高考数学一轮复习专题 集合与函数概念(教师)

2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念

第1讲 集合的概念及其运算

【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.

2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn 图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.

3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.

【基础梳理】

1.集合与元素

（1）集合元素的三个特征：____确定性_____、___互异性_____、 ____无序性_____.

（2）元素与集合的关系是___属于___或____不属于____关系， 用符号_∈___或___∉__表示.

(3)集合的表示法：__列举法_____、___描述法____、___图示法____、 __区间法_____.

(4)常用数集：自然数集N ；正整数集N*（或N+）;整 数集Z ；有理数集Q ；实数集R.

(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为____有限集____、__无限集___、__空集_.

2.集合间的基本关系

(1)子集、真子集及其性质对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ⊆（或B A ⊇）.

若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ， 则____（或____）.

∅ _⊆__A ；A_⊆__A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A__⊆__C.

若A 含有n 个元素,则A 的子集有__2n __个,A 的非空子集有__2n -1_个,A 的非空真子集有__2n

-2__个.

(2)集合相等

若A ⊆B 且B ⊆A,则___A=B ____.

3.集合的运算及其性质

(1)集合的并、交、补运算

并集：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}； 交集：A ∩B=___{x|x ∈A 且x ∈B}____；

补集：=__{|}x x U x A ∈∉且___. U 为全集，表示A 相对于全集U 的补集. (2)集合的运算性质

并集的性质:

A ∪∅=A ；A ∪A=A ；A ∪B=

B ∪A ；A ∪B=A ⇔B ⊆A.

交集的性质：

A ∩∅=∅；A ∩A=A ；A ∩B=

B ∩A ；A ∩B=A ⇔A ⊆B.

补集的性质：

【要点解读】

要点一集合的基本概念

【例1】已知集合M={y|y=x 2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A ．（0，1），（1，2）

B ．{（0，1），（1，2）}

C ．{y|y=1,或y=2}

D ．{y|y≥1}

【命题立意】集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x∈R)，y=x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．

【标准解析】M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D ．

【误区警示】①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y x y x ⎧=+⎨=+⎩0,1,x y =⎧⎨=⎩得1,2.

x y =⎧⎨=⎩或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的

【变式训练】集合{}0122=++=x ax x A 中有一正一负两个元素，求a 的值.

【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以0a ≠且440a ∆=->,设两个元素分别是12,x x ,因为两个元素符号相反,所以1210x x a

=<. 【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.

【答案】由题意知,方程2

210ax x ++=为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是12,x x ,则由12044010a a x x a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪=<⎩

可得0a <.

要点二集合的关系

【例2】若A={2，4,3a －22a －a ＋7},B={1,a ＋1,2a －2a ＋2,－12(2a －3a －8),3a ＋2a ＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．

【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.

【标准解析】∵A ∩B={2，5}，∴3a －22a －a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a =1时，2a －2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．

当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．

当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a =2为所求．

【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识．

【变式训练】已知集合{}2320A x x x =-+=,{}210B x x ax a =-+-=，且A

B B =则a 的

值为______．

【标准解析】集合,A B 都表示方程的解集，集合{}1,2A =,是确定，有四个子集，由A B B =B A ⇒⊆而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．

【技巧点拨】集合B 是集合A 的子集，集合A 的子集有四个，故B 有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合B 不要写成B ={}1,1a -，因为1a -可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

要点三集合的运算