高考数学一轮复习专题 集合与函数概念(教师)

2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念第1讲 集合的概念及其运算【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn 图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.【基础梳理】1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：____确定性_____、___互异性_____、 ____无序性_____.（2）元素与集合的关系是___属于___或____不属于____关系， 用符号_∈___或___∉__表示.(3)集合的表示法：__列举法_____、___描述法____、___图示法____、 __区间法_____.(4)常用数集：自然数集N ；正整数集N*（或N+）;整 数集Z ；有理数集Q ；实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为____有限集____、__无限集___、__空集_.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ⊆（或B A ⊇）.若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ， 则____（或____）.∅ _⊆__A ；A_⊆__A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A__⊆__C.若A 含有n 个元素,则A 的子集有__2n __个,A 的非空子集有__2n -1_个,A 的非空真子集有__2n-2__个.(2)集合相等若A ⊆B 且B ⊆A,则___A=B ____.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}； 交集：A ∩B=___{x|x ∈A 且x ∈B}____；补集：=__{|}x x U x A ∈∉且___. U 为全集，表示A 相对于全集U 的补集. (2)集合的运算性质并集的性质:A ∪∅=A ；A ∪A=A ；A ∪B=B ∪A ；A ∪B=A ⇔B ⊆A.交集的性质：A ∩∅=∅；A ∩A=A ；A ∩B=B ∩A ；A ∩B=A ⇔A ⊆B.补集的性质：【要点解读】要点一集合的基本概念【例1】已知集合M={y|y=x 2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}【命题立意】集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x∈R)，y=x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．【标准解析】M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D ．【误区警示】①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y x y x ⎧=+⎨=+⎩0,1,x y =⎧⎨=⎩得1,2.x y =⎧⎨=⎩或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的【变式训练】集合{}0122=++=x ax x A 中有一正一负两个元素，求a 的值.【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以0a ≠且440a ∆=->,设两个元素分别是12,x x ,因为两个元素符号相反,所以1210x x a=<. 【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程2210ax x ++=为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是12,x x ,则由12044010a a x x a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪=<⎩可得0a <.要点二集合的关系【例2】若A={2，4,3a －22a －a ＋7},B={1,a ＋1,2a －2a ＋2,－12(2a －3a －8),3a ＋2a ＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【标准解析】∵A ∩B={2，5}，∴3a －22a －a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a =1时，2a －2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a =2为所求．【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识．【变式训练】已知集合{}2320A x x x =-+=,{}210B x x ax a =-+-=，且AB B =则a 的值为______．【标准解析】集合,A B 都表示方程的解集，集合{}1,2A =,是确定，有四个子集，由A B B =B A ⇒⊆而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．【技巧点拨】集合B 是集合A 的子集，集合A 的子集有四个，故B 有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合B 不要写成B ={}1,1a -，因为1a -可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．要点三集合的运算【例3】集合A={x|x 2＋5x －6≤0},B={x|x 2＋3x>0}，求A ∪B 和A ∩B ．【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解【标准解析】∵ A={x|x 2－5x －6≤0}={x|－6≤x≤1}， B={x|x 2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R ． A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．【变式训练】设全集U={x|0<x<10,x∈N *}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．【标准解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．要点四集合的应用【例4】已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_．【命题立意】集合作为一种数学语言的工具，常用于其他章节中，并能与其综合应用.本题主要考查能否准确理解集合表示的意义.【标准解析】由A∩R *=∅又方程x 2＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，()()2240,20,m m ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4． 【误区警示】解决有关A ∩B=∅、A ∪B=∅，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 【变式训练】设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x 2＋a x ＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a 、b 的值【命题立意】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答【标准解析】如图所示，设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B 覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x 2＋a x ＋b=0的两根，∴ a =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．【技巧点拨】类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．第2讲 函数的基本概念及表示【知识精讲】1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.3.求用解析式y=()f x 表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若()f x 是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若()f x 是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若()f x 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若()f x 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是一个函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.【基础梳理】1.函数的基本概念（1）函数定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称f:A →B 为 从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=()f x ,x ∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=()f x ,x ∈A 中，x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()f x |x ∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集.(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ， 使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为 从集合A 到集合B 的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B 必须是非空数集.【要点解读】要点五函数与映射的概念【例5】设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中对应的元素()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）A.8个B.12个C.16个D.18个【命题立意】主要考查学生对映射的定义的理解、推理论证能力和分类讨论思想.【标准解析】因为()x f x +为奇数，所以需要给每一个元素x 找到对应的元素()f x ，对应的元素不同表示不同的映射，需要分类讨论.【误区警示】对映射的含义理解不准确导致错误，不会分类，【答案】∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的对应的元素只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．故选D.注：理科的同学可用上述方法，文科的同学可以一一枚举，然后查个数.【变式训练】A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A 到B 的映射中满足(1)f ≤(2)f ≤(3)f ≤(4)f≤(5)f 的映射有（ ）A .27B .9C .21D .12【标准解析】因为对应关系的存在，(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 、(5)f 都必须有确定的值，并且满足“≤”的关系，要么取“小于”要么取“等于”，所以可以根据等号的个数进行分类讨论.【技巧点拨】熟练掌握映射的概念，根据对应法则，找准对应关系，选好分类标准，避免重复和遗漏.【答案】（1）当全是等号时，（即与B 中的一个元素对应），则f 有C 13个;（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14·C 23=12个; （3）有二个不等号的映射，f 有C 24·C 33=6个.所以共有3+12+6=21个，答案选C .要点六求函数的定义域【例6】函数y=)1(log 221-x 的定义域是( )A.［-2,-1］∪(1,2)B.(-3,-1)∪(1,2)C.［-2,-1］∪(1,2)D.(-2,-1)∪(1,2)【命题立意】作者考查我们对于常见表达式的综合运用。