多自由度振动

若给系统的位形一虚位移δq，那么，根据定义，虚位移必定在约束面上，即 φ k (t , q1 + δq1 , q 2 + δq 2 , L , q λ + δq λ ) = 0 将式（4-2）按泰勒级数展开，得到 φ k (t , q1 + δ q1 , q 2 + δ q 2 , L , q λ + δ q λ ) = φ k (t ; q1 , q 2 , L , q λ ) + ∂φ k ∂φ ∂φ δq1 + k δq 2 + L + k δq λ + 高次项 q1 q2 ∂q λ ( k = 1, 2, L , m) (4-3) ( k = 1, 2, L , m) (4-2)
(i = 1, 2, L, n)
(4-21)
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。 图 4-2 所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为 k，摆的质量为 m， 摆长为 l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。
N
1 & 2 是系统的动能。 mjR j 2
将式（4-15）代入式（4-14）中，得到 δ
∫
t2 t1
(T + A)dt = 0
(4-16)
这就证明了泛函驻值形式的变分原理——哈密顿原理。 若系统的主动力有势，则式（4-16）可写成
δ ∫ (T − V )dt = δ ∫ Ldt = 0
t1 t1
t2
φ k ( q1, , q 2 , L , q λ ) = 0
( k = 1, 2, L , m)
(4-7)
则δφk 与 dδ φk 没有差别，真实的无限小位移属于虚位移。因此，对于自由质点系，以及只具有定恒 的完整的约束系统，真实的无限小位移可取作虚位移。 虚位移原理可表述为：力学系统在某一定位形时，平衡的必要与充分条件是：在此位形上所有 主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即
4.1.1 虚位移原理
在力学中遇到的第一个变分原理是虚位移原理。它是处理力学系统平衡问题的最基本原理，也 是分析力学的基础。 虚位移是指满足固定在某一时刻的约束条件的、假象的、任意的、无限小位移。对可变形系统， 虚位移必须满足变形相容条件（连续条件）。即一个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变分。 假设一个系统的广义坐标是（ q1 , q 2 , L , q λ ），其间存在非定恒的完整约束 φ k (t ; q1 , q 2 , L , q λ ) = 0 ( k = 1, 2, L , m) (4-1)
(b)
(c)
将式(c)代入式(a)，得到 3 R − r &2 T = mr 2 θ 4 r
2
图 4-1 圆盘微幅振动
(d) 而系统的位能
V = mg ( R − r )(1 − cosθ ) ≈
将 T 与 V 代入变分式
1 mg ( R − r )θ 2 2
(e)
δI = δ ∫ (T − V )dt = 0
t2
(f)
= −
3 m( R − r ) 2 θ&δθ 2
t1
∫
t2 t1
3 m(R − r ) 2 θ&δθdt 2
∫
t2 t1
mg ( R − r )θδθ dt = 0
由于， t = t1 = t 2 时，哈密顿原理要求δθ = 0，所以，式(f)满足时，必有 3 && + mg ( R − r )θ = 0 m( R − r ) 2 θ 2 式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。 (g)
δI = δ ∫ (T − V )dt = 0
t1
t2
(4-13)
式（4-12）与式（4-13）可以解释为：完整的力学系统从状态“1”到状态“2”的各种可能运动中， 唯有真实运动使哈密顿作用量取驻值。 为了证明式（4-12），哈密顿将式（4-10）变换为
∫
其中
t2 t1
δAdt +
∫
t2 t1
δAin dt = 0
4.1.2
达朗贝尔（D’Alembert）原理
达朗贝尔提出了惯性力的概念，把虚位移原理的应用范围从静力学扩展到动力学的领域。达朗 贝尔原理的普遍叙述方式是：当一个力学系统运动时，只要在主动力上再加上惯性力，它的任何一 个位置都可以看作是平衡的位置。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。 根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：一个动力学系统的主动力及惯性力 在任何虚位移上所作的虚功之和等于零，即 δA + δAin = 0 其中δAin 是惯性力所作的虚功。 当然，可以把虚功原理看作是达朗贝尔原理的一个特例。这样，达朗贝尔原理就是力学的最基 本的变分原理。 (4-10)
& 为圆盘的角速度，IA = mr2/2 是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有 其中， ϕ
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&( R − r ) &r = θ ϕ 由此，得到 &= ϕ R−r & θ r
n
δA = ∑ Qi δqi = 0
i =1
(4-8)
若广义坐标（ q1 , q 2 , L , q n ）是彼此独立的，则平衡条件变为 Qi = 0 (i = 1, 2, L , n) (4-9)
如果将广义力 Q 与广义坐标 q 看作是 n 维空间的矢量，那么，式（4-8）表达的就是 Q 与 q 的 无向积为零，其几何含义就是：广义力矢量 Q 与虚位移矢量δq 是正交的。
n
n
∂T
i
δqi +
t2
∂T ∂V &i − δq δq i dt &i ∂q ∂q i
(4-19)
∂T δq i = ∫ ∑ (Qi δqi )dt + ∑ t1 &i i =1 i =1 ∂q t1 t 2 n d ∂T ∂T ∂V δqi dt = 0 − ∫ ∑ − + t1 & i ∂qi ∂qi i =1 dt ∂q
V = V (q1 , q 2 ,L , q n )
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Байду номын сангаас
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将 T 与Π代入式(4-18)中，进行变分运算，得到：
∫ ∑ (Q δq )dt + ∫ ∑ ∂q
t2 t2 t1 i i i =1 n t1 n i =1 t2
由于， t = t1 = t 2 时，哈密顿原理要求δqi = 0，因此，式(4-19)变成
∫ ∑ (Q δq )dt − ∫ ∑ dt ∂q &
t2 t2 t1 i =1 i i t1 i =1
n
n
d ∂T
i
−
∂T ∂V δqi dt = 0 + ∂qi ∂qi
t1
t2
中，得到 δ
∫
t1
t2 t1
2 3 R − r &2 1 2 mr 2 θ − mg ( R − r )θ dt 2 r 4
=
∫
t2
3 2 R − r 2 &δθ & − mg ( R − r )θδθ dt mr θ r 2
t2
(4-17 )
其中， L = T − V 称为拉格朗日函数。 若系统的主动力一部分有势，而另一部分没有势，则式（4-16）可写成
t2 N ∑ Qi δq i dt + δ∫ (T − V )dt = 0 t1 k =1
∫
t2 t1
(4-18)
其中，Qi ( i = 1, 2, …, n)是与没有势的那些主动力有关的广义力。 上述哈密顿原理是对离散系统导出的，只要将连续系统的动能 T 与势能 V 代入式（4-17），它 对连续系统照样适用。 例 4-1 解： 若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为 T= 1 1 &2 m[( R − r )θ&] 2 + I Aϕ 2 2 (a) 图 4-1 所示系统中，半径为 r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m， 槽的半径为 R。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。
t =t2
= 0 （即 t1 与 t2 时刻虚位移δRj 为零） ，则有
t2 t1
∫
其中， T =
t2 t1
δAin dt = ∫
& ∑m R
j =1 j
N
j
t2 d δR j dt = ∫ t1 dt
& δR & dt = ∑m R ∫
j =1 j j j
N
t2 t1
δTdt
(4-15)
∑
j =1
从式（4-4）与式（4-6）中可以看出，满足式（4-6）的 dq 不可能满足条件式（4-4），也就是 说，在这种情况下，系统的实位移与虚位移是不同的。 若系统的约束条件是定恒的完整约束，即
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第4章
多自由度系统的振动
实际的物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。为简化研究 和便于计算，可采用质量聚缩法或其它方法离散化，使系统简化为有限多个自由振动系统，或称为 多自由度振动系统。它的运动需要 n 个独立的坐标来描述。
4.1 变分原理与拉格朗日（Lagrange）运动方程
(4-20)
在 t1 与 t2 区间的虚位移δqi 是任意的，而且δqi 彼此独立的。因此，由式（20）得到著名的拉格朗日 方程
d ∂T ∂T ∂V + = Qi − & dt ∂ q i ∂q i ∂qi
例 4-2 解： （1）选择 x 及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能 1 &] 2 + 1 m[(l sin θ )θ&] 2 & + (l cos θ )θ 动能： T = m[ x 2 2 势能： V = (a) (b)
4.1.3
哈密顿原理（Hamliton）原理
从 18 世纪开始 ，很多数学家就致力于寻求一个能推导出牛顿力学定律的统一的力学原理。直 到 19 世纪，哈密顿建立了最小作用原理- 哈密顿原理，科学家们的梦想才得以实现。 哈密顿原理表明：一个具有完整约束的力学系统的运动必定使积分作用量 I= 取驻值，即 δI = δ
(4-14)
∫
t2 t1
δAin dt = − ∫
t2 t1
∑
j =1
N
N t2 d & j )δR j dt = − & j δR j (m j R ∑ m j R + ∫ t1 dt j =1 t1
t2
∑m
j =1
N
j
& j d δR j dt R dt
只要取 δR j t = t1 = δR1
t2 t1
∫
(T + A)dt
(4-11)
∫
t2 t1
(T + A)dt = 0
(4-12)
其中， I 称为哈密顿作用量， T 是系统的动能， A 是主动力所作的功。 如果主动力有势， 那么式 （4-12） 可以写成
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4.1.4
完整的保守系统的拉格朗日运动方程
& i 的函数。即 n 个自由度的系统，在一般情况下，动能可能是时间 t、广义坐标 qi 以及广义速度 q &1 , q & 2 , L, q &n ) T = T (t; q1 , q 2 , L , q λ ; q 而势函数只是广义坐标 qi 的函数，即
略去高次项后，得到虚位移应满足的条件为 δφ k = ∂φ k ∂φ ∂φ δq1 + k δq 2 + L + k δq λ ∂q1 ∂q 2 ∂q λ ( k = 1, 2, L , m) (4-4)
而系统的位形在 dt 时间内由 q 运动到 q +dq 时，无限小的位移 dq 称为实位移。显然，它也是在 约束面上的，即 φ k (t + dt ; q1 + d q1 , q 2 + d q 2 , L , q λ + d q λ ) = 0 展开式（4-5） ，略去高次项后，得到实位移应满足的条件为 dφ k = ∂φ k ∂φ ∂φ ∂φ dq1 + k dq 2 + L + k d q λ + k dt = 0 ∂q1 ∂q 2 ∂q λ ∂t (k = 1, 2, L , m) (4-6) ( k = 1, 2, L , m) (4-5)