立体几何向量法
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A C 2、如图，在四棱锥 P—ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD=DC，E、 F 分别是 AB、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥CD； （Ⅱ）在平面 PAD 内求一点 G，使 GF⊥平面 PCB，并证明你的结论； （Ⅲ）求 DB 与平面 DEF 所成角的大小.
D
l
49 49 17 17 17
a 2 a F (1,0,0), B(0,1,0), C (0,1,1), AM (1 ) AC (0,1,1), 2 2
a a 1 a BN BF , AN (1 ) AB AF (a, 2 a, 0) 2 2 2 2 1 2 2 1 MN AN AM (a, 0, a 2) MN (a ) (0 a 2) 2 2 2
1
C
1
B
1
M
4、如图， ABCD A 1B 1C1D 1 是正四棱柱，侧棱长为 3，底面边长为 2，E 是 棱 BC 的中点。 （Ⅰ）求证： BD1 //平面 C1DE ； （Ⅱ）求二面角 C1 DE C 的大小 （Ⅲ）在侧棱 BB1 上是否存在点 P ,使得 CP 平面 C1DE ？证明你的结论。
B
3、如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ACB=90° ，CB=1,CA= 3 , AA1= 6 ,M 为侧棱 CC1 上一点, AM BA1 ． （1）求证: AM平面 A1BC ； （2）求二面角 B－AM－C 的大小； （3）求点 C 到平面 ABM 的距离．
C A B A
z 2, 则n (3, 2, 2) ，cos n, AD
3 (7) 2 (7) 2 7 3 22 (2)2 (7)2 (7)2 72
2
所以设 D 到平面 ABC 的距离为 d ， d AD cos n, AD 例 2： 解：建立如图所示空间直角坐标系 O xyz.
第3页
例 8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，∠ABC = 90° ，SA⊥面 ABCD，SA = 1 AB = BC = 1， AD ．求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值． 2 z S B A y C x
D
点评： 用向量知识求二面角的大小时， 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题， （ 1 ）当法向量 n1与n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量
C , D 是直线 l2 上的任意两点， （1） 设 l1 , l2 是两条异面直线，A, B 是 l1 上的任意两点， 则 l1 , l2
AB CD 所成的角为 arccos AB CD
（2） 设 AB 是平面 的斜线， 且 B , BC 是斜线 AB 在平面 内的射影， 则斜线 AB 与
C1
D
A1
D C
B1
D
A
D
B
第4页
五、专题突破： 1 、 如 图 ： 已 知 二 面 角 l 的 大 小 为 120 ， 点 A , B , AC l 于 点 C ，
BD l于D ，且 AC CD DB 1 ，求 （1）直线 AB与CD 所成角的大小， （2）直线 AB与CD 的距离。
D
B 例 7：如图， PA 平面ABC ，
AC BC, PA AC 1, BC 2 ，求二面角 A PB C 的大小。
P z E x A D C
B y 点评：如果 AB, CD 分别是二面角 l 两个面内的两条直线，且 A l , C l ,
AB l , CD l ，则二面角的大小为 AB, CD
第5页
5、如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1⊥BC1； （II）求点 B 到平面 AB1C1 的距离. （III）求二面角 C1—AB1—A1 的大小
6、( 2006 年湖南卷）如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离. P D A B C
' ' ' '
（1）求直线 AC与DE 所成角； （2）求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角， （3）求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角
' '
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z
A' B'
F
D'
C'
A B E
G D C
y
x
例 6：如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD 底面 ABCD，AD=PD，E， F 分别 CD、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF 平面 PAB； z （Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. P x C F E A y
2) 。
C百度文库
D M B y E N A(O)
第1页
F
x
例 3：正方体 ABCD A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，求异面直线 AC 1 1 与 AB1 间的距离 z D 1 M
C1 B1 z
N z C B y
A1
z D A x
z
例 4：如图，在长方体 ABCD A 1B 1C1D 1 中， AB 4, BC 3, CC1 2, 求平面 A 1 BC1 与平 面 ACD1 的距离。
AB BC 平面 所成的角为 arccos 。设 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条斜线， AB BC AB n AB n 则 AB 与平面 所成的角为 arccos ，或者arcsin 。 2 AB n AB n
第2页
n1 n2 （3）设 n1 , n2 是二面角 l 的面 , 的法向量，则 n1 , n2 arc cos 就是 n1 n2
二面角的平面角或补角的大小。 例 5：在棱长为 a 的正方体 ABCD A B C D 中， EF 分别是 BC , A' D' 的中点，
D1 A1 D A E B B1
C1
. 4
C
例 11．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3, BC 4, AB 5, AA 1 4 （1）求证 AC BC1; （2）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 CD ? （3）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC 1 // 平面CDB 1
立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强 运用向量方法解决几何问题的意识， 提高使用向量的熟练程度和自觉性， 注意培养向量的代 数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂直问题。 一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 （1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是： 求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐
D1
z
C1 B1
y
A1
D
C
x
A
B
点评： 若 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条斜线段， 且 B ， 则点 A 到平面 的
AB n 距离 d ，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射 n
影。 二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
第6页
参考答案： 例 1：解：设平面 ABC 的法向量 n ( x, y, z),n AB 0, n AC 0 ，所以
3 ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 x z ， 2 4 x 6 z 0 ( x, y, z ) (4, 0, 6) 0 y z
n MP 标，那么 P 到平面的距离 d MP cos n, MP n
（2）求两点 P, Q 之间距离，可转化求向量 PQ 的模。 （3） 求点 P 到直线 AB 的距离， 可在 AB 上取一点 Q ， 令A Q Q BP Q , A B
或 PQ 的
最小值求得参数 ，以确定 Q 的位置，则 PQ 为点 P 到直线 AB 的距离。还可以在 AB 上 任取一点 Q 先求 cos PQ, AB ，再转化为 sin PQ, AB ，则 PQ sin PQ, AB 为 点 P 到直线 AB 的距离。 (4)求两条异面直线 l1 , l2 之间距离，可设与公垂线段 AB 平行的向量 n ， C , D 分别是 l1 , l2 上
(2)由 MN (a
2 2 2 2 1 , MN ) 得a min 2 2 2 2
（3） a
1 1 1 2 , MN (1, 0 1), 又 MA (0, 1, 1), MB (0,1, 1) 所以可求得平面 2 2 2 2 MNA 与 平 面 M N B 的 法 向 量 分 别 为 n1 (1,1, 1), n2 (1,1,1) ， 所 以 1 1 1 ，所以 arccos 3 3 3 3
点评：平行问题的转化： 面面平行 转化 线面平行
转化
线线平行；
例 10．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AD 上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1—EC—D 的大小为 . 四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
CD n 的任意两点，则 l1 , l2 之间距离 AB n
例 1：设 A(2,3,1), B(4,1, 2), C (6,3,7), D(5, 4,8) ，求点 D 到平面 ABC 的距离
例 2：如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM BN a (0 a （Ⅰ）求 MN 的长； （Ⅱ）当 a 为何值时， MN 的长最小； z （Ⅲ）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小
Q
图4
7、 （2006 年全国卷 II）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC，D、E 分别为 BB1、 AC1 的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （Ⅱ）设 AA1＝AC＝ 2AB，求二面角 A1－AD－C1 的大小． C1 A1 D E C A B B1
n1与n2 的夹角的大小。 （2）当法向量 n1与n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量 n1与n2 的夹角的补角 n1, n2 。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例 9：如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4， AB 5 ,点 D 是 AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面 CDB1；
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a 2 a F (1,0,0), B(0,1,0), C (0,1,1), AM (1 ) AC (0,1,1), 2 2
a a 1 a BN BF , AN (1 ) AB AF (a, 2 a, 0) 2 2 2 2 1 2 2 1 MN AN AM (a, 0, a 2) MN (a ) (0 a 2) 2 2 2
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4、如图， ABCD A 1B 1C1D 1 是正四棱柱，侧棱长为 3，底面边长为 2，E 是 棱 BC 的中点。 （Ⅰ）求证： BD1 //平面 C1DE ； （Ⅱ）求二面角 C1 DE C 的大小 （Ⅲ）在侧棱 BB1 上是否存在点 P ,使得 CP 平面 C1DE ？证明你的结论。
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3、如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ACB=90° ，CB=1,CA= 3 , AA1= 6 ,M 为侧棱 CC1 上一点, AM BA1 ． （1）求证: AM平面 A1BC ； （2）求二面角 B－AM－C 的大小； （3）求点 C 到平面 ABM 的距离．
C A B A
z 2, 则n (3, 2, 2) ，cos n, AD
3 (7) 2 (7) 2 7 3 22 (2)2 (7)2 (7)2 72
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所以设 D 到平面 ABC 的距离为 d ， d AD cos n, AD 例 2： 解：建立如图所示空间直角坐标系 O xyz.
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例 8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，∠ABC = 90° ，SA⊥面 ABCD，SA = 1 AB = BC = 1， AD ．求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值． 2 z S B A y C x
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点评： 用向量知识求二面角的大小时， 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题， （ 1 ）当法向量 n1与n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量
C , D 是直线 l2 上的任意两点， （1） 设 l1 , l2 是两条异面直线，A, B 是 l1 上的任意两点， 则 l1 , l2
AB CD 所成的角为 arccos AB CD
（2） 设 AB 是平面 的斜线， 且 B , BC 是斜线 AB 在平面 内的射影， 则斜线 AB 与
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五、专题突破： 1 、 如 图 ： 已 知 二 面 角 l 的 大 小 为 120 ， 点 A , B , AC l 于 点 C ，
BD l于D ，且 AC CD DB 1 ，求 （1）直线 AB与CD 所成角的大小， （2）直线 AB与CD 的距离。
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B 例 7：如图， PA 平面ABC ，
AC BC, PA AC 1, BC 2 ，求二面角 A PB C 的大小。
P z E x A D C
B y 点评：如果 AB, CD 分别是二面角 l 两个面内的两条直线，且 A l , C l ,
AB l , CD l ，则二面角的大小为 AB, CD
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5、如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1⊥BC1； （II）求点 B 到平面 AB1C1 的距离. （III）求二面角 C1—AB1—A1 的大小
6、( 2006 年湖南卷）如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离. P D A B C
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（1）求直线 AC与DE 所成角； （2）求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角， （3）求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角
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例 6：如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD 底面 ABCD，AD=PD，E， F 分别 CD、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF 平面 PAB； z （Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. P x C F E A y
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例 3：正方体 ABCD A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，求异面直线 AC 1 1 与 AB1 间的距离 z D 1 M
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例 4：如图，在长方体 ABCD A 1B 1C1D 1 中， AB 4, BC 3, CC1 2, 求平面 A 1 BC1 与平 面 ACD1 的距离。
AB BC 平面 所成的角为 arccos 。设 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条斜线， AB BC AB n AB n 则 AB 与平面 所成的角为 arccos ，或者arcsin 。 2 AB n AB n
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n1 n2 （3）设 n1 , n2 是二面角 l 的面 , 的法向量，则 n1 , n2 arc cos 就是 n1 n2
二面角的平面角或补角的大小。 例 5：在棱长为 a 的正方体 ABCD A B C D 中， EF 分别是 BC , A' D' 的中点，
D1 A1 D A E B B1
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例 11．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3, BC 4, AB 5, AA 1 4 （1）求证 AC BC1; （2）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 CD ? （3）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC 1 // 平面CDB 1
立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强 运用向量方法解决几何问题的意识， 提高使用向量的熟练程度和自觉性， 注意培养向量的代 数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、 平行与垂直问题。 一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 （1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是： 求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐
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点评： 若 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条斜线段， 且 B ， 则点 A 到平面 的
AB n 距离 d ，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射 n
影。 二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
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参考答案： 例 1：解：设平面 ABC 的法向量 n ( x, y, z),n AB 0, n AC 0 ，所以
3 ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 x z ， 2 4 x 6 z 0 ( x, y, z ) (4, 0, 6) 0 y z
n MP 标，那么 P 到平面的距离 d MP cos n, MP n
（2）求两点 P, Q 之间距离，可转化求向量 PQ 的模。 （3） 求点 P 到直线 AB 的距离， 可在 AB 上取一点 Q ， 令A Q Q BP Q , A B
或 PQ 的
最小值求得参数 ，以确定 Q 的位置，则 PQ 为点 P 到直线 AB 的距离。还可以在 AB 上 任取一点 Q 先求 cos PQ, AB ，再转化为 sin PQ, AB ，则 PQ sin PQ, AB 为 点 P 到直线 AB 的距离。 (4)求两条异面直线 l1 , l2 之间距离，可设与公垂线段 AB 平行的向量 n ， C , D 分别是 l1 , l2 上
(2)由 MN (a
2 2 2 2 1 , MN ) 得a min 2 2 2 2
（3） a
1 1 1 2 , MN (1, 0 1), 又 MA (0, 1, 1), MB (0,1, 1) 所以可求得平面 2 2 2 2 MNA 与 平 面 M N B 的 法 向 量 分 别 为 n1 (1,1, 1), n2 (1,1,1) ， 所 以 1 1 1 ，所以 arccos 3 3 3 3
点评：平行问题的转化： 面面平行 转化 线面平行
转化
线线平行；
例 10．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AD 上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1—EC—D 的大小为 . 四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
CD n 的任意两点，则 l1 , l2 之间距离 AB n
例 1：设 A(2,3,1), B(4,1, 2), C (6,3,7), D(5, 4,8) ，求点 D 到平面 ABC 的距离
例 2：如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM BN a (0 a （Ⅰ）求 MN 的长； （Ⅱ）当 a 为何值时， MN 的长最小； z （Ⅲ）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小
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7、 （2006 年全国卷 II）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC，D、E 分别为 BB1、 AC1 的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （Ⅱ）设 AA1＝AC＝ 2AB，求二面角 A1－AD－C1 的大小． C1 A1 D E C A B B1
n1与n2 的夹角的大小。 （2）当法向量 n1与n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量 n1与n2 的夹角的补角 n1, n2 。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例 9：如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4， AB 5 ,点 D 是 AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面 CDB1；