例谈数列中的数学思想

例谈数列中的数学思想

高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.

1、方程思想在数列中运用

等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。

例1：等差数列

{}n a 的前n 项和为S n

，且S 12

=84，S 20

=460，求S

28。

解：由已知得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，

解得4,151=-=d a .

故10922

)

128(2828128=-+

=d a S .

在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。

例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：

321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。

分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。

证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(2

32231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数

根

所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =⇒=-

因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12

3

1213122

2213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。

评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。

例3、已知),0(,5

1

cos sin πααα∈=

+，则αcot 的值是__________。 分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。

解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101

,sin 成等差数列 设公差是t ，则t t +=-=10

1cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2

222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t

又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α10

7-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以4

3

cot -=α

评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到5

7

cos sin =-αα

解方程组求解。

2、函数思想在数列中运用

数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。

例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21

=

，n S 为其前n 项的和。求证：n S n <

证明：构造函数n n

n f -++++

=21

...32122121)( 则11

21

21...32122121)1(+-++++++

=+n n n n f 两式作差得：n

n n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11

121)1(121)()1(

因为n n n ++>+112，所以n

n n ++<+11

121

即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数

又因为0)1()(,02

1

121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，

即021

...32122121<-++++

n n

，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)(

例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求

)2,(1

...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n

的最小值。 分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜

率就是其公差,易得通项公式;

(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =⋅-+=1)1(1

（2）构造函数n n n n n f ++++++=

1...2111)( 则)

1(21

...3121)1(++

++++=+n n n n f 于是11111

(1()021*******

f n f n n n n n n +-=

+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数

故)(n f 的最小值是12

7221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。

例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 分析:等差数列的前n 项和n S =

21()22d d

n a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n

可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点

30(,

)m m 100

(2,)2m m 3(3,)3m S m m 就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).

例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ. 分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{}

1,x x x N ≥∈，要使函数

2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2

x λ

=-

至少在1x =的左

侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2

x λ

=-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点

高。于是，3

22

λ

-

<

，得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合

*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d >

等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比q 1111a b =，则（ ）

A 、66a b =

B 、66a b >

C 、66a b <

D 、6666a b a b ><或

解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。 （1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +； （2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。

解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式