2015年期末复习——四边形

第一讲 平行四边形
一、课标要求：
1、掌握平行四边形有关概念、性质及判定。

2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等对角线互相平分的性质。

3、运用性质及判定证明。

二、知识疏理 1、温故知新：
（1）、平行四边形的定义：
2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

（2）、平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。

（3）、平行四边形的判定：
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②2组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③2组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、教材解读：
1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝120 o ，则∠D 的度数是 . 2．
ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____.
3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 . 4.如图, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是__________________________________. 5.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________. 6.如图，在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度, ∠CAD=______度.
7、 □ABCD 中，∠A 比∠B 大20°,则∠C 的度数为___ .
8、□ABCD 中, AB:BC ＝1:2，周长为24cm, 则AB ＝_____cm, AD ＝_____cm ． 三、典型例题解析
F
E
D C
B
A
D
C
B
A
1、 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 上的点，且DE ＝BF. 求证：AE ＝CF
2、 如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F 。

试探求OE 与OF 是否相等，并且说明理由。

3、如图，
ABCD 中，AB=4，BC=6，CE 是∠BCD 的角平分线，交BA 的延长线于点E ，交AD
于F ，求AF 的长．
、
4、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，四边形AECF 是平行四边形吗？
为什么？
5、如图，已知：□ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠ 的平分线BG
交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．
B
C
A
21
E D
3
F
A B
C
E F
G
6、 (1) 如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E, 求AE, EF, BF的长?
(2) 上题中改变BC的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F重合,点E,F重合时BC长多少?求AE,BE的长.
(3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.
7. 在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s 的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
Q C
8. 已知：如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在BC的同侧作三个等边三角形：△ABD、△BCE、△ACF。

求证：AE、DF互相平分。

四、实战演练（课堂练习）
1、已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是
______________.
2、在平行四边形ABCD中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.
3、用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为
________短边长为__________.
4．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，
度．
5．平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（）
A．1:2:3:4 B. 3:4:4:3
C. 3:3:4:4
D. 3:4:3:4
6、已知，如图：梯形ABCD中，AB∥CD，以AD和AC为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F。

求证：EF＝FB。

A B
第二讲 特殊的平行四边形（1）
一、课标要求：
1．掌握矩形、菱形概念，知道矩形、菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握矩形、菱形的定义及性质；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算矩形、菱形的面积．
3．通过运用矩形、菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、知识疏理 知识要点一： （1）、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。

（2）、矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质； ②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。

③矩形的对角线相等；
④矩形的四个角都是直角。

（3）、矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。

2、典型例题解析
1.（判断）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形 （ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 （ ）
2、已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．
求证：四边形EFGH 是矩形．
D C
3、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．
4、如图，在矩形纸片ABCD 中，
BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．
5、如图,先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为________．
知识要点二
1、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；
④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4、菱形的面积：
S 菱形=
1
2
AC ·BD 2、教材解读：
1、填空：
（1）对角线互相平分的四边形是；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．
2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

3、四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
典型例题解析
1、已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．
2、已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD 交BE于F．
求证：四边形CEHF为菱形．
5、（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG ∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
实战演练（课堂练习）
1、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO 的周长为________．
2、一个平行四边形的周长为20cm，•一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线的长为______cm．
3．菱形的两条对角线分别为6cm•和8cm，•此菱形的边长为______cm，•周长为_____cm．4．在ABCD中，对角线AC，BD相交于O，若AC=10，BD=6，则AB的长的取值范围是（）A．2<AB<8 B．2<AB<16 C．6<AB<10 D．3<AB<5
5、已知菱形的周长为40 cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线的长分别是（）
A.6 cm，8 cm
B.3 cm，4 cm
C.12 cm，16 cm
D.24 cm，32 cm
6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（）
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C.∠A=∠D
D.CA平分∠BCD
7、下列命题中，真命题是（）
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的矩形是菱形
D.菱形的对角线相等
8、在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，则能通过旋转达到重合的三角形有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
9、如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF 等于（ ）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30° 11、如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F . （1）猜想：AD 与CF 的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
13.（2008年黄冈市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE•垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE ． 求证：四边形ACEF 为菱形．
第三讲 特殊的平行四边形（二）
一、课标要求：
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
3. 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
4. 难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
二、知识疏理
1. 特殊的平行四边形的之间的关系
2. 特殊的平行四边形的判别条件
成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ .
3. 特殊的平行四边形的性质
三、教材解读：
1、 若正方形的一条对角线的长为4cm ，则这个正方形的面积为 ．
2、 矩形的两条对角线的一个交角为60 o
，两条对角线的长度的和为8cm ，则这个矩形的一条较短边为 Cm.
平行四边形
矩形菱形正方形
M E A
B C
D 3、下列结论：
（1）正方形具有平行四边形的一切性质；（2）正方形具有矩形的一切性质；（3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质，其中正确结论有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
5、下列命题中，真命题是 （ ）
A ．两条对角线垂直的四边形是菱形
B ．两条对角线相等的四边形是矩形
C ．对角线垂直且相等的四边形是正方形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
6、 平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）
A ．A
B ＝B
C B.AC ＝B
D C.AC ⊥BD D.AB ⊥BD 7、如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一
动点，则DN+MN 的最小值为（ ）．
A 8
B ．8
C ．2
D ．10
四、典型例题解析
例1、如图所示，在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE ＝2∠DAM 。

求证：AE ＝BC ＋CE 。

例2：△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN
交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）求证：EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

例3：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连结BE 、DG ． ⑴观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论；
⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由．
例4、已知：如图，正方形ABCD
中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ． 求证：OE=OF ．
分析：要证明OE=OF ，只需证明△AEO ≌△DFO ，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO ，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO ，根据ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：
五、实战演练
1、已知正方形的对角线为2cm ，则正方形的面积为 cm 2
．
2、 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，BE=2，CE=1，P 在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到_____________
3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130°
4、如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F . （1）猜想：AD 与CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论.
E
F
G
D C
B
A
D
A B C E F
G
125、 已知：如图，Ｄ是⊿ABC 的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、
Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证： （１）⊿ABC 是等腰三角形
（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的判断结论.
思考：
已知：在正方形ABCD 中，FE AE EC EB G C E B ⊥=,在一条直线上，、、、点，∠1=∠2．
求证：AE=FE
变式思考：如果点E 为BC 上任意一点，结论AE=EF 仍然成立吗？
1
A B
D F
G
2
B A。