2021年上海市上海交通大学附属中学毕业考数学试题
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案 (真题)
． y 2
P O1 x
图1
式为
．
16．在⊿ABC 中,过重心 G 且平行 BC 的直线交 AB 于点 D,
那么 AD:DB=
．
17．如图 2,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,它们的半径都为 2,
圆 O1 经过点 O2,则四边形 O1AO2B 的面积为
．
A
O1
O2
B 图2
E
D
FC
A
B
18．如图 3,矩形纸片 ABCD,BC=2,∠ABD=30°．将该纸片沿
（3）当 CE=2ED 时,求线段 BO 的长．
A
D
A
D
E
B
O
C
图8
GB
C
备用图
2021 年上海市初中毕业生统一学业考试
数学模拟卷答案要点与评分标准
说明：
1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准相应评 分。
2． 第一、二大题若无特别说明,每题评分只有满分或零分。 3． 第三大题中各题右端所注分数,表示考生正确做对这一步应得分数。 4． 评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在
16、 2 :1(或 2)。 17、 2 3 。
23 18、 .
3
三．解答题：（本大题共 7 题,满分 78 分）
19．解：原式＝ (a b)2 a b －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3 分) (a b)(a b) ab
a b ab －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (2 分) ab ab
ab ,－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2 分) ab
上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期摸底考试数学试题
上海市上海交通大学附属中学2021年高三上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =，则实数a 的值是____________.2．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为43y x =±，则该双曲线的标准方程为 .4．行列式240135143----的第2行第3列元素的代数余子式的值为______. 5．若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．6．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若1918a a +=，47a =，则8S =______.8．设()291(21)x x ++=21101211(2)(2)(2)a a x a x a x +++++++，则01211a a a a ++++的值为__________．9．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________10．函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为______.11．关于x 的方程1x ax =+有且仅有一个负根，则实数a 的取值范围是______. 12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________. 13．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．14．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.二、单选题15．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行17．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．其图象关于直线4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域是[2,1]-18．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，则（ ）A ．()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B ．()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦C ．()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三、解答题19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 21．已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩.（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .22．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()21n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个()*1()ii b i N -∈后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数λ，使得存在*n N ∈，使不等式()()1182011n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．23．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．参考答案1．8或2 【分析】由{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，可得出集合M ，在根据{}1,5M a =-得出5a -的值，从而求出a .【详解】因为{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，所以{}1,3M =，又{}1,5M a =-，所以53a -=，所以8a =或2. 故答案为：8或2. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，属于基础题. 2．12i - 【解析】 【分析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值． 【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-， 则12z i =- 故答案为12i -． 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．2213664x y -=【分析】 由410,3b c a == ,22100a b =+,解出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】 由题意得,410,3b c a == ,22100a b =+,6,8a b ∴==故该双曲线的标准方程为2213664x y -=,故答案为2213664x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 4．4 【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第2行第3列元素的代数余子式，求出值即可． 【详解】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式 ()()23232414241414M +-=-=--⨯--⨯=⎡⎤⎣⎦- 故答案为：4． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 5．7- 【分析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，3y x z =-，直线的截距越大，z 值越小，可见最优解为(2,1)-，则3z x y =-的最小值为7-.【点睛】请在此输入点睛！ 【详解】请在此输入详解！ 6．24 【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法， 将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C ⨯=种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法， 则不同的排法共有22(24)24⨯⨯+=种情况. 故答案为：24． 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．64 【分析】由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得5a ．可得188458()4()2a a S a a +==+． 【详解】解：由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得59a =． 又47a =， 则188458()4()4(97)642a a S a a +==+=⨯+=． 故答案为：64． 【点睛】本题考查等差数列的下标和性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．-2. 【详解】令21x +=，即令1x =-得()()9201211112112a a a a ⎡⎤⎡⎤++++=-+⋅⨯-+=-⎣⎦⎣⎦.9．136+ 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R =故2R =故半球的体积为：32 )326π⋅=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V =，故组合体的体积为136+即答案为136+ 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．1或-1 【分析】函数2()2x x a f x a+=-为奇函数，可得2222x x x x a aa a --++=---，化简即可得出结论．【详解】解：函数2()2x x af x a+=-为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2222x x x x a aa a--++=---，∴122122x x x x a a a a++=---， ()2120x a ∴-⋅=即210a -=1a 或1-．故答案为：1或1-． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 11．[)1,+∞ 【分析】构造函数||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a 的范围． 【详解】解：令||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象， 方程||1x ax =+有一个负根，但没有正根， 由图象可知1a 故答案为：1a【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，属于基础题． 12．2【分析】要求直线OM 的斜率的最大值，由直线的斜率公式可知应求点M 的横、纵坐标之间的关系。
2020-2021学年上海市交大附中高一下学期期中考数学试卷含详解
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。
上海市交大附中2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案
上海交通高校附属中学2021—2022学年第一学期 高二数学月考--试卷一、填空题（共12题，前6题每题4分，后6题每题5分，满分54分）1、若向量→a ，→b 满足12=⋅→→b a ，且5=→b ，则→a 在→b 方向上的投影为2、设点())0,3(,6,1B A -，P 是直线AB 上一点，且→→=AB AP 31，则P 点的坐标为3、若点()11-，A 在直线l 上的射影为()63，B ，则直线l 上一般式方程为 4、已知向量()()2,5,1,1-=-=→→k b a ，若向量→→b a ,之间的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是5、直线l 经过点()()33,01-，，B A ，那么直线l 的倾斜角α是 6、两平行线12:1=-y x l 与0272:2=+-y x l 间的距离为7、直线013:1=-+-y x l 围着它上面一点()31，沿逆时针方向旋转15，则旋转后的直线2l 的方程为8、已知直线x y l =:1和直线0:2=-y ax l 的夹角θ在区间⎪⎭⎫⎝⎛12,0π内变动，试求实数a 的取值范围 9、直线l 过点()33，P ，点()11，-Q 到它的距离等于4，则直线l 的方程是 10、在锐角三角形ABC 中，21tan =A ，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，则=⋅→→DF DE11、直线0632=-+y x 分别交y x ,轴于B A ,两点，点P 在直线1--=x y 上，则PB PA +的最小值是 .12、已知有两个不相等的非零向量→→b a ,，两组向量→→→→→54321,,,,x x x x x 和→→→→→54321,,,,y y y y y 均由2个→a 和3个→b 排列而成，记→→→→→→→→→→⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=5544332211y x y x y x y x y x S ，min S 表示S 全部可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是 （写出全部真命题的序号）① S 有5个不同的值； ②若→→⊥b a ，则min S 与→a 无关；③若→→b a //，则min S 与→a 无关； ④若→→>a b 4，则0min >S ；⑤若→→=a b 2，2min 8→=a S ，则→a 与→b 的夹角为4π。
上海交通大学附属中学2021届高三下学期开学考试数学试题
【分析】
（1）根据双曲线定义，结合焦点坐标，写出双曲线方程；
（2）设 ，根据条件写出 ，代入双曲线方程，解得两点坐标，从而求得面积；
（3）不妨设 在第一象限，则 ， ，设 ，表示出斜率 ， ，证得 ，从而 .
【详解】
（1）根据定义动点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为2的双曲线右支，故曲线右支的方程为
故 ；
④ ，再划掉 次，变为 个正整数，记为 、 、 、 ，
其中 ， ， ， ， ，
则 ；
⑤ ，再划 次，变为 个整数，记为 、 、 、 ，
其中 ， ， ， ，
则 ；
⑥划最后一次，变为一个数，记为 ，则 .
故答案为： .
11．
【分析】
根据题意将题中问题可转化为一元二次等式根的个数问题，即可由此解出答案.
则直线 与平面 所成角即
在 中， ， ，
故
故答案为：
6．3:2
【分析】
设球的半径为 ，圆柱的高为 ，则由题意可得 与 的关系，再写出球的表面积与圆柱的侧面积，作比得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
设球的半径为 ，圆柱的高为 ，则由题意可得，
，得 ，
球的表面积为 ，
圆柱的侧面积 ，
上部球的表面积与下部圆柱的侧面积之比为 ．
4．方程 的一个根为 ，其中 为虚数单位，则实数 的值为__________
5．如图， 是各棱长均为2的正三棱柱，则直线 与平面 所成角的大小为_________(结果用反三角函数表示) .
6．如图为某比赛奖杯的三视图，奖杯的上部是一个球，奖杯的下部是一个圆柱，若奖杯上、下两部分的体积相等，则上部球的表面积与下部圆柱的侧面积之比为_________
上海交通大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末考数学试题
y
2 sin
2x
2π 3
1
C．
y
2 sin
2x
π 6
1
D． y 2sin 2x 1
14．如图， OM∥AB ，点 P 由射线 OM ，线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影
区域内（不含边界），且
OP
xOA
yOB
，则实数对
x,
y
可以是（
）
A．
1 4
,
3 4
B．
1 4
,
3 4
C．
z1,
z2
z1,
z2
C
视为一个向量，记作
z1,
z2
．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量
z1,
z2
，
z1, z2 的数量积定义为一个复数，记作 ，满足 z z1 z2 z2 ，复向量 的模定义为 ．
（1）设
1
i, i
，
3, 4
，求复向量
，
的模；
．
8．函数
y
2
tan x
（常数
0
）在开区间
π 4
,
2π 3
上是严格增函数，则实数
的取值范围是
．
9．设直线 l ，m 互相垂直于 O ， A ，B 是直线 l 上的两个定点，满足 2AO OB ，C ，D 是直线 m 上的两个动点，
满足 CD 2 ，若 AC BD 的最小值是 9 ，则 AO
．
12．设函数 y f x 的定义域为 D ．对于非空集合 Y R ，称集合 x f x Y, x D 为集合 Y 的原像集，记
作
f
1 Y ．设
上海交通大学附属中学2021学年高二下学期期末考试2
上海交通大学附属中学2021学年高二下学期期末考试2高二数学期末试卷（满分150分，120分钟完成。
答案一律写在答题纸上）命题：陈海兵 杨逸峰一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直截了当填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 假如复数=z 421ii -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。
2. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是 （用数字作答）. 3. 顶点在原点，以x 轴为对称轴且通过点)3,2(-M 的抛物线的标准方程为____________．4. 双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是__________．5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。
则双曲线的方程为 。
6. 成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估量值为 （结果精确到7. 某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，同时3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8. 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11. △ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。
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2021年上海市上海交通大学附属中学毕业考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()f x =的定义域为______. 2．双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为______.3．用行列式解线性方程组2710x y x y +=⎧⎨-+=⎩，则y D 的值为______． 4．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为______cm .5．直线240x y +-=经过抛物线22y px =的焦点，则抛物线的准线方程是______. 6．已知函数()sin y x ωϕ=+（0>ω，02πϕ<≤）的部分图像如图所示，则函数解析式为_______.7．设函数36log (1),6,)()3,(,6)x x x f x x --+∈+∞⎧=⎨∈-∞⎩的反函数为1()f x -，若11()9f a -=，则(4)f a += .8．二项展开式7(23)x +中，在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个，恰好为奇数的概率是______.9．在平面直角坐标系xOy 内，曲线|1||3|||7x x y ++-+=所围成的区域的面积为______.10．已知梯形ABCD 中，12AD DC CB AB ===，P 是BC 边上一点，且AP xAB y AD =+，当P 在BC 边上运动时，x y +的最大值是___________11．求方程2sin sec tan 10x x x -+-=在[0,2]x π的解集______.12．已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD 可绕着AB 任意旋转，AB ⊂平面α，M 是CD的中点，2,AB VA ==点V 在平面α上的射影点为O ，则OM 的最大值为_______二、单选题13．下列以t 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线1xy=完全一致的是（ ） A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩ B ．1x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ C ．cos sec x t y t =⎧⎨=⎩D ．tan cot x t y t =⎧⎨=⎩ 14．已知无穷数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为其前n 项和，则“0||1q <<”是“存在0M >，使得n S M <对一切n *∈N 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要15．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ）A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z = 16．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）.A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线三、解答题17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =114A B =，D 、E 分别为1AA 与11A B 的中点．（1）求异面直线1C D 与BE 所成角的大小；（2）求四面体1BDEC 的体积．18．某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管，工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，裁剪成若干A 型和B 型钢管。
假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率； （2）工厂现有100根原材料钢管，一根A 型和一根B 型钢管为一套毛胚。
按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？19．设函数2()||(,)f x x x a x a =+-∈∈R R（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()10f x <对(1,3)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知椭圆2214x y +=，A 是它的上顶点，点()*,n n P Q n N ∈各不相同且均在椭圆上.（1）若11,P Q 恰为椭圆长轴的两个端点，求11APQ∆的面积； （2）若0n n AP AQ ⋅=，求证：直线n n P Q 过一定点； （3）若11n n P Q y y n==-，n n AP Q ∆的外接圆半径为n R ，求lim n n R →∞的值. 21．对任意正整数m ，若存在数列12,,,k a a L a ，满足1231!2!3!!k m a a a L a k =⋅+⋅+⋅++⋅，其中,,0,1,2,,i i k a N a i a i L k ∈≤>=，则称数列12,,,k a a L a 为正整数m 的生成数列，记为[]A m .（1）写出2018的生成数列[]2018A ； （2）求证：对任意正整数m ，存在唯一的生成数列[]A m ；（3）求生成数列[]2025!1949!A -的所有项的和.参考答案1．(1,0)(0,1]-⋃；【分析】根据函数的解析式，列出使得函数的解析式有意义的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =有意义，则满足2101011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得11x -<≤且0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(1,0)(0,1]-⋃.故答案为(1,0)(0,1]-⋃.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式有意义列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．3π； 【分析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解.【详解】由双曲线22312x y -=，可化为221412x y -=，可得双曲线的两条渐近线的方程为y =，设双曲线的两条渐近线夹角为θ且[0,]2πθ∈，则tan θ==3πθ=， 即两条渐近线的倾斜角分别为3π. 故答案为3π. 【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【分析】 根据行列式解二元一次方程组的方法可得271-1y D =，即可求出答案． 【详解】 行列式解线性方程组2710x y x y +=⎧⎨-+=⎩，则y 27=217191-1D =⨯--⨯=-（）， 故答案为：9-【点睛】本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数行列式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．13；【分析】设球的半径为Rcm ，得到截面圆的半径为12cm ，球心距为(8)d R cm =-，再由222R r d =+，列出方程，即可求解.【详解】设球的半径为Rcm ，将球取出，留下空穴的直径为24cm ，深8cm ，则截面圆的半径为12cm ，球心距为(8)d R cm =-，又由222R r d =+，即22212(8)R R =+-，化简得208160R -=，解得13R =.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．2x =-；【分析】利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，代入直线的方程，求得p 的值，进而求得抛物线的准线方程，得到答案.由题意，抛物线22y px =的焦点为(,0)2p F ， 又由抛物线的焦点在直线240x y +-=上，可得40p -=，即4p =， 所以抛物线的准线方程为22p x =-=-. 故答案为：2x =-.【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程，以及抛物线的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．y ＝sin （2x +3π）． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值答案可求【详解】根据函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ2π≤）的部分图象， 可得A ＝1，12•2563πππω=-， ∴ω＝2，再结合五点法作图可得2•3π+φ＝π， ∴φ3π=，则函数解析式为y ＝sin （2x +3π） 故答案为：y ＝sin （2x +3π）． 【点睛】 本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值难度中档．7．-2 【解析】1361(),19log (1)9a f a a ->⎧⎪=∴⎨-+=⎪⎩（舍去）或3664,(4)(8)log 92139x a a f a f -<⎧⎪⇒=∴+==-=-⎨=⎪⎩8．916； 【分析】得到二项展开式的系数和二项式系数的个数，并判定其奇数和偶数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，二项式7(23)x +的展开式中，所有项的系数为7732r r r C -⋅⋅，其中0,1,2,,7r =，即所有的项的系数共有8个，其中7r =时为奇数，其余都为偶数，展开式的二项式系数为7r C ，其中0,1,2,,7r =，共有8个，都是奇数，在所有的项的系数、所有的二项式系数中共有9个奇数，7个偶数， 从中随机选取一个，恰好为奇数的概率是999716=+. 故答案为916. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，以及古典概型及概率公式的应用，其中解答中熟练判定二项展开式的系数与二项式系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 9．33；【分析】在平面直角坐标系xOy 内，画出曲线|1||3|||7x x y ++-+=所围成的区域，可得答案.【详解】由题意，曲线|1||3|||7x x y ++-+=，当1,0x y <-<时，250x y ++=；当1,0x y <->时，250x y -+=；当13,0x y -≤≤<时，3y =-；当13,0x y -≤≤>时，3y =；当3,0x y ><时，290x y --=；当3,0x y >>时，290x y +-=；在平面直角坐标系xOy 内，画出曲线|1||3|||7x x y ++-+=所围成的区域， 如图所示，其面积为1326463322⨯⨯⨯+⨯=. 故答案为：33.【点睛】本题主要考查了绝对值的集合意义，以及平面图形的面积的计算，其中解答中利用零点的分段法，画出曲线所围成的平面区域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．32【分析】以A 为原点，AB 为x轴建立直角坐标系，设((),,34P m m +≤≤，根据 AP xAB y AD =+得到124m x y m ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，计算得到答案. 【详解】如图所示：以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，易知ABCD 是等腰梯形且AB CD ∥，60ABC ∠=︒，设AB 4=，则()(()0,0,,4,0A D B直线:BC y =+，设((),,34P m m +≤≤则(()(,4,0AP x m x B y AD y A ∴+==++即124m x y m ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 32m x y +=-+，当3m =时，有最大值为32 故答案为：32【点睛】本题考查了向量的运算和应用，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键.11．5,,44πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简方程得到2sin cos (sin cos ),(cos 0)x x x x x -=-≠，进而得到sin cos 0x x -=或sin cos 1x x -=，即可求解.【详解】由题意，方程2sin sec tan 10x x x -+-=，即1sin 2sin 10cos cos x x x x -+-=， 即2sin cos 1sin cos 0(cos 0)x x x x x -+-=≠，即2sin cos 12sin cos (sin cos ),(cos 0)x x x x x x x -=-=-≠，所以sin cos 0x x -=或sin cos 1x x -=，当sin cos 0x x -=时，可得tan 1x =，又因为[0,2]x π，所以4x π=或54π； 当sin cos 1x x -=时，可得)14x π-=，解得22x k ππ=+或2,x k k Z ππ=+∈，又因为[0,2]x π，且2x π=时，sec ,tan x x 无意义，所以x π=，综上，方程的解集为5,,44πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为5,,44πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简，以及三角恒等变换的求解问题，其中解答中根据三角函数的基本关系式，求得sin cos 0x x -=或sin cos 1x x -=是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．1+【分析】先计算得到二面角C -AB -V 的大小为60°，设二面角C -AB -O 的大小为θ，则()24260OM θ=-+︒，计算得到答案.【详解】如图所示：简单计算可得二面角C -AB -V 的大小为60°设二面角C -AB -O 的大小为θ，则60VNO θ∠=-︒，()2cos 60NO θ=-︒ 在MNO ∆中，利用余弦定理得到：()()()2244cos 60222cos 60cos 4260OM θθθθ=+-︒-⋅⋅-︒⋅=-+︒故当105θ=︒时，OM 取得最大值为1+故答案为：1+【点睛】本题考查了立体几何中的线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．D 【分析】根据x 范围依次排除ABC 得到答案. 【详解】A. 1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩，120x t =≥排除；B. 1x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，0x t =≥排除； C. cos sec x ty t =⎧⎨=⎩1cos 1x t -≤=≤，排除；故选：D 【点睛】本题考查了参数方程，意在考查学生对于参数方程的理解和掌握情况. 14．A 【分析】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，当01q ＜＜时，得到1n lim S ||1n a q→∞=-，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】∵{}n a 是公比为q 的等比数列，当01q ＜＜时，()1n 1S 1n a q q-=-，1n lim S ||1n a q→∞=-， 即“存在1M 1a q>-，使得n S M ＜对一切*n N ∈恒成立”， 即“01q ＜＜”是“存在0M ＞，使得n S M ＜对一切*n N ∈恒成立”的充分条件， 当1q =-时，n 为偶数时，0=n S ；n 为奇数时，1=n S a ，即取12M a =即可，即“01q ＜＜”是“存在0M ＞，使得n S M ＜对一切*n N ∈恒成立”的不必要条件， 综上可知：即“01q ＜＜”是“存在0M ＞，使得n S M ＜对一切*n N ∈恒成立”的充分不必要条件． 故选：A 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型. 15．C 【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确； 对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确；对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或12z =-，所以2z z =，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．D 【详解】设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O .在平面α上，以O 为原点、直线l 为y 轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =. 又设点P （x ， y ）.则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm.从而，点P 到直线m 的距离平方等于()2221y kx a k -++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.因此，点P 的轨迹方程为()22221y kx a x k-+=+，即为双曲线.17．(1) 1arccos 5.(2)V =【解析】分析：（1）过点D 作//DF BE 交AB 于点F ，联结1FC 、FC ．得到1C DF ∠即所求异面直线所成角（或补角），然后，在1DFC ∆中根据余弦定理求解该角即可；（2）先求解BDE S ∆的面积，然后，结合四面体1BDEC 体积公式进行求解． 详解：（1）过点D 作//DF BE 交AB 于点F ，联结1FC 、FC ．则直线1,DF DC 所成的角就是异面直线1C D 与BE 所成的角，且114AF AB ==． 在1DFC ∆中，1DC ==DF ==FC== 又14CC =，所以1FC ===由余弦定理，得22211111cos 25DC DF FC C DF DC DF +-∠==-⋅，11arccos 5C DF π∠=-．所以，异面直线1C D 与BE 所成角的大小是1arccos5．（2）由已知得11116BDE A DE ABD BB E ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=正方形． 由题意得 1AA ⊥平面111A B C ，且111C E A B ⊥． 因为1C E⊂≠平面111A B C ，所以11C E AA ⊥．又因为111,AA A B⊂≠平面11A ABB ，且1111AA A B A ⋂=,所以1C E ⊥平面11A ABB ，即1C E 是四面体1BDEC 的底面BDE上的高．因为1C E ===， 所以四面体1BDEC体积163V=⨯⨯=．点睛：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、空间角、体积计算等知识，考查空间想象能力，属于中档题． 18．（1）方案一：25a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为0.35%，方案二：42a b =⎧⎨=⎩，废料率第二小为4.3%；（2）最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72% 【分析】（1）设每根原材料可裁剪成a 根A 型钢管和b 根B 型钢管，则,6985184000a Nb Na b ∈∈⎧⎨+≤⎩，得到方案再计算废料率得到答案.（2）设用方案一裁剪x 根原材料，用方案二裁剪y 根原材料，共裁剪得z 套毛胚，得到4060x y =⎧⎨=⎩时，max 320z =，再计算废料率得到答案. 【详解】（1）设每根原材料可裁剪成a 根A 型钢管和b 根B 型钢管，则,6985184000a N b Na b ∈∈⎧⎨+≤⎩，方案一：25a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为269855181100%0.35%4000⨯+⨯⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；方案二：42a b =⎧⎨=⎩，废料率第二小为469825181100% 4.3%4000⨯+⨯⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；（2）设用方案一裁剪x 根原材料，用方案二裁剪y 根原材料，共裁剪得z 套毛胚，则,1002452x N y Nx y x y x y ∈∈⎧⎪+≤⎨⎪+=+⎩，24z x y =+ 当4060x y =⎧⎨=⎩，max 320z =套，废料率为400.35%60 4.3%2.72%100⨯+⨯= 综上：最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72% . 【点睛】本题考查了方案问题，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力. 19．（1）单调递减区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；单调递增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）[]2,4【分析】（1）当1a =时，2221,1()11,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩，再利用二次函数的图象与性质，即可求解；（2）由2()||10f x x x a =+-<在(1,3)x ∈-上恒成立，等价于221010x x a x -<-<-，分类参数可得2211()102411()1024a x a x ⎧<--+⎪⎪⎨⎪>+-⎪⎩在(1,3)x ∈-上恒成立，进而求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，2221,1()11,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩，函数()f x 的图象如图所示，结合图象，可得函数的单调区间为1(,)2-∞，函数的单调递增区间为1(,)2+∞.（2）由函数2()||10f x x x a =+-<在(1,3)x ∈-上恒成立，等价于221010x x a x -<-<-在(1,3)x ∈-上恒成立，则2211()102411()1024a x a x ⎧<--+⎪⎪⎨⎪>+-⎪⎩在(1,3)x ∈-上恒成立，解得24a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[2,4].【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数，以及分段函数应用，其中解答中根据题意，得到分段函数，合理应用函数的图象，以及合理利用分离参数法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 20．（1）2（2）证明见解析（3）4 【分析】（1）求得11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -，由三角形的面积公式，即可求解11APQ ∆面积； （2）设():1n n P Q y l kx m m =+≠，联立方程组，求得1212,x x x x +，又由0n n AP AQ ⋅=，求得35m =-，得到3:5n n P Q y kx l =-，即可得到答案. （3）由题意得：1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求得线段n AP 的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为332y n=-+，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆2214x y +=，可得11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -，故的11APQ ∆面积为11422⨯⨯=. （2）根椐对称性，定点必在y 轴上，利用特殊值可计算得定点为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设():1n n P Q y l kx m m =+≠，()11,n P x y ，()22,n Q x y ，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222148410k x kmx m +++-=， 可得()122212208144114km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩，因为90n n P AQ ∠=︒，所0n n AP AQ ⋅=，即12121210x x y y y y +--+=， 可得()()()()12121210x x kx m kx m kx m kx m +++-+-++=，即()()()()2212121110kx xk m x x m ++-++-=，可得()()5310m m +-=，又因为1m ≠，所以35m =-， 所以3:5n n P Q y kx l =-，可得必过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）易知n n AP Q ∆是等腰三角形，外接圆圆心在y 轴上，由题意得：1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，线段n AP 的中垂线为：112y x n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 故外接圆圆心的纵坐标为：332y n =-+，所以3313422n R n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭， 所以3lim lim 442n n n R n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了直线过定点问题，以及三角形的外接圆和等腰三角形的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.21．（1）数列[]2018A 为1234560,1,0,4,4,2a a a a a a ======；（2）见解析；（3）150974 【分析】（1）根据201812!44!45!26!=⨯+⨯+⨯+⨯得到答案.（2）只需证明两个不同的k 项生成数列表示的正整数不同，类推可得A B =的充要条件是生成数列12,,,k a a L a 和12,,,k b b L b 相同，得到证明（3）根据2025!1949!19491949!19501950!20242024!L -=⋅+⋅++⋅得到通项0,11948,19492024n n a n n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，计算得到答案.【详解】（1）201812!44!45!26!=⨯+⨯+⨯+⨯，所以数列[]2018A 为1234560,1,0,4,4,2a a a a a a ======；（2）对于恰有k 项的生成数列，其表示的正整数最小值为!k ， 表示的正整数最大值为()11!22!33!!1!1L k k k ⋅+⋅+⋅++⋅=+- 即k 项的不同生成数列共有()()231!1!!L k k k k k k k ⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅=+- 而满足()!1!1k n k ≤≤+-的正整数n 恰好有()1!!k k +-个 下面只需证明两个不同的k 项生成数列表示的正整数不同，设生成数列12,,,k a a L a 和12,,,k b b L b 表示的数为A 和B ，若k k a b <，()()()121!2!!11!22!11!!1!1!k k k k a a L a k L k k a k a k b k ⋅+⋅++⋅≤⋅+⋅+-⋅-+⋅=+⋅-<⋅即A B <，同理，若有11,k k k k a b a b --=<，也可得A B <. 依次类推可得A B =的充要条件是生成数列12,,,k a a L a 和12,,,k b b L b 相同. 综上可得，对任意正整数m ，存在唯一的生成数列[]A m . （3）因为()1!!!k k k k +-=⋅所以2025!1949!19491949!19501950!20242024!L -=⋅+⋅++⋅ 即[]2025!1949!A -的通项为0,11948,19492024n n a n n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩故所有项的和为()194920242024194911509742+⨯-+=.【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生对于数列方法的灵活运用以及解决问题的能力.。