第十讲 洛朗级数.ppt

现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定 能够展开成级数?先看下例.
函数f
(z)
1 z (1
z)
在z
0及z
1都不解析, 但
在圆环域0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的.
先研究0 | z | 1的情形,
f
(z)
1 z (1
z)
1 z
1 1
z
1 1 z z2 zn . z
由此可见, f (z)在0 | z | 1内是可以展开为级
数的.
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为级数:
f
(z)
1 z (1
z)
1 1 z
1 1 (1
z)
1 1
z
[1
(1
z)
(1
z)2
(1
z)n
]
(1 z)1 1 (1 z) (1 z)2
(1 z)n1
y
O
1
x
定理 设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析, 则
z0 )n
第二个积分
1 2π
i
K1
f
z
(z
) z
d
z
.由于z在K1上,点
z在K1的外部,
z
z
z0 z0
1.因此
z
1 z
1 z z0
1
1
z
z0
n1
(z z0 )n1
(z z0 )n
z z0
n1
(z
1 z0 )n1
(z z0 )n,
1 f (z ) dz
2π i z K1 z
cn (z z0 )n c1(z z0 )1 cn (z z0 )n .
n1
(负幂项部分)(4.4.3)
只有在正幂项和负幂项都收敛才认为(4.4.1)式
收敛于它们的和.
正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2, 对
负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到
cn (z z0 )n cnz n c1z c2z 2 , (4.4.4)
(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
2!
3!
( 1) ( n 1) zn ,| z | 1.
n!
练 求下列函数的 (1+z2)-3 与 arctgz 在z=0的泰勒
展开式
解： 1
(1 )3
1 2
( 1 )''
1
1 [ (1)n n ]
2 n0
1 1n (n 2)(n 1) n
电子工程学院
ez 1 z z 2 z n .
2!
n!
R
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 R
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
R
ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1
23
n 1
R 1
n1
n1
这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则当z<R 时,即z1|z-z0|>R1, (4.4.4)收敛即
(4.4.3)收敛, 因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆 环域, 级数(4.4.1)才收敛.
R2 z0 R1
例如级数
n1
an zn
n0
zn bn
(a与b为复常数)
2 n0
1
(1 z2 )3
n0
(1)n (n 2)(n 1) 2
z2n
| | 1
arg tgz
z 0
dz 1 z2
z
1 n z2ndz
0 n0
1 n z 2n1
n0 2n 1
| z | 1
练 求下列函数的 ezcosz 在z=0的泰勒展开式
解： ez cos z 1 [e(1i)z e(1i)z ]
2
1 [1 in (1 i)n ]zn
n0 2n!
n in
in
2 2 e 4 e 4
zn
n0 n!
2
n
2 2 cos(n )zn
n0 n!
4
第十讲
洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可 以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z) 在z0处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0 的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题 中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表 示法.
z
z0
z
K1
z
K2
由柯西积分公式得
f (z)
1 2π
i
f
z
(z
) z
dz
1 2π
i
f
z
(z
) z
dz
K2
K1
对第一个积分, z在K 2上,
z在K 2内,
z
z
z0 z0
1.
和泰勒展开式一样, 可以推得
1
2π i
f
z
(z
) z
dz
K2
n0
1
2π
i
K2
(z
f (z )
z0 )n1
dz
(z
f (z) cn (z z0 )n n
其中
cn
1 2π
i
C
(z
f (z )
z0 )n1
dz .
(n
0,1,2,)
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单
闭曲线.
[证] 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0 为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的 半径r, 且使z在K1与K2之间.
1 2π
| f (z ) |
K1
n0
|
z
z0
|
z z0
z z0
n ds
1 M1 qn 2π r M1q N .
2π nN r
1 qห้องสมุดไป่ตู้
M
是
1
|
f
(z) | 在K1上的最大值.
因为 lim q N N
0,
所以
lim
N 1 1
n1 2π
i
K1 (z
f
(z )
z0 )n1
dz
(z
z0 )n
RN (z),
其中RN (z)
1 2π
i
K1 nN
(z
z0 )n1 f (z
(z z0)n
)
d
z
.
令q z z0 r ,则0 q 1
z z0 | z z0 |
因此有
| RN (z) |
讨论下列形式的级数:
cn (z z0 )n cn (z z0 )n c1(z z0 )1
n
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n , (4.4.1)
可将其分为两部分考虑
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
n0
(正幂项部分)(4.4.2)
负幂项级数
an
n1 z n
a
n
当
a
n1 z z
1,
即| z || a |时收敛,
而正幂项级数
n0
zn bn
则当
|
z
||
b
|
时收敛.
所以
当| a || b |时原级数在圆环域 | a || z || b | 收敛.
当| a || b |时原级数处处发散.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在 收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 级数 (4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可 以逐项求积和逐项求导.