大学物理15 量子物理基础1

置的不确定量（电子的位置确定在
范围内可
以认为令人满意）
解： xpx / 2 /2
x mv
6.63 1034 / 4
9.1 1031 10
6.3 106 m
可以用经典力学来处理。
所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。
15-3 薛定谔方程
E.薛定谔 (1887-1961) 奥地利物理学家，1933年诺贝尔 物理奖获得者。 ① 描述微观粒子的波函数必须
结论： 某时刻空间某体元dV中出现粒子的几率 正比于该地点波函数模的平方和体积元
体积： dW 2 , dV
通常比例系数取1:
dW 2 dV dV
(为共轭复数)
则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处 出现粒子的概率密度----波函数的物理意义.
w dW 2 （由叫概率分布函数） dV
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
mvx
2 x
1034 106
1028 kg m s1
mvx 2kg m s1
所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定
2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
例1 一电子以 vx 1.0 106 m s1
的速度穿过晶体。晶体常数d~10-10m
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
满足哪些条件？ ② 波函数的物理意义是什么？
③ 描述微观粒子运动状态的基本 方程——薛定谔方程？
④ 什么是隧道效应？
一、波函数 概率密度
1 、波函数： 描述微观粒子运动状态的函数。
经典单色平面简谐波波动方程：
y( x ,t ) Acos 2 (t x ) y( x, t ) Ae i 2 (t x ) 只 取 实 部
( x ) 2 dx
a A2 sin2 x dx A2a 1
0
a
2
A
2 a
0
w 2
2 a
sin2
x
a
(x 0, x a) (0 x a)
二、薛定谔方程
1、薛定谔方程的引入(并不是理论推导)
一维自由粒子的波函数
( x, t )
Ae
i
(
Et
px
)
2
x 2
p2 2
t
i
E
对于非相对论粒子 E p2 2m
h
2meU
代入上式得：
若在戴维孙—革末实验中取
根据德布罗意假说,由加速 电势差算得的波长为:
利用布拉格公式球得 波长为:
两者波长值很接近，证明微观粒子具有波粒二象性
思考题: 若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。
试问：1）它们的动量大小是否相同？ 2）它们的总能量是否相同？（05年）
解：1） 由德布罗意关系可知,它们的波长相同.因此， 它们的动量大小相同．
2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于
光子的能量。
光子的能量： hv hc pc
Ee
电子的总能量： Ee (cp)2 (m0c2 )2
例1: 、粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场 中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动.试求: (1) 粒子德布罗意波长; (2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。
牛顿说： 只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，决定性的。
量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的统计分布；即只 知道||2大的地方粒子出现的可能性大， ||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的
统中一间地值看：介粒于子二出者现之的间几率正波比强于介于二02或者之间2
2）一个粒子多次重复性行为
U 较长时间以后
粒子的观点
波动的观点
极大值 较多电子到达 波强度大， 02或 2大
极小值 较少电子到达 波强度小， 02或 2小 中统间一值地看：介粒于子二出者现之的间几率正波比强于介于二者02之或间 2
2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不 是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。
3. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
问题？ 1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
例 m 102 kg 的乒乓球 , 其直径 d 5cm v x 200m s1，若 x 106 m, 可以认为其位
3. 概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数 越多。
用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量: 用薛定谔方程简单分析得：
因为势阱中 U(x)=0， E = EK
由驻波条件得，
n=1,2,3, …
能量是量子化的。 与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。
例2 一维无限深势阱中粒子的定态 波函数为
15-1 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
一、德布罗意波 (物质波) 独创性
1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设： 一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,
具有波粒二象性。
具有能量为E、动量为p 的实物粒子就有一定频率 和一定波长与之对应。它们之间满足如下关系：
E mc2 h
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
求: 粒子处于基态和处于第一激发态时， x 在（0 a/3）之间找到粒子的概率。
解：
n=1,2,3,...
当n=1（基态）时
在 x =0
0
x d 1A
由 于 ：xpx
2
vx 2m x
1034 1031 1010
m
s 1
107 m s1 v x v x 106 m s1
所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力 学来处理。
例2 电子射线管中的电子束中的电子速度一般为 105m/s，
设测得速度的精度为1/10000，即 vx=10m/s，求电子位
3）波函数是单值的
波函数 的标准条件 ：单Biblioteka Baidu、有 限和连续
粒子在空间出现的几率只可能是一个值.
4）满足归一化条件
W dV 1 （归一化条件）
因为粒子在全空间出现是必然事件.
例1：求波函数归一化常数和概率密度。
0
x
Ae
i
Et
sin
a
x
解：利用归一化条件
( x0,xa) (0 xa)
而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，因此,代表了不同的波动状态。即若：
振幅 A CA 那么 能量 E C 2E
3 、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件）
1）波函数具有有限性 W
(r.t) 在空间是有限的
dV 1
V
2）即波在函r数处是的连几续率的密度w(r)与r dr处 几率密度w(r dr)只差一微量
所以： px x h
经严格证明此式应为：
px x 2 py y 2 pz z 2
h 1.054 588 10-34 J .s
2
(约化普朗克常量)
这就是著名的海森伯不确定关系式
能量与时间不确定关系
设有一个动量为p，质量为m的粒子，能量
E m02c4 p2c2
考虑到E的增量：
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
例如：电子经加速电势差 U加速后
即 ：1 2
m0v 2
eU
2eU v
m0
所以电子的德布罗意波长为：
h 2m0eU
12.3
0
(A)
U
0
当：U 150V 1A
K
狭缝 电子射线
器
φ
电 集
U
φ 镍 单晶
电 G流
计
实验发现：保持 角不变，改变电压值，电流并
不随电压单调的改变，而是出现选择性。
I
0
5 10 15 20 25
U
当电压为某一特定值时，电流才有极大值（此规律 与x射线的衍射规律相似 ）。
根据衍射理论，衍射最大值应满足布拉格公式：
德布罗意假说，电子的波长为：波
态---简称定态。
---称为定态薛定谔方程.
薛定谔方程比较（非相对论形式）
1. 一般形式薛定谔方程：
若 U=0（自由粒子）
2 2m
2 ( x, t )
x 2
i
( x, t )
t
一维
2. 定态薛定谔方程:
三维 一维
三维
三、一维无限深势阱（定态薛定谔方程的应
用设) 质量为m的粒子只能在 0<x<a 区域内的外力场中
2 2m
2 ( x, t )
x 2
i
( x, t )
t
这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
若粒子处在外力场中(非自由粒子)其粒子的总能量为
：
算符: 就
是一种运算符
一维薛定谔方程
号，是对量子 态(波函数)的
三维薛定谔方程:
操作。某物理 量算符常用对
应的该物理量
拉普拉斯算符
字母上方加
“^”符号表
（非决定性的）
物质波与经典波的本质区别 1) 物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义, 所以是不可测量的；可测量的只有 2 因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。
经典波的波函数是实数,本身具有物理意义,可测量。
2) 对于概率波来说, 重要的是相对概率分布。故
和 c 描述的相对概率分布是完全相同的。 等价 C
作一维运动.
势能函数为：
U
(
x)
0
(0 x a) (x 0 , x a)
U(x)
因为在阱外(即：当 x < 0 和 x > a 时)粒子势能为无穷 大
x Oa
方程的通解为： 由边界条件
U(x)
x Oa
粒子波 函数
0 概率分 布函数
则粒子的能量：
此能量量子化是求解态薛定谔方程时波函数必须满足 标准化条件的自然结果,而不是人为的假设。
E
2c2 pp
c2m vp
2 m02c4 p2c 2
E
vp x p
t
Et xp / 2
即：
Et
能量与时间不确定关系式
2
测不准关系式的讨论
1. 用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出 现不确定性 。在位置和动量的不确定量中,位置不确 定量越小,则同方向的动量不确定量就越大。反之亦 然。
函数是对微观粒子运动的统计描述,即物质波是概 率波, 概率波只能给出粒子在各处出现的概率。
波函数物理意义 如何描述微观粒子的运动
(r,t)代表什么？看电子的单缝衍射： 1）大量电子的一次性行为：
U
粒子的观点
波动的观点
极大值 较多电子到达 波强度大， 02或 2大 极小值 较少电子到达 波强度小， 02或 2 小
n=1,2,3, …
在一维无限深势阱中运动的粒子， 它的能量是量子化的。
若n=0，则k=0，
没有意义。
所以n=1时粒子取最低能量：
E1称之为基态能量。
特征分析：
1. 粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。
2.
波函数是驻波方程。能级越
高，驻波个数越多。在x=0和x=a的边界上是驻波波节。
在0<x<a的区域，驻波有(n－1)个波节，驻 波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。
例 一原静止的电子被电场加速到速度v（vc）， 加速电压为100V时，则速度为v的电子的De Bröglie 波波长为多大？
解： h h h p m0v 2em0U
12.3 1010 (m)
U
当U=100伏 12.3 1.23 Å
U
二、物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体 上进行电子衍射实验。
哈密顿（能量）算符 示。
则薛定谔方程为：
2、定态薛定谔方程
如果势能函数不是时间的函数,即： 用分离变量法将波函数写为： 代入上式薛定谔方程中整理得：
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
此方程仅是空间坐标的函数--称为定态薛定谔方程.
那么，粒子在空间出现的几率密度： 几率密度与时间无关，因此，波函数描述的是稳定