例谈数列中的数学思想

合集下载

例谈用函数思想指导数列不等式的证明

例谈用函数思想指导数列不等式的证明
能 力发 现 所 研 究式 子 的 结 构 特 征 . 利 用不 等 式 左边 为积 和 商 的 关 系, 然后 将 所 证 不 等 式 等 价 化 为 右 边 为 常 数 . 进 而 通 过 构 造 函 数 求 函 数 的 最 值 来 实现 证 明.这 里 才 能 为 运 算 把 握 正 确 的
只‰ ≤

, 欲 证 %=

前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 . 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
f ~ b n + l + 1 1 — b " - — 2 " .

证 明: 由l 知, 问题 的关键 即证
0, P≠ 1 ) ( ) 亦 即 证 (
P≠ 1 .
p" -I P 叶 + 1 )
≤ ( p ” l + 1 ) ( p >
( + 1 ) ( 善 - 1 ) ( 0 < 6 .
i  ̄ - b = 2 x( > 0, ≠ 1 ) , 则 问题 车 戈 +( 1 - x) ( 1 + 2 n) x 一 1 >0 /
) (
) = 2 n ( p - 1 ) p "
( p> 0, ( P 一1 ) ( p 肿 + J ) ) | . - l J
( > 1 ) , 或 + ( 1 ) ( 1 + 2 n ) x " - I ≤ 0 ( 0 < 1 ) .避厂 ( )

函数 进 行 研 究.
证明 : 当6 = 2时 , = 2, +1 = 2, 成 立.
散 函 数 的 视 角去 看 . 则 又是 一 番 景 象.上 面 的 证 明 中利 用相 邻

例谈方程函数思想在初中数列中的妙用

例谈方程函数思想在初中数列中的妙用

个是 3 第 三 个 数 是 I 则 第 n个数 是 I
A) 8 - B) n+ n5 z2 C) 4 l n-


D) 2 24 + n- n 5
7 7 = 1 = +6 3 7 1 :7 + 9 +6 6 :7 0 +6 : + l 7 6 : + 2 7 6 = + 3 7 6,
{ 芝 之: : 解得{ 二
所以,A n与 n的一次函数 的解析式为 A = k 1 n 4- ,因此,新数列的第 n
个数是 4一 。 n 1 三 、具 体 应 用 俗话 说 :“ 了 鸟枪 ,就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ! 挂 , 例 l ,如 图 ,将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 , 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 , 如 此 继 续下 去 , 结 果如 下表 :
数 列 的 第 n项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词1 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ,但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ,教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ,找 公 比 , 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ,再 利 用 其 它数 学知 识 ,解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 , 确 实具 有很强 的挑 战性 ,而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ,我根 据平 时 的教 学经 验 ,摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ,谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 :试 一 试 , 观 察下 面 几 组 数 :

以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入

以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入

以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入作者:谢晨明来源:《中学课程辅导·教师通讯》2018年第06期【内容摘要】十九大提出了“发展素质教育,推进教育公平,培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人”的核心素养,明确把数学文化纳入到新课程标准中,那么如何把握教材中的文化资源,把数学文化素养纳入课堂之中,一直是高中老师的一大困惑,本文结合《数列》苏教版教材,界定出高中教材中主要的数学文化内容,为教材中数学文化的研究提供新的方向。

【关键词】数列数学文化苏教教材刚刚结束的党的十九大明确提出:“要全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,发展素质教育,推进教育公平,培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。

”教育部于近日刚刚发布的《普通高中课程方案于标准》中更加明确的数学学科的核心素养是“学生学习该学科课程后应形成正确价值观念、必备品格和关键能力,并围绕学科核心素养的落实,精选、重组教学内容,设计教学活动,提出考试评价建议”明确了要把数学文化融入到课程内容,在前段时间教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》再次要求“增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。

”针对数学文化的考查,相信大家一定会比较迷惑:考什么?怎样考?怎么教?正如冯光庭在《基于“体现数学的文化价值”的数学教学策略探究》中所提到的:“要在数学教学过程中有效地体现数学的文化价值,并使数学教育真正成为数学文化的教育,第一要素是教师的认识问题,第二才是具体的操作问题”。

本文结合高中苏教必修五数列一章界定出高中教材中主要的数学文化内容,为教材中数学文化的研究提供新的方向。

一、首先了解“数学文化”的含义美国学者怀尔德在《作为文化系统的数学》一书中最早提出数学文化的概念,其特点在于:注重问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法和学生的情感态度。

例谈数学思想在解题中的应用

例谈数学思想在解题中的应用

A. 8 1

分析 : 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 . 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 . 已知 该 图 案 的 面 积 为 4 . 9 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ,其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 4若 用 , 示 小 长 方 形 的边 长 (> )请 观 察 图 . Y表 xy , 次 项 系数 都 是 3倍 的 关 系 .所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 : 指
想 的应 用 .
x 6 7 故 应 选 D += , .

通 过 观察 图 形 不 难 看 出 .大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 (+ ) 4 , 正 方 形 面 积 y: 9 小 -
所 谓转 化 , 即设 法把 需 要 解决 的 问题 , 过 某 种 转 化 过 为 (- ) 4 通 x y  ̄ ,四个 小长 方 形 的 面 积 为 - - 程 , 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 , 而 使 原 来 4 y 化 从 x .由 此 可 进 一 步 得 出 x y 7 _ = +=。 y 的 问题 得 到 解 决 .
2x4, 等. 不 确 是 2故 选 ,+9 4 =坼 y 所 正 的 坼 5应 D 以 ,
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ,会 产 生 几 种可 能 的情 况 , 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 . 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 , 直 接 计 算 比较 复 杂 . “ 若 由 道 是分 类 讨 论 , 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 . 路 宽 为 1米 ” 个 条件 易想 到 , 1 长 的 道 路 , 面 积 为 这 每 米 其 例 5等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 . l 方米. 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 1 的 求 2和 9两 部 分 , 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 . 7 8 5 ( 的 由 x = 6 平 形 的 各 边 长. B

例谈数列问题中的数学思想

例谈数列问题中的数学思想

点 评 : 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 . 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 2 3 取 值 范 围 问 题 转 l 的
2 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 , 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 . 从 唯一标准 , 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 : ( ) 认 真审题 , 确要求 , 维严谨 、 密 , 算有 据 、 1要 明 思 周 计 准
) +
—一 的最大值 为 , 最
4 等 价 转 化 法 .
分析 : 直接
1 !!里
2 +C S O

) 的最大 值 、 小值显然 不可取. 最 化袱 ) =
 ̄JTg ) 奇 偶 性 J ( 的 J
+ COS 戈

将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ,使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 . 过 转 化 , 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ; 2 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ; 3 要 重 视 () 性 () 对 所 求 结 果 的检 验 .
化 成 了直 线y m与 曲线y f x) 三 个 交点 的 问题 , 数 的 问题 转 = =( 有 将
化 成 了形 的 问题 , 而利 用 图 形 的性 质 解 决. 从
点 评 : 函 数 有 关 的 填 空 题 , 据 题 目条 件 , 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 , 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 , 往

例谈与数列有关的综合问题的解题技巧

例谈与数列有关的综合问题的解题技巧

例谈与数列有关的综合问题的解题技巧作者:徐义来源:《数学大世界·中旬刊》2019年第04期通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结,发现有关数列的题目出现频率比较高,不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合,有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。

数列是一种比较特殊的函数,需要教师熟练掌握相关概念,联想题目的特征,联想自身做题经验,找到解题方向,提高做题的效率。

数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字,数列中每一个数都是这个数列的项。

数列也是一定定义域为正整数集的函数,而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。

对于高中生来说,数列的学习是一个重要部分,其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法,数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力,反映了学生对数列学习的深度,表现着学生的技巧性,所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中,成为一道必考题。

数列作为特殊函数,在实际中也有广泛的应用,比如银行的信贷、养老保险等,这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题,还要能够善于观察题目的特点,结合原有解题经验,迅速锁定解题的方向,提高解题的效率。

下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。

一、与不等式知识结合在不等式和数列结合的题目中,主要考查的是数列的定义和等差数列的定义,题目上一般是已知Sn求an的基本题目,其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。

这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大,学生应该多多掌握求出前n项和的各种方式,比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简,从而提高解题的效率。

三、与最值、极限相结合数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握,大多数题目都会给出Sn和an之间的关系,并且要求出相应的通项公式,然后再构造出一个不等式来使之恒成立,其中涉及某个未知数的值,一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。

例谈函数思想的应用

例谈函数思想的应用
半功 倍 之 效 .
点评 本题在 求解过程很巧妙 地利 用 了函数 的单
调性 来产生函数的最值 ,并通过 求函数 的最值使 问题
例 1若 、 为锐角 ,且
= .
+ 堂 = ,求证 : 2
Sl l l O l
S nJ I /
获解.
例 3 设等差 数列 {, 的前项和为 s,若 o= 2 n】 I . 1, 3 s > , 0 请指 出 s,s, ,s 0 5, , < l … 中哪个最 大 ,并说
%+ n 若数列 { 中从 第 2项起 以后所 有项 都大 , —I 6 】
于 2 - ,求 的范围. k5




分析 “ 若数列 ) 中从 第 2项起 以后 所有项都 函数 不仅 是 高中数 学 内容 中的一 个重 要组成 部
大于 2一 ” k 5 ,假 若 能得 到 该 数 列 的 最 小项 ,只 需让 最
在对 三角等式证 明与三角 函数 式的 最值 求解 时 ,

些 问题 若 通 过 三 角 变换 去 完 成 解 题 过 程 相 当 冗 长 ,
项 6} 砉, 砉>一 得 < 即 为 += 由 25 1 k, 为
所求 范围.
繁杂 的运算也是一种 隐性失分 ;若换个角度 ,巧妙地 利用函数思想 ,问题 的解答就 变得十分快捷 ,收到 事
(孕 ).故 , 时 S 大, S… 5 <5 当l , 即S , 一 6. : 6 最 ,,
S 中 S 最大. :
数列本 身就是特殊 的函数 ,两类特殊数列与 函数 有更密切 关 系:等差数 列的通 项 %是 n 的一 次函数 ,
点评 可 以看 出从 函数 的 角度观 察、分析 数列 问 题 ,开辟 了数 列问题 求解 的新天地 ,给 了我们一个全

在知识点交汇处看数列——例谈数列与向量、不等式、函数结合的典型综合问题

在知识点交汇处看数列——例谈数列与向量、不等式、函数结合的典型综合问题
故 A。 = = : ( x 2 一 , 此 一 ) :( 2 , 4 ) .
c l I ) 因 为 { l 三 l z " { l - 卞 Ⅳ 一 _ / 5 I r 以
点, 点A( 以 , O ) ( 一1 , 2 , 3 , … ) 在 轴 的正 半轴 上 , △A一 AP 是 正 三角 形 ( A。 是 坐 标 原点 ) . ( I) 写出 n 1 , n 2 , n 3 ; ( 1 1 ) 求 出点 A ( 口 , O ) ( n EN ) 的横坐标 a 关于n的表达式 ;
f z +五 一 1 =2 n , f X 1 = = = 2 一 ,
I +Y 一 1 —2 ” ¨ 【 1 —4 ~ ,
f z2 —4 一z 1 —2 +x o ,
<…< ) 是曲线 C: Y 一3 x( ≥ 0 ) 上 的 个
图1
I 2 — 8 一 1 — 4 + ,

同理可得 Y + 1 一 一 l =2 .
A 一 l A 1 一( + l 一 一 1 , + l -y 一 1 )
一( 2, 2 ) ,

和综合性都有了质 的变化, 而这些变化恰恰 是我们的学生薄弱 的环节, 它对学生解决问 题的能力提出了一系列综 合性很高的要求。 下面就数列的交叉点处易出现的疑难问题谈
数列{ ) 是递减数列. b 的最大值为



可一 譬 ~ ,
口 n 一口 一 1 = = ̄ / 2 ( a . - 1 +口 ),
6 一 = = : 百・
若对任意正整数 , 当 mE[ 一1 , 1 ] 时,
口 : -2 a 一 l n +口 : 一 1
—2 ( n +口 一 1 ) ( ≥2 , ∈ ) , ( 1 )

例谈数列复习中数学思想的渗透

例谈数列复习中数学思想的渗透

例谈数列复习中数学思想的渗透作者:卞维清来源:《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容,在高考中的地位十分突出,是高考必考的内容之一,往往以压轴题的形式出现,数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法,如果在数列这一章节的复习中,教师能注重数学思想方法的渗透,可使许多较复杂问题化难为易,化繁为简,从而达到优化解题过程,培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数,数列是函数的继续和延伸.如等差数列(公差不为零),它的通项公式是关于自然数n的一次函数,它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中,如果能适时地运用函数思想,往往会事半功倍.【例1】已知数列,通项公式为,若为递增数列,求实数λ的取值范围.解析:由题意知对一切正整数n恒成立,化简可得2n+1+λ>0恒成立,因为2n+1的最小值为3,所以λ>-3.另解:由数列的通项公式,联想到二次函数,对称轴为x=-λ2,问题转化为二次函数在正整数集上为增函数,只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为,求所有的无穷等差数列,使得对于一切正整数k都有()解析:本题可从数列的基本量和d入手,但运算繁琐.若从函数角度出发,把数列问题转化为函数问题来解决,则要简单得多.设(a,b为常数),则由题意可知()对一切正整数k恒成立.化简得(-a)(-b)=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0,,-b=0,解得a=1,,或a=0,,或a=0,则有或或,则有-1,或,或注:本题还可通过特殊化思想来解决,可取k=1,k=2时等式成立,求出,然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数,特殊到一般(归纳,猜想)的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时,我们往往可以取这个数列的前几项进行研究,再归纳总结,导出一般结论,进一步明确解题思路.【例3】(1)已知数列,其中,且数列-为等比数列,求常数p;(2)设数列、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列}不是等比数列.解析:(1)由于数列-为等比数列,则它的前三项必成等比数列,记-,则有又-5p,-13p,-35p,所以(35-13p)(13-5p)(97-35p),解得p=2或p=3.检验:当p=2时,;当p=3时,-(均满足题意).(2)要证明不是等比数列,只须证明它的前三项不成等比数列即可,即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上,(),()·()().由于p≠q,,又、不为零,因此,故不是等比数列.注:本题如果采用等比数列的定义来解决,运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件,从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化(化归)思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有:(n=1),--1(n≥2)(将“和”与“项”进行转化);将其他数列转化为等差(等比)数列来解决等.【例4】数列满足:,求数列的通项公式.解析:∵,∴()=2().∴数列为首项为2,公比为2的等比数列.∴,∴-1.注:原数列既非等差数列又非等比数列,求通项公式较困难,这时通过构造,可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列,很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如:(q≠0)型的递推关系,均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时,本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为,对于任意自然数n满足:,且(1)求p的值;(2)证明:为等差数列.解析:(1)用特殊到一般思想,即,所以p=1或当p=1时,又,即(与条件矛盾,舍去);当时,又,因为,所以p=12.(2)由(1)知,①所以-1=12(n-1)-1(n≥2). ②①-②得--1=12-12(n-1)-1,即-12(n-1)-1,即(n-2)(n-1)-1(n≥2),③(将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系)对于③式的处理有多种思想方法.方法1:由③得(n-3)-1=(n-2)-2 (n≥3),④③-④得(n-2)-(n-3)-1=(n-1)-1-(n-2)-2,即(n-2)(n-2)-2=(2n-4)-1(n≥3),即--1(n≥3),所以为等差数列.注:将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系,利用等差中项法进行证明.方法2:由③式得,当n≥3时,-1=n-1n-2,所以;;…;--2=n-2n-3;-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1,所以(n-1)(n≥3). ⑤又,均符合⑤式,所以(n-1),用定义可证得为等差数列.注:通过“累积”法求出数列通项公式,然后利用定义加以证明.方法3:由③式得,当n≥3时,--1n-2,可得数列-1}从第二项起为常数列,所以n≥2时,-,即=(n-1)(下同方法2)注:此方法要求学生有一定的观察能力,能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法,在很多数列问题中,往往给出数列的一种递推关系,然后求通项公式.递推公式的本质是由一项(或更多的项)推出它的下一项.【例6】已知数列中,,(n-1)-1(n≥2),求数列的通项公式.解析:由于条件中的递推关系较繁,可以先将这个递推关系进行化简.因为(n-1)-1(n≥2),所以-(n-2)-2(n≥3),两式相减得--1=(n-1)-1,即-1(n≥3).所以当n≥3时,-1=n·(n-1)-2=n·(n-1)·(n-2)-3=n·(n-1)·(n-2)因为,所以(n-1)·(n-2)…3=n!2(n≥3),因为不符合上式,符合上式,所以(n=1),!2(n≥2).注:化简后的递推式-1(n≥3)揭示了前后两项之间的关系,即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解,简解如下:n≥2时,-1+1=2·(-2+1)-2+2+1(-3+1)-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多,这里就不一一举例了.总之,在复习数列这一内容时,教师不应该仅仅教给学生几个公式,应注意思想方法的渗透和总结,从而提高学生的数学素养和应试能力.。

例谈函数思想在数列问题中的应用

例谈函数思想在数列问题中的应用

2 运 用 函数 思 想 解 数 列的 求 和 问题
数列 求 和 是数 歹 知识 的一个 重 要 万 囱 , 在求 U 向
与一般 的关 系 , 是这 种关 系 , 函数 思想方 法成 为 正 使
研究 和解决 数列 问题 的重 要 方 法. 们 可 以用 函数 我 的思想 、 方法 解 决 数 列 的 问题. 列 中 的通项 、 / 数 前 7 ,
, 、 #一2
图 是 条 线那 三 点m )2 ) 的研 究 , 出函数 的 最大值. 象 一 直 ,么 个 ( ,m , , (, 求
、厶 ,
3 lf 的最大 一 2÷l 值问题, 通过对函数单调性
和 问题上 , 我们 时 常会运用 到 函数 的单 调性 、 周期性
等性 质及 函数 的解析 式.
项 和、 递推关 系 、 最值 问题及 大小 比较 问题通 常都 可
以转化 为 函数 问题 来求 解.
u } 项 (2 s ) {的 c _ , 通 0 i s
其前 项和为 , 则 为
斜率相等, 求出 s 。的值. 解: 等差 数列 { } 的前 n项 和 = 1 +
+∞ ) 上是 减 函数 , 最大值 是 2 其 )=一 . 9
所 以有 a 一 . a =a 4 ≥ 9 又 2 1- 3>a. 1
综上 , 所求 的 a的最小 值是 一 . 9
识, 它们 的解析 式应是相 同的 , 而得到 g 口 的值. 从 ,。
有两种形式有时我们必须运用等差、 比数列的 等 知识去解决其它数列 问题 , 将非等差 、 比的问题转化 等 为等差 、 等比问题加 以解决 , 从而使 问题简单化
或其 子集上 的 函数. 列 与 函数 之 间的关 系是 特 殊 数

数列通项公式的求法例谈

数列通项公式的求法例谈

数列通项公式的求法例谈
发表时间:2013-12-03T11:45:20.123Z 来源:《职业技术教育》2013年第9期供稿作者:姚太胜
[导读] 求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键,特别是由递推关系式求数列的通项公式一直是高考中久考不衰、常考常新的重点、热点题。

姚太胜湖北省宜都市职教中心443300
数列在历年的高考中占有重要地位,递推数列的题目综合了函数、恒等变形、方程、不等式、极限等中学数学中的基础知识,涉及到数学中的换元法,待定系数法,数学归纳法等重要方法,对培养学生的逻辑思维和推理论证等能力具有重要意义,能够有效地考查学生灵活运用相关知识分析问题、解决问题的能力,考查学生的思维品质和创新意识。

求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键,特别是由递推关系式求数列的通项公式一直是高考中久考不衰、常考常新的重点、热点题。

若已知数列中项与项之间的递推关系,则应用转化的数学思想方法引进辅助数列,可将其转化成等差或等比数列问题,进而求出数列
的通项公式。

求数列的通项公式。

浅谈数列的极限

浅谈数列的极限

浅谈数列的极限作者:黄玉兰来源:《新课程·教师》2016年第04期摘要:结合古代的极限思想,介绍了数列极限的概念和求数列极限的基本方法——观察法,通过举例并总结了常见数列的极限。

关键词:概念;极限思想;观察法中图分类号:0171 文献标志码:A极限是高等数学中一个非常重要的知识点,而作为极限中最基础的内容——数列的极限,是学习极限的入门知识。

接下来介绍极限的概念以及求数列极限的基本方法——观察法。

一、古代的极限思想极限思想在我国已有很深的渊源,早在公元263年,刘徽(注解了《九章算术》)就提出了“割圆术”,大概思路如下图所示:在面积为S的圆内作内接三角形,三角形的面积记为S1,再作内接正六边形,面积记为S2,再作内接正十二边形,面积记为S3,如此下去,得到一个数列Sn,从几何直观上不难看出,当n无限增大时,Sn无限地接近圆的面积S。

《庄子·天下篇》中提到:一尺之槌,日取其半,万世不竭。

第一天取,第二天取,第三天取1,如此下去,这是一个公比为的等比数列。

随着n的逐渐增大,所取的长度越小,越来越趋近于0。

由以上两个例子我们可以看到,当n越大,数列的项越来越向一个确定的常数靠近,这个常数就是我们数学上讲的数列的极限。

二、数列极限的概念根据极限的定义可知,求数列的极限主要看当n增大时,数列项的趋势。

三、用观察法求数列极限观察法:通过观察数列项的趋势,以此来判断数列是否存在极限以及极限是多少。

下面通过举例来介绍这个方法结算方式:四、小结数列极限是极限知识的基础知识,以上对等比数列、幂数列极限公式的总结也可以推广到求函数的极限。

观察法是求数列极限最直观的方法,当然任何方法都不是万能的,在计算中要学会方法与方法的结合。

参考文献:周志燕,程黄金.高等数学[M].东北大学出版社,2014:11-15.作者简介:黄玉兰,出生于1983年,湖南娄底人,硕士研究生,讲师,研究方向:数学教育,数学规划及其物流中的应用。

例谈数列中函数思想的应用

例谈数列中函数思想的应用
参考文献 [1]李雪明,陈斌.空间点的射影定位的探讨[J].数学教学,2005(9): 2
例谈数列中函数思想的应用
朱水英 浙江省诸暨市第二高级中学(311800)
数列一直以来都是高考的重点内容.数列这一 块内容的教学对于教师来说是比较有体系的,一道 例题适当改动就可以派生很多小题,什么题型对应 什么方法都是很有规律可循的.虽然教师讲得起劲, 但是学生掌握得并不怎么好,因为学生在接受新知 识新内容时会存在一定的困难,题型方法越多越容 易混淆.所以作为教师在教学过程中不仅要交给学 生解题的通法,而且最好能在学生已有的认知领域 内挖掘数列这一块内容与其它章节的关系,往往能 有意想不到的效果.
n ∈ N+ , n ≤ 10 , 4 < 22 < 5 ,所以最小项在 a4 和 a5
中找,最大项在 a1 和 a10 中找.
方法 2
an+1 − an
=
n +1+ 22 − n − 22 n+1 n
=
n2 + n − 22 , n(n +1)
而 n ∈ N+ ,则 n(n +1) > 0 , 易得 n ≤ 4 时, an+1 − an < 0 , n ≥ 5 时, an+1 − an > 0 , 即 a1 > a2 > a3 > a4 ,
2 数列的最值
案例
2
已知 an
= n +
22 n
(n

N
+,n

10)
,求数列
{an} 的最大项和最小项.
分析 求数列的最值常用的方法是研究数列{an}
的单调性.

例谈数学思想方法在解题中的运用

例谈数学思想方法在解题中的运用
1 ,
简述 : 作P M/ / C Q交 A C于 M, 易知 AA P M是等边 三角形 , 故有 P M= C Q , 易证 AP M D AQ C D, . ’ . D M =D C , 又‘ . ‘ △A P M 是等边 三角形 , 可知 P E是线段 A M 的中垂线 ' . . . AE=E M, 从 而可得
A C于 E, Q为 B C延长线上一点 , 当P A=C Q时 , 连接 P Q交
AC边 于 D, 求D E的 长 。
由勾 股 定理 可 求得 A B=5
A P

于是 用 等 积 法 可 求 得 C N=2 又 由勾 股定理可求 得 B N: , C

易知 B M=2 , . ・ . AM=3 , 又・ . ・

的时间为 t , 作M N / / A C , 交B C于 N , 易知 N为 B C中点 , 可得 P M:
c N = ÷ 可 知 t , …P :
' 1 ' AA B C , . ・ . 可僭面 t= P 丁 M

,.

PM =


方法主要有转化的思想方法 、 数 形结合 的思想 方法 、 分 类讨 论的思 想方 法和 函数与方程 的思想方 法等。下 面 , 列举 若干典 型题 例, 谈谈 几种数
3 . 利用 曲线与方程 的关 系建 立方程 曲线 上的点 的坐标 必然适 合
分析 : P A= C Q, 但P A与 C Q又不在 同一三 角形 中。在这 种情况下 , 般须采用平移法 。观察 图形 , 宜 平移线 段 C Q , 旨在将 间接 条件 P A= C Q转化 为直接条件 。于是 , 作P M/ / C Q交 A C于 M。须知 , 在 类似此 题

例谈数列问题思维方法的转化

例谈数列问题思维方法的转化
当 a - .Id=2时 ,n n一3 I I . n=2 当 a =3. 一2时 , n 5—2 l d= a n 二 、 列 与 函数 方 程 之 间 的转 化 数 仞j .殳 fk 是 满 足 不 等式 I x+lF( ・ 。 ) 1 () 2 o. 3 2 一x , 》2 k—lk ( ∈N. 的 自然 数 x 个 数 。 ) 的 ( ) “k 的解 析 式 : 1求 ) ( 记 s =f1 +r2 +・・ (1, 文 的 解 析 式 2) ( ) ( ) ・+fi 求 t ) 解 : 1 由 题 设 不 等 式得 ()
维普资讯

Q I c H A IJI , U N A( Y

例 数列 题思 法的 化 谈 问 维方 转
口黄立杰 文尺 j 列是初等数学的重要内容之一, f 数列的基本
思 想 是 归纳 和递 推 .等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 综 合题 . 商 考中 常 与 函 数 、 程 、 等 式 、 数 及 解 析 在 方 不 复 几何 等 知 识 相 互 联 系 和 渗 透 。 因 此 , 学 中 应 要 求 学 教 生能 灵活 运 用 数 列 概 念 及 公 式 , 提 高 等 价 转 换 能 力 以 及思 维 的 灵活 性 。 以 下试 就 此作 一探 讨 。 等 麓 、 比 数 列 之 间 的相 互 转 化 等

( ) 1 ¨I 嗣 b . h =2 +2 2 . b + =8 +2 ’ … . . ¨。
两边 同 除 以 2
得:
一 =l

警= )‘= ( ) ( ( 常 { 数
b () 等 数 { 比 列 = 是
=b, ・
令c= 则 鲁, 数列li 一 c是 个以I 公 c 粤 n 为 差. ; J

例谈课本习题中的数学思想

例谈课本习题中的数学思想

中 , C=底 面周长 的一半 = B
l c ’.AC = Om . . =


一1. 7 0 7
( m) 勾股定理 ) c ( . 答 : 短路程 约为 1. 7m 最 07c . 即原处还有 尺的竹子.
H G
变式 1 做 一 个 长 , , 宽
变 式 2 ( 7 1 P5 题 1改
3 方 程思 想
cm
图1
分析
蚂蚁实 际上是在 圆柱 的半个 侧面 内爬行 , 如
果将这半 个侧 面展 开 ( 如下 图 ) 得 到矩 形 A C 根据 , B D,
“ 两点之 间 , 段最短 ” 所 求 的最短路 程就 是侧 面展开 线 ,
图矩形对 角线 A C之长. 解 如图 2 在 R AA C , t B
图5
本题 主要算 出木箱 ( 长方体 ) 对角线 A G的长
AA E折 叠 , 点 D恰 好 落 在 边 B D 使 C上 一 点 F处 , 且
AA F的面积是 3 e 求此时 E B 0r . a F的长.
度, 在直角三角形 A G中容易算 出 C
A G= 、 = = e5 ̄ 'o o, ~
我们 称 之 为 “ 图” 利 用 这 个 弦 ,
“ 图” 你 能 验 证 : +b 弦 , 口 2=c 2 吗?把你 的验证过 程写下 来 , 并 与同伴进行交 流. 、 分析
出其两 条直 角边 口 b则 s 删 即可求 出, ,, 但这 样求 口 b ,
图6 非常繁杂 , 至在 现 阶段 不 可 能 , 甚 如果 注 意 到 S =
又 S 方 c, 正 形
根据勾股定 理 , b = 口 + c,

解数列的十种思想

解数列的十种思想

解数列的十种思想数列是高中数学的重要内容之一,又是高考数学的重点,由于数列涉及到的运算多,技巧性强,如果没有一些数学思想与方法引领,,学生容易进入繁难的运算中,甚至半途而废,本文结合一些高考题,或一些模拟题浅谈几种解数列的思想方法,供大家参考。

一、递推思想用递推关系解题的思想方法叫递推思想。

主要有递推求和、递推求积及反向递推法。

用递推关系求数列的通项公式问题是数列的一种重要内容,它能使繁琐的问题简化并一般化。

类型一:1()n n a a f n +-= 方法:叠加法(或累加法) 取1,2,3,4,n =,得n-1个式子,21321(1),(2),,a (1)n n a a f a a f a f n --=-=-=-且(1)(2)(1)f f f n +++-可求得时,两边累加得通项n a例1已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥,求证:1(31)2nn a =- 证明:由已知得2,3,4,n =23121324313,3,3,,3n n n a a a a a a a a --=+=+=+=+将这n-1个式子相加得23113333(2)n n a a n -=+++++≥113(13)13n a --=+- 3311(31)222n n =-+=-而11a =,也满足上式。

故1(31)2n n a =-,(n N *∈)类型二:1()n na f n a += 方法:叠乘法(或累乘法) 取1,2,3,4,n =,得n-1个式子,3212(1),(2),,a a f f a a ==1(1)nn a f n a -=-,(1)(2)(1)f f f n -将这n-1个式子相乘得n a例2已知数列{}n a 满足11a = ,12n n a na n +=+,求数列{}n a 的通项公式 解:取1,2,3,4,n =得n-1个式子,32121121,,,341n n a a a n a a a n --===+将这n-1个式子相乘得3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---=+,112(1)n a a n n =+,2(1)n a n n =+(2)n ≥而11a =,也满足上式。

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

例谈化归思想在中学数学解题中的应用

例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学解题中经常运用的一种思维方法,它可以将复杂的问题转化为简单的问题,从而更好地解决问题。

化归思想常常用到代入、替换、等价等方法。

通过这些方法将原问题转化为易于解决的问题。

在初中代数中,常常会遇到关于分式方程的问题。

这时,使用化归思想可以将分式方程化简为一元方程,从而更便于解题。

当我们遇到一个分式方程:(2x-1)/(3x+2) + (5x+3)/(2x+1) = 3我们将这个式子的两个分式合并为一个分式:((2x-1)(2x+1) + (5x+3)(3x+2))/(3x+2)(2x+1) = 3然后,将右侧的3转化为3x+2的分式形式:(2x-1)(2x+1) + (5x+3)(3x+2) = 3(3x+2)(2x+1)将等式两边进行展开和化简:4x^2 - 1 + 15x^2 + 19x + 6 = 18x^2 + 15x + 6合并同类项,最终得到一元方程:4x^2 - 3x^2 + 19x - 15x - 1 - 6 + 6 = 0x^2 + 4x - 1 = 0这就是一个比较简单的一元方程,通过求解这个方程,我们可以得到原问题的解。

在初中几何中,常常遇到证明题。

化归思想在证明题中也有广泛的应用。

当我们需要证明两条线段相等时,可以通过化归思想将这个问题转化为两个线段终点坐标的问题。

具体来说,如果我们需要证明线段AB与线段CD相等,就可以通过化归思想将问题转化为证明点A的坐标与点C的坐标相等,点B的坐标与点D的坐标相等。

通过计算坐标可以证明点的相等,从而得出线段相等。

在数列中,化归思想也有着重要的应用。

当我们遇到一个复杂的数列,无法直接找到递推关系时,可以通过化归思想将数列转化为简单的数列,从而求出递推关系。

当我们遇到一个数列5,10,15,20,...,无法找到递推公式时,可以通过化归思想将该数列转化为1,2,3,4,...,显然这是一个公差为1的等差数列,递推关系为an = n。

阐述数列极限的定性定义及缺点

阐述数列极限的定性定义及缺点

阐述数列极限的定性定义及缺点极限是微积分中要学习的第一个重要概念,同时也是一个非常难以理解的概念。

同学们往往只接触过数列极限的定性定义,到了大学接触到的是极限的定量定义很不适应,也不理解。

因此,本文先从定性定义出发,逐渐地导出极限的定量定义,使学生即能较容易的理解概念,又能让他们体会到数学中定量思想建立的整个过程,提高其数学素养。

1 数列极限的定性定义及缺点下面写出数列极限的定性定义。

定义1:设为一数列,为常数,若当无限增大时,无限接近于,则称常数为数列的极限,同时称数列收敛于,记为,或,否则,称数列发散。

由此定义可看出,此概念的核心为“若当无限增大时,无限接近于”。

但是,很明显,“无限增大”,“无限接近于”都是模糊不清的描述,只是对数列趋向方式的一种性质上的描述。

2 数列极限的定量定义的导出有了上述分析,就提出了下一步工作的目标为:用定量的描述来解释“若当无限增大时,无限接近于”,即要给出数列极限的定量定义,这也是数学工作者要研究的一个重要方面。

我们先来看“无限接近于”。

目的是用量化的数学语言(即等式或不等式之类的形式)去描述它。

经过分析我们发现,这句话可以变成“与的距离无限的小”,即“无限的小”。

而如何描述某个数“无限的小”呢?一般数学上这样来解决这个问题:任意给一个整数(一般说来可以任意小),。

这样,对于“无限接近于”,我们总结出的量化的数学语言为:。

再来看“无限增大”。

这句话的转化要难一些。

即我们的目标是要将用数学语言来描述它。

由教材上的实例分析我们发现有如下规律:(1)当越来越小时,满足的越来越大。

(2)当任意的小时,任意的大,即。

(3)当取定某个数值时,的范围也就随之确定。

基于以上三点,我们将“无限增大”描述为“”。

这样,“若当无限增大时,无限接近于”这样的一句话我们就可以翻译成量化的数学语言了,即当时,有成立。

下面只需将定义1中的“若当无限增大时,无限接近于”改成上述描述(其它部分不变)就可以得到数列极限的定量定义如下:定义2:设为一数列,为常数,若对任意的(不论多么小),总存在正整数,使得当时,恒成立,则称常数为数列的极限,同时称数列收敛于,记为,或,否则,称数列发散。

例谈应用递推思想处理数列问题

例谈应用递推思想处理数列问题

例谈应用递推思想处理数列问题作者:曹程锦吴伟朝王强芳来源:《中学教学参考·理科版》2017年第11期[摘要]递推思想是一种重要的数学思想.通过递推可以把有限的问题延伸到无限的境界.应用递推思想处理复杂的数列问题特别有效,同时能训练学生思维,培养学生能力.[关键词]递推思想;数列问题;高中数学[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058(2017)32001704众所周知,处理数列问题的方法多种多样,技巧也层出不穷.笔者试图给出一个重要思想方法——递推法.递推是通过有限认识无限的一种数学思想.通过递推可以把有限的问题延伸到无限的境界.递推不是直接去面对问题,而是借助相邻或相近若干项之间建立的一种递推关系,如同新增加一个已知条件,使得问题更加容易获解.其中,数学归纳法是递推关系中的一种非常常用的方法.递推法在证明一些较为复杂的数列问题时显得特别有效.本文旨在系统介绍此法在数学竞赛中与数列相关问题中的应用,注重分析问题、解决问题的思维过程,渗透思想方法,提高学生解决问题的能力.一、证明不等式问题最后,巧妙地推证了式②的右边,即本题的解答过程是先证式②的右边,然后再用右式证明左边.同时左右两边的证明都是利用an与an-1的大小通过放缩巧妙证明了结论,解法非常接地气!.此题背景为著名的贝努利放错信笺问题,即错位排列问题,又称更列问题.三、解与递推数列相关的最值问题因此,当m=k+1时结论成立.由数学归纳法可知结论成立.综上所述,正数λ的最小值为2.评注:本题主要是通过构造数列,利用递推思想结合数列单调性和极限观点的方法加以解决.解决此题的关键是:构造相应递推数列并利用柯西不等式证明不等式故所构造的序列满足所有条件.评注:此题运用了逐步逼近的数学思想.有些数学问题中,题目的条件与解题目标相距甚远,难以一下就达到目的,这时需要采用逼近的策略来实现解题目标:从条件出发,一步一步逼近目标.如果我们寻找的对象需要同时满足多个条件,我们可先构造一个满足题中部分条件的数学对象,称为“拟对象”,然后对所构造的拟对象进行优化,直至使之满足题目的全部条件.同时,数学解题的过程不可能一蹴而就,而是一个不断经历挫折和失败而逐步走向成功的过程,只有经历这样的过程才能提高解题者的心理能力,才能积累解题经验,最终成为解题高手!本文研讨方法主要体现为解数列不等式问题,依托递推方法来讨论,具体利用数学归纳法求解.同时,间接递推法也是离散数学的主要方法之一,它有较高的理论和应用价值,在图论、数论、代数数列、组合计数、组合几何等多领域中均有渗透,因此递推法——堪称数列的问题“御用保镖”!而数学归纳法的本质即是递推关系解题一种实际应用.[ 参考文献 ][1]沈文选.奥林匹克数学中的组合问题[M].长沙:湖南师范大学出版社,2015.[2]刘培杰.历届中国数学奥林匹克试题集[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2014.[3]曹程锦.递推法证明数列不等式[J].数学教学,2017(4).(责任编辑黄桂坚)。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等;在高中数学教学过程中,加强数学思想方法的渗透,培养学生的思维能力,显得非常重要。

下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差(比)数列一般涉及五个基本量:n n S a n q d a ,,),,1(或.于是“知三求二”成为等差(比)数列中的基本问题,可运用方程思想,通过解方程(组)求解。

例1:等差数列{}n a 的前n 项和为S n,且S 12=84,S 20=460,求S28。

解:由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ,解得4,151=-=d a .故10922)128(2828128=-+=d a S .在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系,从而显露设问与条件的联系。

等差(比)数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差(比)数列问题中得以广泛运用。

例2、实数4321,,,a a a a 都不为0,且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ,求证:321,,a a a 成等比数列,且4a 为其公比。

分析:题中出现了四个变量,切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓,要抓住一个进行研究,观察后发现以4a 为主研究简单。

证明:由题设知,4a 是一元二次方程0)(2)(232231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数根所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =⇒=-因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得:12312131222213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。

评注:对已知等式进行整体观察,发现4a 是某一元二次方程的根,从而得出巧妙的解答,颇具代表性。

例3、已知),0(,51cos sin πααα∈=+,则αcot 的值是__________。

分析:初观之,易两边同时平方---比较复杂;细察之,联想等差数列的性质,构造等差中项求解---非常简洁。

解:由),0(,51cos sin πααα∈=+,知ααcos ,101,sin 成等差数列 设公差是t ,则t t +=-=101cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α107-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以43cot -=α评注:也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα,进而得到57cos sin =-αα解方程组求解。

2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数。

运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。

它不仅使问题简化,而且可以加深对知识的理解。

例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21=,n S 为其前n 项的和。

求证:n S n <证明:构造函数n nn f -++++=21...32122121)( 则112121...32122121)1(+-++++++=+n n n n f 两式作差得:nn n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11121)1(121)()1(因为n n n ++>+112,所以nn n ++<+11121即)()1(n f n f <+,则函数)(n f 在其定义域内是减函数又因为0)1()(,021121)1(<≤∴<-=-=f n f f ,即021...32122121<-++++n n,也就是n S n < 评注:数列是特殊的函数,构造函数后,问题转化为证明0)(<n f ,即0)(max <n f例5、已知数列}{n a 中,11=a ,且点))(,(*1N n a a P n n ∈+,在直线01=+-y x (1)求}{n a 的通项公式; (2)求)2,(1...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n的最小值。

分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解:(1)由题设11=a ,11=-+n n a a ,即n n a n =⋅-+=1)1(1(2)构造函数n n n n n f ++++++=1...2111)( 则)1(21...3121)1(++++++=+n n n n f 于是11111(1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴,即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数故)(n f 的最小值是127221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数,构造函数后,问题转化为判断函数的单调性,从而得到最值。

这种看似“无中生有”的想法,决非一时的突发奇想,它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力,只要我们平时注重知识的联系,善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究,就会灵感顿生,从而创造性解决问题。

例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为()A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d dn a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)m m 100(2,)2m m 3(3,)3m S m m 就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).例7、递增数列}{n a ,对任意正整数n ,2n a n n λ=+恒成立,求λ. 分析:2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+,它的定义域是{}1,x x x N ≥∈,要使函数2()f x x x λ=+为递增函数,即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2x λ=-至少在1x =的左侧,不过由于函数为离散函数,对称轴2x λ=-在 1.5x =的左侧也可以,因为B 点可以比A 点高。

于是,322λ-<,得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,且公差0d >,公比1q >,则集合*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是( )个A 、1B 、2C 、3D 、4解析:数列是特殊的函数,等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差,由0d >等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,其公比q 1111a b =,则( )A 、66a b =B 、66a b >C 、66a b <D 、6666a b a b ><或解析:利用指数函数是凹函数的特性,可知选B ;可推广至:(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中,n S 是前n 项的和,公差0d ≠。

(1)若,()n m a m a n m n ==≠,求m n a +; (2)若()m n S S m n =≠,求m n S +。

解析:(1)由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线,故任意两点连线斜率相等即()m n m n m a a a am n m n m+--=+--,解得0m n a +=(2)由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-可知:n S 是关于n 的二次式,且无常数项故可构造函数21()()22d d f x x a x =+-由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2m nx +=因此()(0)0f m n f +==,即0m n S +=另解:由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-得122n S d dn a n =+- 则n Sn大关于n 的一次式,所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。

例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,满足675S S S >>,下列结论不正确的是( ) A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析:由675S S S >>可知760,0a a <>,故0d <; 由n S 有最大值,且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113(,)22内 又00S =,所以130S >,故选D 。

例12、在等差数列{}n a 中,59750a a +=,且95a a >,则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。

解析:传统解法是13170a d +=得1173()03a d +=,再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><,即6n =但若注意到等差数列中n a 是一次函数,则由一次函数的线性特征1212()()...()...()n nf x f x f x x x x f n n++++++=可知59750a a +=即755912120a ⨯+⨯=所以2030a =,又670,0a a ><得6n =例13、已知*1111...()23n S n N n=++++∈,定义211()n n f n S S ++=-,试确定m 的取值范围,使得对于大于1的自然数n ,不等式22111()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--恒成立。

相关文档
最新文档