导数在高中数学解题中的应用

导数在高中数学解题中的应用

高二年级数学组钱洪永

摘要：导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义。导数的思想方法在高中数学解题中是非常重要的，在解决许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。文章着重运用导数的基本知识和理论，来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用。这对高中数学的教学具有一定的指导作用。

关键词：导数；高中数学；应用

1引言

导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。数的工具性微积分作为一种强有力的数学工具的地位是毋庸置疑的,而导数则以它优良的性质、广泛的用途扮演了重要的角色.以中学数学为例导数作为一个交汇点,联结起了函数、方程、向量、数列、不等式、解析几何等内容;并为解决这些提供了统一、有章可循的方法。导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决。高中新课程改革的背景下,导数知识作为高等数学微积分中的内容在高中课程中做铺垫,又对导数内容的教材进行了修改。课程改革是导数知识在实践中经历了变化与发展的过程。应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。我们应该把导数的工具作用发挥出来，在数学中应该加强导数的思想教学。

2文献综述

2.1国内外研究现状

在查阅到的文献资料中，大量学者对导数在高中数学中的应用有不同的见

解，华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版中提到导数在高中求极值问题； 陈应昌在文献[2]中讲述了在导数在高中数学中单调性的应用；郭金芝在文献[3]中讲述了导数在高中数学中求极值的应用；李汉云、张丽娟、窦宝权等人在文献[4]-[9]中谈到国导数在高中数学中利用导数求函数解析式和利用导数画函数图像以及利用导数在求切线解析式的应用；周国球在文献[10]中讲述了导数在高中数学解题中应注意的方面；王淑茂 ，吴永清文献[11]中讲述了导数应用的几个误区和怎样才能避免这些误区发生；肖志向、朱家俊文献[12]-[13]中用导数法证明了不等式和等式；秦学锋文献[14]讲述了在求和数列中的应用；张红文献[15]详细讲述了导数的发展。

2.2 国内外研究现状评价

在查到的文献[1]-[15]中，作者分别从不同的方面说明导数的一些应用及应该注意的一些问题，但是都过于单调，不够完善，不能体现导数在高中数学的重要性及广泛性。

2.3提出问题

以上文献针对导数在高中数学的重要性，从导数的基本定义在高中数学的应用，从导数的定义在高中数学中不同的应用，但不够完善，本文将导数在中学数学中的应用进行了一个综合，更能体现导数在高中数学中的重要性及广泛性。

3 预备知识

导数的定义

（1）导数第一定义：设函数 ()x f y = 在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在 0x 处有增量x ∆ (0x + x ∆ 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 y ∆ = f ()x x ∆+0 - f (0x ) ；如果 y ∆ 与 x ∆ 之比当 x ∆→0 时极限存在，则称函数()x f y = 在点 0x 处可导，并称这个极限值为函数 ()x f y = 在

点 x0 处的导数记为 ()0'

x f ,即 ()()()()0

00dy

x dy ,lim

lim

'

00000'x x x x x x x x dx dy y x x f x x f x y

x f ===→∆→∆∆-∆+=∆∆=或也可记作为导

数第一定义

（2）导数第二定义：设函数 ()x f y = 在点 0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在 0x 处有变化x ∆()也在该领域内0x x - 时，相应地函数变化

()()0x f x f y -=∆；如果 y ∆ 与 x ∆ 之比当0→∆x 时极限存在，则称函数

()x f y = 在点 0x 处可导，并称这个极限值为函数 ()x f y = 在点 0x 处的导数

记为 ()0'x f ,即()()()

0'0

lim

x x x f x f x f x x o --=→为导数第二定义

（3）导函数与导数：如果函数 ()x f y = 在开区间I 内每一点都可导，就称函数()x f 在区间I 内可导。这时函数 ()x f y = 对于区间I 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数

()x f y = 的导函数，记作()()dx x df dx dy x f y /,/,,''。导函数简称导数。

4 导数在代数问题中的应用

(1)利用导数求函数的解析式

用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．

例1.设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．

解：因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而

c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以

⎩⎨

⎧=++=++．

，

020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．

(2)利用导数求函数的值域

求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．

例2.求函数212)(+-+=x x x f 的值域．

分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．