数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案

一.单项选择题

1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 2．设3)21(lim -∞

→=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B.

23 C. 32- D. 23- 3．⎰

=dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1

4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ）

A. x y =

B. x y -=

C. 3x y =

D. x y sin =

二、填空题

1．设函数==+dz e

z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0

=→x x x 3．⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>+=<=0)1ln()(00

sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a

三、判断题

1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ）

2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ）

3．设f 为定义在)(0x U ︒上的单调有界函数，则右极限)(lim 0

x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释

1．用δε-的语言叙述函数极限的定义

2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义

五、计算题

1．根据第四题第1小题证明04

)1(lim 2=--+∞→n n n

n 2．根据第四题第2小题证明5311lim

22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++

==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。

5．证明：若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x

x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或)

(2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。

一、1.D 2.C 3. B 4.C

二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2

3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√

四、

1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'︒x U 内有定义，A 为定数。 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0

。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。

五、1.证明：ε<-<-⋅++=-+<--+2

12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>∀∴ε，21+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n

；得证。 2. 证明：)13()2()

1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x

令1)2(<-x ，则31<

∴0>∀ε，⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=∃10,1min εδ，当δ<-<20x 时，ε<-++53112x x 3. 证明：⑴211≤≤+n x ，2111≤++=+n n n x x x ⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而01x x >，由数学归纳法可知，n x 单调增加。 综合⑴，⑵可知n n x ∞

→lim 存在， 设A x n n =∞→lim ，则由),11(lim lim 1n n n n n x x x ++=∞→+∞→ =A A A ++11 解得=A 2

15+（负数舍去） 4. 证明：先证2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。 0>∀ε，取)1(++=b a ε

δ，则当∈'''x x ,[]b a ,且有δ<''-'x x 时，有

[]δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()( εε

<+⋅++≤)(2)1(2b a b a

故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

但2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。

取10=ε，无论0>δ取得多小，由01lim

=∞→n

n 知，只要n 充分大， 总可以使n n x 1'+=，n x ='' 的距离δ<=-n

x x 1'''， 但0221)1(2)1()''()'(2ε=>+=-+=-n n n n x f x f 故2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。

5.证明：若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x

x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 证明：由导数的定义， 有)(0x f 'x

x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000 ⑴ 而0→∆x 等价于0→∆-x ，故)(0x f 'x

x f x x f x ∆--∆-=→∆-)()(lim 000 ⑵ ⑴和⑵相比，得)(20x f 'x

x f x x f x f x x f x ∆-∆---∆+=→∆))()(())()((lim 00000 x

x x f x x f x ∆∆--∆+=→∆)()(lim 000 6. 证明：因为)(x f 在0x 连续，所以)()(lim 00x f x f x x =→，

则 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<-)()(0x f x f

则有 ε<-≤-)()()()(00x f x f x f x f ，所以)()(lim 00x f x f x x =→即)(x f 在点0x 连续。

又因为 =-)()(022x f x f )()()()(00x f x f x f x f -+ 且)(x f 在0x 连续，.0,0,0>>>∃δN M 当δ<-0x x 时，M f N x f ≤≤)0(,)(0 0>∀ε，},m in{1δδδ'=取，则当10δ<-x x 时， 有

=-)()(022x f x f )()()()()(00N M x f x f x f x f +<-+ε 因此)()(lim 0220x f x f x x =→

所以)(2x f 在点0x 连续。 若)(x f 在I 上某点0x 的值0)()(00≠-=x f x f ，则0x 是)(x f 的可去间断点，从而I 上未必连续