目标函数的几何意义
借助目标函数的几何意义解线性规划问题
借助目标函数的几何意义解线性规划问题
线性规划问题是企业决策分析中常见的问题，它利用目标函数的几何意义来求解，目标函数的几何意义就是通过特定的函数曲线使得所求的最优解能够达到的最佳的位置及形状，以达到实现优化的最大化或者最小化的目的。
下面以做公司生产原料决策为例，讲解目标函数几何意义。
企业要求以X1和X2为两种原料采购，采购成本分别为1元和2元，通过原材料加工生产制成品，售价为3元每台。
线性规划问题就是在一定的条件下，如何选择X1和X2的采购量，用更少的采购成本来达到最高的利润。
假设有约束条件，比如最多只能采购3个X1和2个X2，那么，目标函数的几何意义表示的是把X1和X2的采购量作为变量，利润作为函数的函数曲线，在X1和X2的采购量满足约束条件的前提下，把曲线微调，把利润最大化，称为最佳曲线。
因此，结合目标函数几何意义，最终企业可以从曲线最高点处，获得最优原材料采购量，比如最高点处极大值为9，则最优解是，X1=3，X2=2，则最高利润为27元。
线性规划问题可以借助目标函数的几何意义来解决，也就是说，解决线性规划问题的问主要就是把函数曲线的极大值调整到可以实现最大化或最小化的结果位置。
从而可以有效的获得最优解。
1.目标函数z=4x+y,将其看成直线方程时,z的几何意义是( )
1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数解析：选B.把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距．2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案：B3．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5，则s ＝x ＋y 的最大值为________．解析：可行域如图所示，作直线y ＝－x ，当平移直线y ＝－x至点A 处时，s ＝x ＋y 取得最大值，即s max ＝4＋5＝9.答案：94．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为：A (3,6)，B (3，－6)， 所以三角形OAB 的面积为：S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －z 2，画直线y ＝12x 及其平行线，当此直线经过A 时，－z2的值最大，z 的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z 的最小值为3－2×6＝－9.一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．(12，12)解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A ，B ，D.2．(2010年高考浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1D.715解析：选A.画出可行域如图：令z ＝x ＋y ，可变为y ＝－x ＋z ，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 3．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：选C.直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过C 时m 最小，为－1， 经过B 时m 最大，为3.4．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y －1≤0x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分， ∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .由图知截距－z 的范围为[－2，1]，∴z 的范围为[－1,2]．5．设动点坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －4)≥0，x ≥3，y ≥1.则x 2＋y 2的最小值为( )A. 5B.10C.172D ．10解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x ＝3，y ＝1时，x 2＋y 2的最小值为10.6．(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析：选D.设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．二、填空题7．点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤1，y －x ≥12则P 点坐标为________时，z ＝4－2x ＋y 取最大值________．解析：可行域如图所示，当y －2x 最大时，z 最大，此时直线y －2x ＝z 1，过点A (0,1)，(z 1)max ＝1，故当点P 的坐标为(0,1)时z ＝4－2x ＋y 取得最大值5.答案：(0,1) 58．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析：作出可行域如图所示：作直线l 0∶x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(－k 3，－k3)．∴－k3－k ＝8，从而k ＝－6. 答案：－6 9．(2010年高考陕西卷)铁矿石A 和B 的含铁率a ，，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格某冶炼厂至少要生产22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示：由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min ＝3×1＋6×2＝15 答案：15 三、解答题10．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x 则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ∶y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大；当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8， z min ＝2×1－2×1＋4＝4.11．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －ay －1≥02x ＋y ≥0x ≤1(a ∈R )，目标函数z ＝x ＋3y 只有当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0时取得最大值，求a 的取值范围．解：直线x －ay －1＝0过定点(1,0)，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ≤1，让直线x －ay －1＝0绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x ＋3y ＝0，观察图象知必须使直线x －ay －1＝0的斜率1a ＞0才满足要求，故a ＞0.12．某家具厂有方木料90 m 3 ，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所获利润最大？解：由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获利润z 元，则⎩⎨⎧0.1x ≤902x ≤600x ∈N*⇒⎩⎨⎧x ≤900x ≤300x ∈N*⇒x ≤300，x ∈N *.目标函数为z ＝80x .所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎨⎧ 0.2y ≤901·y ≤600y ∈N*⇒⎩⎨⎧y ≤450y ≤600y ∈N*⇒y ≤450，y ∈N *.目标函数为z ＝120y .所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0，x ∈N y ≥0，x ∈N⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，且x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝ 80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略)． 作直线l ∶80x ＋120y ＝0，即直线l ∶2x ＋3y ＝0(图略)．把直线l 向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x ＋2y ＝900,2x ＋y ＝600的交点时，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝9002x ＋y ＝600解得交点的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大．。
寻优算法的目标函数
寻优算法的目标函数导言寻优算法（Optimization Algorithm）是一种用于求解优化问题的计算方法。
它通过不断调整问题的解，使得目标函数的取值尽可能接近最优解。
目标函数（Objective Function）是寻优算法中的核心概念，它用于衡量问题的解的质量和优劣程度。
本文将会对寻优算法的目标函数进行全面而深入的探讨，包括目标函数的定义、性质、分类以及设计方法等方面。
目标函数的定义目标函数是指在优化问题中用于评价各个解的一个函数。
根据问题的具体情况，目标函数可以是一个标量函数，也可以是一个向量函数。
标量函数的取值是一个实数，用于表示解的优劣程度。
向量函数的取值是一个向量，其中每个分量表示解在不同方面的优劣程度。
在寻优算法中，目标函数通常由用户定义，根据问题的要求和限制，通过数学方法进行建模。
目标函数的定义需要满足以下几个要求：1.目标函数应能准确地衡量解的质量，能够将问题的约束条件和目标要求统一起来。
例如，在旅行商问题中，目标函数可以是旅行商的总行驶距离，通过最小化这个距离来求解最优路径。
2.目标函数应具备可计算性，能够通过解的参数计算出其对应的目标函数值。
目标函数的计算过程应该高效，并且能够容易地被寻优算法调用。
3.目标函数应具有连续性和光滑性，以便寻优算法能够通过局部搜索等技术找到全局最优解。
在某些情况下，目标函数可能具有非连续性和不可导性，这时需要使用特殊的寻优算法和技术。
目标函数的性质目标函数在寻优算法中起着至关重要的作用，它的性质决定了寻优算法的效果和可行性。
目标函数的主要性质包括：单调性如果目标函数是单调的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在一一对应的关系。
这样的情况下，寻优算法可以通过比较目标函数值来选择更优的解。
单调性是目标函数的一种重要性质，如果目标函数不是单调的，寻优算法需要使用其他策略来进行搜索。
凸性如果目标函数是凸的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在凸性关系。
浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义
２０ ０ ８年
《 田师 范专科 学校 学报 》（ 和 汉文综合版 ）
Ｊ１ ０ ８第 ２ ｕ． ０ ２ ８卷第 四期
总第 ５ 期 ４
浅谈线性规划问题中目标函数的几何意义
贾玉美
（ 和田地区二中 新疆和田 ８ ８０ ） ４ ００
Ｌ 安Ｊ 捅 本文主 要介绍了 解决线 性规划问 题的方 其关键是 法， 确定目
＝
。
一
面我们就 ｂ 的取值分两种情况来看看： ）与定点Ｍ（，ｂ ａ ）连线的斜率。： —— ：ｘ ａ可以变形为： － ： （） ＝ 且 ａ 。 １ ｂＯ ≠０ 此时 目标 函数 可化 为ｘ： ， ｚ 它表 示 以 ｚ为 ｙ 横截距，垂直于 Ｘ轴的直线。ｚ是一个与横截距相关的量，它的最 值由 ａ的符号，及直线 ｘ Ｏ ＝ 在线性区域内自左向右平行移动最先及 最后经过的点确定。由横截距取值情况知，当ａ ＞Ｏ时，将垂直于 Ｘ 轴的直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最 小值，最后经过的点确定的是最大值：当 ａ 时， ＜Ｏ 将垂直于 Ｘ 轴的 直线在线性区域内自左向右平行移动最先经过的点确定的是最大 值 ，最 后经过的点确定 的是最小值 。
－
（）ｂ ２ ≠０（∈Ｒ） 此时目 ａ 。 标函数可化为Ｙ 一 ÷ 尺， ＝÷＋∈
它示 一为率以为截的线ｚ一与截 相 例 ： 知ｆ －ｓ 表 以詈斜 ，三纵距直 。 个横距 关 ｂ 是 ２已 ｛ｘ＋ｙ＋４＞Ｏ且 。 －， ｚ取 范 。 ４。 ｐ 求 的 值 围 ２ ２
的 ，的 值 ｂ 符 ，斜 为詈直 在 性 域 自 量 它 最 由 的 号及 率 一的 线 线 区 内 下
６
，它
的几何意义是线性区域内的点 Ｐ（ ， ）与定点Ｍ（，ｂ 连线的斜 ｘｙ ａ ） 率的倒数。
三种目标函数的几何意义
三种目标函数的几何意义一、 教学目标：知识目标：1. 了解线性规划意义，并会简单的运用；2. 能解决一些非线性目标函数的最值问题。
能力目标：提高学生的作图能力、分析能力，培养学生运动变化的数学思维。
情感目标：通过自主学习、合作学习培养学生的团队合作精神。
二、教学重点：三种目标函数的几何意义。
教学难点：非线性函数最值问题。
三、教学工具：powerpoint 课件、几何画板 四、教学过程：我们已经学习过线性规划的有关知识，请看下面的问题：【问题】求y x z +=2的最大值，使x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。
（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。
在大部分学生完成后，提问学生：） 1. 题目中给出的是关于x ，y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形？2. 要正确解答问题，首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗？其他同学还有没有不同想法？3. 在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与y 应该在什么范围内取值呢？不等式组表示的区域我们在线性规划里面称作什么？（多媒体给学生演示z 的变化过程，让学生体会“运动变化”的数学思想。
然后给出上述问题的详细解答过程）【变式1】在上述问题中，如果把目标函数改写成y x z 32+=，那么z 的几何意义又是什么呢？如果改成y x z -=2呢？上述题目和变式1中提到的目标函数为直线型：By Ax z +=，即y A B x z B z B=-+，为直线在y 轴上的截距。
z 的几何意义就是直线在y 轴上截距的B 倍。
至于z 与截距是否同时取到最值，还要看B 的符号。
【变式2】如果把题目中目标函数改写成23++=x y z ，那么z 的几何意义会是什么？最值如何呢？如果是改写成xy z 2+=，最值又如何？ 学生分组探究，寻找解决问题的方法。
找学生分享自己的想法。
（多媒体演示，z 的变化过程）在解决变式2中两个函数最值时，不同之处是什么？（当定点与区域内的点连线斜率都存在时，z 有最值；当定点与区域内的点连线斜率有不存在情况时，z 没有最值，但可以把z 的取值范围写出来。
线性规划基础
知识详解1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.解线性规划实际问题的步骤：（1）列出约束条件与目标函数；（2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（3）验证.4. 主要的目标函数的几何意义:（1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率一．二元一次不等式(组)表示的平面区域例1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．二.目标函数形如z=ax+by 型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3z -表示直线331zx y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D.三.目标函数形如ax by z --=型：：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y=6，KOC =59，所以6≤，选A.1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为4. A.⎣⎡C ．6A ．C ．7. 8如果点P 在平面区域⎪⎩⎨≥-≤-+01202y y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x=++最小值为____9.设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为_______、10.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混,x y 241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2+3x y合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．11.某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？。
目标函数
设计变量的函数
目录
01 函数定义
02 函数概念
目标函数f(x)就是用设计变量来表示的所追求的目标形式，所以目标函数就是设计变量的函数，是一个标量。 从工程意义讲，目标函数是系统的性能标准，比如，一个结构的最轻重量、最低造价、最合理形式；一件产品的 最短生产时间、最小能量消耗；一个实验的最佳配方等等，建立目标函数的过程就是寻找设计变量与目标的关系 的过程，目标函数和设计变量的关系可用曲线、曲面或超曲面表示。
函数定义
一个工程设计问题，常有许多可行的设计方案，最优化设计的任务是要找出其中最优的一个方案。评价最优 方案的标准应是在设计中能最好地反映该项设计所要追求的某些特定目标。通常，这些目标可以表示成设计变量 的数学函数，这种函数称为目标函数。
函数概念
等值线(等值面)
图1不同的设计点X代表不同的设计方案，不同的设计方案可以达到同样的目标值。在数学上，具有相同目标 函数值的点并非一个，而是很多，例如：二维设计中，目标函数是三维空间中的曲面，具有相同目标函数值的点 在二维空间上描绘出一簇簇曲线，如右图1所示，这种n维设计空间中具有相同目标函数值的设计点在n维空间中 构成的曲线(面)称为目标函数的等值线(面)。显而易见，等值线(面)是一簇簇超曲线(面)，在同一条超曲线(面)上 有很多设计点，代表了不同的设计方案，但它们却对应有相同的目标值.不同的等值线有不同的目标值。
梯度
梯度是目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的向量，并以符号“▽f(X)"表示，即
从几何意义上讲，梯度向量在目标函数面的(n+1)维空间中垂直于目标函数面，在设计变量的n维空间中垂直 于目标函数的等值面。以二维为例，如下图2所示，当f(X) =ax1+bx2表示目标函数面是三维空间中的一个平面时， 其等值线是一簇簇平行线C1，C2……，梯度▽f(X(k))既垂直于目标函数面，又垂直于等值线。
目标函数的几何意义
目标函数的几何意义目标函数的几何意义目标函数在数学中是用来描述最优化问题的数学函数。
在最优化问题中，我们希望通过对给定条件下的多个可行解进行比较，找到使目标函数取得最优值的解。
目标函数的几何意义是通过对函数的图像进行分析和解释，来理解和说明问题的最优解。
首先，我们来看一元函数的情况。
对于一个一元的目标函数，其图像是一个曲线。
我们可以通过绘制目标函数的图像来直观地观察函数的特点。
例如，如果目标函数是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。
我们可以看到抛物线的顶点是函数的极小值点，这是最优解的可能位置。
在图像上，我们可以推断出目标函数的最优解将在极小值点处取得。
对于多元函数的情况，我们需要将目标函数的图像表示在更高维的空间中。
我们可以将目标函数表示为一个曲面，其中曲面的高度表示目标函数的值。
通过观察这个曲面，我们可以获得一些有关最优解位置和形式的信息。
在多元函数的情况下，最优解的位置是曲面上的一个点，使得点的邻域中没有其他点比它更好。
这个点被称为最优解点或最小值点。
在图像上，最小值点就是曲面的一个局部最低点。
最优化问题的目标就是在这个曲面上找到这个最低点，寻找其它点比这个点更低的可能性非常小。
除了寻找最低点，目标函数的几何意义还包括判断函数的性质和拓扑结构。
通过分析目标函数的曲面，我们可以确定函数的凸性、连续性和存在最优解的区域等性质。
例如，对于一个凸函数，其曲面呈现一个凸状。
这意味着任意两点连线上的曲面点都位于该曲线下方。
因此，凸函数的最低点也是全局最低点。
总结来说，目标函数的几何意义可以帮助我们直观地理解最优化问题，并帮助我们找到问题的最优解。
通过对函数图像的观察和分析，我们可以获得关于函数的性质和拓扑结构的信息。
理解目标函数的几何意义可以为我们设计和优化问题的解决方案提供指导。
巧用目标函数的几何意义求最值
＼3z．t2y柑 ’ 图
解 析： 先 画出 约束 条 件所 对 应可 行 域如 图5 所示
z =13x+2y+91 2 13x+2y+91 ： ．怕 孑： 佩．何，它 的阴影部分(含边界)，构造点到直线的距离公式，得 、／32+22
X一 ～一 l ，
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图2
图2可知，当点P在可行域中的点A( 0．2) 处时，直线
MAI ! [ I MP，其斜率最大，目标函数取得最大值。同理。
目标函数在点c处取得最小值．所以，所求的最大值
练：( 2004年浙江) 设Z- - -- X—Y，其中变量x、Y满足条
件f 1+y一3≥o，则：的最小值为
I x一2y>s O
( A) 1
(B) 一1
( C) 3
() ( D) 一3
略解：因y=x—Z，一z是直线的纵截距，当纵截距最 大时，一z最大，此时z取最小 值( 可类比求其最大值) ． ( 答案：A)
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学校 口 冈
巧 用 目 标 函 数 的 J Lt ． - ?意 义 求 最 值
O双江县第一中学王先英
数学中求最值问题的题型比较多．方法十分灵
活， 涉及到 高中数 学知识 的方 方面面 ．其中 有一类 是
在线性约束条件下，求二元函数的最值问题即线性
规划 问题， 它具有 一定的 工具 性和应 用性， 同时也 可
岛一1I
线性规划练习题含答案
线性规划练习题含答案一、选择题1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为A ．－1 BD ．1 【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1故选B 。
2．定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y=+-，则z 的取值范围是 （ ） A【答案】D【解析】{},2,20max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下3．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则 ）A ．BCD【答案】DP(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3,,4PA k =应选D4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B5．若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-6．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-120y x a y x y x ，若目标函数z=2x+6y 的最小值为2，则a =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。
线性规划几何意义
目标函数几何意义在变化线性规划是高中数学的重要内容之一，它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．由于目标函数在不断地变呈动，现出多样性和隐蔽性，所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面举例说明：一、目标距离化．例1．已知实数x，y满足,则的最大值是分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，画出可行域可求得解：如图，作出可行域，则可知行域内点（4，1）到可点（1，1）的距离最大，从图形中可只是3，故．例2．已知实数满足，求的最大值．分析：这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了．，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍．解：作出可行域，（如上图）可知可行域内的点（7，9）到直线的距离最大，所以二、目标角度化．已知为直角坐标系原点，的坐标均满足不等式组，则的最小值等于．分析：作出相应的可行域，可知越大，则越小，所以可知在（1，7）（4，3）此时与原点O的张角最大解：画出可行域，不失一般性，不妨设P（1，7），Q（4，3）；则，，则，所以．三、目标斜率化．例4．已知变量满足约束条件，则的取值范围是_____.分析，观察的结构特征，令人想到平面内的两点间的斜率公式，可得表示可行域内的点与原点之间的斜率，结个可行域可得其取值范围是，具体的过程留给聪明的读者．四、目标投影化．例5．已知点（O为原点）的最大值为．分析：这个目标函数更为隐蔽了，表示的是是方向上的投影．解：作出可行域，则可知P（5，2），则=（5，2），则在上的投影是PQ，可看作点P到直线是距离五、目标面积化．例6已知实数满足，求的最大值．分析：表示可行域内的点（正好在第一象限）到两坐标轴距离的乘积的两倍，即过该点作两坐标轴的垂线，长线段与两坐标轴所围成的面积的2倍，可知当时取得最大值，最大值是同学们应该知道目标函数是直线的截距的这种类型的基础上，还要知道距离、投影、斜率、角度、面积等几种常见的形式．这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“形”．下面提供部分习题请同学们完成．（1）若函数是定义在上的函数，则函数的值域是（）A．B．C．D．（2）约束条件，目标函数的最小值是（3）已知（是坐标原点）的最大值为答案：（1）D （2）0 （3）5。
从目标函数几何意义探求线性规划问题
从目标函数的几何意义探求线性规划问题新教材试验修订本中“简单的线性规划”是新增加的内容,在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见题型。
在近几年高考试题中都有所体现,若能借助于目标函数的几何意义解题,可提供直观明了的解题思路,解题也显得迅速简捷。
本文通过对目标函数几何意义的诠释来解几类线性规划中的最值问题。
一、借助于平面向量的数量积解一类线性规划问题形如z=ax+by的目标函数,可以把它看成平面内的向量=(a,b)与向量=(x,y)的数量积即z==cosθ,因为为定值,所以z的最值主要由cosθ决定的,即向量在向量方向上的投影。
例1.(2005年山东卷15)设x、y满足约束条件x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是_______。
图1解析:作出可行域如图1,设n(x,y)为可行域内的任意一点,m(6,5),则z==cos∠mon,由数量积的几何意义(如图所示)得,当n(x,y)在a(2,3)时,在上的投影最大,即z=6x+5y取得最大值,zmax=27。
二、借助于两点间的距离解一类线性规划问题形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数,可以把它看成点m(a,b)与点n(x,y)间距离的平方,即z=mn2,问题转化为研究m、n两点间距离平方的最值,又m为定点,所以z的最值主要由可行域内n点位置决定。
例2.已知2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值。
图2解析:作出满足约束条件的可行域如图2。
设p(x,y)为可行域内任意一点,目标函数z可视为o、p两点间的距离的平方,问题转化为研究距离平方的取值范围,由图易知可行域内,点c到原点o的距离最远,即:zmax=oc2=13,此时x=2,y=3。
又过o作直线ab:2x+y-2=0的垂线,垂足d(,),可知点d到原点的距离最近,即zmin=od2=。
2022年北京师大附中高三第二次联考数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-22．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年3．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π4．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-5．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．2367．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382438．过双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D9．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．410．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22311．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．1612．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
目标函数的几何意义
★高中数学必修模块5第10期第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法．求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义．一、运用直线的截距例1：已知z x y =-，且,x y 满足线性约束条件210,20,250,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩求z 的最大值和最小值．分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解析：作出可行域如图1所示，△ABC 内部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线0x y -=，易知，线段AB 上的点使z 取最小值的最优解，故把（0，2）代入得min 2z =-．而C 点是使z 取最大值的最优解，解方程组210,250,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得C （3，－1），∴max 3(1)4z =--=．点评：1.对线性目标函数z Ax By =+（0A >）中的B 的符号一定要注意，当0B >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当0B <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．2.若最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合．变式：（2008·广东）若,x y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是（ ）A.90B.80C.70D.40解析：作出可行域如图2所示，作出直线42-2-55yxCBAOy=xx+2y-1=02x+y-5=0x-y+2=0（图1）504020-203x+2y=0AyxOx+2y-50=02x+y-40=0（图2）320x y +=，易知A 点是使z 取最大值的最优解，由240,250,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得A （10，20），∴max 70z =，答案：C ．点评：可从几何角度理解z 的最大值，此题中，z 为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，z 值越大．二、运用直线的斜率、两点距离公式（或平方）、点到直线的距离例2：已知一元二次方程220x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点(,)a b 对应的平面区域；（2）21m a b =+-的取值范围； （3）21b n a -=-的取值范围；（4）22(1)(2)q a b =-+-的取值范围； 分析：由一元二次方程根的分布情况求出,a b 满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键．解析：方程220x ax b ++=的两根在区间（0，1）和（1，2）内的几何意义是：函数2()2y f x x ax b ==++与x 轴的两个交点的横坐标分别在（0，1）和（1，2）内，由此得不等式组(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0,210,20.b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩由210,20,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得A （－3，1）；由0,20,b a b =⎧⎨++=⎩解得B （－2，0）；由0,210,b a b =⎧⎨++=⎩解得C （－1，0）．（1）在如图3所示的aOb 坐标平面内，满足满足约束条件的点(,)a b 对应的平面区域为△ABC （不包括边界）．（2）215m a b =+-=，其几何意义为区域内的点到直线210a b +-=A ，点C 分别是到直线210a b +-=的最大、最小值，此时max 6z =，min 2z =，∴(2,6)m ∈．-52ba2a+b-1=0ODCBAa+2b+1=0a+b+2=0（图3）（3）21b n a -=-的几何意义点(,)a b 和点D （1，2）连线的斜率．因为211134AD k -==+ 20,111CDk -==+，由图3可知21AD CD b k n k a -<=<-，∴1(,1)4n ∈． （4）因为22(1)(2)q a b =-+-表示区域内的点(,)a b 和点D （1，2）之间的距离的平方，其最小值为222(11)28CD =++=，最大值为222(13)(21)17AD =++-=，∴(8,17)q ∈．点评：本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代数问题几何化”的转化思想的应用．变式：已知20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩求：（1）24z x y =+-的最大值；（2）221025m x y y =+-+的最小值；（3）211y n x +=+的范围． 解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．（1）易知可行域内各点均在直线240x y +-=的上方，故将C （7，9）代入得z 的最大值为21．（2）22221025(5)m x y y x y =+-+=+-表示可行域内任一点(,)x y 与点M （0，5）距离的平方，易知M 点到直线AC 距离就是m的最小值，故min m =（3）21(0.5)21(1)y y n x x +--==+--表示可行域内任一点(,)x y 与定点Q (1,0.5)--连线的斜率的两倍，因为74QA k =，38QB k =，故37(,)42n ∈． 点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率．。
线性规划中目标函数的几何意义
线性规划中目标函数的几何意义课例名称：《线性规划中目标函数的几何意义》授课教师：梁耀冬（罗定实验中学）课型：高三复习【教学设计】一、教材分析1 ．教学背景分析简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现, 它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．具有应用的多样性.其中也对学生的数形结合思想进行全方位考查. 所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧.2 ．教学目标知识与技能目标：（ 1 ）能正确理解目标函数所表示的几何意义（ 2 ）能运用数形结合的数学思想解决线性规划中目标函数的几种基本的类型过程与方法目标：（ 1 ）培养学生的数学意识，增强学生数形结合的思想；（ 2 ）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：（ 1 ）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（ 2 ）体会数形结合的美。
3 ．教学重、难点重点：数形结合；难点：能运用数形结合的思想方法解决目标函数中的几何意义问题。
二、教法、学法设计1 ．教法设计本节课的教学通过具体实例采用了启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透。
2 ．学法设计在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。
经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
三、教学过程设计1 ．提出问题 ①直线型：z ax by =+例1、(2008年广东卷)若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0010502y x y x y x ,则z=2x+y的最大值是________.（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。
寻找目标函数的几何意义
作 出满足上述条件的平面区域， 如图阴影部
分．作一系列与直线 Ｉ ｏ：２ ｘ＋Ｙ＝ ０ 平行的直 线 ｆ ｘ＋Ｙ—Ｚ＝ ０ 使这些直线经过平面 区 ：２ ，
例３ 知《 一２ ＋４ ， ＝ ＋ 已 ≥０ 则
Ｌ３ 一 ３≤ ０ 一 ，
域 内的点． 因为直线 ｌ的斜率 ＝ － ， ｏ ２ 直线 ＋ Ｙ一６ ０ ＝ 的斜率 １ －１ 直线 —Ｙ＝ ０ ＝ ， 的斜 率 ２＝ １ 所 以 ＜ １ 尼＜ 后 ， ， ， ２ 因此直线 ｆ 与
引 申： 求 ＝ 的值域．
所 以， 当 ＝２ Ｙ＝３ ， 时， ＝ １ ＋５＝ １． ３ ８ 点评： 目标函数中， 形如 ＝ ＋ 。 ２ ＋Ｄｘ ＋
问题 ．
解 组 ＋。｛ 方 ｛一４， 耋 程 ３ ： ｘｙ＝ －一Ｏ ２３￣ 得
三、 引出“ 距离” 例 ４ （０ ７ 湖南省湘潭市 高考模 拟数学 ２０ 年 ｒ —Ｙ＋２≥０ ，
到原点的距离 的平方，以原 点为 圆心作半径为 的圆， 使这些圆经过 可行域 内的点， 由图 可知， 当圆与直线 ２ 一２ ０ ＋ ＝ 相切时， 圆的半 径 最小， Ｚ 即 最小； 圆过点 时， 当 圆的 半径 最大， 即 最大．
２ ＋ｙ一２ ｘ ＝
Ｉ ＋ Ｓ≤ｌ可化为里 ３ ４一 ｌ ５
≤ Ｙ ≤ １ ．
／１ 、
ｒ（ 一３ ＋（ ） Ｙ一３ ） ≤８ ，
或 《 —Ｙ ， ≤０
Ｌ ＋ Ｙ一６≤ ０ ．
２＋ ｙ 最大 画出可 ， 知过 ＼ ，） ｘ ３的 值． 行域 易 点Ｉ １ ／ 言
时， ＝ＯＰ・ ＯＱ＝ ２ ｘ＋３ 的最大值为 ４ ｙ ． 二、 引出 “ 圆” ｒ２ ＋Ｙ 一２≥０ ，
一
ｆ ）＋（一 ）≤８ （一３ Ｙ ３ 。 。 ，
例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法
2012-01教学实践高中数学线性规划问题中，经常出现目标函数非线性问题，解决此类问题的关键是充分把握其目标函数的几何意义.一、目标函数为：z =ay+b cx+d （ac ≠0）型几何意义：z =ay+b cx+d =a c ·y-（-b a ）x-（-d c ）表示点（x ，y ）与点（-d c ，-b a ）连线的斜率的a c 倍.例1.已知x 、y 满足约束条件2x+y -2≥0x -2y +4≥0，3x-y -3≤0求z =y+1x+2的最值.解：可行域为：∵z =y+1x+2=y-（-1）x -（-2）表示点（x ，y ）与点（-2，-1）的连线的斜率，∴Z min =13，Z max =32.例2.如果实数x 、y 满足条件x-y +1≥0y +1≥0x+y +1≤0{，求z =y -1x -1的取值范围.解：可行域为:z =y -1x -1表示点（x ，y ）与点M （1，1）的连线的斜率，∵k MA =2，k MB =12∴z =y -1x -1的取值范围是［12，2］.二、目标函数为：Z =Ax+By+C （A 、B 不同时为0）型几何意义：Z =A 2+B 2√·Ax+By+C A 2+B 2√表示点（x ，y ）到直线Ax+By+C =0的距离的A 2+B 2√倍.例3.实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥02x-y -5≤0，x+y -4≥0{求Z =x +2y -4的最大值.解：可行域为：（如下图）∵Z =x +2y -4=5√·x +2y -45√表示点（x ，y ）到直线x +2y -4=0的距离的5√倍，∴Z max =5√·7+2×9-45√=21.y -4=0三、）几何意义：Z =（x-a ）2+（y-b ）2=［（x-a ）2+（x-b ）2√］2表示点（x ，y ）与点（a ，b ）间的距离的平方.例4.已知实数x 、y 满足不等式组2x+y -2≥0x -2y +4≥03x-y -3≤0{，求x 、y 取何值时，Z =x 2+y 2取得最大、最小值.解：可行域为:Z=x 2+y 2表示原点O （0，0）与点（x ，y ）的距离的平方.点O （0，0）到直线2x+y -2=0的距离d 1=25√.可行域内垂足为（45，25），点O （0，0）与点B （2，3）的距离为d 2=13√.∴当x =45y =25⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐时Z min =45；当x =2y =3{时Z max =13.例5.已知实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥0x+y -4≥02x-y -5≤0{，求Z=x 2+y 2-10y+25的最小值.解：可行域为：Z=x 2+y 2-10y x 2+（y -5）2√］2求点M （0，5）到点（x ，y ）的距离的平方.过M （0，5）作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上.∴Z min =MN 2=92.非线性目标函数问题在高考中还经常出现，教学中应给以足够重视.（作者单位云南省建水第一中学）例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法文/王云峰82--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
线性目标函数与非线性目标函数几何意义论文
线性目标函数与非线性目标函数几何意义论文
线性目标函数与非线性目标函数几何意义论文摘要：在高三数学复习线性规划的时候，我对与此节内容有关的高考试题进行了一些小结与整理，发现了一个规律：你只要找到目标函数的几何意义，计算往往是简单的。
我有以下小结，供同学们参考。
一、线性目标函数的几何意义可以是在y（或x）轴上的截距的实数倍，这是课本上介绍的主要的方法。
例题1. 已知实数x、y满足约束条件x+y≥0x-y+5≥0x≤3，则z=2x+4y的最小值为（）
A.5
B.-6
C.10
D.-10
解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：
当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又C（3，-3），故z=2x+4y的最小值为zmin=2×3+4×（-3）=-6，答案选B。
类似习题：
习题1（08福建）设变量x，y满足约束条件x+y≥3x-y≥-12x-y≤3，则z=2x+3y的最大值为（）
A.6
B.7
C.8
D.23
习题2.（09陕西）若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≥0，则z=3x+2y的最小值是（）
A.0
B.2
C.3
D.9
二、分式目标函数的斜率意义（非线性）：目标函数形如z=y-bx-a，z的几何意义是：平面区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的。
三类目标函数的最值问题
解得
所以
上面解法是解线性规划问题的标准格式：
（1）作出可行域。
（2）作直线 ，注意 的斜率与其它直线斜率的比较， 的倾斜程度不一样，结果就不一样。
（3）将 平移，确定目标函数取最值时的最优解。
（4）解出最优解：求出目标函数的最值。
这里目标函数为直线型： ，即 为直线在y轴上的截距，当截距 取最大值时，z也取最大值；当 取最小值时，z也取最小值。若目标函数为 ，即 时，则直线在y轴上的截距 取最大值、最小值时，目标函数取最值的情况刚好与它相反，这要引起注意。
三类目标函Leabharlann 的最值问题吴启明线性规划作为实验教材的新增内容之一，是直线方程的简单应用，是新大纲重视知识应用的体现，应该引起足够重视。线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，而弄清楚目标函数的几何意义，是求其最值中很关键的一步。目标函数的几何意义主要有以下三种。
一.目标函数的几何意义是在y轴上的截距
例1.求 的最大值和最小值，，使式中的 满足约束条件
解：在平面直角坐标系内作出可行域，如图1所示，作直线 ，把直线 向右上方平移至 位置，即直线 经过可行域上点A时， 在y轴上的截距 最大，这时目标函数 也取最大值。
图1
由方程组
解得
所以
在直线 向左下方平移至 位置，即直线 经过可行域上点B时， 在y轴上的截距 最小，这时目标函数 也取最小值。
二.目标函数的几何意义是可行域内的动点与定点连线的斜率
例2.变量 满足条件 ，设 ，则z的最大值为__________，最小值为_____________。
分析：作出满足条件的可行域，如图2所示。
则 ，它表示可行域内的动点 与原点（0，0）连线的斜率。
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★高中数学必修模块5第10期第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）
目标函数的几何意义
解决简单线性规划问题的方法是图解法．求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义．
一、运用直线的截距
例1：已知z x y =-，且,x y 满足线性约束条件210,20,250,x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
求z 的最大值和最小值．
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解析：作出可行域如图1所示，△ABC 内部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线
0x y -=，易知，线段AB 上的点使z 取最
小值的最优解，故把（0，2）代入得
min 2z =-．而C 点是使z 取最大值的最优
解，解方程组210,
250,
x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得C （3，－1），
∴max 3(1)4z =--=．
点评：1.对线性目标函数z Ax By =+（0A >）中的B 的符号一定要注意，当0B >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当0B <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．
2.若最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合．
变式：（2008·广东）若,x y 满足240,250,
0,0,x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
则32z x y =+的最大值是（ ）
A.90
B.80
C.70
D.40
解析：作出可行域如图2所示，作出直线
4
2
-2
-5
5
y
x
C
B
A
O
y=x
x+2y-1=0
2x+y-5=0
x-y+2=0（图1）
50
40
20
-20
3x+2y=0
A
y
x
O
x+2y-50=0
2x+y-40=0（图2）
320x y +=，易知A 点是使z 取最大值的最优解，由240,
250,
x y x y +=⎧⎨
+=⎩解得A （10，20），∴max 70z =，答案：C ．
点评：可从几何角度理解z 的最大值，此题中，z 为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，z 值越大．
二、运用直线的斜率、两点距离公式（或平方）、点到直线的距离
例2：已知一元二次方程2
20x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点(,)a b 对应的平面区域；（2）21m a b =+-的取值范围； （3）21
b n a -=
-的取值范围；（4）22
(1)(2)q a b =-+-的取值范围； 分析：由一元二次方程根的分布情况求出,a b 满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键．
解析：方程2
20x ax b ++=的两根在区间（0，1）和（1，2）内的几何意义是：函数
2()2y f x x ax b ==++与x 轴的两个交点的横坐标分别在（0，1）和（1，2）内，由此得不
等式组(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0,
210,20.
b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
由210,20,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得A （－3，1）；由0,20,b a b =⎧⎨++=⎩解
得B （－2，0）；由0,
210,
b a b =⎧⎨
++=⎩解得C （－1，0）．
（1）在如图3所示的aOb 坐标平面内，满足满足约束条件的点(,)a b 对应的平面区域为△ABC （不包括边界）．
（2
）215m a b =+-=
，
其几何意义为区域内的点到直线
210a b +-=A ，点C 分
别是到直线210a b +-=的最大、最小值，此时max 6z =，min 2z =，∴(2,6)m ∈．
-5
2
b
a
2a+b-1=0
O
D
C
B
A
a+2b+1=0
a+b+2=0
（图3）
（3）21b n a -=
-的几何意义点(,)a b 和点D （1，2）连线的斜率．因为211
134
AD k -==+ 20,111CD
k -==+，由图3可知21AD CD b k n k a -<=<-，∴1(,1)4
n ∈． （4）因为2
2
(1)(2)q a b =-+-表示区域内的点(,)a b 和点D （1，2）之间的距离的平
方，其最小值为222(11)28CD =++=，最大值为222
(13)(21)17AD =++-=，∴
(8,17)q ∈．
点评：本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代数问题几何化”的转化思想的应用．
变式：已知20,
40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
求：（1）24z x y =+-的最大值；
（2）221025m x y y =+-+的最小值；（3）21
1
y n x +=
+的范围． 解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．
（1）易知可行域内各点均在直线
240x y +-=的上方，故将C （7，9）代入得z 的
最大值为21．
（2）2
2
2
2
1025(5)
m x y y x y =+-+=+-表示可行域内任一点(,)x y 与点M （0，5）距离的平
方，易知M 点到直线AC 距离就是m
的最小值，故min m =
（3）21(0.5)
21(1)
y y n x x +--=
=+--表示可行域内任一点(,)x y 与定点Q (1,0.5)--连线的斜率的两倍，因为74QA k =
，38QB k =，故37
(,)42
n ∈． 点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率．。