幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂、幂的乘方、积的乘方知识点及习题
幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：〔1〕同底数幂的乘法中，首先要找出一样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.〔2〕 在进展同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为一样的底数，再按法那么进展计算.例1： 计算列以下各题 〔1〕 34a a ⋅； 〔2〕 23b b b ⋅⋅ ； 〔3〕 ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 以下计算正确的选项是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 以下计算错误的选项是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 以下四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 以下各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的选项是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
2、 b 2·b ·b 7=________。
3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。
5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。
六升七暑假(4、同底数幂的乘,幂的乘方,积的乘方)
辅导讲义）同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂，如【注意】底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．②不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）． ③此性质可以逆用：()()nmmnm n a a a ==．如：()()533155222==知识点4.积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方.如()3ab 、()2nab 等. 知识点5.积的乘方的法则积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.【注意】①公式中的n 可以是正整数，也可以是代表正整数的式子. a 与b 可以是数字，也可以是单项式或多项式.如()()()111,22mm mm m mab a b a b a b +++=+=+⎡⎤⎣⎦②注意积的乘方法则的结构：左边是幂的形式，而幂的底数是两个因数的积；右边是积，而积的因式时2个幂.③积中的每一个因数都应该乘方，不能遗漏.④注意法则的准确应用，不能随便模仿.如，()222ab a b =是正确的，但()222a b a b +=+是错误的.⑤此性质可以逆用，即()nn na b ab =，在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，在去求积的同次幂.有时候性质的逆向适用，会使一些数的计算简化.如，2006200620061122122⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭知识点6.关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下【典型例题讲解】x x = 23111010⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎭⎝⎭()n m n -=； B. ()n m n ⎤-=⎥⎦；)()23298mn m n -=-； D. ()3299mn m n -=.-；+；a a ax x x-.++；（x x xa a a a a)()()--；)()()a a--；x x)()b a-；a b-；()()++；n m m n2b a-；()()()()m n m n --； )()()()a b b a a b ----.。
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
同底数幂的乘法： 1、表示的意义是a5‗‗‗‗‗‗ ;a n的意义是n 个a ‗‗‗‗‗‗，我们把这种运算叫做‗‗‗‗‗‗,乘方的结果叫‗‗‗‗，a 叫做‗‗‗‗‗‗‗‗，n 是‗‗‗‗‗‗‗.)(2a -底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；a2底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(3y x -底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(y x n-底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗.2、根据乘方的意义可知：1010315⨯=(10×…×10)×（10×10×10）=10×10×…×10=10 一般的，对于任意底数a 与任意正整数m ，n,.)()(nm +=⋅⋯⋅⋅=⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a anm因此，我们有.(都是正整数），n m aa anm nm+=⋅即同底数幂相乘，底数‗‗‗‗‗，指数‗‗‗‗‗. 3、计算=⋅22n m‗‗‗‗‗‗‗；=⋅-22510‗‗‗‗‗‗；=⋅⋅x x x nm ‗‗‗‗‗‗；=⨯⨯-）（）（2-2-)2(34‗‗‗‗‗；=⋅-xx n n223‗‗‗‗‗‗‗；)(2)(y x y x -⋅--=‗‗‗‗‗‗同底数相乘，底数不变，指数相加，当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则也适用. 同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式.在幂的运算中，经常用到以下变形：⎪⎩⎪⎨⎧=--为奇数）为偶数）n a a a nn n(n ()( ⎪⎩⎪⎨⎧=----为奇数）为偶数）n n a b a b b a nnn (()()()( 4、计算：（1）=⋅⋅----)()()(32x y x y y x ‗‗‗‗‗‗‗‗；（2）===+333ba 8,6，则ba（3）===+aa annm ,7,6则吗‗‗‗‗‗‗‗‗；（4）若==+2233x x 则‗‗‗‗‗‗‗‗；（5）若==+aa m m13，则‗‗‗‗‗‗‗‗；5、已知xn 1-（ ）=xmn +，则在括号内应填上（ ）.A 、xmB 、xm 1-C 、xm 1+ D 、xm 2+6、若的值是则a a a nnm m,15,3==+（ ）.A 、2 B 、3 C 、4 D 、57、若等于则x x ,3222=+（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、若,2738112+=⨯x 则x 2的值是（ ）A 、4 B 、7 C 、9 D 、19、若b b ba aan n n m 8225121,=⋅=⋅+-+，则m+n 的值是‗‗‗‗‗‗‗.10、计算下列各题。
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
初一数学-第三十五讲 幂的乘方与积的乘方
第三十五讲 幂的乘方与积的乘方【知识要点】一、幂的乘方：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，()m n mn a a=（m 、n 都是正整数） ②公式逆用：()()mn m n n m a a a ==③多重乘方：()(p n m mnp a a m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦、n 、p 都是正整数） 二、积的乘方：①积的乘方法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积，()m m m ab a b =⋅（m 为正整数） ②三个或三个以上的数的积的乘方也具有这一性质，()n n n n abc a b c = ③积的乘方法则也可以逆用.即(),()m m m n n n n ab ab a bc abc ⋅==三、注意： ①幂的乘方要和同底数幂的乘法区别开来；②积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘.【经典例题】【例1】计算.①5324)()(x x x -⋅-⋅ ②m m m x x x 5233)()(⋅⋅+ ③3342])([b a a -⋅-④2333)105.2()104.0(⨯⨯⨯ ⑤24232)3(3)2(a a a -⋅-【例2】已知：625255=⋅x x ，求x 的值.【例3】若63=a ，5027=b ，求a b +33的值.【例4】已知192221232=-++a a ，求a 的值.【例5】比较5553，4444，3335的大小.【初试锋芒】1.计算：①432)3(b a --= ； ②3243)()(a a -⋅-= ； ③=⨯-20152014)522()125( ； ④323)21(bc a -= ； ⑤2009200822-= ； ⑥()n m a a ⋅3=2.若5,2n n a b ==则32()n a b = ； n 为奇数，则22()()n n a a -+-= .3.下列运算正确的是（ ）4.计算32)2(xy --，结果正确的是（ ） A. 5361y x B. 6381y x - C. 6361y x - D. 5381y x - 5.下列计算：（1）22)(m m a a-=；（2）m m a a )(22-=；（3）743222)()(b a b a ab =-⋅-；（4）212218)3()2(++=-⋅n n n n b ab a ab ；（5）52236)3(b a ab =中正确的个数为（ ）6.已知m x =10，n y =10，则m y x =+3210等于（ ） A. n m 32+ B. 22n m + C. mn 6 D. 32n m7.下列四个式子中结果为1210的有（ ）①661010+； ②21010)52(⨯； ③6510)1052(⨯⨯⨯； ④43)10( A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④8.如果正方体的棱长是3)2-1(b ，那么这个正方体的体积是（ ）A. 6)2-1(bB. 9)2-1(bC. 12)2-1(bD. 6)2-1(6b9.n m 279⋅等于（ ）A. n m +9B. n m +27C. n m 323+D. n m 933+ 10.已知3181=a ，4127=b ，519=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）【大展身手】1.计算：①201410078)125.0(⨯- ②b a ab b a a ⋅-⋅-+⋅-⋅-32332)()3()2()()(2.①若62=m ，34=n ，求3222++n m 的值.②3,4m na a ==求32m n a +的值为多少？3.已知17232793=⨯⨯m m ,求m 的值．4．若0542=-+y x ，求y x 164⋅的值．【挑战脑细胞】1.设112233445,4,3,2====D C B A ，则A 、B 、C 、D 从小到大的排列顺序是怎样的？2.已知：m n +3能被13整除，求证：m n ++33也能被13整除.。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．
随堂练习
0.2520×240-32003·( )2002＋
类型四积的乘方在生活中的应用
例1地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝ πr3。地球的半径约为 千米，它的体积大约是多少立方千米？
知识点一
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘
am·an=(m、n都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，用公式表示为
am·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）
知识点精讲
1．同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．
2．解题时要注意a的指数是1．
3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．
4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．
5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
4、拓展：
（1）已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值．
（2）已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值
（3）若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．
知识点四
同底数幂相除， 底数，指数．
即：am÷an=（ ，m，n都是正整数，并且m>n）
规定：a0=1（a≠0）即：任何非0的数的0次幂都等于1
典型例题讲解
例一、填一填
⒈ =；
⒉ =；
⒊ ；
第3讲：同底数幂的乘法及幂的乘积与积的乘方-教案
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【总结与反思】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．
阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 记为an，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
A．6 B．8 C．9 D．12
【解析】因为 ，所以 ，故选B.
【总结与反思】幂的乘方法则的逆运算.
若x3=﹣8a9b6，则x=．
【解析】∵x3=﹣8a9b6，
∴x3=（﹣2a3b2）3，
∴x=﹣2a3b2．
故答案为：=﹣2a3b2．
【总结与反思】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
已知ax=2，ay=3，求ax+2y=．
【解析】∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【总结与反思】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（1）讨论归纳结果；（2）得出法则.
同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方运算法则
底数不变，指数相乘。
即
a的m次幂的n次幂=a的(m?n)次幂(n、m为正整数)
积的乘方运算法则
把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即
a、b乘积的n次方=a的n次方乘b的n次方(n为正整数)
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方法则：幂的乘方是幂的一种运算积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方最终转化为指数的乘法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
幂的乘方是类比数的乘方，并借助于同底数幂的乘法性质来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出幂的乘方的性质，进而通过推理加以论证，这一过程蕴含着转化及由特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方的运算法则：幂的乘方，低数不变，指数相加。
积的乘方的运算法则：是指底数是乘积形式的乘方。
同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。
=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。
幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
上节课未掌握或需加强知识
教
学
过
程
﹃
讲
义
部
分
﹄
知识要点
1.同底数幂的乘法法则：
.ห้องสมุดไป่ตู้底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：①底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。
②逆用
2.幂的乘方法则： （m，n都是正整数）。即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用：
3.积的乘方法则： （n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
逆用：
4.
例题讲解
1. =, =，32m·3m=，23·(－2)4=，x·(－x)4·x7=，
1 000×10m-3=，
， =__ ____， =___________.
2.(－ x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.
3.若 成立，则m=,n=.
4. ①若 ,则m=_____;②若 ,则a=____;③若 ,则y=___ _;
④若 ,则x=_____;⑤若644×83＝2x，则x＝_________.
5. ①若x2n＝4，则x6n＝________;②a12＝(_________)6＝(________)3;
③若 ,则x=________;④若xn=2，yn=3，则(xy)3n=_______;
⑤若xn-3·xn+3=x10，则n=_________.
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数。
课堂练习
错题回顾
学生课堂评价：优□良□中□差□
学生总结（课上完成）：
教师课堂反馈（课上完成）：
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问题
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问
题
背景
在数学中，幂是一种常见的运算方式。
幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中的相关问题。
本文将探讨这些问题的定义、性质和解决方法。
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法是指将底数相同的幂进行相乘的运算。
如果我们有两个同底数幂，即a^m和a^n，那么它们的乘积可以表示为
a^(m+n)。
简单说，就是将它们的指数相加，而底数不变。
例如，我们有2^3和2^4，它们的底数都是2。
根据同底数幂的乘法规则，它们的乘积为2^(3+4)，即2^7。
幂的乘方
幂的乘方是指将幂的结果再次进行幂运算的操作。
如果我们有
一个幂a^m，再对其进行幂运算，即(a^m)^n，那么它可以简化为
a^(m*n)。
换句话说，就是将它们的指数相乘。
举个例子，我们有2^3，如果我们对其进行幂的乘方，即
(2^3)^2，根据幂的乘方规则，它可以简化为2^(3*2)，即2^6。
积的乘方
积的乘方是指求积的幂的运算。
如果我们有一个积a*b，对其
进行乘方运算，即(a*b)^n，那么它可以展开为a^n * b^n。
简单说，就是将积的每个因子都进行乘方。
举个例子，我们有积2*3，我们对其进行乘方运算，即(2*3)^3，根据积的乘方规则，它可以展开为2^3 * 3^3。
结论
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中常见的问题。
通过了解它们的定义和规则，我们可以更好地进行幂运算的简化和
求解。
使用这些规则，我们可以轻松计算出任何同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的结果。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例１计算
⑴(5４)３⑵－(a2)３⑶⑷［(a+b)2］４
随堂练习
(1)(ａ4)3+ｍ; (2)[(－)3］2;⑶[－(ａ+b)4］3
类型二幂得乘方公式得逆用
例1已知ａｘ＝2,ａy=3,求a2x＋y;ax+3y
随堂练习
(１)已知ax=２,ay＝3,求ax＋3y
(2)如果,求x得值
随堂练习
3。积得乘方得推广(abc)ｎ=(n就是正整数).
例题精讲
类型一积得乘方得计算
例１计算
(1)(2b２)５;(2)(-4xｙ２)２(3)-(-ab)2(4)［－2(a—b)3]5.
随堂练习
(１)(2)(3)(-xy2)2(4)［－3(n－m)2］3、
类型二幂得乘方、积得乘方、同底数幂相乘、整式得加减混合运算
(2)[—(－x)5］2·(—x2)3=____＿_＿_;(ｘm)３·(—x3)2=＿______＿。
(３)(—ａ)３·(ａn)５·(ａ1—n)5=_＿___＿__;-(ｘ－y)2·(y—x)３＝_＿＿_____.
(4)x12=(x3)(__＿____)=(x６)(____＿＿_)、
(5)x2ｍ(ｍ+1)＝()m+１。若x2m=3,则ｘ6m＝____＿___、
２、解题时要注意ａ得指数就是１.
3、解题时,就是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂得乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
４、-a2得底数a,不就是—ａ.计算—a2·ａ2得结果就是—(a２·a2)＝—a４,而不就是(—a)2+2=a4。
5.若底数就是多项式时,要把底数瞧成一个整体进行计算
2、若(x２)n=x8,则m=_＿＿＿________＿。
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方(解析版)
第1讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【知识点拨】考点1：同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.考点2：幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 考点3：积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点4：注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【考点精讲】考点1：同底数幂的乘法【例1】（2021秋•西湖区校级月考）下列四个算式：①a6•a6＝a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①a6•a6＝a6，底数不变指数相加，故①错误；②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；③x2•x•x8＝x11，底数不变指数相加，故③错误；④y2+y2＝y4，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故④错误；故选：A．【例2】（2021春•青羊区期末）已知a m＝4，a n＝5，则a m+n的值是20．【解答】解：a m+n＝a m•a n＝4×5＝20，故答案为：20．【变式训练1】（2021秋•邓州市期中）若a x＝3，a y＝2，则a2x+y等于（）A．6 B．7 C．8 D．18【解答】解：∵a x＝3，a y＝2，∴a2x+y＝（a x）2×a y＝32×2＝18．故选：D．【变式训练2】（2021秋•松江区校级月考）已知10a＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式10α+β+γ．【解答】解：105＝3×5×7，而3＝10a，5＝10β，7＝10γ，∴105＝10γ•10β•10α＝10α+β+γ；故应填10α+β+γ．【变式训练3】（2021春•建平县期末）若23n+1•22n﹣1＝，则n＝﹣1．【解答】解：23n+1•22n﹣1＝，25n＝2﹣5，则5n＝﹣5，故n＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练4】（2021秋•浦东新区月考）已知x a+b•x2b﹣a＝x9，求（﹣3）b+（﹣3）3．【解答】解：∵x a+b•x2b﹣a＝x9，∴a+b+2b﹣a＝9，解得：b＝3，（﹣3）b+（﹣3）3＝（﹣3）3+（﹣3）3＝﹣27﹣27＝﹣54．【变式训练5】已知a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），求m的值7．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1＝a25（a≠1，a≠0），∴a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．【变式训练6】（2021秋•南安市期中）已知两个单项式a m+2n b与﹣2a4b k是同类项，求2m•4n•8k的值．【解答】解：∵由已知可得：，∴2m•4n•8k＝2m•22n•8k＝2m+2n•8k＝24×8＝128．【变式训练7】（2021春•丹阳市校级月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m ＝n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x＝27；②2x+2+2x+1＝24．【解答】解：①原方程可化为，2×23x＝27，∴23x+1＝27，3x+1＝7，解得x＝2；②原方程可化为，2×2x+1+2x+1＝24，∴2x+1（2+1）＝24，∴2x+1＝8，∴x+1＝3，解得x＝2．考点2：幂的乘方与积的乘方【例1】（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【例2】（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．【变式训练1】（2021秋•原州区期末）若x m＝3，x n＝2，则x2m+3n＝72•【解答】解：∵x m＝3，x n＝2，∴x2m+3n＝（x m）2×（x n）3＝32×23＝72．故答案为：72．【变式训练2】（2021春•东台市期中）314×（﹣）7＝﹣1．【解答】解：314×（﹣）7＝（32）7×（﹣）7＝（﹣×9）7＝（﹣1）7＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式训练3】（2021春•邗江区期中）x3•（x n）5＝x13，则n＝2．【解答】解：∵x3•（x n）5＝x13，∴3+5n＝13，解得：n＝2．故答案为：2．【变式训练4】（2021秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．【解答】解：∵3555＝35×111＝（35）111＝243111，4444＝44×111＝（44）111＝256111，5333＝53×111＝（53）111＝125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333．【变式训练5】（2021春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【变式训练6】（2021秋•静安区月考）35×84×．【解答】解：原式＝﹣35×212×＝﹣．【课后巩固】一．选择题1．（2021春•锦江区期末）如果x m＝2，x n＝，那么x m+n的值为（）A．2 B．8 C．D．2【解答】解：如果x m＝2，x n＝，那么x m+n＝x m×x n＝2×＝．故选：C．2．（2021•成都模拟）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．3．（2021春•西湖区校级月考）已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；②当2x•2y＝16时，a＝18；③当不存在一个实数a，使得x＝y．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：已知关于与x，y的方程组，则下列结论中正确的是（①②③）①当x，y的值互为相反数时，a＝20；解得：∵x，y的值互为相反数，∴x+y＝0∴25﹣a+15﹣a＝0解得：a＝20故①正确；②当2x•2y＝16时，a＝18；∵2x•2y＝2 x+y＝24∴x+y＝25﹣a+15﹣a＝4解得：a＝18故②正确；③当不存在一个实数a，使得x＝y．若x＝y，得25﹣a＝15﹣a此方程无解．∴不存在一个实数a，使得x＝y．故③正确．故选：D．4．（2021秋•海珠区校级期中）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（）A．x2与a2B．（﹣a）5与a3C．（x﹣y）2与（y﹣x）2D．﹣x2与x2【解答】解：对于A：x2的底数是x，a2的底数是a；对于B：（﹣a）5的底数是﹣a，a3的底数是a；对于C：（x﹣y）2的底数是（x﹣y），（y﹣x）2的底数是（y﹣x）；对于D：﹣x2的底数是x，x2的底数也是x．故选：D．5．（2021秋•松江区期末）下列计算正确的是（）A．（3a）2＝3a2B．（﹣2a）3＝﹣8a3C．（ab2）3＝a3b5D．（a）2＝a2【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a）2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（2021秋•松北区期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）A．3a2﹣a2＝2 B．（3a）2 ＝9a2C．（a3）4＝a7D．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：∵3a2﹣a2＝2a2，∴选项A不符合题意；∵（3a）2 ＝9a2 ，∴选项B符合题意；∵（a3）4＝a12，∴选项C不符合题意；∵a2+b2≠（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项D不符合题意．故选：B．7．（2021秋•辛集市期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．8．（2021秋•泉港区期中）若a＝（99×99×99）9，b＝999，则下列结论正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．ab＝1【解答】解：∵a＝（99×99×99）9，b＝999，两个数均大于1∴D选项：ab＝1错误；∵＝＝＝＝•∵1＜＜227＜945∴0＜•＜1∴0＜＜1∴a＜b∴选项B，C不正确．故选：A．二．填空题9．（2021秋•洮北区期末）如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝36．【解答】解：10m+n＝10m•10n＝12×3＝36．故答案为：36．10．（2021秋•岳麓区校级期中）已知a m＝3，a n＝5，则a m+n的值为15．【解答】解：∵a m×a n＝a m+n，∴a m+n＝a m×a n＝3×5＝15．故答案为：15．11．（2021春•顺德区校级期末）计算：﹣b3•b2＝﹣b5．【解答】解：原式＝﹣b3+2＝﹣b5，故答案为：﹣b512．（2021•博兴县模拟）若x m＝2，x n＝3，则x m+2n的值为18．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+2n＝x m x2n＝x m（x n）2＝2×32＝2×9＝18；故答案为：18．13．（2021秋•丛台区校级期末）用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝ 1.6×10﹣1．【解答】解：（2.5）8（0.4）10＝＝＝＝18×0.16＝1.6×10﹣1．故答案为：1.6×10﹣1．14．（2021秋•延边州期末）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝．【解答】解：由于（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，根据新规定的运算可得，3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，∴m＝32a﹣b＝＝＝，故答案为：．15．（2021秋•浦东新区校级月考）若a n＝2，a m＝5，则a m+n＝10．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝675．【解答】解：∵a n＝2，a m＝5，∴a m+n＝a m•a n＝5×2＝10；∵2m＝3，23n＝5，∴8m+2n＝（23）m+2n＝23m+6n＝23m×26n＝（2m）3×（23n）2＝33×52＝27×25＝675．故答案为：10；675．16．（2021春•薛城区期末）若3×9m＝311，则m的值为5．【解答】解：已知等式整理得：3×32m＝32m+1＝311，可得2m+1＝11，解得：m＝5，故答案为：5三．解答题17．（2021春•镇江期末）已知关于x、y的方程组．（1）求代数式2x+y的值；（2）若x＜3，y≤﹣2，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足x y＝1，则符合条件的k的值为1或3．【解答】解：（1）∵，∴①+②得：3x＝3k﹣6，∴x＝k﹣2，将x＝k﹣2代入②得：y＝﹣k﹣1，∴x+y＝k﹣2﹣k﹣1＝﹣3，∴2x+y＝2﹣3＝．（2）由（1）可知：，解得：1≤k＜5．（3）由于x＜3，y≤﹣2，x y＝1，当x＝1时，此时k＝3，y＝﹣4，满足x y＝1，当x＝﹣1时，此时k＝1，y＝﹣2，满足x y＝1，所以k＝3或1，故答案为：3或1．18．（2021秋•虹口区校级月考）我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；（2）a3•a4═a7；（3）计算：a m•a n；（4）若x m＝4，x n＝5，则求x m+n的值．【解答】解：（1）（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；故答案为：5；（2）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝a7；故答案为：7；（3）a m•a n＝a m+n；（4）x m+n＝x m•x n＝4×5＝20．19．（2021春•张家港市校级月考）若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．【解答】解：（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）＝a m+1×a2n﹣1×b n+2×b2n＝a m+1+2n﹣1×b n+2+2n＝a m+2n b3n+2＝a5b3．∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，m+n＝．20．（2021秋•涧西区校级期中）已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．【解答】解：∵27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，∴（33）b＝32×3a+3，24＝22×22b﹣2，∴33b＝3a+5，24＝22b，∴，解得，，∴a+b＝1+2＝3．21．（2021秋•东莞市校级期中）①若a m＝2，a n＝3，求a2m+n的值．②已知x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【解答】解：①∵a m＝2，a n＝3，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝22×3＝4×3＝12；②∵x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．22．（2021秋•大石桥市期中）完成下列各题．（1）已知（9a）2＝38，求a的值；（2）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+n的值为多少．【解答】解：（1）∵（9a）2＝38，∴（32a）2＝38，∴4a＝8，a＝2；（2）∵a m＝3，a n＝4，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝32•4＝36．23．（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，24．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知x2n＝4，求（x3n）2﹣x n的值．（其中x为正数，n为正整数）【解答】解：∵x2n＝4，x为正数，n为正整数，∴x n＝2，∴（x3n）2﹣x n＝（x n）6﹣x n＝26﹣2＝62．25．（2021春•泉山区校级期中）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，∴1+7x＝22，∴x＝3；②∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2．26．（2021春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝2，（5，1）＝0，（3，）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），（3）小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；故答案为2，0，﹣2；（3）①（8，1000）﹣（32，100000）＝（23，103）﹣（25，105）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，∴（3，20）﹣（3，4）＝x+y﹣x＝y＝（3，5），即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）27．（2021春•相城区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0（2，0.25）＝﹣2；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．28．（2021春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝2；log216＝4；log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵＝m，＝n，＝m+n，∴+＝，∴+＝log a MN．。
幂的运算 整式的乘法
幂的运算整式的乘法1、幂的运算（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即： a m·a n=a m＋n（ m 、 n 都是正整数）（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘即： (a m)n=a mn（ m 、 n 都是正整数）（3）积的乘方：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即： (ab)n=a n b n（4）同底数幂的除法：同底数幂相除、底数不变、指数相减。
即： a m÷a n=a m-n（a≠0 ， m 、 n 都是正整数且 m>n）2、整式的乘法（1）单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)=am＋bm＋an＋bn3、幂的运算法则的逆向应用（m,n为正整数）a m＋n=a m·a na mn=(a m)na nb n=(ab)n例1、以下计算是否准确，错的请指出错因，并加以改正．（1）x5·x5=2x5(2)x3·x3=x9(3)(-2a3)2=－2a6(4)(a n+1)3=a3n+1例2、（1）比较：355，444，533；（2）已知a m=2，a n=3，求a3m＋2n的值；（3）已知2a=3，2b=6，2c=12，求a、b、c之间的关系.例3、计算：（4）(x m＋1x2n)3÷x m+n（5）(a＋b)5÷(－a－b)3·(－a－b)2例4、已知求代数式例6、计算：（1）(－3ab)(2a2b＋ab－1)(2)a n b2[3b n－1－2ab n＋1＋(－1)2005]例7、计算：（1）(a－2b)(5a＋3b)（2）(x＋y)(x2－xy＋y2)（3）（3x＋1）(x＋1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x) 例8、若(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的乘积中不含x2和x3项，求p、q的值. 12、解方程（1）2x(5－4x)＋5x(7－2x)=9x(8－2x)－108（2）(x－2)(x－3)＋2(x＋6)(x－5)=3(x2－7x＋15) 11、计算（1） (－x)2·x3·(－2y)3－(－2xy)2·(2x)3·y （2） [(－x2y)3]3·(－x3y3)2·(－xy2)5（3）（4） (x m＋2·x n)3÷x2m＋n。
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 一，基础知识
1. 同底数幂的意义 几个相同因式a相乘，即
，记作
，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。 同底数幂是指底数相同的幂，如：
5. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如 等。 （积的乘方的意义）
（乘法交换律，结合律）
6. 积的乘方的性质 （n为正整数）
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘。
此性质可以逆用：
二 ，知识总结： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：Ⅰ.在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数 式. Ⅱ.此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为 同底数，才可用公式.
7.
，当
时，m等于（ ）
A. 29
B. 3
C. 2
D. 5
8. 若
，则
D. n是负数
等于（ ） A. 12
二. 填空题。 1.
B. 16
C. 18
（） 2.
3.
（） 4.
（） 5.
（） 6. 若
，（n，y是正整数），则
（） 7.
（ ），
（） 8. 若
，则
（） 9. 一个正方体的边长是
，则它的表面积是（ ） 三. 计算： （1）
（2）
D. 216
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
初中数学幂的运算规则教案
初中数学幂的运算规则教案教学目标：1. 理解幂的运算规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法。
2. 能够运用幂的运算规则进行相关的计算和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握幂的运算规则。
2. 能够正确进行幂的运算。
教学难点：1. 幂的运算规则的理解和运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入幂的概念，复习已学过的幂的定义和基本性质。
2. 提问：同学们，我们已经学习了幂的概念，那么你们知道幂的运算规则吗？二、新课讲解（20分钟）1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
示例：\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
示例：\((a^m)^n = a^{mn}\)3. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
示例：\((ab)^n = a^n \times b^n\)4. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
示例：\(a^m / a^n = a^{m-n}\)三、例题讲解（15分钟）1. 举例讲解同底数幂的乘法法则的应用。
2. 举例讲解幂的乘方法则的应用。
3. 举例讲解积的乘方法则的应用。
4. 举例讲解同底数幂的除法法则的应用。
四、练习与巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固幂的运算规则。
2. 老师选取一些练习题进行讲解和解析。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结幂的运算规则，让学生清晰地掌握每个运算规则的要点。
2. 让学生反思自己在学习过程中遇到的困难和问题，并进行解答。
教学延伸：1. 进一步学习幂的更高级运算规则，如幂的乘方与除方的运算法则。
2. 运用幂的运算规则解决实际问题，如代数方程的求解等。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了幂的运算规则。
《幂的乘方和积的乘方》整式的乘除
《幂的乘方和积的乘方》整式的乘除汇报人：日期:contents •幂的乘方•积的乘方•整式的乘法•整式的除法•整式的混合运算•整式乘除的应用目录01幂的乘方定义性质定义与性质幂的运算规则幂的实例$(2^3)^2=2^6=64$$(3\times4)^3=3^3\times4^3=27\times64=1728$$2^3\times3^2=8\times9=72$02积的乘方定义性质定义与性质运算法则积的乘方运算规则是先分别计算出每个因式的幂，再将所得的幂相乘。
特殊情况当幂的底数为0时，积的乘方的结果为1，即 $ (0^n) = 1 $。
积的运算规则积的实例例子若要求$(2x^2y^3)^3$的值，首先将每个因式分别乘方，即$2^3, x^{2\times3}, y^{3\times3}$，再将所得的幂相乘，即$2^3 \times x^{2\times3} \times y^{3\times3}$。
结果$(2x^2y^3)^3 = 8x^6y^9$。
03整式的乘法定义与性质定义性质整式的乘法规则交换律三个或更多个整式相乘，可以任意组合，例如$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$。
结合律分配律例子2$5x \times 3x^{2} = 15x^{3}$。
这里运用了单项式与单项式的乘法规则。
例子1$(x + 2) \times (x + 3) = x^{2} + 5x + 6$。
这里运用了分配律来展开。
例子3$(2x^{2} + x) \times (x - 4) = 2x^{3} - 8x^{2} + x^{2} - 4x = 2x^{3} - 7x^{2} - 4x$。
这里运用了多项式与多项式的乘法规则。
整式的乘法实例04整式的除法定义整式的除法是单项式除以单项式，其结果仍为单项式。
要点一要点二性质整式的除法具有与加法、减法和乘法相同的交换律、结合律和分配律。
专题06 幂的乘方与积的乘方(知识点串讲)(解析版)
专题06 幂的乘方与积的乘方知识网络重难突破知识点一 幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ， 注意：①a 可以表示数，也可以表示单项式或多项式；②多重乘方也具备上述性质：()()pnpm m nmnp a a a ⋅⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）③不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．2、幂的乘方法则的逆用()()=nmmn mna a a =（m ，n 都是正整数）．即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算． 典例1（2021•鼓楼区校级模拟）计算223()a a -⋅的结果是( )()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个A ．8aB ．8a -C ．7aD ．7a -【解答】解：223268()a a a a a -⋅=-⋅=-． 故选：B ． 典例2（2021春•邗江区月考）下列计算正确的是( ) A ．2323a a a +=B ．224a a a +=C ．326a a a ⋅=D ．326()a a =【解答】解：A 、a 与22a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B 、2222a a a +=，故本选项不合题意；C 、325a a a ⋅=，故本选项不合题意；D 、326()a a =，故本选项符合题意．故选：D ． 典例3（2021春•邗江区月考）已知552a =，443b =，335c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：因为55511112(2)32a ==，44411113(3)81b ===，33311115(5)125c ===， 554433235∴<<，即a b c <<． 故选：D ．知识点二 积的乘方1、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ， 注意：①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如()nn n n abc a b c =②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如()323622ab a b -≠-()()()()n abn n an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个③表达式中的a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； ④底数的系数是-1时，首先应确定结果的符号，一般有：()222nn n ab a b -=，()2+12121n n n ab a b ++-=-（n 为正整数）2、积的乘方法则逆用()=nn n a b ab （n 为正整数）即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方．典例1（2020春•盐城月考）下列计算正确的是( ) A ．22a a -=B ．224a a a +=C ．222()ab a b =D ．235()a a =【解答】解：A 、2a a a -=，故原题计算错误；B 、2222a a a +=，故原题计算错误；C 、222()ab a b =，故原题计算正确；D 、236()a a =，故原题计算错误；故选：C ．典例2（2020秋•澄海区期末）计算：20202020(0.25)4(⨯= ) A ．0.25B ．4C ．1D ．2020【解答】解：202020202020(0.25)4(0.254)⨯=⨯ 20201=1=．故选：C ．典例3（2019春•丹阳市期中）已知10x a =，5x b =，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） 【解答】解：（1）50105x x x ab =⨯=；（2）10102()55x xx x a b ===；（3）2101020(10)1055x x x xx a b=⨯=⨯=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•盐城模拟）计算23()xy -的结果是( ) A ．36x y -B ．36x yC ．35x y -D ．35x y【解答】解：2336()xy x y -=-． 故选：A ．2．（2020•北京模拟）下列运算中，正确的是( ) A ．22456x x x +=B ．326x x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =【解答】解：A 、22256x x x +=，错误；B 、325x x x =，错误；C 、236()x x =，正确；D 、333()xy x y =，错误；故选：C ．3．（2020春•锡山区期中）下列计算正确的是( )A ．6612a a a +=B ．22144m m -=C ．778222+=D ．3339(3)9xy x y =【解答】解：A 、原式62a =，错误；B 、原式2244m m -==，错误； C 、原式78222=⨯=，正确；D 、原式3927x y =，错误，故选：C ．4．（2020•玄武区二模）计算323()a a -结果是( ) A ．8a -B ．9aC ．9a -D ．8a【解答】解：原式332639()a a a a ⨯+=-=-=-． 故选：C ．5．（2020春•淮阴区期中）比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<<B ．334455432<<C ．553344243<<D ．443355342<<【解答】解：55511112(2)32==，44411113(3)81==， 33311114(4)64==，326481<<，553344243∴<<．故选：C ．6．（2020春•张家港市校级月考）已知2n a =，3n b =，24n c =，那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是( )A ．c ab =B ．3c ab =C ．3c a b =D ．2c a b =【解答】解：2n a =，3n b =，24n c =，333324(83)(23)(2)3(2)3n n n n n n n c a b ∴==⨯=⨯===，即3c a b =． 故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2020春•江都区月考）计算：42()()p p -⋅-= ． 【解答】解：42426()()()p p p p p -⋅-=⋅-=-． 故答案为：6p -．8．（2020春•灌云县校级月考）2020201912()2⨯= ．【解答】解：2020201912()2⨯2019201912()22=⨯⨯20191(2)22=⨯⨯201912=⨯12=⨯ 2=．故答案为：2．9．（2020春•天宁区期中）计算：23x x ⋅= ；231()2a b -= ．【解答】解：23235x x x x +⋅==； 23323363111()()()228a b a b a b -=-⋅⋅=-． 故答案为：5x ；6318a b -．10．（2020春•南京期末）已知23a =，45b =，则22a b +的值是 ． 【解答】解：23a =，45b =， 22222243515a b a b a b +∴===⨯=．故答案为：15．11．（2020春•姜堰区期末）已知92781m n ⨯=，则646m n --的值为 ． 【解答】解：92781m n ⨯=， 234333m n ∴=，234m n ∴+=， 646m n ∴--62(23)m n =-+624=-⨯68=-2=-．故答案为：2-．三、解答题（共2小题）12．（2021春•东台市月考）计算： （1）32()x x x ⋅⋅-；（2）323()a a ⋅-；（3）20111()2021()32----÷；（4）2018201931()(1)43-⨯．【解答】解：（1）32()x x x ⋅⋅- 32x x x =⋅⋅ 312x ++= 6x =；（2）323()a a ⋅-36()a a =⋅-9a =-；（3）20111()2021()32----÷912=-÷192=- 172=；（4）2018201931()(1)43-⨯2018344()()433=-⨯⨯20184(1)()3=-⨯41()3=⨯43=． 13．（2021春•宝应县月考）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ． 【解答】解：（1）32232x ⋅=， 3522x +∴=，35x ∴+=， 2x ∴=；（2）528162x x ÷⋅=， 3452222x x ∴÷⋅=， 134522x x -+∴=，15x ∴+=，4x ∴=；（3）52m x =-，52m x ∴=+，325m y =-， 23(5)m y ∴=-， 23(2)y x ∴=-+．。
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4.
例题讲解
1. =, =，32m·3m=，23·(－2)4=，x·(－x)4·x7=，
1000×10m-3=，
， =______， =___________.
2.(－ x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.
3.若 成立，则m=,n=.
4.①若 ,则m=_____;②若 ,则a=____;③若 ,则y=____;
8.已知：S=1+2-1+2-2+2-3+…+2-2-2019，请求出S的值。
9.记M(1)=-2,M(2)=(-2)×(-2),M(3)=(-2)×(-2)×(-2),…M(n)=【[(-2)x(-2)×…x(-2)]n个-2相乘】（1）填空：M（5）+M（6）=_____;（2）求2M（2015）+M（2016）的值：（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数。
C.当n为偶数时, 和 相等D. 和 一定不相等
11.计算
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ （m是正整数）⑹－(a3-m)2
⑺(－2x5y4z)5⑻0.12516×(－8)17⑼( )199×(－2 )199
⑽0.299×5101⑾
12.（1）
（2）（-2a b） +8（a ） ·（-a） ·（-b） ；
（3） （4）
（1）根据上述规定，计算：（3，27），（4，16）；
（2）记（3，5）= ，（3，6）=b，（3，30）=c.求证：a+b=c
2.若 ，则m=n。你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）若2×2x=8，求x的值；
（2）若（9x）2=38，求x的值。
3.已知x7=2，y9=3，试比较x与y的大小。
课堂练习
错题回顾
学生课堂评价：优□良□中□差□
学生总结（课上完成）：
教师课堂反馈（课上完成）：
家庭作业：
教研组长签字：
13.（1）已知 ， ，求 、 、 的值.
（2）知10a＝5，10b＝6，求102a+3b的值.
（3）xn=5,yn=3,求(x2y)2n的值。
（4） ，求n的值。
14.已知 ， ， ，求a、b、c之间有什么样的关系？
15.已知2m+3n能被19整除，求2m+3+3n+3能否被19整除。
课后练习：
1.如果 ，那么我们规定（ ,b）=c，例如：23=8，所以（2，8）=3.
学生薄弱点，需重点讲解内容
上节课未掌握或需加强知识
教
学
过
程
﹃
讲
义
部
分
﹄
知识要点
1.同底数幂的乘法法则：
.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：①底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。
②逆用
2.幂的乘方法则： （m，n都是正整数）。即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用：
3.积的乘方法则： （n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
6.一个正方体的边长是 ，则它的表面积是_________.
7.下面计算正确的是()
A． ；B． ；C． ；D．
8.81×27可记为()A. ;B. ;C. ;D.
9.若 ,则下面多项式不成立的是()
A ;B.
C. ;D.
10.下列说法中正确的是()
A. 和 一定是互为相反数B.当n为奇数时, 和 相等
常州知典教育一对一教案
学生：年级：七学科：数学授课时间：月日授课老师：
课题
三角形内角和、多边形内角和与外角和
教学目标（通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度）
1、同底数幂的乘法法则
2、幂的乘方法则
3、积的乘方法则
本节课考点及单元测试中所占分值比例
灵活运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则
④若 ,则x=_____;⑤若644×83＝2x，则x＝_________.
5.①若x2n＝4，则x6n＝________;②a12＝(_________)6＝(________)3;
③若 ,则x=______;
⑤若xn-3·xn+3=x10，则n=_________.
4.已知：
求：(1) (2)求 （3）试说明：2b= .
5.（1）已知3×9m×27m=321，求 的值；
（2）已知 ,求m的值。
6.三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户年用电量是2.75×103度，那么三峡工程该年所发的电能可供该市居民使用多少年？
7.已知 试证明：（a-1）(d-1)=(b-1)(c-1).