传热学第二章导热问题数学描述PPT演示课件
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梯度的性质： 1．方向导数等于梯度在该方向上的投影； 2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向 （法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
注：傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同 性材料（导热系数在各个方向是相同的）.
2、导热系数（ Thermal conductivity ）
傅里叶定律给出了导热系数的定义 :
qt nW/(m K)
n
导热系数在数值上等于 单位温度梯度作用下的 热流密度。 是物性参 数，与物质结构和状态 密切相关，如温度、 湿度、压力、密度等， 而与几何形状无关。反 映了物质微观粒子传递 热量的特性。
x方向导入微元体的净热量：
x xdxx22 t dxdydz
同理y方向和z方向 净热量：
y
ydy
2t y2
dxdydz
z
zdz
2t
z2
dxdyd
导入微元体的总净热量（以上三式之和）：
d x22 t y2t2 z22 tdxdy d2tzdxdydz
② 微元体内热源生成热:
r dxdyd式z中： 为单位体积内热源.
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加条件. ① 时间条件：某一时刻导热物体的温度分布，对起
③
微元体内能增量（显热）：e
c t
dxdydz
由能量守恒定律
d r e 2 t c t
整理得常物性、非稳态有内热源的导热微分方程：
t a2t
c
（非稳态项=扩散项+源项）
式中：拉普拉斯算子
2t 2t 2t 2t x2 y2 z2
热扩散率（导温系数）:
a
c
物性参数.分子代表导热能力，分母代表容热能力，其值代
问题分析
建立物理模型
根据问题的相关
属性建立数学模型
求解
• 传热学的主要任务是求解热量传递速率和温度变化速 率，对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热 流场。这就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种 具体问题的数学求解方法。
1、基本概念及傅里叶定律
1)温度场
温度场——物体中各点温度的集合，
在直角坐标系下的形式 tf(x,y,z,)
④ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即
热流密度）的相对大小。
3）方向导数与温度梯度
方向导数: 函数在某点沿某一方向对距离
的变化率 .
lim t
t(M)t(MO)
l MO M MO
MMO
温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度梯度，记为
grad t。 gr taLd itm tn ti tj tk n 0 n n x y z
分类：
与时间关系分为稳态温度场和非稳态温度场
与空间关系分为一维、二维、三维温度场。
2）等温面：温度场中同一瞬间温度相同的点连成的面。 其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。
等温线:任意截面与等温面的交线。
特点：
① 不能相交；
② 物体内部内部连续；
பைடு நூலகம்
t+Δt
③ 沿等温线（面）无热量传递；
t t-Δt
导热部分 Heat Conduction
第二章 导热问题的数学描述 第三章 稳态导热 第四章 非稳态导热 第五章 导热问题的数值解法
第二章 导热问题的数学描述
1、基本概念及傅里叶定律 2、导热系数 3、导热微分方程式及其定解条件
导热问题的求解目标与思路
• 解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤：
表温度波动在物体中的扩散速度。
比如：a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
多孔材料的含水率:水取代了孔中空气而使导热系 数加大，所以保温材料要防水，衣服要保持 干燥。
住新房和旧房的感觉一样么？
答：因为水的导热系数远 大于空气的导热系数，新 房的墙壁含水较多，所以 新房比较冷。
➢ 简述影响导热系数的因素。 答：导热系数不仅与物质的种类有关，还与物质的物理结
构和状态有关。温度、多孔材料的含水率、疏松物质的 折合密度等都影响材料的导热系数。
(2) 热导率、比热容和密度均为常数； (3) 物体内具有均匀内热源。
根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量 d 加上
微元体内热源生成的热量
r
应等于微元体内能的增加量
。
e
则
d r＝ e
① 导入微元体的净热量
x方向导入微元体的热量：
x
t dydz
x
x方向导出微元体的热量：
xdxxt xtdxdydz
不同物质的导热性能不同：
金属
非金属 固体 液体 气体
纯铜 39 W 8 /m (C )
大理 石 2.7 W /m (C )
0˚C时：冰2.2W 2/m (C)
水0.55 W 1 /m (C)
蒸 汽 0.01W 8 /m (3C )
同一种物质的导热系数因其状 态参数的不同而改变。一般把 导热系数仅仅视为温度的函数， 而且在一定温度范围还可以用 一种线性关系来描述
➢ 同样是 -6℃的气温，在南京比在北京感觉冷一些 答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有水
蒸汽而比干空气的换热能力强;加之衣物也因吸收空气 中水分使保温效果下降。
3、导热微分方程式及其定解条件 1）导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
方法：微元体平衡 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
0(1bT)
一般将温度不高于350oC时，λ 不大于0.12 W/(m℃)的材料称为 保温材料。高效能的保温材料 多为蜂窝状多孔结构。
疏松物质的折合密度:疏松物质内含不流动的气体 物质，由于气体物质的低导热性，疏松物质 常用于隔热保温。若过于密实，空隙中的气 体被赶跑，导热系数会加大；若过于蓬松， 空隙中气体的对流作用增强，也会使导热系 数加大，所以，为了得到较小的导热系数， 疏松物质应有一个适中的折合密度。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
注：傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同 性材料（导热系数在各个方向是相同的）.
2、导热系数（ Thermal conductivity ）
傅里叶定律给出了导热系数的定义 :
qt nW/(m K)
n
导热系数在数值上等于 单位温度梯度作用下的 热流密度。 是物性参 数，与物质结构和状态 密切相关，如温度、 湿度、压力、密度等， 而与几何形状无关。反 映了物质微观粒子传递 热量的特性。
x方向导入微元体的净热量：
x xdxx22 t dxdydz
同理y方向和z方向 净热量：
y
ydy
2t y2
dxdydz
z
zdz
2t
z2
dxdyd
导入微元体的总净热量（以上三式之和）：
d x22 t y2t2 z22 tdxdy d2tzdxdydz
② 微元体内热源生成热:
r dxdyd式z中： 为单位体积内热源.
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加条件. ① 时间条件：某一时刻导热物体的温度分布，对起
③
微元体内能增量（显热）：e
c t
dxdydz
由能量守恒定律
d r e 2 t c t
整理得常物性、非稳态有内热源的导热微分方程：
t a2t
c
（非稳态项=扩散项+源项）
式中：拉普拉斯算子
2t 2t 2t 2t x2 y2 z2
热扩散率（导温系数）:
a
c
物性参数.分子代表导热能力，分母代表容热能力，其值代
问题分析
建立物理模型
根据问题的相关
属性建立数学模型
求解
• 传热学的主要任务是求解热量传递速率和温度变化速 率，对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热 流场。这就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种 具体问题的数学求解方法。
1、基本概念及傅里叶定律
1)温度场
温度场——物体中各点温度的集合，
在直角坐标系下的形式 tf(x,y,z,)
④ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即
热流密度）的相对大小。
3）方向导数与温度梯度
方向导数: 函数在某点沿某一方向对距离
的变化率 .
lim t
t(M)t(MO)
l MO M MO
MMO
温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度梯度，记为
grad t。 gr taLd itm tn ti tj tk n 0 n n x y z
分类：
与时间关系分为稳态温度场和非稳态温度场
与空间关系分为一维、二维、三维温度场。
2）等温面：温度场中同一瞬间温度相同的点连成的面。 其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。
等温线:任意截面与等温面的交线。
特点：
① 不能相交；
② 物体内部内部连续；
பைடு நூலகம்
t+Δt
③ 沿等温线（面）无热量传递；
t t-Δt
导热部分 Heat Conduction
第二章 导热问题的数学描述 第三章 稳态导热 第四章 非稳态导热 第五章 导热问题的数值解法
第二章 导热问题的数学描述
1、基本概念及傅里叶定律 2、导热系数 3、导热微分方程式及其定解条件
导热问题的求解目标与思路
• 解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤：
表温度波动在物体中的扩散速度。
比如：a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
多孔材料的含水率:水取代了孔中空气而使导热系 数加大，所以保温材料要防水，衣服要保持 干燥。
住新房和旧房的感觉一样么？
答：因为水的导热系数远 大于空气的导热系数，新 房的墙壁含水较多，所以 新房比较冷。
➢ 简述影响导热系数的因素。 答：导热系数不仅与物质的种类有关，还与物质的物理结
构和状态有关。温度、多孔材料的含水率、疏松物质的 折合密度等都影响材料的导热系数。
(2) 热导率、比热容和密度均为常数； (3) 物体内具有均匀内热源。
根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量 d 加上
微元体内热源生成的热量
r
应等于微元体内能的增加量
。
e
则
d r＝ e
① 导入微元体的净热量
x方向导入微元体的热量：
x
t dydz
x
x方向导出微元体的热量：
xdxxt xtdxdydz
不同物质的导热性能不同：
金属
非金属 固体 液体 气体
纯铜 39 W 8 /m (C )
大理 石 2.7 W /m (C )
0˚C时：冰2.2W 2/m (C)
水0.55 W 1 /m (C)
蒸 汽 0.01W 8 /m (3C )
同一种物质的导热系数因其状 态参数的不同而改变。一般把 导热系数仅仅视为温度的函数， 而且在一定温度范围还可以用 一种线性关系来描述
➢ 同样是 -6℃的气温，在南京比在北京感觉冷一些 答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有水
蒸汽而比干空气的换热能力强;加之衣物也因吸收空气 中水分使保温效果下降。
3、导热微分方程式及其定解条件 1）导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
方法：微元体平衡 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
0(1bT)
一般将温度不高于350oC时，λ 不大于0.12 W/(m℃)的材料称为 保温材料。高效能的保温材料 多为蜂窝状多孔结构。
疏松物质的折合密度:疏松物质内含不流动的气体 物质，由于气体物质的低导热性，疏松物质 常用于隔热保温。若过于密实，空隙中的气 体被赶跑，导热系数会加大；若过于蓬松， 空隙中气体的对流作用增强，也会使导热系 数加大，所以，为了得到较小的导热系数， 疏松物质应有一个适中的折合密度。