一元二次方程公式法的推导及应用

一元二次方程公式法的推导及应用
公式法是学习了“配方法”、“直接开方法”解方程之后，必须掌握的另一种解一元二次方程的方法。

它为以后学习二次函数及解决生活中的一些实际问题起了铺路石的作用。

掌握公式法的关键是掌握公式法的推导和应用，下面举例予以说明，供同学们学习参考。

一、一元二次方程公式法的推导
在探究一元二次方程公式法的推导过程中，能让我们更进一步体会公式法、直接开平方、配方法的内在联系，领悟化归的解题思路，不断提高分析问题能力和解决问题的能力.
例1如何将)0(02
≠=++a c bx ax 转化成04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ）的形式.
分析：根据等式的性质，把)0(02≠=++a c bx ax 转化为完全平方式，再根据开平方的意义就可以转化成024(2422≥--±-=ac b a
ac b b x ）。

解：方法一：)0(02≠=++a c bx ax .
因为0≠a ,所以02=++
a
c x a b x . 移项,得a c x a b x -=+2. 配方,得222
)2()2(a b a c a b x a b x +-=++,即22244)2(a ac b a b x -=+. 因为0≠a ,所以042 a ,当042≥-ac b 时,直接开方,得
a
ac b a b x 2422-±=+. 所以a
ac b a b x 2422-±-=. 即a ac b b x 2421-+-=,a
ac b b x 2422---=. 方法二：)0(02≠=++a c bx ax .
方程两边都乘a 4,得044422=++ac abx x a .
移项,配方,得ac b b ax 4)2(22-=+.
当042≥-ac b 时, ac b b ax 422-±=+.
所以ac b b ax 422-±-=.
因为0≠a ,所以a
ac b a b x 2422-±-=. 即a ac b b x 2421-+-=,a
ac b b x 2422---=. 二、利用一元二次方程公式法成立的条件解题 在一元二次方程公式法的推导过程中，已经推理得出一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实数根完全取决于ac b 42-的符号，因此我们把“ac b 42-”叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式.巧用判别式，可以帮助我们轻松解题。

例2判断关于x 的方程012)2(2=-+-+a ax x a 的根的情况.
分析：因为此题中二次项系数是2+a ，且没有指明是二次方程，所以要分类讨论，即2+a =0，02≠+a ，再分别根据a 的值或范围讨论根的情况.
解:(1)当2+a =0,即2-=a 时,方程为034=-x ，所以4
3=x . (2)当02≠+a ，即2-≠a 时, ac b 42-=84)1)(2(4)2(2+-=-+--a a a a ，
所以当 a 2且2-≠a 时，042 ac b -，方程有两个不相等的实数根；当2=a 时，
042=-ac b ，方程有两个相等的实数根；当2 a 时，042 ac b -，方程没有实数根.
三、利用公式法解一元二次方程 公式法是用求根公式04(242≥--±-=ac b a
ac b b x ）求一元二次方程的根的方法，公式法是解一元二次方程最常用、最一般的方法，如何解一个一元二次方程，只要求出ac b 42-的值，就可以用公式法来解.
例3应用公式法解下列方程
（1）20682=++x x ； （2）05.022=+-x x ；（3）6)31)(2(=--x x . 分析：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，并写出 c b a 、、 的值；（2）求出ac b 42-的值；（3）代入求根公式 ；（4）写出方
程的解1x ，2x . 在计算ac b 42-的值时，会出现三种情况：①042 ac b -，方程有两个不相等的实数根；②042 ac b -，方程没有实数根；③042=-ac b ，方程有两个相等的实数根，在写方程的解时，应写成“1x =2x =a b 2-
”，不能只写成“x =a
b 2-”，这种写法就漏掉了方程的一个根. 解：（1）2=a ，8=b ，6=
c ，16624)8(422=⨯⨯-=-ac b ， 所以a ac b b x 24-±-=2
2168⨯±-==-2±1. 所以1x =-3，2x =-1. （2）1=a ，2-=b ，=c 0.5，05.014)2(422=⨯⨯--=-ac b ， 所以a ac b b x 24-±-=22122=⨯=. 所以1x =2x =2
2. （3）去括号，得66322=+--x x x .将方程化为一般形式，得08732=+-x x .3=a ，7-=b ，8=c ，047834)7(422 -=⨯⨯--=-ac b ，所以原方程无解.
四、用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用
一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出等量关系，分析题中的数量及其关系； （审）
（2）用字母表示问题里的未知数；（设）
（3）根据等量关系列出方程；（列）
（4）解方程，求出未知数的值；（解）
（5）检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案. （检）
例4李大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米立方的无盖长方形运输箱，且此长方形运输箱底面的长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问李大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？
分析：依据题意可列长方体的体积=长⨯宽⨯高，于是设长方体运输箱底面的宽为xm ，则长为m x )2(+.
解：设无盖长方体箱子的宽为xm ，则长为m x )2(+； 依据题意列方程，得 151)2(=∙+x x ，整理得01522=-+x x ，解得1x =3，2x =-5(舍去). 当=x 3时，铁皮的宽为（2+x ）=5)(m ，长为（4+x ）=7)(m .
购置这张铁皮花的钱2075⨯⨯=700元.
答：李大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱.。