高二上学期数学期末考试试卷真题
高二数学上学期期末考试试题含解析_1 2(共15页)
HY 疏勒县八一(b ā y ī)中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一．选择题〔答案请写在答题框内〕 1.集合，，那么A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，应选择C考点：集合的运算 2.函数y =+的定义域为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 函数有意义，要求【详解】函数()1233f x x x =-+-有意义，要求故答案(dá àn)为：C.【点睛】这个题目考察了详细函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 3.函数的单调递增区间为( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减〞的结论求解即可． 【详解】由可得或者， ∴函数的定义域为． 设，那么在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 应选D ．【点睛】〔1〕复合函数单调性满足“同增异减〞的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性一样时，那么函数()()y f g x =为增函数；否那么函数()()y f g x =为减函数．〔2〕解答此题容易出现的错误(cuòwù)是无视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 4.，那么的值是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得，再求cos α的值.【详解】由题得1sin =2α-，所以在第三、四象限，所以.应选：D【点睛】此题主要考察诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.的图象，只需要将函数的图象〔 〕A. 向左平移个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移(pínɡ yí)3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（ ） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（ ） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（ ）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ． 【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（ ） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)； ，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1： ． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（ ）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
高二数学上学期期末考试试卷含答案
第一学期期末考试 高二 年级 数学 试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =（ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量，，且//，则＝( ) A ．B ．C ．D ．4．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．46．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）A .x x f π4)(=' B. x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(='7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A ． 向右平移个单位长度B ． 向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向左平移个单位长度8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为 ( )A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A .318B .315C .3824+D .31624+10．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是（ ）A .925 B .1625 C .310 D .1511．己知函数恒过定点A ．若直线过点A ，其中是正实数，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ． 512．已知不等式2201x m x ++>-对一切()1x ∈+∞，恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 6m >- B ． 6m <- C ． 8m >- D ． 8m <-第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知命题p ：∀x >0，(x ＋1)e x >1，则p 为 ．14．设变量x ，y 满足约束条件,22,2.y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝x －3y 的最小值为15．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=__________16．对于下列表格x 196 197 200 203 204 y136 7 m所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155. 则实数m 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分11分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围.18、（本小题满分11分）．在锐角中，分别为角所对的边，且.（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.19 . (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，)(2,1*11N n a a a n n ∈==+，数列{}n b 是以公差为3的等差数列，且32a b =.(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2) 求数列{}n n b a -的前n 项和n S .20．(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的焦距为32，长轴长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线m x y l +=:与椭圆C 交于 A ，B 两点．若OB OA ⊥，求m 的值．22. （本小题满分12 分） 已知函数(1)讨论函数 f (x)的单调性； （2）若对任意的a ∈ [1,4)，都存在 (2,3]使得不等式成立，求实数m 的取值范围.高二数学期末考试参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案ABBABCADCDBA13、∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 14．－8 15．32 16. 8 17. (本题11分)解：（I ）:26p x -≤≤ ………………………1分p 是q 的充分条件[]2,6∴-是[]2,2m m -+的子集 ………………………2分 022426m m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥∴⎨⎪+≥⎩的取值范围是[)4,+∞………………………5分（Ⅱ）当5m =时，:37q x -≤≤，由题意可知,p q 一真一假， ………………………6分p 真q 假时，由2637x x x x -≤≤⎧⇒∈∅⎨<->⎩或 ………………………8分 p 假q 真时，由26326737x x x x x <->⎧⇒-≤<-<≤⎨-≤≤⎩或或 ………………………10分 所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7-- ………………………11分18． (本题11分)解：(1),由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3•=…………1分又，， …………3分又 …………5分（2)由已知得，…………7分在中，由余弦定理得…………8分即，又，(舍负)…………10分故的周长为 …………11分19 . (本题12分)解（1）)(2,1*11N n a a a n n ∈==+ ，{}的等比数列是公比为数列2n a ∴， 121-⨯=∴n n a ..........................................3分 因为等差数列{}n b 的公差为3，又42232===a b ，所以233)1(2-=⨯-+=n n b b n ，..........................6分 (2))()()(2211n n n b a b a b a S -++-+-=)(2121n n b b b a a a ++-++=）（.....................8分 2)231(212-1-+--=n n n ..................................10分 122322-+-=nn n...............................12分20、 (本题12分)解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.......1分 设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36...........2分 ∴36n ＝0.300，∴n ＝120...........3分.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750.........4分∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.....5分 (2) 产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100， (0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750, 0.075×2＝0.150，........8分∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，...10分 ∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．..12分 20.(本题12分)解：（1）∵椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的焦距为32，长轴长为4，3=∴c ，2=a ，∴1=b ,..........................................2分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x .........................4分 （2）设),(,2211y x B y x A ）（，将直线AB的方程m x y +=为代入椭圆方程得0448522=-++m mx x . .......................6分 则58-21mx x =+，544221-=m x x ， ①.又0)44(206422>--=∆m m ，解得52<m . .......................9分，由OB OA ⊥得：0)(2))((2212121212121=+++=+++=+m x x m x x m x m x x x y y x x ........11分将①代入，得5102±=m ，又∵满足52<m ，∴5102±=m ．........12分22．（本题满分12分）解：（1）.........2分令得：..........3分令得：...........4分所以函数f（x）的单调递增区间为：和；单调递减区间为：.........6分（2）因为由（1）知函数在（2，3]上单调递增，所以........8分若对任意的a[1，4），都存在（2，3]使得不等式成立，等价于恒成立........9分令当时，所以当时，........11分故实数m 的取值范围是：.......12分。
福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．设P 是椭圆上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）2213y x +=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用椭圆的定义即可求解【详解】由可得，2213y x +=23a =根据椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 2a =故选：B2．双曲线的焦距等于（ ）2214x y -=A ．4B ．2C D ．【答案】D【分析】根据给定条件，利用双曲线方程求出半焦距作答.【详解】双曲线的半焦距为c ，则，解得，2214x y -=2415c =+=c =所以双曲线的焦距等于2214x y -=故选：D3．已知抛物线：，则焦点到准线的距离是（ ）C 23y x =A ．B ．C ．D ．1623313【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准形式，得到焦点坐标和准线方程，得到焦点到准线的距离.【详解】抛物线：化成标准方程为抛物线, C 23y x =213x y =则焦点坐标为，准线方程为，10,12⎛⎫⎪⎝⎭112y =-故抛物线焦点到准线的距离是．C 16故选：A4．双曲线的渐近线方程是（ ）22132x y -=A ． B ．23y x =±32y x =±【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为，所以22132x y -=a b ==所以渐近线方程为． b y x a =±=故选：D5．、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（ ） A B C D A B A ．24种 B ．12种 C ．48种 D ．23种【答案】B【分析】利用捆绑法求解相邻问题．【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整A B A B 22A A B 体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，C D 33A 2323A A 12=故选：B ．6．，则（ ） ()4234012341x a a x a x a x a x +=++++01234a a a a a -+-+=A ．1 B ．3 C ．0 D ．3-【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取即得. =1x -【详解】因为， ()4234012341x a a x a x a x a x +=++++令，可得. =1x -()401234110a a a a a -+-+=-=故选：C.7．（ ）322334C C C ++=A ． B ．C ．D ．36C 35C 26C 45C 【答案】B【分析】利用组合数的运算公式计算，得到答案.【详解】，其中，，，.322334C C C 13610++=++=36C 20=35C 10=2615C =45C 5=故选：B8．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是（ ） A ．36 B ．48C ．64D ．72【分析】先将礼物分为3组，再和3位同学进行全排列即可.【详解】由题可知，有1位同学分得两个礼物，其他2为同学各得一个，可以先从4个礼物种挑出2个，将礼物分为3份，与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是．2343C A 36=故选：A二、多选题9．已知双曲线方程为，则（ ） 22832x y -=A ．焦距为6 B ．虚轴长为4C ．实轴长为D 【答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到，，对照选项即可求解.a =2b =6c =【详解】双曲线方程化为标准方程为：，22832x y -=221324x y -=可得：，，a =2b =6c =所以双曲线的焦距为，虚轴长为，实轴长为， 212c =24b =2a =c e a =故选：.BCD 10．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭C 圆的标准方程可能为（ ）C A ．B ．22149x y +=22195x y +=C ．D ．22194x y +=22159x y +=【答案】BD【分析】由题设写出椭圆参数值，再讨论焦点的位置确定椭圆方程即可.【详解】由题意，有，，，3a =2c =5b ==∴椭圆的标准方程可能为或.C 22195x y +=22159x y +=故选：BD.11．若，则正整数x 的值是（ ）2155C C x x -=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x 的值 【详解】由题意得：或， 21x x =-215x x +-=解得：或，经过检验，均符合题意. 1x =2x =故选：AB12．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 1237C C B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种1239C C C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 1221337373C C C C C ++D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 33107C C -【答案】ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A 正确，B 错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD 正确 【详解】解：由题意得：对于A 、B 选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有13C 种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A 正确；27C 1237C C 对于选项C ：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，1237C C 共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合2137C C 33C 格品的抽法有种，故B 错误，C 正确；1221337373C C C C C ++对于选项D ：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出310C 37C 的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D 正确. 33107C C -故选：ACD13．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 4再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 24A 12=由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 41248⨯=故答案为：48.14．过抛物线的焦点弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的长为______． 22y x =【答案】5【分析】将焦点弦长转化为抛物线上点到准线的距离，进而转化为坐标表示，由中点横坐标计算可得弦长.【详解】抛物线准线方程为，设焦点为，，，22y x =12x =-F 11(,)A x y 22(,)B x y 则焦点弦， 121211122AB AF BF x x x x =+=+++=++又因为弦的中点的横坐标为2，所以，， AB 1222x x +=124x x +=所以焦点弦长. 5AB =故答案为：5.15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答）【答案】180【分析】利用分步乘法计数原理即得.【详解】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法，再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法， 所以不同的种植方案共有（种）． 5433180⨯⨯⨯=故答案为：180．16．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程()2,1M l 221168x y +=,A B M ,A B l 为___________. 【答案】30x y +-=【分析】结合点差法求得直线的方程. l 【详解】椭圆2216,8,4,a b a b ====由，令得：，所以在椭圆内， 221168x y +=2x =2221,1168y y +==>M 同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，l :2l x =((,2,A B 不是线段的中点，所以直线的斜率存在.M AB l 设，则，()()1122,,,A x y B x y 222211221,1168168x y x y +=+=两式相减并化简得，12121212816y y y y x x x x +--=⋅+-即， 211112222M l l l M y k k k x -=⋅⇒-=⋅⇒=-所以直线的方程为，即. l ()12y x -=--30x y +-=故答案为：30x y +-=四、解答题17．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） (1)两端是女生，有多少种不同的站法？ (2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？ 【答案】(1)720；(3)2520；【分析】（1）先选2女生排两端，再将其余学生全排列，即可得结果. （2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5个空中，即得结果. （3）将所有人作全排列，根据甲乙女生位置的对称性，即可求结果. 【详解】（1）选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，23A 55A 所以两端是女生的不同站法有种.2535A A 720=（2）先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，44A 35A 所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.4345A A 1440=（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有77A 种. 771A 25202=18．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人；（2）甲、乙、丙三人必需参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加.【答案】（1）792种；（2）36种；（3）126种；（4）378种. 【分析】组合实际应用题，结合条件及组合的含义即求.【详解】（1）从中任取5人是组合问题，共有种不同的选法；512792C =（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有种不同的2936C =选法；（3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有种不同的选法；59126C =（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：选从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再13C 从另外9人中选4人，有种选法，共有种不同的选法.49C 1439378C C =19．已知，求 567117C C 10C m m m -=8C m【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m 的值，即可求解的值. 8C m【详解】， 567117C C 10C m m m -= ，且， !(5)!!(6)!7!(7)!5!6!107!m m m m m m ⨯-⨯-⨯-∴-=⨯05,Z m m ≤≤∈两边乘以，得，5!!(5!)m m -67(7)(6)161076m m m ----=⨯⨯即，解得或，223420m m -+=2m =21m =，，05,Z m m ≤≤∈2m ∴=. 28887C C 2821m =⨯∴==⨯20．二项式展开式前三项的二项式系数和为22；2nx ⎛⎝(1)求的值；n (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6 (2) 321280x (3)960【分析】（1）根据前三项的二项式系数和得到方程，求出；（2）在第一问求出的基础6n =6n =上，求出展开式中二项式系数最大的项为第4项，根据通项公式求出答案；（3）根据展开式通项公式得到.644162C 960T +==【详解】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22，∴，012C C C 22n n n ++=∴， 2420n n +-=∴或（舍） 6n =7n =-故的值为6n （2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为，36C 20=∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即()33332C 21280T x x ==（3）设展开式中常数项为第项，即， 1r +()36662166C 2C 2rr rr r r r T x x---+==⋅令，则， 3602r-=4r =∴，644162C 960T +==故展开式中的常数项为第5项，即96021．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为6． 2:2(0)C y px p =>(5,)M m (1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段的中点，求直线l 方程． (2,1)P AB 【答案】(1). 2:4C y x =(2). :230l x y --=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =-+线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2p x =-∴抛物线定义知：，可得， 562p+=2p =∴.2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， :(1)2l x k y =-+有，整理得，则，又P 是线段的中点， 24(1)2y k y =-+24420y ky k -+-=4A B y y k +=AB ∴，即，故. 42k =12k =:230l x y --=22．已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且是与的等差中()12,0F -()22,0F P 12F F 1PF 2PF 项.(1)求此椭圆方程；(2)若点满足，求的面积.P 1260F PF ∠=12PF F △【答案】(1)2211612x y +=(2)【分析】（1）设该椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进一步可()222210x y a b a b +=>>a 求得的值，由此可得出该椭圆的方程；b （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.12PF PF ⋅【详解】（1）解：设该椭圆的标准方程为，()222210x y a b a b+=>>由已知得，，所以，1212282F F PF PF a =+==4a ∴=b ==因此，该椭圆的方程为.2211612x y +=（2）解：由余弦定理可得222212121242cos60F F PF PF PF PF ==+-⋅ ，可得， ()21212123643PF PF PF PF PF PF =+-⋅=-⋅1216PF PF ⋅=所以，12121sin 602PF F S PF PF =⋅= △。
高二上学期数学期末考试试卷及答案
高二上学期数学期末考试试卷及答案考试时间：120分钟试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.对于常数、，“”是“方程的曲线是双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A.B.C.D.4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.B.C.D.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为A.B.C.D.6.曲线在点处的切线的斜率为A.B.C.D.7.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.8.设是复数,则下列命题中的假命题是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则9.已知命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的是A.否命题“若函数在上是减函数，则”是真命题B.逆否命题“若，则函数在上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若，则函数在上是减函数”是真命题D.逆否命题“若，则函数在上是增函数”是假命题10.马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.设，，曲线在点()处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围为A.B.C.D.12.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A.2B.3C.4D.5卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设复数，那么等于________.14.函数在区间上的最大值是________.15.已知函数，则=________.16.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点(在轴左侧)，则.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知z是复数，和均为实数(为虚数单位).(Ⅰ)求复数;(Ⅱ)求的模.18.(本小题满分12分)已知集合，集合若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.(本小题满分12分)设椭圆的方程为点为坐标原点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在线段上且满足，直线的斜率为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点为椭圆的下顶点,为线段的中点，证明：.20.(本小题满分12分)设函数(其中常数).(Ⅰ)已知函数在处取得极值，求的值;(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，且椭圆上点到椭圆左焦点距离的最小值为. (Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程.22.(本小题满分12分)已知函数(其中常数).(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.一.选择题CDBACCDABBDB二.填空题三.解答题17.解：(Ⅰ)设，所以为实数，可得，又因为为实数，所以，即.┅┅┅┅┅┅┅5分(Ⅱ)，所以模为┅┅┅┅┅┅┅10分18.解：(1)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4分(2)时，，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8分(3)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅12分19.解(Ⅰ)已知，，由，可得，┅┅┅┅┅┅┅3分所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)因为，所以，斜率为，┅┅┅┅┅┅┅9分又斜率为，所以()，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分20.解：(Ⅰ)，因为在处取得极值，所以，解得，┅┅┅┅┅┅┅3分此时，时，，为增函数;时，，为减函数;所以在处取得极大值，所以符合题意;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)，所以对任意都成立，所以，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分21.解：(Ⅰ)设左右焦点分别为，椭圆上点满足所以在左顶点时取到最小值，又，解得，所以的方程为.(或者利用设解出得出取到最小值，对于直接说明在左顶点时取到最小值的，酌情扣分);┅┅┅┅┅┅┅4分(Ⅱ)由题显然直线存在斜率，所以设其方程为，┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与，得到，，化简得┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与，得到，，化简得，┅┅┅┅┅┅┅10分解得或所以直线的方程为或┅┅┅┅┅┅┅12分22.(Ⅰ)，设，该函数恒过点.当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅2分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅4分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅6分当时，在增.┅┅┅┅┅┅┅8分(Ⅱ)原函数恒过点，由(Ⅰ)可得时符合题意.┅┅┅┅┅┅┅10分当时，在增，减，所以，不符合题意.┅┅┅┅┅┅┅12分数学考试反思数学考试反思八篇数学考试反思（一）：上个星期五，张老师对我们进行了数学第二单元的测试。
高二上学期期末考试数学试卷含答案(word版)
新高考地区高二上学期期末考试试题数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π33．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．2B ．5C ．D ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．56．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．1877．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．[)2,∞+D ．[)1,+∞8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）A B C ．1D ．12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ） A ．790a a += B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠ B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABCD D ．若直线AE平面1BFD ，则14λ=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ）A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF为定值12D ．PKF QKF ∠∠=第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 14．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．15．在直三棱柱111ABC A B C中，CA =CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N .22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.新高考地区高二期末考试参考答案第I 卷（选择题）一、单选题1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据3423()a a q a a +=+求出q ，再根据4534()a a q a a +=+可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q ，由3423()a a q a a +=+，可得q ＝2，所以4534()4a a q a a +=+=. 故选：A.2．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【分析】根据弦长公式可得弦长，根据ABC 的边长关系，确定圆心角的大小，可得2(x +CA CB ==π3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=【详解】由双曲线的离心率为22，得22222122c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7b a =，又双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为7y x =±，即70x y ±=．故选:A ．4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ） A ．2 B ．5C ．42D ．210【答案】B【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解a ，求出A 的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解AB 即可． 【详解】解：圆224210x y x y +--+=即22(2)(1)4x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径为2r =， 由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心()2,1C ， 则210a +-=，解得1a =-，点A 的坐标为()3,1--， 作示意图如图所示：225229,2AC BC r =+===，切点为B ，则AB BC ⊥， 所以225AB AC BC =-=．故选：B ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.D ，连接P PD PQ +6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．187为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为(2,2,3)，(1,2,0),M D ，所以11(0,2,3),(1,2,0),(2,0,3)AB AM AD ==-=-的法向量为(,,)n x y z =00=，可取(6,3,2)n =-，的距离为112187||364AD n n ⋅-==+．故选：D7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞ C ．[)2,∞+ D ．[)1,+∞【答案】C【分析】本题首先可根据516a =、434a a -=得出12n n a -=，然后根据n n b na =得出12n n b n -=⋅，再然后根据错位相减法求出()121nn S n =-⨯+，最后根据题意得出对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立，根据()*1222n n n N S b n-=-∈<即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为516a =，434a a -=，所以413211164a q a q a q ⎧=⎨-=⎩，解得2q ，11a =，12n n a -=，因为n n b na =，所以12n n b n -=⋅，0n b >，则01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12112222222212112n nn n nn n n nS S S n n n ， 对任意*n ∈N 不等式1n n S mb -≤恒成立，即对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立， 因为()*11(1)22222n n n n S n b n n N n ---⋅==-<⋅∈，所以2m ≥，m 的取值范围为[)2,∞+. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题. 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）ABC ．1D ．12二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ）A ．790a a +=B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】CD【分析】对A 将直线化成(3)(343)0m x x y +++-=，则303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解出即为定点；对B 直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B ，对C ，直接将m 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D ，设点(,94)P t t --，利用两点直径式方程写出以PC 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数t 的方程，即可求出定点坐标.【详解】由直线l :(3)4330m x y m ++-+=,(R)m ∈,整理得:(3)(343)0m x x y +++-=,故303430x x y +=⎧⎨+-=⎩,解得33x y =-⎧⎨=⎩,即经过定点()3,3-,故A 错误; 当0m =时,直线l 为3430x y +-=,∴圆心(0,0)到直线3430x y +-=的距离11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABC DD ．若直线AE平面1BFD ，则14λ= 【答案】ACD 【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)F BE D F λλ=-=-1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)AE BF BD λ=-=-=--对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则12211λ-≠-，则12λ≠，故A 正确； 对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，12λ∴=，故B 错误； 对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==-，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =则100AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ满足(1,1,1)(2,0,1)15sin |cos ,|1535AE nAE n AE n θ⋅-⋅=〈〉===⨯⋅，故C 正确； 对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =1100BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE平面1BFD ，则22210AE m λλ⋅=-++=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF 为定值12D ．PKF QKF ∠∠=所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确； 对于D ，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+， ()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQ y y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++ ()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+ 所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.第II 卷（非选择题）三、填空题13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 【答案】15##0.2 【分析】根据递推关系可通过计算前面2345n ,,,，发现数列{}n a 是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =得2131212155a a =-=⨯-=，23222155a a ==⨯=，32242255a a ，4243212155a a ，543122155a a ，，故数列{}n a 是周期为4的周期数列，故2022215a a ， 故答案为：1514．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．【答案】4【分析】根据题意分析可得12π2F PF ∠=，利用勾股定理结合椭圆定义求12PF PF ，进而可求四边形12PFQF 的面积.【详解】由椭圆22142x y +=可得：2212122,2,2,24,222a b c a b PF PF a F F c ===-=+====， 由题意可得：12||,||OP OQ OF OF ==，则12PFQF 为平行四边形， ∵12||PQ F F =，则121||2OP F F =， ∴12π2F PF ∠=，则22212128PF PF F F +==， 又 ()222121212216PF PF PF PF PF PF +=++=，∴124PF PF =， 则四边形12PFQF 的面积121212242PF F S S PF PF △==⨯=. 故答案为：4.15．在直三棱柱111ABC A B C 中，33CA =32CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．【答案】8215【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出CM 与1A B 的坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，1,,CA CB CC 两两垂直，可如图建立空间直角坐标系. 则，()133,0,6A ，()10,32,6B ，()0,0,0C ，()0,32,0B ， 由112AM MB =可得，1122CM CA CB CM -=-， 则()()()11212133,0,60,32,623263333CM CA CB =+=+=，，， ()133326A B =--，，，()()222232652CM ==++，()()()2221333269A B =--=++，11863648CM A B ⋅=-+-=-，所以，111cos ,CM A BCM A B CM A B ⋅=488215952-==-⨯. 所以，异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为8215. 故答案为：8215. 16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.【答案】53##213【分析】设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，由题意可得1122AF F F c ==，12F M AF ⊥，由双曲线的定义可得222F A c a =-，2MF c a =-，244BF c a =-，142BF c a =-，2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出,a c 的关系，从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解：如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1221F AF AF F ∠=∠，所以1122AF F F c ==，因为M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥，由122AF F A a =-，得222F A c a =-，所以2212F A M F c a ==-， 在12MF F △中，22112cos 2MF c a MF F F F c-∠==， 因为22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-， 在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-， 因为2121BF F MF F π∠+∠=，所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，即()22412160216c a c a ac c c c a -+-+=-， 整理可得221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=， 所以()()530a c a c --=，所以53a c =或a c =（舍），所以离心率53c e a ==， 故答案为：53. 四、解答题17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)()21N n a n n +=-∈(2)321n n + 【分析】（1）等差数列通项公式和求和公式列方程求解；（2）利用裂项相消法11221231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，可求和. 【详解】（1）根据题意，设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠， 因为1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =，所以221424S S S S ⎧=⋅⎨=⎩， 整理得：()()2111146224a a d a d a d ⎧⋅+=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩. 故()21N n a n n +=-∈.（2）由（1）得：()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 311111313112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值. ）建立空间直角坐标系，利用110B M C E ⋅=求得1AEC 所成角的余弦值）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，),02t t ≤≤， ()(112,0,2,1,1B M t C E =--=-若11B M C E ⊥，则112B M C E ⋅=--则棱1AA 上存在一点M ，满足1B M （2）()()(2,0,0,0,2,0,2,2,0B C BC =-的法向量为(),,n x y z =12n AC y n AE x y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，故可取()1,1,1n =-设直线BC 与平面所成角为,0θθ≤≤22n BC n BCθ⋅==⋅，所以cos BC 与平面AEC19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．【答案】(1)212y x = (2)8【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出p 即可.（2）用横截式设出直线MN 的方程以及M N ，的坐标，联立直线与抛物线方程，得到0∆>及韦达定理，再利用线段MN 的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段MN 的长度，用点到直线的距离公式求出点F 到直线MN 的距离，进而可求出MNF 的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义知02522p pAF x =+=+=，解得6p ，则抛物线的方程为212y x =故：答案为212y x =.（2）由线段MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN x my b =+：，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线方程，有212x my b y x=+⎧⎨=⎩，即212120y my b --=，所以有()()2212484830m b m b ∆=+=+>， 且12121212y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，则()212122122x x m y y b m b +=++=+ 所以2124101223m m b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即131m b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线:33MN y x =-+，21281013MN m y y =+-=，点F 到直线MN 的距离233361013d -⨯+==+. 所以182MNFSMN d ==. 故：答案为8.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先证明1A C DE ⊥，然后证明BD ⊥平面11AAC C ，可得1BD A C ⊥，即可证明；（2）首先证明1C D ⊥平面ABC ，然后以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设()111,,,(01)P x y z C P C B λλ=<<，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接1AC ，由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥； 又D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，因为二面角1C AC B --为直二面角， 即平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面,ABC AC BD =⊂平面,ABCBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥；又,,BD DE D BD DE =⊂平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . （2）112,60CA CC ACC ∠===，1ACC ∴△为等边三角形，1C A D C ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1C D ⊂平面11,ACC A1C D ∴⊥平面ABC ，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11130,0,0,3,0,0,0,,,0,0,3,3,1,3,0,1,022D BE C B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,3A ，()()()111133,0,0,0,,,3,1,0,0,3,322DB DE C B CA ⎛⎫∴==-== ⎪ ⎪⎝⎭111,(0C P C B λλ=<(3DP λ∴=的一个法向量(10,3,m CA ==的法向量(),,n a b c =30330DB n a DP n a b c λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩3，则(,0,3,a n λ==-∴=-33cos ,233m nm n m n -⋅==⋅⨯， ()2,3t λ-=∈，则113,126212m n λ==-+211112613,,1,,3222m n t t t ⎛⎛⎫⎛∈∴-+∈∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎝即锐二面角的余弦值的取值范围为1,2⎛ ⎝21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N . 【答案】(1)21nn a =-(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）推导出数列{}1n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由已知条件变形可得出()12322n n b b b b n nb ++++-=，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由()12322n n b b b b n nb ++++-=可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=-，两式作差结合等差中项法可证得结论成立；(114n b a --=)2n b ++-1b ，解得b )232n n b b b nb +++-=可得)1n b -++-上述两个等式作差可得(22n n b nb -=-)11n b --=-，故())11n n b b --， ，因此，数列{）解：122n n n a a +=1n n a a +++<(111211122122232nn n n a a ++-==≥--⋅所以，12221111116212322221n n n a a a n n a a a +- ⎛⎫⎝+++≥-+++=- ⎪⎝⎭-因此，对任意的N n *∈，122311232n n a a a n n a a a +-<+++<. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在⊥，证明：存在定点T，使得QT为定值．直线MN上，PQ MN。
2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解
2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（ ） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（ ）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程： 得： ， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为 ，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2， 所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（ ） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题第I 卷（试题） 一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x≥0, (D)(x-3)(2-x)>06、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π437、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）22911、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±51612、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .三、 解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
3
6
故选：D.
2.
数列 1 ， 1 57
，1 9
，
1 11
，……的通项公式可能是
an
（）
(1)n
A.
3n 2
(1)n1
B.
2n 3
(1)n
C.
2n 3
(1)n1
D.
3n 2
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母 5, 7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为
因此 F 的轨迹方程是 y2 x2 1 （ y 1）. 48
故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 x, y ，根据题意列出关于 x, y 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 x, y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
1 2n 1
2n 2n 1
，即有
Sn
nan1 ．
故选：ABD．
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别为棱 BC、CC1、BB1 的中点，则下列
选项中正确的是（）
A. 点 A 到直线 EF 的距离为 3 2 2
C.
三棱锥
A1
-AEF
的体积为
2 3
【答案】ACD
D. 过点 A 且平分△ABC 面积的直线与边 BC 相交于点 D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断 A，求出相应的直线方程判断 BC，求出边 BC 中点坐标判断 D．
【详解】直线 BC 的斜率为 k 7 3 2 ，而直线 3x 2 y 1 0 的斜率为 3 ，两直线不平行，A 错；
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
山西省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等差数列中，若，，则（ ） {}n a 12336a a a ++=11121384a a a ++=59a a +=A ．30 B ．35C ．40D ．45【答案】C【解析】利用等差数列性质，若，则及等差中项公式可求. ++m n p q ＝++m n p q a a a a ＝【详解】因为 ，由等差中项公式，得， 12336a a a ++=2336a =同理，得，11121384a a a ++=12384a =． 2123+3=81036+42a a ∴=212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果为等差数列，若，则 ． {}n a ++m n p q ＝++m n p q a a a a ＝()*m n p q N ∈，，，（2）为等差数列，则有.{}n a 11n n n a a a ＝2-++2．已知函数在处取得极值，则（ ） ()ln f x x ax =-2x ==a A ．1 B ．2C ．D ．-212【答案】C【分析】利用列方程，解方程求得的值.()'20f =a 【详解】，依题意，即.()'1f x a x=-()'20f =110,22a a -==此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以()()'112022x f x x x x-=-=>()f x ()0,2()2,∞+在处取得极大值，符合题意. ()f x 2x =所以. 12a =故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程()22210x y a a -=>28y x =是（ ）A ．B ． y =y x =C ．D ． y =y =【答案】D【分析】求出双曲线方程中的即得解.a【详解】解：∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴ 28y x =2c =2413a =-=a =∴b a =所以双曲线的渐近线方程为. y =故选：D4．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y 2＝1的离心率为（ ）2x mA B CD ．或7 56【答案】C【分析】根据等比中项可求，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率6m =±的公式即可求解.【详解】实数4，，9构成一个等比数列，可得，m 6m =±当时，圆锥曲线为椭圆, 6m =221x y m +==当时，圆锥曲线为双曲线,6m =-221x y m +==故选：C ．5．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与111ABC A B C -120ABC ∠=︒2AB =11BC CC ==1AB 1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题知，，进而利用向量求解异面直线所成角即可.11AB BB BA =- 11BC BC CC =+【详解】解：由题知，在直三棱柱中，平面，平面， 111ABC A B C -1BB ⊥ABC 1CC ⊥ABC ∵平面，平面， BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴，，1BB BC ⊥1CC AB ⊥∵，，11AB BB BA =- 11BC BC CC =+∴.11111110121022AB BC BB BC BB CC BA BC BA CC ⎛⎫⋅=⋅+⋅-⋅-⋅=+-⨯⨯--= ⎪⎝⎭，∴，111111cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅===∴异面直线与1AB 1BC 故选：C.6．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个4通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．13n n a -=3nn a =32nn a n =-1323n n a n -=+-【答案】A【解析】根据图象计算出、、、的值，进而可归纳得出数列的通项公式. 1a 2a 3a 4a {}n a 【详解】设第幅图中着色的三角形个数为，n n a 由图形可得，，，，0113a ==1233a ==2393a ==34273a ==据此可归纳得出该数列的一个通项公式为.13n n a -=故选：A.【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题. 7．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．D ．132【答案】C【详解】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝ 1328．已知，，若，，使得，则实()()2ln 1f x x =+()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]10,3x ∀∈[]21,2x ∃∈()()12f x g x ≥数的取值范围是（ ）m A ．B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由题意可知，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出不等式()()min min f x g x ≥可解得答案.【详解】由题意，，使得，则需满足， []10,3x ∀∈[]21,2x ∃∈()()12f x g x ≥()()min min f x g x ≥在上单调递增，故，()()2ln 1f x x =+[]0,3()min (0)0f x f ==在上单调递减，故，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,2()min 1(2)4g x g m ==-故，即，110,44m m ≥-∴≥1,4m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：A二、多选题9．已知函数，其导函数为，则（ ） 2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+()f x 'A ． B ．C ．D ．(0)1f =-(0)1f '=(0)1f =(0)1f '=-【答案】BC【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得0x =()()020f f '=-0x =，从而可求得 ()()00f f '=()()001f f '==【详解】因为， 2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+所以．()()020f f '=-因为，所以． ()2(0)(0)sin f x x f f x ''=++⋅()()00f f '=故． ()()001f f '==故选：BC【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题10．如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是ABCD BD A BD C --（ ）A ．AC BD ⊥B ．是等边三角形 ACD A C ．与所成的角为 AB CD 60 D ．与平面所成的角为 AB BCD 60 【答案】ABC【分析】对于A ，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解；对于B ，根据直角三角形斜边的中线定理及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理即可求；对于C,根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解；对于D ，根据B 选项及线面角的定义，结合等腰直线三角形即可求解. 【详解】如图所示对于A ，取的中点，连接，折叠后是等腰直角三角形，BD E ,,AE EC AC ,ABD BCD A A ，，又,BD AE ⊥BD CE ⊥AE CE E =I 所以平面，平面，所以，故A 项正确； BD ⊥AEC AC ⊂AEC AC BD ⊥对于B ，设折叠前正方形的边长为，则，， a BD =AE EC ∴==由平面平面，因为是的中点，是等腰直角三角形， ABD ⊥BCD E BD ABD △所以，又平面平面，平面， BD AE ⊥ABD ⋂BCD BD =AE ⊂ABD 所以平面,平面，所以, ⊥AE BCD CE ⊂BCD AE CE ⊥所以，AC a ===所以是等边三角形，故B 项正确；ACD A 对于C ，设折叠前正方形的边长为，则取的中点的中点，连接，，a BC ,F AC G ,EF EG FG 所以11,22EF CD a =∥11,22FG AB a =∥所以是直线与所成的角（或补角）， GFE ∠AB CD 在中，，所以是等边三角形，所以， Rt AEC A 1122EG AC a ==EFG A 60GFE ∠=︒所以与所成的角为，故C 项正确；AB CD 60 对于D ，由B 选项知，平面,是直线在平面内的射影， ⊥AE BCD BE AB BCD 所以是直线与平面所成的角， ABE ∠AB BCD 因为是的中点，是等腰直角三角形， E BD Rt ABD A 所以，，所以是等腰直角三角形；即， 12AE BE BD ==AE BE ⊥ABE A 45ABE ∠= 所以与平面所成的角为，故项错误. AB BCD 45ABE ∠= D 故选：ABC.11．数列{an }的前n 项和为Sn ，，则有（ ）()*111,2N n n a a S n +==∈A ．Sn ＝3n －1 B ．{Sn }为等比数列C ．an ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a n S {}n S 【详解】依题意，()*111,2N n n a a S n +==∈当时，， 1n =2122a a ==当时，，2n ≥12n n a S -=，所以，11222n n n n n a a S S a +--=-=13n n a a +=所以，()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥所以. 21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩当时，；当时，符合上式，所以. 2n ≥1132n n n a S -+==1n =111S a ==13n n S -=，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 13n nS S +={}n S 13所以ABD 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD 12．对于函数，下列说法正确的是（ ） ()2ln xf x x =A ．在()f x x =12eB ．有两个不同的零点 ()fx C ．f f f <<D ．若在上恒成立，则()21f x k x <-()0,∞+2e k >【答案】ACD【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立()f x 问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，，定义域为，，令，解得()2ln xf x x =()0,∞+()312ln xf x x -'∴=()0f x '=x =当时，，函数在上单调递增， 0x <<()0f x ¢>∴()fx (当，函数在上单调递减，x >()0f x '<∴()fx )+∞函数在，故A 对，∴x 12fe =B 选项，时，，，当时，如下图01x<<Q ()0f x <()10f =max 0(2)1f e f x ==>1x >()0f x >所示：函数有且只有唯一一个零点，故B错，∴()f x C 选项，当为单调递减函数，，x ()f xff ∴<，，故C对，ln2(2)4ff f ===< f f f ∴<<D 选项，，故，由于函数在上恒成立，()21f x k x <-()221ln 1x k f x x x +>+=()0,∞+，设，定义域为，则， 2maxln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()2ln 1x g xx +=()0,∞+()32ln 1x g x x --'=设，解得单调递增，单调()0g x '=x =()0,()x g x g x '∴∈>()),0,()x g x g x '∈+∞<递减，，故，故D 对.()max 22e e g x g e ∴==-=2ek >故选：ACD.三、填空题 13．求函数的导数为______； ln 3e xxy =【答案】1ln 3e xx xx -【分析】根据求导法则以及复合函数的求导，即可得答案.【详解】由题意可得， ln 3e x x y =213e ln 3e 1ln 33(e )e x x x x x x x x y x ⨯⨯-⨯-'==故答案为：1ln 3e xx xx -14．已知数列的通项公式是则___________. {}n a 2,,1,,12n n nn a n --⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数341a a +=【答案】1916【分析】根据数列的通项公式代入求解即可.【详解】因为，，33128a -==441161217a -==+所以，所以.411716a =3411916a a +=故答案为：191615．已知双曲线的虚轴长为2，，为双曲线的两个焦()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F 点，若双曲线上有一点，满足，则的面积为______. P 1260F PF ∠=︒12F PF △【分析】利用双曲线的离心率，以及虚轴长，求解，得到双曲线的方程，利用双曲线的简单性,a b 质以及定义，结合余弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】由题意双曲线的虚轴长为2，()222210,0x y a b a b -=>>故，22,1b b =∴=又，22222222514c c a b b e e a a a a +==∴===+=则，故双曲线的方程为．24a =2214x y -=由双曲线方程可知2c c =∴=所以，212||20F F =由双曲线定义有，124PF PF -=两边平方得①，221212||||2||||16PF PF PF PF +-=由余弦定理有，222121212||||||2||||cos60F F PF PF PF PF =+-即②，221212||||||||20PF PF PF PF +-=由①②可得， 1220164PF PF =-=故，121211||||sin 60422F PF S PF PF ︒==⨯=A 16．已知函数恰有三个零点，则实数a 的取值范围为______ ()ln 2f x x ax =-【答案】10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有三个零点，可转化为与直线有三个交点，对 分()ln 2f x x ax =-ln y x =2y ax =a 类讨论，当时不满足条件，当时求出过原点与函数在上的切线，数形结合0a ≤0a >ln y x =1x >即可求解.【详解】如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解， ()f x ln 2x ax =即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线ln y x =2y ax =2y ax =由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件. 0a ≤ln y x =2y ax =当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解， 0a >2y ax =ln y x =ln 2x ax =故而，令为的切线，设切点为， 2y ax =ln y x =()00,ln A x x 则切线的方程为， ()0001ln y x x x x -=-由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，0ln 1x =0x e =1e 由题意知，即.102a e<<10,2a e ⎛⎫∈⎪⎝⎭故答案为：10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.四、解答题 17．若，，求： ()32133f x x x x =+-x ∈R （1）的单调增区间；()f x （2）在上的最小值和最大值.()f x []0,2【答案】(1) 增区间为;(2) . ()()3,1-∞-+∞，，()max 2,3f x =()min 53f x =-【详解】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间； ()f x '()0f x '>()f x （2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值. ()f x []0,2详解：（1），()/223f x x x =+-由 解得，()0f x '>31x x -或的增区间为；()f x ()()3,1-∞-+∞，，（2）， （舍）或，()2230f x x x =+-='3x =-1x =, , ()15113-33f =+-=()00f =，()32122223233f =⨯+-⨯=()max 2,3f x =()min 53f x =-点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值．[],a b [],a b (2)若函数f (x )在上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[],a b 上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[],a b 18．在等差数列中，，. {}n a 169a a +=2711a a +=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和. {}n n a b +{}n b n n S 【答案】（1）；（2）. 1n a n =+213222n n n nS ++=--【分析】（1）由数列是等差数列，且，，利用“”法求解.{}n a 169a a +=2711a a +=1,a d（2）根据数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，进而得到{}n n a b +1222n nn n a b -+=⨯=，然后利用分组求和法求解.21n n b n =--【详解】（1）设数列的公差为，{}n a d 则，1627911a a a a +=⎧⎨+=⎩即 112592711a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，121a d =⎧⎨=⎩所以.()111n a a n d n =+-=+（2）因为数列是首项为2，公比为2的等比数列，{}n n a b +所以，又，1222n nn n a b -+=⨯=1n a n =+∴，21nn b n =-- 232223242(1)n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+()232222[234(1)]n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++ ()212[2(1)]122n n n-++=--. 213222n n n++=--【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及等比数列和分组求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数，，．若在处与直线相切．2()f x alnx bx =-a b ∈R ()f x 1x =12y =-（1）求，的值；a b （2）求在，上的最大值．()f x 1[e]e 【答案】（1）；（2） .112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩12-【分析】（1）对进行求导，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即()f x 1x =可求出切线的斜率．列出关于，的方程求得，的值．a b a b（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值． 【详解】（1）函数，， 2()(0)f x alnx bx x =->()2af x bx x∴'=-函数在处与直线相切， ()f x 1x =12y =-，解得；∴(1)201(1)2f a b f b '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2），，21()2f x lnx x =-21()x f x x -'=当时，令得：， 1x e e ……()0f x '>11x e<…令，得， ()0f x '<1x e <…在，，上单调递增，()f x ∴1[e1]在，上单调递减，[1]e 所以函数的极大值就是最大值， （1）．()max f x f ∴=12=-【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．20．已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之()2222:10x y C a b a b +=>>C 和为6.直线与椭圆交于 ，两点，点为的中点. :2l y kx =-C A B E AB (1)求椭圆的方程； C (2)用表示点的坐标.k E (3)设点，且，求直线的方程.()0,1P PE AB ⊥l 【答案】(1)22193x y +=(2) 2262(,)1313k E k k -++(3)或. 20x y --=20x y ++=【分析】（1）由椭圆的定义可得a ，由焦距的概念可得c ，再由的关系可得b ，进而得到椭,,a b c 圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式 :2l y kx =-可得点的坐标；E（3）利用两直线垂直的条件，可求得k 的值，即可得直线方程． 【详解】（1）由椭圆的定义可得，26a =2c =解得， 3a =c =所以，2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为．22193x y +=（2）由，得， 22239y kx x y =-⎧⎨+=⎩22(13)1230k x kx +-+=由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以，得，2214412(13)0k k ∆=-+>219k >设， 1122(,),(,)A x y B x y 则， 121222123,1313k x x x x k k +==++， 121222124()441313k y y k x x k k k +=+-=⋅-=-++点为的中点，所以中点坐标. E AB ,A B 2262(,1313k E k k -++（3）因为，，即，()0,1P PE AB ⊥1PE AB k k =-所以，222212(13)1316613k k k k k k k ----++⋅=⋅=-+解得，满足，1k =±219k >所以直线l 的方程为或.20x y --=20x y ++=【点睛】关键点睛：解答第3问求直线的方程，关键是根据直线的垂直，利用两直线斜率之积为l ，列出方程求得直线的斜率，即可求解.1-21．在①；②；③.这三个条件中任选一n n b na =2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数()()21221log log n n n b a a ++=个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列是等比数列，且，其中，{}n a 11a =1a ，成等差数列.21a +31a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）记________，求数列的前2n 项和. {}n b 2n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）答案见解析.12n n a -=【分析】（1）根据，，成等差数列得，即可由此求出公比，写出1a 21a +31a +()213211a a a +=++通项公式；（2）选择条件①，利用错位相减法可求出；选择条件②，利用分组求和法可求出；选择条件③，利用裂项相消法可求出.【详解】（1）设数列的公比为q ，{}n a 因为，，成等差数列，， 1a 21a +31a +()213211a a a ∴+=++又因为，所以，即，11a =22(1)2q q +=+220q q -=所以，或（舍去），所以，.2q =0q =12n n a -=（2）由（1）知，选择条件①，则，12n n a -=12n n b n -=⋅， 01212122222n n T n -∴=⨯+⨯+⋯+⨯， 12222122222n n T n ∴=⨯+⨯+⋯+⨯01212212121222n n n T n -∴-=⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ 2221222(12)2112n n n n n -=-⨯=-⋅--.22(21)21n n T n ∴=-⋅+由（1）知，选择条件②，则，12n n a -=12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数所以 ()()()022222123221n n T n -=++++⋯++-()0222222(1321)n n -=++⋯++++⋯+-. 214(121)4114233-+-=+=+--n n n n n 由（1）知，选择条件③，则，12n n a -=1(1)n b n n =+ 211112232(21)n T n n ∴=++⋯+⨯⨯+，111111223221n n =-+-+⋯+-+1212121nn n =-=++.2221n nT n ∴=+【点睛】本题考查等比数列的通项公式求法，考查数列的求和方式，属于中档题. 22．如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是PAQ △PB ⊥ABQ BA BQ BP ==,,,D C E F 的中点，，与交于，与交于点，连接．,,,AQ BQ AP BP 2AQ BD =PD EQ G PC FQ H GH（Ⅰ）求证：；AB GH ∥（Ⅱ）求二面角的余弦值．D GHE --【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）45-【详解】解法一 （Ⅰ）在中，分别是的中点，则是的重心， PAQ △,D E ,AP AQ G PAQ ∆ 2.QGGE=同理，所以，因此 2.QH HF=QG QHGE HF =.GH EF A 又因为是的中位线，所以. EF PAB A ,AB EF ∥AB GH ∥（Ⅱ）解法1 因为，所以,又， 2AQ BD =AB BQ ⊥PB AB ⊥所以平面，平面，AB ⊥PBQ GH ⊥PBQ 为二面角的平面角，FHC ∠D GH E --不妨设由三角形知识可得 2,BA=FC FH HC ==由余弦定理得2224cos .5FHC +-∠==-解法2分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， ,,BA BQ BP ,,x y z 如图不妨设则2,BA =()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0.Q F E P D C 设平面的法向量为，则QFE (),,m x y z=，所以，令得 00m QF m QE ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=()()()(),,0,2,10,,1,2,10x y z x y z ⋅⎧-=⋅-=⎪⎨⎪⎩1y =()0,1,2m = 同理求得平面的一个法向量为，PDC ()0,2,1n =因此4cos ,,5m n m n m n ⋅〈〉==由图形可知二面角的余弦值为D GHE --4.5-解法二（Ⅰ）证明：因为分别是的中点， ,,,D C E F ,,,AQ BQ AP BP 所以∥,，所以∥， EF AB //DC AB EF DC 又平面，平面， EF ⊂PCD DC ⊂PCD 所以∥平面，EF PCD 又平面,平面平面，EF ⊂EFQ EFQ PCD GH =所以∥， EF GH 又∥， EF AB 所以∥.AB GH （Ⅱ）解法一：在中,,,ABQ A 2AQ BD =AD DQ =所以，即,因为平面,所以， =90ABQ ∠ AB BQ ⊥PB ⊥ABQ AB PB ⊥又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,BP BQ B ⋂=AB ⊥PBQ AB GH 所以平面，又平面，所以，同理可得， GH ⊥PBQ FH ⊂PBQ ⊥GH FH GH HC ⊥所以为二面角的平面角，设,连接， FHC ∠D GH E --2BA BQ BP ===PC 在中，由勾股定理得，t R FBC A FC =在中，由勾股定理得，，t R PBC A PC =又为的重心，所以H PBQ A 13HC PC ==同理FH =在中，由余弦定理得， FHC A 552499cos 5529FHC +-∠==-⨯即二面角的余弦值为.D GHE --45-解法二：在中，,,ABQ A 2AQ BD =AD DQ =所以，又平面,所以两两垂直，90ABQ ∠=PB ⊥ABQ ,,BA BQ BP 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标B ,,BA BQ BP x y z 系，设，则,, ,，, ,所以2BA BQ BP ===(1,0,1)E (0,0,1)F (0,2,0)Q (1,1,0)D (0,1,0)C (0,0,2)P , ,,, (1,2,1)EQ =-- (0,2,1)FQ =- (1,1,2)DP =-- (0,1,2)CP =-设平面的一个法向量为， EFQ 111(,,)m x y z =由，, 0m EQ ⋅= 0m FQ ⋅=得1111120{20x y z y z -+-=-=取，得.11y =(0,1,2)m =设平面的一个法向量为PDC 222(,,)n x y z =由，,0n DP ⋅= 0n CP ⋅=得 2222220{20x y z y z --+=-+=取，得.所以21z =(0,2,1)n =r4cos ,5m n m n m n ⋅〈〉== 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.D GHE --D GH E --45-【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力．第一问主要涉及平面几何的图形性质，中点形成的平行线是常考点之一，论证较为简单．第二问有两种方法可以解决，因图形结构的简洁性，推理论证较为简单，而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.。
福建高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，且与互相垂直，则k 的值是（ ） ()()11,0,1,0,2a b ==- ，ka b + 2a b -A ．1B ．C ．D ．153575【答案】D【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.1212120x x y y z z ++=【详解】，，()()()=1,1,01,0,21,,2++-=- ka b k k k 2=a b - ()21,1,0()1,0,2--()=3,2,2-因为与互相垂直，ka b + 2a b -所以， ()1,,2-⋅k k ()3,2,2=0-所以， 57=0k -所以.7=5k 故选：D.2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（ ）{}n a n n S 11a =132nn n a a ++=⋅11S A ．4093 B ．4094 C ．4095 D ．4096【答案】A【详解】由递推公式确定通项公式，再求即可.(1)2n nn a =-+11S 【解答】，故，又， 132nn n a a ++=⋅111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++-⋅---===----121a -=-所以是首项为，公比为的等比数列，所以，{}2nn a -1-1-(1)2n n na=-+则()1112111112112121212121409312S a a a ⨯-=+++=-++++-+=-+=- 故选：A 3．已知，则（ ） ()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-()2022f '=A ． B ． C ． D ．20212021-20222022-【答案】B【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可. 【详解】解：因为， ()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-所以，所以， ()()202222022f x x f x ''=+-()()202220222022220222022f f ''=+-解得； ()20222021f '=-故选：B4．如图，在正三棱柱中，，E 是的中点，F 是的中点，若过111ABC A B C -124AA AB ==1BB 11A C A ，E ，F 三点的平面与交于点G ，则（） 11B C 1AG =ABCD【答案】C【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系，可设，求出平面AEF 的法向量，再根C xyz -()0,,4G a据求出，即可得出答案.0AG m ⋅=a 【详解】解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系， C xyz -则，，，，)A)14A ()0,2,2E 1,42F ⎫⎪⎪⎭由题可设，()0,,4G a 则，，，()2AE =1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,4AG a =-设平面AEF 的法向量，(),,m x y z=则，可取，201402y z y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩93,55m ⎫=⎪⎭ 由，得，()91231055AG m a ⋅=-+-+= 43a =则，11,03G A⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． =故选：C.5．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>(3,6)P l C ,A B AB ，则双曲线的离心率为（ ）(12,15)N C A ．2 B ．CD32【答案】B【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.2254b a =【详解】设，，由的中点为，则，11(,)A x y 22(,)B x y AB (12,15)N 121224,30x x y y +=+=由，两式相减得：=， 22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩()()12122x x x x a +-()()12122y y y y b +-则==， 1212y y x x --()()212212b xx a y y ++2245b a 由直线的斜率，∴，则， AB 1561123k -==-22415b a =2254b a =双曲线的离心率，32c e a ===∴双曲线的离心率为， C 32故选：B ．6．设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（ ） {}n a n 527,9,16n S a a a =+=A ．B ．21n a n =-3616a a +=C ． D ．数列的前和为2n S n n =+11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 21nn +【答案】C【分析】根据题意求出通项公式即可进一步得解.【详解】对于A ，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 , {}n a d n n S 由 , 5a =279,16a a +=可得 , 1149,2716a d a d +=+=解得 2 , 11,a d ==则 , 21n a n =-故选项A 正确; 由得， 21n a n =- , 11,35a =6a =， 3616a a +=故选项B 正确； =n=, n S 12na a +2n 故选项C 错误； 由 可得, 21n a n =-()()1112121n n a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭即数列 的前 项 和 为 .故11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L 21n n =+选项D 正确. 故选：C .7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示6AB =2MO =F O 的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）xOy P 15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭PF PQ +A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求()2,3PF PQ +的最小值.【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，()220y px p =>6AB =2MO =()2,3A 所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线94p =94p =292y x =F 9,08⎛⎫ ⎪⎝⎭方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作98x =-292y x =158x =2135416y =>Q P PP '与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以P 'Q QQ 'Q 'PF PP '=，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=PQ 的最小值为3， PF PQ +故选：B.8．如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，:20l x y m ++=22:2O x y +=P l 过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面P O ,M N MN x y ,R T ORT 积的最小值为，则的值为（ ） 1625mA ．B ．C ．D ．4-9-6-5-【答案】D【分析】设出点的坐标，求得直线的方程，从而求得直线的横纵截距，进而求得,,P M N ,M N MN 面积的表达式，结合基本不等式以及面积的最小值求得的值.ORT ORT m 【详解】如图所示，设，，则， ()()()000011,0,0,,P x y x y M x y >>()22,N x y 0020x y m ++=直线与圆相离，则，l O d r >=0m <，22220022PM OP x y =-=+-以为圆心，半径为的圆的方程为， P PM ()()222200002x x y y x y -+-=+-整理得，2200222x y x x y y +--=-由两式相减得直线的方程为， 2200222222x y x x y y x y ⎧+--=-⎨+=⎩MN 002x x y y +=分别令和，则， 0x =0y =0022,R T x y x y ==又，的面积，002x y m +=- ORT 22000000122441616222522S x y x y m x y =⋅⋅=≥==+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，则. 002x y =5m =-故选：D二、多选题9．已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下22:49O x y +=l (2,6)N O ,P Q M PQ 列结论正确的是（ ） A ．点的轨迹是圆 M B ．的最小值为6||PQC ．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是 O l l 43100x y -+=D ．使为整数的直线共有16条 ||PQ l 【答案】ABD【分析】根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可.【详解】因为直线恒过点，所以，点在以为直径的圆上，则点的轨迹l (2,6)N OM MN ⊥M ON M 是圆，故A 正确；易知圆心到直线的距离最大值，故的最小值为，最大值为Ol ||ON ==PQ 6=，故B 正确；2714⨯=由题知圆，直线过点，圆上仅有三个点到直线的距离为5， 22:49O x y +=l (2,6)N O l 因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为2， (0,0)O 7r =当斜率存在时，设直线为，即， l 6(2)y k x -=-620kx y k -+-=又因为圆心到直线的距离为，解得， (0,0)O 620kx y k -+-=2d 43k =所以的方程是 ，l 43100x y -+=当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，满足题意，故l 2x =(0,0)O 2x =022d =-=C 错误；由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有PQ l （条），故D 正确. 22(1371)16+⨯-+=故选：ABD.10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数n a n 列满足：，，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+121ni n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑A ．B ． 934a =()2233n n n a a a n -+=+≥C ．D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑201920211i i a a ==∑【答案】ABC【分析】由数列的递推公式可判断AB ，由累加法可判断CD.【详解】由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34， 21n n n a a a ++=+{}n a 即，A 项正确；934a =根据递推公式，12n n n a a a --=+得，B 正确；()2121223n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n ---+-+++=+++=++=+≥，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅，L L ，()220212021202220202021202220212020a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅所以，即，故C 正确；22212202120212022a a aa a ++⋅⋅⋅+=⋅20212202120221i i a a a ==⋅∑由递推式，得，，…，， 321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=累加得， 324320212020122019a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+所以，20212122019a a a a a -=++⋅⋅⋅+所以， 1220192021220211a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-=-即，D 项错误；2019202111i i a a ==-∑故选：ABC.11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重()3,0F 合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）()0y t t =>BAB ．线段长度的取值范围是 AB (0,3+C ．面积的最大值是ABF △)914D ．的周长不存在最大值OAB【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断B ；设坐标，表示出面积，利用,A B ABF △基本不等式求得其最大值，判断C ；表示出的周长的表达式，结合t 的取值范围可判断D.OAB 【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为，()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ， 23,183b ac =⎧∴=⎨=⎩所以椭圆的方程为．()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ． 当时，时，， 0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故B 错误；(0,3+C ．由题得面积，ABF △1||2S AB t =⨯设，22111(,),9,3)A x t x t x t ∴+=∴=<<设()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．的周长 OAB ||||||3AO OB AB =++=+令，()()3103f t t =+<<易知函数在上单调递减，()f t ()0,3所以当时，的周长最大，但是不能取零， 0=t OAB t 所以的周长没有最大值，故D 正确． OAB 故选：ACD.12．在直四棱柱中中，底面为菱形，为1111ABCD A B C D -ABCD 160,2,BAD AB AD AA P ∠====中点，点满足.下列结论正确的是（ ）1CC Q ][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦A ．若，则四面体的体积为定值 12λμ+=1A BPQB ．若平面，则AQ 1A BP 1AQC Q +C ．若的外心为，则为定值2 1A BQ △O 11A B AO ⋅D ．若，则点的轨迹长度为 1AQ =Q 23π【答案】ABD【分析】对于A ，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断1,DD DC ,M N Q A ，对于B ，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对Q MN 于C ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D ，由条件确定点的轨迹为圆弧Q ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.23A A 【详解】对于A ，取的中点分别为，连接，则，1,DD DC ,M N ,,,MN DQ AM AN 12DD DM =，，2DC DN =1//MN D C 因为，， ][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ 12λμ+=所以，，22DQ DN DM λμ=+221λμ+=所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面,,Q M N Q MN 11//D C A B 1//MN D C 1//MN A B MN ⊄，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为1A BP 1A B ⊂1A BP MN 1A BP Q 1A BP 1A BP的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A 正确，1A BPQ对于B ，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又//AM BP AM ⊄1A BP BP ⊂1A BP AM 1A BP AQ 平面，，平面，所以平面平面，取的中点1A BP AQ AM M = ,AQ AM ⊂AMQ //AMQ 1A BP 11D C E ，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平PE 1//PE D C 11//D C A B 1//PE A B 1,,,A B P E //AMQ 面，平面平面,平面平面,所以，又1A BPE 1A BPE 11DCC D PE =1A MQ 11DCC D MQ =//MQ PE ，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形 1//PE D C 1//MQ D C Q MN AMN 11MNCC D在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的11AQ C Q AC +≥1,,A Q C 1AQ C Q +最小值为，因为，所以1AC 160,2BAD AB AD AA ∠====AM MN ==，在AN ===222AM MN AN+=中，1C MN 11C M C N ==MN =2221111cos 2MC MN NC CMN MC MN +-∠===⋅，所以1sin C MN ∠==111πcos cos sin 2AMC C MF C MF ⎛⎫∠=∠+=-∠=⎪⎝⎭在中，，1AMC AM=1MC =1cos AMC ∠=所以1AC ==1AC 1AQ C Q +所以B 正确，对于C ，若的外心为，过作于1A BQ △O O 1OH A B ⊥H =，所以C 错误，()21111111142A B A O A B A H HO A B A H A B ⋅=⋅+=⋅==对于D ，过作，垂足为，因为平面，平面，所以1A 111A K C D ⊥K 1DD ⊥1111D C B A 1A K ⊂1111D C B A ，因为，平面，所以平面，因为11DD A K ⊥1111C D DD D = 111,C D DD ⊂11DD C C 1A K ⊥11DD C C 平面，所以，KQ ⊂11DD C C 1A K KQ ⊥又在中，， 11A KD 111111ππ2,,23A D A KD A D K =∠==所以， 111πcos13KD A D ==111πsin 3A K A D ==在中，，，所以，则在以为圆心，2为半径的1A KQ 1A K =1AQ =1π2A KQ ∠=2KQ =Q K 圆上运动，在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧111,DD D C 32,A A 13121D A D A ==322KA KA ==Q，因为，则圆弧等于，所以D 正确， 23A A 1131,D K D A ==323A KA π∠=23A A 23π故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，若四边形为平行四边()2,1,1A (),0,5B b ()0,,4C c OABC 形，则________. b c +=【答案】1【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.OABC OA CB =【详解】解：，，(2,1,1)OA =(,,1)CB b c =- 因为四边形为平行四边形，OABC 所以， OA CB = 所以，， 2b =1c =-则. 1b c +=故答案为：1.14．设函数的导函数为，若函数的图象的顶点的横坐标为()3221f x x ax bx =+++()f x '()y f x '=，且，则的值为__________. 12-()10f '=b a 【答案】4-【分析】求出导函数，由二次函数性质求得，再由求得，从而得． ()f x 'a ()10f '=b ba【详解】由，得，则其对称轴为，因为函数()3221f x x ax bx =+++()262'=++f x x ax b 6a x =-的图象关于直线对称，所以，所以，则，又由()y f x '=12x =-162a -=-3a =()266'=++f x x x b ，得，所以. ()10f '=12b =-4=-ba故答案为：．4-【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数的运算法则是解题关键．15．已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 12F F C 两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是,A B A B 113AF BF ≤C __________.【答案】【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，1AF n =2AF m =2m n a +=，从而得到，再构造函数求其范围即可. 2224m n c +=22222422m n c n mmn a c m n+==+-【详解】如图所示：设，，因为点在第一象限，所以. 1AF n =2AF m =A n m >又因为均在以线段为直径的圆上， ,A B 12F F 所以四边形为矩形，即. 12AF BF 21AF BF =因为，所以，即. 113AF BF ≤3n m ≤13nm<≤因为，，2m n a +=2224m n c +=所以，即.()222222424m n m n mn c mn a +=++=+=2222mn a c =-因为，22222422m n c n m mn a c m n+==+-设，，即，.n m y m n =+(]1,3nv m =∈1y v v=+(]1,3v ∈因为，所以在区间单调递增.2221110v y v v-'=-=>1y v v =+(]1,3所以，即. 11023v v <+≤2224102223c a c <≤-当时，解得，即，解得； 2224222c a c <-222c a>212e >1e >>当时，解得，即，即222410223c a c ≤-223220c a≤258e ≤0e <≤. e ≤故答案为：四、双空题16．对于正整数n ，设是关于x 的方程：的实根，记，n x ()222253log 1nn n n x x x ++++=12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中表示不超过x 的最大整数，则______；若，为的前n 项和，则[]x 1a =πsin 2n n n b a =⋅n S {}n b ______．2022S =【答案】 1 506【分析】当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得，令1n =1a ，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得的范围，分类讨论为奇12nt x =n t n 数和偶数时的，从而可得出答案. n a 【详解】解：当时，1n =，即， ()2238log 10x x x x +=>3218log 0x x +-=令， ()()3218log 0g x x x x =+->因为函数在上都是增函数， 321log ,y x y x ==-()0,∞+所以函数在上都是增函数，()g x ()0,∞+又，，1819203g ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭3318log 244log 202g ⎛⎫=--=-> ⎪⎝⎭所以函数在存在唯一零点，()g x 11,32⎛⎫⎪⎝⎭即，则， 111,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1131,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，11112a x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦方程，()222253log 1nn n n x x x ++++=即为， 222153log n n n n x x ++++=即为， 2221log 530n n x n n x +----=令，则，12n t x =12n x t=则有， ()2222log 2530n t n t n n +-+--=令， ()()2222log 253n f t t n t n n +-=+--则函数在上递增，()f t ()0,∞+因为， ()()()222211log 153log 13202n n n f n n n n n n n n +++⎛⎫=+++--=+--< ⎪-⎝⎭， ()222253102n f n n n n +⎛⎫=++---=> ⎪⎝⎭所以，使得， 12,22n n t ++⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()0f t =当时，，则，21,N n k k +=-∈21,2n k t k +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[]n n a t k ==当时，，则， 2,N n k k +=∈21,12n k t k +⎛⎫∈+⎪⎝⎭[]n n a t k ==当时，， 2,N n k k +=∈sin 02n π=所以202212342019202020212022S b b b b b b b b =+++++++ 572019202113b b b b b b +++=++1357201720192021a a a a a a a =-+-++-+()()()1234100910101011=-+-++-+ .150********=-⨯+=故答案为：1；506.【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.五、解答题17．已知曲线和. 31:C y x =22:2,(R)C y ax x a =+-∈(1)若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；1C 2C 1x =a(2)若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围. 1C 2C 0x x =a 【答案】(1)23a =-(2)或 1a >1a <-【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解； 1x =1-（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可. 【详解】（1）由可得， 3y x =23y x '=由可得， 22,(R)y ax x a =+-∈21y ax '=+因为曲线､在处的切线互相垂直， 1C 2C 1x =所以，解得.212(31)(21)1k k a ⋅=⨯⨯+=-23a =-（2）由题意，切线的斜率，2003213k x ax ==+>可得，且或，200312x ax -=01x >01x <-所以， 00123a x x =-令，则函数在和上是增函数， 1()3h x x x=-(1,)+∞(,1)-∞-所以或， ()(1)2h x h >=()(1)2h x h <-=-即或，解得或.22a >22a <-1a >1a <-18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆及点.22:40C x y x +-=,(1,0)(1,2)A B -(1)若直线过点，与圆相交于两点，且l 的方程；l B C M N 、||MN =(2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理C P 22||12||PA PB +=P 由.【答案】(1)或 1x =34110x y +-=(2)存在，两个【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解； l (2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足C P (,)P x y 22(2)4x y -+=P ，根据两圆的位置关系即可得出结果.22(1)4x y +-=【详解】（1）圆可化为，圆心为， 22:40C x y x +-=22(2)4x y -+=(2,0),2r =若的斜率不存在时，，此时. l 1l x =：||MN =当的斜率存在时，设的斜率为，则令，l l k :2(1)l y k x -=-因为||MN =1d ==， 314k ⇒=-34110x y ∴+-=所以直线的方程为或.l 1x =34110x y +-=（2）假设圆上存在点，设，则，C P (,)P x y 22(2)4x y -+=， 222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=即，即，22230x y y +--=22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ 与相交，则点有两个.22(2)4x y ∴-+=22(1)4x y +-=P 19．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且P ABCD -ABCD PC ⊥ABCD 是棱上动点.1,PC BC E ==PB(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是，证明： l //CD l(2)线段上是否存在点，使二面角的值；若不存PB E P AC E --PE PB 在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 1=3PE PB【分析】（1）先证得面，再根据线面平行的性质定理证； //CD PAB //CD l（2）建立空间坐标系，设，根据二面角(01)PE PB λλ=<<P AC E --λ的方程求解（）.λ01λ<<【详解】（1）因为面，面，//,CD AB AB ⊂PAB CD ⊄PAB 所以面， //CD PAB 又面，面面＝，CD ⊂CDE CDE PAB l 所以.//CD l （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接交于，C BD AC O则. ()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1C A B D P 设，设，(01)PE PB λλ=<<(),,E a b c ，()()(),,1,1,01,,0,PE a b c PB PB λλλ=-=-=-则，则， ,0,1a b c λλ===-()()(),0,1,,0,1,1,1,0E CE CA λλλλ-=-=因为底面，底面， PC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，又且，BD PC ⊥BD AC ⊥PC AC C ⋂=所以平面，可知是平面的一个法向量. BD ⊥PAC ()1,1,0m BD ==-PAC 设为平面的法向量，则，即，(),,n x y z =r EAC 0n CA n CE ⋅=⋅= 0(1)0x y x z λλ+=⎧⎨+-=⎩取，则，1,1,1x y z λλ=-==-1,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，解得.cos ,m n m n m n⋅===13λ=故线段上是存在点，当时二面角. PB E 1=3PE PB P AC E --20．已知数列，满足，其中，.{}n a {}n b 1n n n b a a +=-*N n ∈(1)若，.12a =2nn b =①求证：为等比数列； {}n a ②试求数列的前n 项和.{}n n a ⋅(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多2n n b a +={}n a 少？【答案】(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n (2) 20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解即可；n a ②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；2n n a =2nn n c na n ==⋅{}n c n n S （2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后{}n a {}n a 利用其周期和相关值求出，则得到答案.12,a a 【详解】（1）①证明：，当时累加得12nn n a a +-= 2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-，，又11222n n n n a a ++∴==()2n ≥211212,2,4,2a a b a a ===∴= 所以为首项为2，公比为2的等比数列.{}n a ②由①得，令，的前项和为，2n n a =2nn n c na n ==⋅{}n c n n S则，2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅A ，23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅B 得A B -23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若，则，21n n n n b a a a ++==-32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-=所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，{}n a 1a m =2a t =3a t m =-4a m =-5a t =-， 6a m t =-1234560a a a a a a ∴+++++=设数列的前n 项和为，则. {}n a n T 60n T =所以，629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒=，所以 7712655377T T T a ⨯+====123886a a a =-=所以.2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=21．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,,F F P C，且焦点到渐近线的距离为12121cos ,24F PF PF PF ∠==(1)求双曲线的方程；C (2)设为双曲线的左顶点，点为轴上一动点，过的直线与双曲线的右支交于A C (),0B t x 2F lC 两点，直线分别交直线于两点，若，求的取值范围. ,M N ,AM AN 2a x =,S T π02SBT ∠<<t 【答案】(1)221412x y -=(2) ()(),24,-∞-+∞【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义可得，再根据余弦定理解得12122,24F F c PF PF a ===，再利用点到直线的距离结合运算求解即可；（2）因为，所以224c a =222c a b =+π02SBT ∠<<，则根据韦达定理运算求解，注意分类讨论斜率是否存在.0BS BT ⋅>u u r u u u r【详解】（1）由题意可得：， 1212122,2,2F F c PF PF PF PF a ==-=所以， 212,4PF a PF a ==在中，， 12F PF △121cos 4F PF ∠=由余弦定理得，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+-即，整理得.222141642244c a a a a =+-⨯⨯⨯224c a =不妨取右焦点到渐近线的距离为()2,0F c 0bx ay+=，可得=b =因为，所以，222a c b =-2a =故双曲线的方程为.C 221412x y -=（2）∵，则，π02SBT ∠<<0BS BT ⋅>u u r u u u r 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，l l ()()()11224,,,,y k x M x y N x y =-联立方程组，消去y 得：，()2241412y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()22223816120k x k x k -+--=∴， 2212122281612,33k k x x x x k k ++==--则，解得，()()()221222122422230803161203Δ6443161214410k k x x k k x x k k k k k ⎧-≠⎪⎪+=>⎪-⎪⎨+⎪=>⎪-⎪=+-+=+>⎪⎩(),k ∈-∞⋃+∞则，()()()22222212121212222161232364441616333k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎛⎫+-⎡⎤=--=-++=-+= ⎪⎣⎦---⎝⎭因为直线，令，得，即，()11:22y AM y x x =++1x =1132y y x =+1131,2y S x ⎛⎫⎪+⎝⎭同理可得.2231,2y T x ⎛⎫⎪+⎝⎭因为， 1212331,,1,22y y BS t BT t x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以， ()()()22222122221223699312128016121622433k y y k BT t t t t t k k x x BS k k -⨯-⋅=-+=-++=-->+++++--u u r u u u r 解得或；2t <-4t >当直线的斜率不存在时，不妨设，此时点，l ()()4,6,4,6M N -()()1,3,1,3S T -因为，()()1,3,1,3BS t BT t =-=--所以，解得或； ()2219280t t t BS BT ⋅=--=-->u u r u u u r 2t <-4t >综上所述：的取值范围为.t ()(),24,-∞-+∞ 22．已知函数，设曲线在点处的切线与x 轴的交点为2()4f x x =-()y f x =()(),n n x f x ，其中为正实数．()()*1,0n x n +∈N 1x (1)用表示； n x 1n x +(2)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式． 14x =2lg2n n n x a x +=-{}n a {}n x (3)若，是数列的前n 项和，证明：． 14,2n n x b x ==-n T {}n b 3n T <【答案】(1)； 122n n nx x x +=+(2)证明见解析，；()112223131n n n x --+=-(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，进而，整理即可得出结果；2142n n n x x x ++=（2）由（1）可得，同理，则，结合对数的21(2)22n n n x x x +++=21(2)22n n n x x x +--=21122()22n n n n x x x x ++++=--运算性质计算即可求解；（3）由（2）可得，利用放缩法即可证明. 111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+【详解】（1）由题意知，，所以曲线在点处的切线方程为()2f x x '=()y f x =(,())n n x f x ，即，()()()n n n y f x f x x x '-=-2(4)2()n n n y x x x x --=-令，得，即，0y =21(4)2()n n n n x x x x +--=-2142n n n x x x ++=显然，所以； 0n x ≠122n n nx x x +=+（2）由(1)知，，122n n n x x x +=+21(2)22222n n n n nx x x x x +++=++=同理，故， 21(2)22n n n x x x +--=21122(22n n n n x x x x ++++=--有，即，1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--12n n a a +=所以数列成等比数列.{}n a 故，即， 111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+=⋅==-12lg 2lg 32n nn x x -+=-有，所以； 12232n n n x x -+=-11222(31)31n n n x --+=-（3）由(2)知，，则， 11222(31)31n n n x --+=-1242031n n n b x -=-=>-所以， 111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+当时，显然；1n =1123T b ==<当时，，1n >21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< 所以，111121111[1()]1113(3()3133313n n n n n b T b b b b b b ---=+++<+++==-<- 综上，.*3(N )n T n <∈。
辽宁高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．（ ） 3524A A =A ．10 B ．5 C ．20 D ．4【答案】B【分析】用排列数公式展开即可求得.A (1)(2)(1)mn n n n n m =⨯-⨯-⨯⨯-+ 【详解】． 3524A 5435A 43⨯⨯==⨯故选：B2．已知圆C ：与直线l ：相切，则（ ） 2225x y +=()3400x y m m -+=>m =A ．15 B ．5 C ．20 D ．25【答案】D【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案. 【详解】易知C 的圆心为原点O ， 设O 到直线l 的距离为d ， 因为圆C 与直线l 相切，则，解得. 5d ==25m =故选：D.3．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则（ ） 22y mx =223x y -=m =A ．B ．C ．D-【答案】A【分析】由双曲线的定义求得双曲线的右焦点，再求得抛物线的准线，即可得到的值. 2mx =-m【详解】由双曲线即得右焦点为，223x y -=22133y x -=)再由抛物线的准线为，22y mx =2m x =-因此，则. 2m-=m =-故选：A.4．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）72A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取)2177C kkk k T -+⎛= ⎝k 值，即可得出结果.【详解】在的展开式中，根据通项可知，72)2177C kkk kT -+⎛= ⎝时系数为有理数，即第五项为．4k=)43424157C T T +⎛== ⎝故选：C5．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） ()|P A B =A ．B ．C ．D ．715233457【答案】D【分析】由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题可知，，，. ()2264210C C 7C 15P B +==()26210C 1C 3P AB ==()()()5|7P AB P A B P B ==故选：D6．向量在向量上的投影向量为（ ）()3,2,1m =- ()3,2,3n =-A ．B ．C ．D ．646,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭313,,221122⎛⎫-⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.【详解】向量在向量上的投影向量为. ()3,2,1m =- ()3,2,3n =-2323,,111111m n n n⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C.7．某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙73%27%90%厂产品的合格率是．若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格80%品的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17.2%14.3%12.7%87.3%【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.【详解】设表示买到的产品来自甲，乙厂，表示买到的产品为合格品， ,A B C 则,()73%,()27%P A P B ==|90%,80%(|),()P C A P C B ==所以, ()()(|)()(|)73%90%+27%80%=87.3%P C P A P C A P B P C B =+=⨯⨯所以该产品不是合格品的概率为， 1()=12.7%P C -故选:C.8．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（ ） A ．800 B ．842 C ．864 D ．888【答案】C【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能， 54（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种； 11432C C 24＝若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；11432C C 24＝若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种； 12432C A 48＝若形如□▲▲▲□排列：共有种；1143C C 12＝若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种； 1243C A 24＝因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．11432C C 24=（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能． 故满足题意的排夜班方式的种数为． 54132244864---=故选：C.二、多选题9．已知，且，则（ ） (),X B n p :()()393927E X D X -=-=A ． B ．C ．D ． 18n =16n =14p =34p =【答案】BD【分析】由题得，解方程组即得解.39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩【详解】由题意可知，则，解得，.()()39927E X D X -==39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩34p =16n =故选：BD10．已知椭圆C ：的一个焦点为F ，P 为C 上一动点，则（ ）22179x y +=A ．C 的短轴长为B ．的最大值为PF C ．C 的长轴长为6 D ．C 【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD ，再利用椭圆性质即可判断B 选项，进而得出结果.【详解】由标准方程可知，，，22179x y +=29a =27b =所以，，3a=b =c==所以短轴长为，即选项AC 正确； 2b =26a =离心率D 正确； c e a ==由椭圆性质得 故选项B 错误. max 3PF a c =+=故选：ACD11．已知关于变量x ，y 的4组数据如表所示：x 6 8 10 12 y a1064根据表中数据计算得到x ，y 之间的线性回归方程为，x ，y 之间的相关系数为r （参ˆ 1.420.6yx =-+考公式：），则（ ）A ． B ．变量x ，y 正相关 C ．r 12a =D ．r =r =【答案】AC【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A 正确；由回归方程和表格可知选项B()x y 12a =错误；利用相关系数求出，所以选项C 正确，选项D 错误. r =【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项(),x y 9x =10641.420.684a y x +++=-+==12a =A 正确；由回归方程和表格可知，变量x ，y 负相关，所以选项B 错误；C 正确，选项4x y r==D 错误. 故选：AC12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．B ．2cos ,3CQPF =122CQ AB AD AA =--+C ．点到直线CQD ．异面直线CQ 与BD1C 【答案】BCD【分析】利用向量的线性运算求出，所以选项B 正确；以为坐标原点，122CQ AB AD AA =--+1A 所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD 的1A F 11A B几何量判断即得解.【详解】，所以选项B 正确； ()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，1A ()10,1,0B ()11,1,0C -()11,0,0D -()0,1,1Q -，，，，()1,1,1C --()11,2,1QC =--()1,2,2CQ =- ()110,1,0PF A B == 则，所以选项A 错误；2cos ,3CQ PF ==- 设，则点到直线CQ 的距离C 正173QC CQ m CQ ⋅==-1C d==确；因为，所以，()111,1,0BD B D ==--cos ,CQ BD ==tan ,CQ BD = 所以选项D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB 与平面α所成(1,m =-()2,1,2A -()1,2,2B 角的正弦值为___________.【分析】根据线面角的向量求法求解即可.【详解】因为，()1,3,0AB =-所以直线AB 与平面α所成角的正弦值为cos ,m AB m AB m AB ⋅=== 14．甲､乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲､乙两人中只有一人完成该项工作的概率为___________. 【答案】0.44##1125【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为， ()0.610.80.12⨯-=乙完成工作而甲没有完成的概率为， ()10.60.80.32-⨯=故概率为. 0.120.320.44+=故答案为：0.44四、双空题15．若，则___________，()()56016221x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+123456a a a a a a -+-+-=2a =___________.【答案】 24170-【分析】第一空，令，可得，再令，可得； 0x =0a =1x -0123456a a a a a a a -+-+-+第二空，所求即为展开式中的系数，又， 2x ()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则为展开式中，系数与2倍系数之和. 2a ()521x -x 2x 【详解】令，则，()()()5221f x x x =+-()002f a ==-，()01234561243f a a a a a a a -=-+-+-+=-故； ()1234562243241a a a a a a -+-+-=---=因，()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则，所以. ()()()4232432255C 212C 2170a x x x x x =⋅-+⋅-=-270a =-故答案为：241；.70-五、填空题16．已知P 为抛物线C ：上一点，F 为焦点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足为H ，216x y =-若的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是___________. PFH △【答案】(],5-∞-【分析】设点P 的坐标为，求出的各边即得的周长为，再利(),m n PFH △PFH △()24n +-用函数的单调性解不等式得解.【详解】如图，设点P 的坐标为，则. 准线与y 轴的焦点为A ， (),m n 216m n =-4y =则，4PF PH n ==-==所以的周长为. PFH △()24n -设函数， ()()()240f n n n =-≤则为减函数（减函数+减函数=减函数）， ()f n 因为，所以的解为. ()530f -=()30(5)f n f ≥=-5n ≤-故答案为：(],5-∞-六、解答题17．如图，在底面为矩形的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD ，，G 为棱BE 的中点.⊥AE AE AB =(1)证明：平面BCE .AG ⊥(2)若，，，求. 4AB =6AD =3ED EF =AG CF ⋅【答案】(1)证明见解析；(2).83-【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE ，从而得到，利用BC ⊥BC AG ⊥等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE ；AG BE ⊥AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AB,AG CF 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD ，所以，⊥AE AE BC ⊥又，，平面ABE ，所以平面ABE ， AB BC ⊥AB AE A = ,AB AE ⊂BC ⊥则.BC AG ⊥因为G 为棱BE 的中点，，所以， AE AB =AG BE ⊥又，平面BCE . BC BE B = ,BC BE ⊂所以平面BCE .AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB依题意可得，，，.()0,0,0A ()4,6,0C ()2,0,2G 80,2,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，， ()2,0,2AG = 84,4,3CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以.()()882404233AG CF ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-18．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，P 为C 上一点，且，2221(0)5x y a a +=>1F 2F 15PF =．21PF =(1)求，的坐标．1F 2F (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为，求直线l 的斜率． ()2,1P -【答案】(1)，的坐标分别为，1F 2F ()2,0-()2,0(2) 109【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解. ,,a b c （2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解. 【详解】（1）因为， 1226PF PF a +==所以，3a =所以，，2224c a b =-=2c =故，的坐标分别为，．1F 2F ()2,0-()2,0（2）设A ，B 两点的坐标分别为，，()11,x y ()22,x y 则， 22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得．()()()()12121212590x x x x y y y y -++-+=因为弦AB 的中点在椭圆内，所以，()2,1P -121242x x y y +=-⎧⎨+=⎩所以直线l 的斜率． 1212109AB y y k x x -==-19．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）mm 服从正态分布，且.()2240,N σ()2480.95P z ≤=(1)求或的概率；232z <248z >(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X 表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个mm mm 数，求的概率. 2X =【答案】(1) 0.1(2) 0.027【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X 服从二项分布求解.()3,0.1X B :【详解】（1）因为零件尺寸z 服从正态分布，()2240,N σ所以，()()24812480.05P z P z >=-≤=因为，所以. 2322482402+=()()2322480.05P z P z <=>=故或的概率为. 232z >248z >0.050.050.1+=（2）依题意可得，()3,0.1X B :所以.()()2232C 0.110.10.027P X ==⨯⨯-=20．如图，三棱柱的底面ABC 是正三角形，侧面是菱形，平面平面111ABC A B C -11ACC A 11ACC A ⊥ABC ，E ，F 分别是棱，的中点.11A C BC(1)证明：平面.EF ∥11ABB A (2)若，，，求平面ABC 与平面EFG 所成角的余弦值. 2AC =160ACC ∠=︒12C G GC =【答案】(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)取AC 的中点O ，连接OB ，，证明OB ，OC ，两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，1OC 1OC 1OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，.11A B M ME MB 因为E ，F 分别是棱，BC 的中点，所以，， 11A C 11ME B C BF ∥∥111122ME B C BC BF ===所以四边形MEFB 为平行四边形，.EF MB ∥因为平面，平面，所以平面. EF ⊄11ABB A MB ⊂11ABB A //EF 11ABB A （2）取AC 的中点O ，连接OB ，. 1OC 因为四边形是菱形，所以.11ACC A 1CA CC =因为，所以为等边三角形. 160ACC ∠=︒1ACC △因为O 为AC 的中点，所以.1C O AC ⊥因为平面平面ABC ，平面平面，平面，所以平11ACC A ⊥11ACC A ABC AC =1C O ⊂11ACC A 1C O ⊥面ABC .因为底面ABC 是正三角形，所以.OB AC ⊥以O 为原点，OB ，OC ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 1OC 因为，所以，则，，，，所2AC=1C O BO =)B(0,E-1,02F ⎫⎪⎪⎭20,3G ⎛ ⎝以，. 3,2EF =50,,3EG ⎛= ⎝设平面EFG 的法向量为，则 (),,n x y z =3.025.03n EF y n EG y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩令，则.5z=()4,n =因为是平面ABC 的一个法向量，(10,OC =且111cos ,OC n OC n OC n⋅===令平面ABC 与平面EFG 所成角为，由图可知为锐角， θθ所以. cos θ=21．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为12，，，且每次抽奖的结果相互独立. 1316(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期X X 望.(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人. 有蛀牙 无蛀牙 爱吃甜食 不爱吃甜食完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少0.05α=年“蛀牙”. 附：，.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ ()20P k αχ=≥0.05 0.01 0.005k 3.8416.6357.879【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：503(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关【分析】（1）由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的X 10,15,20,25,30X 分布列，从而求得数学期望；（2）由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可. 2χ【详解】（1）由题意可得的所有可能取值为，X 10,15,20,25,30，()2111024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()111152233P X ==⨯⨯=，()2111520226318P X ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，()111252369P X ==⨯⨯=，()21130636P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则X 的分布列为 X 10 15 2025 30P 14 13 51819136故. ()1151150101520253043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意可得列联表如下： 有蛀牙 无蛀牙 爱吃甜食 85 45 不爱吃甜食 3535所有，()2220045358535 4.4871208070130χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯查表可得，()23.8415%P χ≥=因为，2 3.841χ>所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.22．在①C 的渐近线方程为 ②C 这两个条件中任选一个，填在题中的横线y x =±上，并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C 上，且______． (2,P (1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)22122x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲,,a bc (2,P 线上即可求得C 的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q 点坐标，分别别写出直线PM 和QN 的直线方程，求得交点A 的坐标表示，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）选①因为C 的渐近线方程为，所以， y x =±1ba=故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=选②．因为C，=a b =故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=（2）由（1）可知F 的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q 的坐标为． ()2,0(设点M ，N 的坐标分别为，直线l 的方程为，1122(,),(,)M x y N x y ()2y k x =-联立直线和双曲线方程得，()222214420k x k x k --++=所以，，212241k x x k +=-2122421kx x k +=-直线PM ：，2)y x=-2y k x k ⎛=-⎝直线QN ：2)y x -2y k x k ⎛=- ⎝消去y ，得， 12121111212222x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭整理得， ()()12121242x x x x x x x +-=--则．()12121224x x x x x x x --=+-因为，所以A 的横坐标为1． 2222121221224242111444241k k x x x x k k k x x k +-----===+---故A 在定直线上．1x =。
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题一、 选择题：每题5分;共60分2、若a;b 为实数;且a+b=2;则3a +3b 的最小值为 A18;B6;C23;D2433、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 Ax-32-x ≥0;B0<x-2≤1;C 32--x x ≥0;Dx-32-x>0 6、已知L 1:x –3y+7=0;L 2:x+2y+4=0;下列说法正确的是AL 1到L 2的角为π43;BL 1到L 2的角为4π CL 2到L 1的角为43π;DL 1到L 2的夹角为π43 7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是A3x+4y –5=0;B3x+4y+5=0;C-3x+4y –5=0;D-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 A29 B 29 C 429 D 229 11、双曲线：的准线方程是191622=-x y Ａy=±716Bx=±516CX=±716DY=±516 12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 A a 41;0B0;a 161C0;-a 161D a161;0 二、填空题：每题4分;共16分 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是–21;31;则a-b=. 14、由x ≥0;y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为.15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为θ为参数;则其标准方程为.16、已知双曲线162x -92y =1;椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点;椭圆与双曲线的离心率互为倒数;则椭圆的方程为.三、 解答题：74分17、如果a;b +∈R ;且a ≠b;求证：422466b a b a b a +>+12分19、已知一个圆的圆心为坐标原点;半径为2;从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1;求线段PP 1中点M 的轨迹方程..12分21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池;其容积为4800m 3;深为3m;如果池底每1㎡的造价为150元;池壁每1㎡的造价为120元;问怎样设计水池能使总造价最低;最低造价是多少元 13分22、某家具厂有方木料90m 3;五合板600㎡;准备加工成书桌和书橱出售;已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3;五合板2㎡;生产每个书橱需方木料0.2m 3;五合板1㎡;出售一张书桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元;问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大 13分一、 选择题：2、B;3、B;6、A;7、B;8、D;11、D;12、B..二、 填空题： 13、-10;14、8;15、x-52+y-32=42;16、1352222=+y x 三、 解答题：17、证明：a ）422466()b a b a b +-+于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即19、解：设点M 的坐标为x;y;点P 的坐标为x ),00y ;则 x=x 44),(,2,2020220000=+=+=y x y x y x P y y 上所以在圆因为 1 将x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即1422=+y x ;所以点M 的轨迹是一个椭圆.. 21、解：设水池底面一边的长度为x 米;则另一边的长度为米x34800; 又设水池总造价为L 元;根据题意;得答：当水池的底面是边长为40米的正方形时;水池的总造价最低; 最低总造价是297600元..22、解：设生产书桌x 张;书橱y 张;由题意得,06002902.01.0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y ox y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩⎨⎧=+=+6002902.01.0y x y x 的交点A100;400.. 答：生产书桌100张;书橱400张时;可使生产利润最大..。
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高二上学期数学期末考试试卷
一、解答题
1. 直线的倾斜角的大小为________．
2. 设直线，，
．
（1）若直线，，交于同一点，求m的值；
（2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．
3. 如图，在四面体中，已知⊥平面，
，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若为的中点，点在直线上，且，
求证：直线//平面．
4. 已知，命题{ |方程
表示焦点在y轴上的椭圆}，命题{ |方程
表示双曲线}，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数的取值范围．
5. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，
，．
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离.
6. 已知圆C的圆心为，过定点
，且与轴交于点B，D．
（1）求证：弦长BD为定值；
（2）设，t为整数，若点C到直线的距离为，求圆C的方程．
7. 已知函数（a为实数）.
（1）若函数在处的切线与直线
平行，求实数a的值；
（2）若，求函数在区间上的值域；
（3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围．
8. 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与交于，两点，点
坐标为，若直线，的斜率之和为定值3，
求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．
二、填空题
9. 命题“对任意的”的否定是________．
10. 设，，且//
，则实数________．
11. 如图，已知正方体的棱长为a，则异面直线
与所成的角为________．
12. 以为准线的抛物线的标准方程是________．
13. 已知命题: 多面体为正三棱锥，命题:多面体为正四面体，则命题是命题的________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）
14. 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为________．
15. 函数的单调递减区间为________．
16. 若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为________．
17. 如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为________．
18. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的
焦点，点的坐标为，则的最小值是________．
19. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为________．
20. 已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，，，，则
.
其中所有正确命题的序号是________．
21. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为________．
22. 在平面直角坐标系中，已知是函数
图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是________．。