结构力学第五章
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
第五章静定平面桁架(李廉锟_结构力学)全解
除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆
内力仍可首先求得。
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02:31
§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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02:31
§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
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02:31
§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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02:31
§5-1 平面桁架的计算简图
三、按几何组成分类
1. 简单桁架 （simple truss）
结构力学
2. 联合桁架 （combined truss）
3. 复杂桁架 （complicated truss）
1 F A
2 F
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02:31
§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:
受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆不受力 垂直对称轴的杆不受力 对称轴处的杆不受力
FAy FAy
FBy FBy
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02:31
§5-3 截面法
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02:31
§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学 第五章(07.8.28)
( ) θ A1
= θ B1
=−
ql 2 4 l 3EI
ql/2
q
AB
D
C
l/2
l
wA1
=
−θ B1
⋅ ⎜⎛ ⎝
l ⎟⎞ 2⎠
=
ql 4 24EI
( ) wD1
=−
ql 2 4 l 2 16EI
ql2/4 （1）
AB
D
C
θ A2
= θB2
=
ql 3 24EI
wA2
=
−θ B2
⋅ ⎜⎛ l ⎟⎞ ⎝2⎠
− (qa 2)(3a)3
3EI
= 135qa 4 24EI
将 AC 段刚化，梁的挠曲线如图（2）所示，此时 C 点挠度为零。
故 wC
=
wC1
= 135qa 4 24EI
作梁的弯矩图如图所示，由弯矩图的正负可确定挠曲线的大致形状。
q
（a） A 3a
qa
C
BD
2a a
qa/2
（1）
C
A
（2）
C
3qa2
EIw2
=
qx24 24
−
3qa 24
x23
−
9qa 24
( x2
−
2a)3
+
C2 x
+
D2
(2a ≤ x1 ≤ 3a)
边界条件和两段之间的连续性条件为：
w1 x1=0 = 0;
w1 x1=2a = w2 x2 =2a = 0;
θ = θ 1 x1=2a
2 x2 =2a
由第一个边界条件可得： D1 = 0
θB = 0
结构力学第五版李廉锟第五章.
1、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等）。 2、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。 3、取桁架计算简图时采用的假定： （1）各杆两端用理想铰联结； （2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”； 因理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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14:26
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
结构力学第五章影响线
确定连续梁的截面尺
确定连续梁的应变分 布
寸 确定连续梁的边界条
件 确定连续梁的位移分
确定连续梁的应力影 响线
布
影响线的应用
第五章
确定最不利荷载位置
影响线：表示结 构在某种荷载作 用下的位移、应 力、应变等物理
量的变化规律
确定最不利荷载 位置：通过影响 线分析找出结构 在特定荷载作用 下的位移、应力、 应变等物理量最 大或最小的位置
影响线的绘制
第六章
利用uCD软件绘制影响线
打开uCD软件新建或打开已有图纸
选择“绘图”工具栏选择“直线”工具
在图纸上绘制影响线注意保持线条的连续性和准确性
使用“标注”工具对影响线进行标注包括长度、角度等
使用“修改”工具对影响线进行修改和调整确保其符合设 计要求
保存图纸完成影响线的绘制
模型建立： 建立结构模 型包括几何 形状、材料 属性、荷载 条件等
影响线计算： 在软件中设 置影响线计 算参数如影 响线类型、 计算范围等
结果查看： 查看影响线 计算结果包 括影响线形 状、最大值、 最小值等
结果输出： 将影响线结 果输出为图 形或表格便 于查看和分 析
绘制步骤和注意事项
确定影响线的类型：静力影响线、动力影响线等 确定影响线的范围：根据题目要求确定影响线的范围 绘制影响线：按照题目要求绘制影响线 注意事项：注意影响线的准确性避免错误绘制影响线
绘制简支梁的影 响线
计算简支梁的最 大弯矩和最大剪
力
确定简支梁的临 界荷载和临界位
置
绘制简支梁梁影响线的步骤
确定连续梁的荷载条
确定连续梁的荷载分 布
确定连续梁的位移影 响线
件
确定连续梁的弹性模 量
结构力学第5章(精)
t1(0< t1< t2 t2 ①杆伸长① B支座位移： B (2平衡力系的影响当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。
Fp 2Fp Fp Fp Fp (3荷载等效变换的影响对作用于静定结构某一几何不变部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均保持不变。
静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。
荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷载过程，称为荷载等效变换。
2Fp Fp Fp Fp Fp (4结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的性质及应变规律的变化而改变。
因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。
朱明zhubob-结构力学第5章
于是, 得：
K F N F Q 0 M ds F R c
广义位移的计算： 例如拟求相对转角Δ ： 虚设广义单位荷载应使外力 虚功具有以下简单形式：
A
B
δWe 1
A B
本例拟求A、B 两截面的相对转角Δ，因此虚设单位荷载 如下图： MB 1 MA 1
《结构力学》
第5章 结构位移计算
主 讲：朱 明 高级经济师、高级工程师、高级技师 高级国家职业技能考评员 高级技能专业教师
第5章 结构位移计算
⒈ 计算位移的目的 ⑴ 验算结构的刚度。 ⑵ 为计算超静定结构做准备。 ⑶ 为结构的动力和稳定性计算打下基础。 ⒉ 计算位移的方法 单位荷载法 — 以虚功原理作为理论基础。
体系的平衡位置位于A 结构的真实位移为AA 虚位移为偏离平衡位置的AA
A
FP
计算虚功的第一种途径: 将变形体的总虚功视为外力所作虚 功与所有截面上的内力所作虚功之和。
外力虚功
W We W内
所有截面内力虚功之和
W内 0
W We
第二种途径: 将各微段的虚位移分解为刚体虚位移和变形虚位移.
W W刚 Wi
微段上的所有力在刚 体虚位移上所作虚功 微段上的所有力在变 形虚位移上所作虚功
W刚 0
由此可见：
外力虚功之和
W Wi
（变形体虚功方程）
变形体所接受的虚变形功
We Wi We Wi
变形体所接受的虚变形功的计算：
轴向虚应变
外力虚功：
δWe 1 A 1 B 1 A B 1
K F N F Q 0 M ds F R c
K F N F Q 0 M ds F R c
广义位移的计算： 例如拟求相对转角Δ ： 虚设广义单位荷载应使外力 虚功具有以下简单形式：
A
B
δWe 1
A B
本例拟求A、B 两截面的相对转角Δ，因此虚设单位荷载 如下图： MB 1 MA 1
《结构力学》
第5章 结构位移计算
主 讲：朱 明 高级经济师、高级工程师、高级技师 高级国家职业技能考评员 高级技能专业教师
第5章 结构位移计算
⒈ 计算位移的目的 ⑴ 验算结构的刚度。 ⑵ 为计算超静定结构做准备。 ⑶ 为结构的动力和稳定性计算打下基础。 ⒉ 计算位移的方法 单位荷载法 — 以虚功原理作为理论基础。
体系的平衡位置位于A 结构的真实位移为AA 虚位移为偏离平衡位置的AA
A
FP
计算虚功的第一种途径: 将变形体的总虚功视为外力所作虚 功与所有截面上的内力所作虚功之和。
外力虚功
W We W内
所有截面内力虚功之和
W内 0
W We
第二种途径: 将各微段的虚位移分解为刚体虚位移和变形虚位移.
W W刚 Wi
微段上的所有力在刚 体虚位移上所作虚功 微段上的所有力在变 形虚位移上所作虚功
W刚 0
由此可见：
外力虚功之和
W Wi
（变形体虚功方程）
变形体所接受的虚变形功
We Wi We Wi
变形体所接受的虚变形功的计算：
轴向虚应变
外力虚功：
δWe 1 A 1 B 1 A B 1
K F N F Q 0 M ds F R c
结构力学第五章
位荷载作用下的支座反力FRK。
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(6 - 3)
F RK cK
(6 - 4)
⊿CV
例:
图示三铰刚架， 支座B下沉c1，向 右移动c2。求铰 C 的竖向位移⊿CV和 铰左右截面的相对 角位移φC。
• •
•
非线性体系：
* 物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
• • • • • •
方法： 用虚功原理推导出位移计算公式。 计算时应满足的条件： *静力平衡； *变形协调条件； *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移） （1）虚功的概念
ΔA
A
lAB θAB
B
ΔB
lAB A
B
=(⊿A+⊿B)/ lAB =θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例 广义位移
j B
iA A
li
B
lj
iB
C
广义虚单位荷载 1 1 li li B
A
（外力）虚功
1/li· Ai + 1/li· Bi ⊿ ⊿ +1/lj· Aj+ ⊿ 1/lj· Aj ⊿ = (⊿Ai+⊿Bi)/ li+ (⊿Bj+⊿Cj)/ lj =θi+ θj = θij 1· CL+1· CR θ θ = θ CL + θ CR =θC
• •
一、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端 相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形， 仍然是刚体。 • 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位 移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时 刚体体系的位移计算问题。举例说明。
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(6 - 3)
F RK cK
(6 - 4)
⊿CV
例:
图示三铰刚架， 支座B下沉c1，向 右移动c2。求铰 C 的竖向位移⊿CV和 铰左右截面的相对 角位移φC。
• •
•
非线性体系：
* 物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
• • • • • •
方法： 用虚功原理推导出位移计算公式。 计算时应满足的条件： *静力平衡； *变形协调条件； *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移） （1）虚功的概念
ΔA
A
lAB θAB
B
ΔB
lAB A
B
=(⊿A+⊿B)/ lAB =θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例 广义位移
j B
iA A
li
B
lj
iB
C
广义虚单位荷载 1 1 li li B
A
（外力）虚功
1/li· Ai + 1/li· Bi ⊿ ⊿ +1/lj· Aj+ ⊿ 1/lj· Aj ⊿ = (⊿Ai+⊿Bi)/ li+ (⊿Bj+⊿Cj)/ lj =θi+ θj = θij 1· CL+1· CR θ θ = θ CL + θ CR =θC
• •
一、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端 相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形， 仍然是刚体。 • 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位 移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时 刚体体系的位移计算问题。举例说明。
结构力学第5章
在刚结构中，结点通常是铆接或焊接的； 在钢筋混凝土结构中，各杆端通常是整体浇注在 一起的； 在木结构中，各杆通常是榫接或螺栓联接。
(2) 杆的几何性质有差异： 实际工程中的直杆无法保证绝对平直，结点上各杆的 轴线也很难保证交于一点。 (3) 结构上的荷载有差异：
工程中桁架必然有自重，即使荷载是作用于结点上，在 自重的作用下，各杆必然产生弯曲变形，产生弯曲应力 ，并不象理想桁架那样只有均布的轴力。
利用三角形相似关系，易得
FN
FN l
X lx
Y
l
ly
FN
Y
ly
FN
lx
下面举例说明。
X
例1 如图示一施工托架的计算简图，求各杆的内力。 解 (1)求约束反力 8kN 8kN 6kN 8kN 8kN 2 4 6 利用对称性易得 1 7
V1 V7 1 2
8 4 6 19 kN
1 桁架杆件的术语 弦杆：指桁架上下外围的杆件； 上弦杆：桁架上边缘的杆件；
斜杆 上弦杆 竖杆
下弦杆：桁架下边缘的杆件。
腹杆：桁架中上下弦杆之间的杆;
下弦杆 节间长度
竖杆：杆的轴线为竖向的腹杆； 斜杆：杆的轴线为倾斜的腹杆。 节间：弦杆上两相邻结点之间的区间； 节间长度：节间的距离称为节间长度。
2 桁架的分类 根据不同的特征，桁架有不同的分类 按桁架的外形: (a ) 平行弦桁架 桁架 (b ) 折弦桁架 (c ) 三角形桁架
3 5
Fp
由∑X=0得
FNEF 0
因此 FN 2 0
例5 如图示桁架，求1杆的内力。
Fp
A
Fp
1
B a a C
分析：这是一个联合桁架（三 解：
结构力学第5章
F
x
0
FN 3 0
M
B
3-5 静定平面桁架
例 求桁架各杆内力 Ⅰ A 4×d FP FP Ⅰ B Ⅱ
解 Ⅰ-Ⅰ:
FxA A FyA
FP
FP
FxB FyB
M
Ⅱ-Ⅱ: C Ⅱ 4×d C FP
A
0
FyB FP
FyB FxB
同理可求出A、C两点的约束力。 进而可求其它杆件的内力
M
C
0
由比例关系得
Ⅲ-Ⅲ：
Fx1 FP 3
FN1 5FP 3
Fx 0
FN3 cos 45 Fx1 0
FP
FP
FP
FP
FN3 2 FP 3
3-5 静定平面桁架
求解由两个刚片组成的体系
FN3
FN2 FN1
利用三个平衡方程，求FN1、FN2、FN3。 然后，求解内外两个三角形各杆轴力。
2 FP 2
2 FP 2
F
FP/2 FN图
G
3-7 组合结构
例 FP 做组合的内力图 E D
解
FP
再请学 生判断 零杆。 FNEC FNDC FNDB
a
A a C B a
FN DB FP
FN EC 2FP
FN DC 0
FPa
2FPa
FP 2FP
M图 FQ图 2FP FP
FN图
3-7 组合结构
3-5 静定平面桁架
例 求指定杆轴力
2 A FP1 FP2 5×d 3 FP3 1 B A FP1 FP2 FN2 FN3 解 取出一个三角形刚片
FN1
取出另一个三角形刚片
结构力学第五章结构位移计算
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C
1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
结构力学第五章
第五章重点要求掌握
1.掌握力法的基本原理及解题思路，重点在正确地选择力法基本体系，明确力法方程
的物理意义。
2.熟练掌握在荷载作用下超静定梁、刚架、排架内力的求解方法。
3.掌握用力法求解在支座发生位移时梁和刚架内力的方法。
4.能利用对称性进行力法的简化计算。
5.能计算超静定结构的位移及进行变形条件的校核
作业题
5-1a确定超静定结构的次数
解：去掉三个链杆，变成静定的悬臂梁，所以本结构是3次超静定结构
5-1b确定超静定结构的次数
解：去掉A点链杆，结构变成静定组合梁，所以本结构是1次超静定结构
5-1c确定超静定结构的次数
解：去掉A点两个链杆约束，结构变成静定刚架，所以本结构是2次超静定结构
5-1d确定超静定结构的次数
解：去掉CF、CG、FG共3个链杆， A、B为固定支座改为铰支座，结构成为静定结构，所
以本结构是5次超静定结构
5-1e确定超静定结构的次数
解：将圆环截断，结构成为静定结构，所以本结构是3次超静定结构
5-1f确定超静定结构的次数
解：将两个方框截断，去掉其中3个固定支座，结构成为静定结构，所以本结构是15次
超静定结构
5-1g确定超静定结构的次数。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算
结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
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14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
Page
2
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
结构力学第五章
第五章力法学习目的和要求力法是超静定结构计算的基本方法之一，也是学习其它方法的基础，非常重要。
本章即基本要求：1.熟练掌握力法基本结构的确定、力法方程的建立及其物力意义、力法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算。
2.熟练掌握力法解刚架、排架和桁架，了解用力法计算其它结构计算特点。
3.会利用对称性，掌握半结构的取法。
4.掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。
重点是荷载作用下的超静定结构计算，领会其它因素下的超静定结构计算。
学习内容超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思想与基本方法；力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构。
支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。
对称结构的特性及对称性的利用。
超静定结构的位移计算及力法校核。
§5.1超静定次数的确定1、超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
2、超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。
（例子5.1）（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。
（例子5.2）（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。
（例子5.3）3、几点注意：由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。
对于无铰闭合框结构其超静定次数=3³闭合框数。
如图10-2所示结构的超静定次数为3³5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3³闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静定次数为3³5-（1+1+3）=15次。
结构力学第05章桁架结构和组合结构
结点荷载
15-3-25
力力 学 教 研 室
7
第五章 桁架结构和组合结构
桁架结构（truss structure）
力力 学 教 研 室
第五章 桁架结构和组合结构
力力 学 教 研 室
第五章 桁架结构和组合结构
力力 学 教 研 室
第五章 桁架结构和组合结构 3、桁架简图
上承荷载
斜杆 下弦杆 节间
竖杆
Ø 力力矩法： （适用用于另外两个力力相交） 力力矩方方程 结论： 弦杆的水水平分力力等于X=±Mo/h 三个杆件不能相交于一一点。 限制： Ø 投影法： （适用用于另外两个力力平行行） 投影方方程 结论： 腹杆竖向分力力等于YDG=±V0 限制： 三个杆不能完全互相平行行。 示示例
15-3-25
Ø 复杂桁架： 不属于以上两类桁架之外的其它桁架。
l静 力力特性 Ø 静定桁架： 无无多余约束的几几何不变体 Ø 超静定桁架： 有多余约束的几几何不变体
15-3-25
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14
第五章 桁架结构和组合结构 三、桁架分析方方法
l 支支座反力力： 与梁或者拱一一致 P3 P2 G F P E
4m
D
0
+60 40 30
E
15
3m
!
20 Ê -20
15kN 4m
+15
C
-20
15kN 4m
F
G
15kN
力力 学 教 研 室
第五章 桁架结构和组合结构
练习
力力 学 教 研 室
第五章 桁架结构和组合结构
以节点为平衡对象，画出受力力图：
FC y F BC FB A FA B FA D FD B FD A FD y FBD FD C FC B FC FC
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G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
取C点为隔离体，由 X 0 ， FNCE FNCH 0 Y 0 ， 10kN 2 FNCE sin FNCD 0
得
FNCD 10 kN 2 1 5 (22.36kN) 10 kN
FNCH FNCE 22.36 kN
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
结构力学
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§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
三、按几何组成分类
1. 简单桁架 （simple truss）
F F NF N1 4 F N2 FN3 FN3 FN1
F F N2 F N2
FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3= F FN3= F
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§5-2 结点法
结构力学
值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算， 可使计算大为简化。
FP FP
FP/2FP
FP/ 2
结构力学
10 kN C 5 kN
E
F
A 20 kN
G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
解: (1) 求支座反力。
FxA 0
FyA 20 kN (↑)
FyB 20 kN (↑)
(2) 依次截取结点A，G，E，C，画出受力图， 由平衡条件求其未知轴力。
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§5-2 结点法
5 kN F
F N ED
A 20 kN
G 2 m
D 4=8 m
H
B 20 kN
取E点为隔离体，由
X 0
FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0
FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN
E
F
A 20 kN
G
D 2 m 4=8 m
H
B 20 kN
可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左 边是对称相等的。
结论：对称结构，荷载也对称，则内力也 是对称的。
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FNEC FNED 10 5 33.5
联立解出
FNEC 22.36 kN
， FNED 11.18 kN
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN
10 kN C F
NC E
E
F
F NC F F NCD
A 20 kN
有 所以
FNAG
FNAE 15 kN 5 33.54 kN（压） 2 FNAE cos 33.5 30 kN （拉） 5
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§5-2 结点法
10 kN 10 kN 5 kN 2 m
结构力学
10 kN C 5 kN F
E
A 20 kN
G
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§5-3 截面法
(4) 斜杆ED
结构力学
取EF和CD杆的延长线交点O为矩心，并将FNED在D 点分解为水平和竖向分力FxED和 FyED，由力矩平衡方 程∑MO=0，先求ED杆的竖向分力FyED，此时力臂即为 a+2d。 -FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d) 再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。 (5) DG杆如何求？
结构力学 第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5 §5-6 结点法 截面法 截面法与结点法的联合应用 各式桁架比较 组合结构的计算
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§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
桁架是由杆件相互连接组成的格构状体系，它 的结点均为完全铰结的结点，它受力合理用料省， 在建筑工程中得到广泛的应用。 1、桁架的计算简图(truss structure)
10 kN 10 kN 10 kN C
结构力学
5 kN
5 kN
5 kN E
F NA E FN A G
2 m
F
A 20 kN
A 20 kN
G
D 2 m 4=8 m
H
B 20 kN
取A点为隔离体，由
X 0
Y 0
FNAE cos FNAG 0
20 kN 5 kN FNAE cos 0
屋架 计算简图
16m
128m
64m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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§5-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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§5-1 平面桁架的计算简图
2、桁架的分类 一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss）
结构力学
——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一 平面内
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§5-1 平面桁架的计算简图
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§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
弦杆
下弦杆 Bottom chard
竖杆Vertical chard 上弦杆 Top chard
腹杆 桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架计算简图假定：
结构力学
(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。 (2) 各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰 的几何中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上,其作用线都在桁架平面 内。 思考: 实际桁架是否完全符合上述假定? 主内力: 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
P
结构力学
0 0 0
0
P
练习: 试指出零杆
P
P P
PPLeabharlann 返回中南大学退出
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§5-2 结点法
练习: 试指出零杆
P
结构力学
下图示对称结构在正对称 荷载作用下，若A 点无外荷 载，则位于对称轴上的杆1、 2都是零杆。 为什么?
1 F A
2 F
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
FN1 F N3 F N4 FN1 F N3 FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3 = F N4 FN3 = F N4 F N2 F F NF N1 4 F N2 FN3 FN3 FN1 F F N2 F N2
FN 1 = F N 2 FN 1 = F N 2 FN3= F FN3= F
§5-2 结点法
小结:
结构力学
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
结构力学
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴 力为压力。
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§5-2 结点法
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。