北师大版初中数学八年级下册 1.2 直角三角形第一课时直角三角形的性质和判定课件(共26张PPT)
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(1)同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那
么它有两个角相等.
真
课堂小结
直角三角形
性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方；
判定
定理2：有两个角互余的三角 形是直角三角形.
∵ (a+b)2 = c2+ 2ab ，
c a
b
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
3．赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
．
c a
b
b
b
b
c
c
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
复
习
勾
股
A的面 B的面积 C的面
定
积(单位 (单位 积(单位 面积) 面积) 面积)
理
图1
的
图2
推
图3
S +S =S 得
A、B、
C 面积
关系 A B C
a2+b2=c2
图 1
图2
图3
c b
a
1．美国第二十任总统的证法：
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
源自文库
b)
1 2
(a2
2ab
b2
)
a
1 2
典例精析
例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那
么这个三角形是直角三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
条件：一个三角形是等边三角形; 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
例3 判断下列命题的
的真假.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数
的个位数字是5.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
知识归纳
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两 个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理.
第一章 三角形的证明 1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
10.如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2， 则OM等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6
第一章 三角形的证明
2.直角三角形
直角三角形的判定
1.定义：有一个角是直角的三角形是 直角三角形。 2.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.定理：如果一个三角形两边的平方和等于 第三边的平方,那么这个三角形是直角三角 形．（勾股定理逆定理）
那么这个三角形是等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那
么这两个三角形全等.
知识归纳 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改
成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命 题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．
A
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，
C
B
则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
D
┏
E
F
归纳总结
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形．
逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形
互逆命题与 互逆定理
互逆命题
概念
第一个命题的条件是第二个命 题的结论；
第一个命题的结论是第二个命
题的条件.
互逆定理
概念 一个定理的逆命题也是定理， 这两个定理叫做互逆定理
内错角相等，两直线平行 判定
稀有，一定 “真”
当堂练习
1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm， BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm C.6 cm
B.5 cm D.10 cm
CD的长为__74_c_m___
2.写出下列定理的逆命题，并判断是真命题还 是假命题
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
这个命题是真命 题吗？为什么？
例1 证明此命题： A
经典证法 “构造法”
C
B
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自 己写出证明过程吗？
a2
1 2
b2
ab，
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
b s1 s2，
1 2
a2
1 2
b2
ab
ab
1 2
c2，
a2 b2 c2.
2．利用正方形面积拼图证明：
a
b
c
c
大正方形的面积可以表示 为 (a+b)2 ； 也可以表示为_c_2+__4 _ _12 _ab
互逆命题与互逆定理
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形． 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
说出下列命题的条件和结论： 1.两直线平行,内错角相等； 2.内错角相等,两直线平行； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
观察上面三组命题,你发现了什么?
在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做 互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题就叫做它的逆命题.
例如：命题“两直线平行，内错角相等”的 条件和结论为： 条件为：两直线平行； 结论为：内错角相等． 因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
命题
互换条件结论
逆命题 例：如果两三角形全等，那么对应角相等； 如果对应角相等，那么两三角形全等
一定存在，但不一定 “真”
假命题
互换条件结论+是真命题
定理
逆定理 例：两直线平行，内错角相等；性质 互为逆定理
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那
么它有两个角相等.
真
课堂小结
直角三角形
性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方；
判定
定理2：有两个角互余的三角 形是直角三角形.
∵ (a+b)2 = c2+ 2ab ，
c a
b
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
3．赵爽弦图 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
．
c a
b
b
b
b
c
c
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
复
习
勾
股
A的面 B的面积 C的面
定
积(单位 (单位 积(单位 面积) 面积) 面积)
理
图1
的
图2
推
图3
S +S =S 得
A、B、
C 面积
关系 A B C
a2+b2=c2
图 1
图2
图3
c b
a
1．美国第二十任总统的证法：
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
源自文库
b)
1 2
(a2
2ab
b2
)
a
1 2
典例精析
例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那
么这个三角形是直角三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
条件：一个三角形是等边三角形; 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
例3 判断下列命题的
的真假.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数
的个位数字是5.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
知识归纳
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两 个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理.
第一章 三角形的证明 1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
10.如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2， 则OM等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6
第一章 三角形的证明
2.直角三角形
直角三角形的判定
1.定义：有一个角是直角的三角形是 直角三角形。 2.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.定理：如果一个三角形两边的平方和等于 第三边的平方,那么这个三角形是直角三角 形．（勾股定理逆定理）
那么这个三角形是等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那
么这两个三角形全等.
知识归纳 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改
成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命 题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．
A
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，
C
B
则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
D
┏
E
F
归纳总结
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形．
逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形
互逆命题与 互逆定理
互逆命题
概念
第一个命题的条件是第二个命 题的结论；
第一个命题的结论是第二个命
题的条件.
互逆定理
概念 一个定理的逆命题也是定理， 这两个定理叫做互逆定理
内错角相等，两直线平行 判定
稀有，一定 “真”
当堂练习
1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm， BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm C.6 cm
B.5 cm D.10 cm
CD的长为__74_c_m___
2.写出下列定理的逆命题，并判断是真命题还 是假命题
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
这个命题是真命 题吗？为什么？
例1 证明此命题： A
经典证法 “构造法”
C
B
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自 己写出证明过程吗？
a2
1 2
b2
ab，
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
b s1 s2，
1 2
a2
1 2
b2
ab
ab
1 2
c2，
a2 b2 c2.
2．利用正方形面积拼图证明：
a
b
c
c
大正方形的面积可以表示 为 (a+b)2 ； 也可以表示为_c_2+__4 _ _12 _ab
互逆命题与互逆定理
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形． 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
说出下列命题的条件和结论： 1.两直线平行,内错角相等； 2.内错角相等,两直线平行； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
观察上面三组命题,你发现了什么?
在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做 互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题就叫做它的逆命题.
例如：命题“两直线平行，内错角相等”的 条件和结论为： 条件为：两直线平行； 结论为：内错角相等． 因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
命题
互换条件结论
逆命题 例：如果两三角形全等，那么对应角相等； 如果对应角相等，那么两三角形全等
一定存在，但不一定 “真”
假命题
互换条件结论+是真命题
定理
逆定理 例：两直线平行，内错角相等；性质 互为逆定理