称的,虽然一看题就可猜出最后结果,但作51只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里.黑格尔为解答题,其演算过程还是要严密的.变式1㊀已知正实数x ㊁y 满足2y +x -x y =0,且不等式x +2y >m 2+2m 恒成立,求实数m 的取值范围.提示㊀由2y +x -x y =0可得2x +1y=1,令2x =a a +b ,1y =b a +b,则x =2(a +b )a ,y =a +b b ,x +2y =2(a +b )a +2(a +b )b=4+2(b a +a b )ȡ4+2ˑ2b a ㊃a b=8.由原不等式恒成立得m 2+2m <8,解得实数m 的取值范围是(-4,2).变式2㊀已知x 1㊁x 2㊁x 3㊁x 4ɪR +,且11+x 1+11+x 2+11+x 3+11+x 4=1,求z =x 1x 2x 3x 4的最小值.提示㊀令11+x 1=a a +b +c +d ,11+x 2=b a +b +c +d ,11+x 3=c a +b +c +d ,11+x 4=d a +b +c +d ,其中a ,b ,c ,d ɪR +,x 1=b +c +d a ȡ33b c d a ,x 2=a +c +d b ȡ33a c db ,x 3=a +b +dc ȡ33a b d c ,x 4=a +b +c d ȡ33a b c d ,最后求得z 的最小值等于81.5㊀局部或整体代换局部(整体)代换是指通过观察和分析,把解题的注意力和着力点放在问题的局部(整体)形式和结构特征上,从而触及问题的本质,通过代换,使之化繁为简㊁化难为易.例5㊀求c o s π5-c o s 2π5的值.令y =c o s π5-c o s 2π5,则y 2=co s 2π5+c o s 22π5-2c o s π5c o s 2π5=1+c o s 2π52+1+c o s 4π52-2㊃s i n 2π52s i n π5㊃s i n4π52s i n2π5=12+12(c o s 2π5+c o s 4π5)=12-12ˑ(c o s π5-c o s 2π5)=12-12y ,则y 2+12y -12=0,解得y =12或y =-1(舍去),所以c o s π5-c o s 2π5=12.此外可作对偶代换,令M =c o s π5-c o s 2π5,N =c o s π5+c o s 2π5,则可推导出MN =12N .变式1㊀设x 是实数,求证:(x 2+4x +5)(x 2+4x +2)+2x 2+8x ȡ-10.提示㊀令y =x 2+4x +2,则y ȡ-2.变式2㊀已知x >0,求证:x +1x -x +1x+1ɤ2-3.提示㊀令u =x +1x (u ȡ2).6㊀和差代换和差代换是指对于任意2个实数x ㊁y ,总有x =x +y 2+x -y 2,y =x +y 2-x -y 2.ìîí其原理是a =x +y 2,b =x -y 2ìîí等价于x =a +b,y =a -b .{例6㊀已知实数x ㊁y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值.方法1㊀令x =a +b ,y =a -b ,代入已知等式得3a 2+13b 2=5,则a 2ɪ[0,53],所以有S =x 2+y 2=2(a 2+b 2)=1013+2013a 2,S ɪ[1013,103],则S m a x =103,S m i n =1013,1S m a x +1S m i n=85.方法2㊀由x 2+y 2=S ,令x 2=S 2+t ,y 2=S 2-t ,t ɪ[-S 2,S 2],则x y=ʃS 24-t 2,代入已知等式得4S ʃ5S 24-t 2=5,整理得100t 2+39S 2-160S +100=0,所以39S 2-160S +100ɤ0,解得S m a x =103,S m i n =1013,1S m a x +1S m i n=85.61短时期的挫折比短时间的成功好.毕达哥拉斯一般地,当条件中出现和式ðnk =1a k =s (定值),则可考虑作代换a k =s n +t k (k =1,2,3, ,n ,其中n ɪN ∗),其中ðnk =1t k =0.变式1㊀已知实数x ㊁y ㊁z 满足x +y +z =5,x y +yz +z x =3,求z 的最大值.提示㊀由x +y =5-z ,令x =5-z 2+d ,y =5-z 2-d ,则3=x y +y z +z x =x y +z (x +y )=(5-z2+d )(5-z 2-d )+z (5-z )=(5-z 2)2-d 2+5z -z 2,即3z 2-10z -13=-4d 2ɤ0,解得z m a x =133.变式2㊀解方程组x 1+x 2+ +x 2015=1,x 21+x 22+ +x 22015=12015.ìîí提示㊀令x 1=12015+y 1,x 2=12015+y 2,x 2015=12015+y 2015,代入得y 1+y 2+ +y2015=0,y 21+y 22+ +y 22015+22015(y 1+y 2+ +y2015)=0,则y 21+y 22+ +y 22015=0,则y 1=y 2= =y 2015=0,则x 1=x 2= =x 2015=12015.7㊀分母代换处理某些分子较简而分母相对复杂的分式问题时,通过对分母进行代换可使解题思路变得简洁.例7㊀是否存在常数c ,使得不等式x2x +y+y x +2y ɤc ɤxx +2y +y 2x +y 对任意正实数x ㊁y恒成立?若存在,请求出c 的值;若不存在,请说明理由.假设存在常数c 满足条件,由题意知,c ɤxx +2y +y 2x +y 对任意正实数x ㊁y恒成立,令x +2y =a ,2x +y =b ,{解得x =2b -a 3,y =2a -b 3,代入题设不等式得c ɤ13(2b a +2a b -2)对任意a ㊁b ɪR +恒成立,而13(2b a +2a b -2)ȡ13(4-2)=23,当且仅当a =b >0时取等号,则c ɤ23.另一方面,x 2x +y +y x +2y ɤc 恒成立,同理c ȡ23.综上所述,存在常数c=23满足题意.通过分式中的分母代换,可大幅度地改变结构或简约表述,从而便于后面的变通.变式㊀已知a ㊁b ㊁c ɪR +,求u =a b +3c +b 8c +4a+9c 3a +2b的最小值.提示㊀令x =b +3c ,y =8c +4a ,z =3a +2b ,反解可得a =-13x +18y +16z ,b =12x -316y +14z ,c =16x +116y -112z ,所以a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b=18(y x +4x y )+16(z x +9x z )+116(4z y +9y z )-6148ȡ18㊃4+16㊃6+116㊃12-6148=4748.8㊀常量代换常量代换是指把常量用一个字母或代数式替换,暂时把常量看作变量,通过变动的㊁一般的状态来考查不变的㊁特殊的情形.例8㊀求解方程:x 2+103x +80+x 2-103x +80=20.原方程可化为(x +53)2+5+(x -53)2+5=20,由此令5=y ,因此(x +53)2+y 2+(x -53)2+y 2=20.因为20>103,所以动点P (x ,y )的轨迹是焦点为(ʃ53,0)㊁长轴长为20的椭圆x 2100+y 225=1.代入5=y 得原方程的解为x =ʃ45.解答本题,也可作常数代换-5=y ;本题的几何意义是求椭圆x 2100+y 225=1与直线y =ʃ5交点的横坐标.变式1㊀解不等式:x 2-6x +13+x 2+6x +13ɤ8.提示㊀原不等式可化为(x -3)2+4+(x +3)2+4ɤ8,令4=y 2,最后解得原不等式的解集为[-4217,4217].变式2㊀求证:33+33+33-33<233.提示㊀令33+33=m ,33-33=n ,则m >n >0,m 3+n 3=6.又因为m 2(m -n )>n 2(m -n ),即71㊀㊀故天将降大任于是人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行弗乱其所为,所以动心忍性,曾益其所不能.孟子m n (m +n )<m 3+n 3,则(m +n )3=6+3m n (m +n )<6+3(m 3+n 3)=24,m +n <233.9㊀连比或连等代换连比(连等)代换是指对于连比式或连等式的已知条件,通常是设连比式或连等式的值为k ,把大量字母通过转化归结为关于k 的表达式(函数),对k 施行运算,简便而单一.例9㊀已知s i n θx =c o s θy ,c o s 2θx 2+s i n 2θy2=103(x 2+y 2),求y x的值.解㊀令s i n θx =c o s θy=k ,则s i n θ=k x ,c o s θ=k y .代入s i n 2θ+c o s 2θ=1可得k 2=1x 2+y2,所以s i n 2θ=x 2x 2+y 2,c o s 2θ=y 2x 2+y 2,代入c o s 2θx 2+s i n 2θy2=103(x 2+y 2)可得y 2x 2(x 2+y 2)+x 2y 2(x 2+y 2)=103(x 2+y 2),整理得3x 4+3y 4-10x 2y 2=0,即(3x 2-y 2)(x 2-3y 2)=0,所以y x =ʃ3或ʃ33.连比(连等)代换的突出特点是促使条件中的变量大为减少,使问题简单化;本例也可将条件式转化为x y =s i n θco s θ=t a n θ,然后将x =y t a n θ代入已知方程求解.变式㊀已知2015x 3=2016y 3=2017z 3,其中x yz >0,且32015+32016+32017=32015x 2+2016y 2+2017z 2,求证:1x +1y +1z=1.提示㊀设2015x 3=2016y 3=2017z 3=k 3,k >0,则x =k 32015,y =k 32016,z =k 32017,所以原式=3(32015+32016+32017)k 2=32015+32016+32017,k =32015+32016+32017,1x +1y +1z =32015k +32016k +32017k =1.10㊀目标代换目标代换是指先将所求目标用一个待定系数进行代换,并通过它建立关系,再确定待定系数的值,从而求出目标.例10㊀已知x >y >0,且满足x y =1,求3x 3+125y 3x -y的最小值.令3x 3+125y 3x -y的最小值为m ,其中x >y >0,则初步得m >0.由于3x 3+125y 3x -yȡm ,则3x 3+125y 3+ym ȡx m .又因为3x 3+125y 3+ym =x 3+x 3+x 3+125y 3+y m ȡ55x 3㊃x 3㊃x 3㊃125y 3㊃ym =55125x 5(x y )4m =5x 5125m ,所以x m=5x 5125m .解得m =25.经检验,当且仅当x =5,y =55时,3x 3+125y 3x -y取得最小值25.通过放缩不等式求最值,通常要检验等号成立的条件.目标代换策略的本质是执果索因 ,即假设目标已经存在,从目标出发,受算2次思想的启发,建立等式,从而解决问题.变式1㊀已知x ㊁y ㊁z ɪR +,求x y +2y z x 2+y 2+z 2的最大值.提示㊀令x y +2y z x 2+y 2+z 2的最大值为k ,其中x ㊁y ㊁z ㊁k ɪR +.由x y +2y z x 2+y 2+z 2ɤk 得x 2+y 2+z 2ȡ1k x y +2k y z .又因为x 2+y 2+z 2=x 2+m y 2+(1-m )y 2+z 2ȡ2m x y +21-m yz ,则比较可得1k =2m ,2k =21-m ,解得m =15,k =52.变式2㊀若正实数x ㊁y ㊁z 满足x 2+y 2+z 2=1,求2x y +yz 的最大值.提示㊀令x 2+y 2+z 22x y +yz 的最小值为k ,则x 2+y 2+z 2ȡ2k x y +k y z .又因为x 2+y 2+z 2=x 2+m y 2+(1-m )y 2+z 2ȡ2mx y +21-m yz ,则比较得2m =2k ,21-m =k ,{解得m =23,k =23,所以2x y +yz 的最大值为32.综上各例知,数学代换的恰当选取和成功解题,反映着解题者的数学基础㊁数学潜能和思维品质.(作者单位:四川省资阳市外国语实验学校)81。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)

时,怎样简化解题过程?
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1

【高三数学】二轮复习：专题二第1讲三角函数的图象与性质

sin(ωx+φ)=(
)

A.sin x + 3

B.sin 3 -2x

C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC

解析由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破(含答案)

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________．五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55，因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案－2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α，因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示：可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ，解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图：由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案－79点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)．例4解原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)．例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0；当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的，所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称．所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

三角函数之间的关系初中

初中数学三角函数的关系初中常见的三角函数关系公式初中常见的三角函数关系公式主要有三角函数的倒数关系、商数关系、平方关系等等。

1、三角函数的倒数关系公式：tanαcotα=1，sinαcscα=1，cosαsecα=12、三角函数的商数关系公式：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα3、三角函数的平方关系公式：(sina)^2+(cosa)^2=1，1+(tana)^2=(seca)^2，1+(cota)^2=(csca)^2三角函数公式的转换关系除了上面初中常见的三角函数关系公式外，同学们还需要掌握的公式有倍角公式、半角公式、积化和差公式以及两角和差公式等等。

1、倍角公式：sin2a=2sina*cosa，cos2a=(cosa)²-(sina)²=2(cosa)²-1=1-2(sina)²，tan2a=2tana/[1-(tana)²]sin(3a)=3sina-4(sina)³，cos(3a)=4(cosa)³-3cosa，tan(3a)=[3tana-(tana)³]/[1-3(tana)²]2、半角公式：sin^2(a/2)=[1-cos(a)]/2，cos^2(a/2)=[1+cos(a)]/2，tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sin(a)/[1+cos(a)]3、积化和差公式：sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2，cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2，sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24、和差化积公式：sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5、两角和差公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ；cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数关系互余角的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系tanα·cotα=1三角函数的边角关系公式假设在直角坐标系中，点A的坐标为(x，y)，原点到点A的线段长为r，线段r和横坐标的夹角为α，则有三角函数的边角关系公式为：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/x三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2三角函数和差角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)sinα·cscα=1cosα·secα=1倍角公式1、二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。

例说“1”在解三角函数问题中的妙用

例说“1”在解三角函数问题中的妙用作者：段会来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期“1”在高中数学解题中往往扮演很重要的角色，若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，将“1”进行转化，不但能让学生简化解题步骤，得到事半功倍的效果，还能极大地激发学生学习数学的兴趣.本文就“1” 在解三角函数问题中的运用举例说明.妙用一巧妙运用边长为“1”的直角三角形，帮助记忆特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值在解三角函数问题中应用非常广泛，而学生们往往容易记错，巧妙地运用边长为“1”的直角三角形，可以帮助我们记忆特殊角的三角函数值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，则BC=1，AB=2，可得45°的各三角函数值.同理，如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函数值.妙用二巧妙运用sin2α+cos2α=1解题例1（2011年重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin（α-π4）的值为.解法1由sin2α+cos2α=1，sinα=12+cosα，α∈（0，π2），得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-74，sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-c osα）=24，所以cos2αsin（α-π4）=-142.解法2由sinα=12+cosα，得sinα-cosα=12.两边同时平方，得（sinα-cosα）2=14，即sin2α-2sinαcosα+cos2α=14，整理得2sinαcosα=34，所以（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+34=74.又因为α∈（0，π2），所以sinα+cosα=72.所以cos2αsin（α-π4）=cos2α-sin2α22（sinα-cosα）=-2（sinα+cosα）=-142.点评此类题目通常有多种解法，本文选择其中的两种解法.解法1为常规解法，根据已知条件，利用方程思想分别求出sinα和cosα的值，然后代入所求的式子求解.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将“1”进行代换，避免了解二次方程组的复杂过程.例2（2012年辽宁）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），则tanα=A. -1B.-22C.22D. 1解法1由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，即sin2α=-1.由α∈（0，π），得2α∈（0，2π），所以2α=3π2，即α=3π4，所以tanα=-1.故选A.解法2由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，所以2sinαcosαsin2α+cos2α=-1.由已知得cosα≠0，分子分母同时除以cos2α，得2tanαtan2α+1=-1，解得tanα=-1.故选A.点评解法1根据已知条件，解三角方程求出角α的值，然后代入所求的式子求解，但是此法易漏根或增根.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将分母“1”进行代换，化弦为切，避免了解三角方程.妙用三巧妙运用tan45°=1解题例3求1+tan75°1-tan75°的值.解法1因为tan75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=2+3，所以1+tan75°1-tan75°=1+（2+3）1-（2+3）=-3.解法21+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-3.点评解法1利用两角和与差的正切公式求出tan15°，然后代入所求的式子求解，但是此法运算量较大.解法2是巧妙运用tan45°=1，将“1”进行代换，逆用公式，快捷方便.。

“1”在数学问题中的妙用

关键词:空集ꎻ错解ꎻ剖析中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１８)２８－００２４－０２
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任何元素ꎬ正因为空集的特殊性ꎬ 常常成为各类考试的热点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例４房间里有４个人ꎬ假定每个人的生日在１２个
收稿日期:２０１８－０４－１５作者简介: 王嫣然(２００１. ３－ ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
— ２３ —
月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解设事件Ａ表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０１２４
×９
＝
４１９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ｂ
＋
１ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ａ
＋
１ｂ
＋
１ｃ
ö

第5章三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)

6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M，得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α

中学数学中“1”的妙用

≥14 + 2 y 4x + 2 z 9x + 2 4z 9 y = 36 .
x y xz
yz
当且仅当 y = 4x, z = 9x , 4z = 9 y x yx z y z
即 x = 1 y、x = 1 z 时等号成立.
2
3
又 x + y + z =1,
即当
x=
1 、y =
6
1 、z
3
=
1 2
时,
所以当
x=
a
a +
b
时,
ymi n
=
a2
+
2ab +
b2
．
例 4 设 x、y、z 均为正实数，且 x + y + z = 1，
求 1 + 4 + 9 的最小值. xyz
解： 1 + 4 + 9 = ( x + y + z)(1 + 4 + 9)
x yz
xyz
=14 + ( y + 4x) + (z + 9x) +(4z + 9 y) x y xz y z
1 妙用于三角函数求值与证明
“1”在三角函数求值与证明中的妙用主要是指利用 sin2 α+ cos2 α=1、 csc 2α cot2 α= 1、 sec 2α tan2 α= 1等公式进行“1”代换.
例 1 已知 tanα= 3 ，求 sinαcosα的值. 分析：解题的基本方法是化弦为切，但此处化弦为切并不容易，原因在于求解目标不是分式形式．若将 sinαcosα 看作分母为 1 的分式，而 1 = sin2 α+ cos2 α，则问题迎刃而解. 解：由 tanα= 3 得 sinαcosα= sinαcosα

例谈“1”在解高中数学题中的妙用

知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。

三角函数之间的关系公式

三角函数之间的关系公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))8. 和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tan αcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tan αcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sin αcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tan αcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tan αcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tan αsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可.(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。

必修四第一章三角函数解题技巧

必修四第一章三角函数解题技巧1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝12|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题．例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？针对练习：1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考．一、概念不清例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．二、观察代替推理例2 当α∈(0，π2)时，求证：sin α＜tan α.三、估算能力差例3 若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.23B.27πC.4－22 D ．13 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用．一、知一求二型例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、妙用“1”例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.4 单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助．一、信心体验——比较大小例1 比较cos5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．三、触类旁通——解不等式例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围．5 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．四、转化与化归思想例4 比较下列每组数的大小．(1)tan 1，tan 2，tan 3；(2)tan(－13 π4)与tan(－17 π5)．6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会．一、定义域例1 函数y ＝ cos x －12的定义域为________．二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π37 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题．一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－22，1C.⎣⎡⎦⎤－1，22D.⎣⎡⎦⎤－1，－22二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．六、研究方程的实根例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．8 三角函数学习中的“小技巧、大突破”从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．一、“已知三角函数值求角”问题在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明：例1 已知sin x ＝22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合．例2 已知sin x ＝－22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合．例3 已知sin x ＝－22且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合．例4 已知sin x ＝－22，求x 的取值集合．二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数都在区间(0，π2)内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增。

浅谈在三角函数中灵活运用‘1’解题

103教研园地JIAO YAN YUAN DI浅谈在三角函数中灵活运用‘1’解题张卫峰陕西省商丹高新学校　（陕西省商洛市　726000）三角函数是高中数学教材中的一个重点内容，也是高考数学常考的知识点，也是学习地理学，物理学中力学电磁学的基础，就像张景中院士指出:“在中学数学课程中,三角函数的内容至关重要，三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁,还是沟通初等数学与高等数学的一条通道。

”因此掌握三角函数的恒等变形方面的技巧，不仅在考试中能够为解题节省很多时间，而且对学习数学知识和其他学科知识的学习都有着重要的意义。

本篇论文只简要的从下面几个方面浅谈如何灵活巧妙利用三角函数恒等变形处理“1”并解决相关问题。

1　利用特殊角的三角函数值等于1解题在三角函数中，有一些特殊角的三角函数值等于1，例如14tan =π，，，等，下面主要以常见常考的1（）解题。

例1.分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相例2.分析：第一种思路，利用代换式子中的“1”来求解；第二种思路，先根据两角和公式求的值，然后解法=解法2：∵=311-3+例3.，联想到公式3-23-2例4.计算。

分析：当时，=βαβαtan tan tan tan 1+++==2解：原式==2..例5.分析：由诱导公式===1和两个不相关的式子，通过“1”联系起来，便可对求值迎刃而解，起到事半功陪的效果。

2　利用含有“1”的三角函数等式进行解题在三角函数中，许多等式中都含有“1”，例如，=1，等多个等式，但是就以最常考最常用的和=1为例来谈灵活处理“1”，进行解题。

1.利用进行解题.例6.求的值.分析：我们观察问题中的八个角，可以发现这些角两两互余的重并灵活运用，可将问题转化到处理，问题便可轻松解决。

解：原式====例7 计算分析：此题看似老吃天，无处下爪。

只要我们善于观察发现这一个重要特征，解决本题也就容易了，但当我们计算下去时会发现出现形式的式子，这样我们就会联想到诱导公式ααπcot )2(tan =−得到，从而就可得到，104教研园地JIAO YAN YUAN DI 此问题就变得简单易懂。

三角函数化一公式的推导

三角函数化一公式的推导这里我们将讨论三角函数化一公式的推导。

首先，我们需要了解单变量函数的定义和一般的函数形式。

单变量函数是一个变量求另一个变量的函数，它可以有不同的形式，如一次函数、多项式、双曲线、指数函数等。

一般来说，一元函数可以写成一般形式：f（x）=ax n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n，其中a n ≠ 0（n是正整数）。

接下来，我们来讨论三角函数化一公式。

三角函数化一公式主要是将一般多项式函数，如 f（x）=a x n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n，变换成三角函数的形式：f（x）=a 1a sin nx + a 2a cos nx +…，然后我们可以将这个公式简化为更容易理解的形式：f（x）=a 1a sin nx+ a 2acos nx+...。

三角函数化一公式的推导步骤如下：（1）假设f（x）=ax n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n 是一般多项式函数；（2）用下面的公式替换X：X=R cosθ 或X=R sinθ（3）求出f（x）的展开式，即：f（x）= a1a a nR ncos nθ + a2a a nR ncos nθ +…（4）利用ω = cosθ（或sinθ）的相关关系，重写f（x）的展开式，即：f（x）= a1a a nR nω n+ a2a a nR nω n-1+…（5）最后，使用下面的公式，将ω n替换成cos nθ（或sin nθ），求出最终的三角函数化一公式：f（x）=a 1a sin nx + a 2a cos nx +…以上就是三角函数化一公式的推导步骤。

三角函数化一公式可以帮助我们把一般多项式函数转换为更容易理解的形式，从而能够更方便地应用到函数分析中。

微积分万能代换公式(一)

微积分万能代换公式(一)微积分万能代换公式1. 反函数代换公式当我们遇到一个复杂的函数积分时，可以使用反函数代换来简化积分的过程。

反函数代换公式如下：如果函数u=g(x)在区间[a,b]上具有连续导数，并且g′(x)≠0，则对于f(g(x))的积分可以通过以下公式来计算：∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du例子假设要计算积分∫2x√x2+1dx，我们可以使用反函数代换来简化积分。

令u=x2+1，则du=2xdx。

将积分转化为∫√udu，这是一个更容易计算的积分。

计算∫√udu后，再将u换回x，即可得到最终的结果。

2. 三角函数代换公式当我们遇到包含三角函数的积分时，可以使用三角函数代换来简化计算。

三角函数代换公式如下：正弦代换如果积分被三角函数sin2(x)或cos2(x)所占据，我们可以使用正弦代换来简化积分计算。

令u=sin(x)或u=cos(x)，则du=cos(x)dx或du=−sin(x)dx。

通过将积分转化为含有u的形式，可以更容易地计算出结果。

例子假设要计算积分∫sin2(x)cos(x)dx，我们可以使用正弦代换来简化计算。

令u=sin(x)，则du=cos(x)dx。

将积分转化为∫u2du，这是一个更容易计算的积分。

计算∫u2du后，再将u换回sin(x)，即可得到最终的结果。

3. 指数函数代换公式当我们遇到含有指数函数的积分时，可以使用指数函数代换来简化计算。

指数函数代换公式如下：自然指数代换如果积分中含有形如e x的指数函数，我们可以使用自然指数代换来简化计算。

令u=e x，则du=e x dx。