计量经济学第二章主要公式
计量经济学 第二章
二、典型例题分析
例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生 育率对教育年数的简单回归模型为
kids = β0 + β1educ + μ
1
（1）随机扰动项 μ 包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
关于 βˆ1 求偏导得
∑ ∂RSS = 2
∂βˆ1
(Yt − βˆ1 X t )(− X t ) = 0
即
∑ X t (Yt − βˆ1 X t ) = 0
βˆ1
=
(∑ X iYi )
(∑
) X
2 i
4
可见 βˆ1 是 OLS 估计量。
例 5．假设模型为 Yt = α + βX t + μt 。给定 n 个观察值 ( X1,Y1 ) ， ( X 2 ,Y2 ) ，…，
5
例 6．对于人均存款与人均收入之间的关系式 St = α + βYt + μt 使用美国 36 年的年度数
据得如下估计模型，括号内为标准差：
Sˆt = 384.105 + 0.067Yt (151.105) (0.011)
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ˆ0 和 ˆ1 应满足下列方程组：
Q
ˆ0
Q
ˆ1
n
2
i 1
n
2
i 1
( yi ( yi
ˆ0 ˆ0
ˆ1xi ) ˆ1xi )xi
0
0
整理得正规方程组：
n
i 1 n
i 1
yi xi yi
n
nˆ0 ˆ1
i 1
n
ˆ0 xi
i 1
xi
ˆ1
n i 1
xi2
(2.10)
yi
0
1
1 xi
ui
就属于被解释变量y与解释变量x之间不为线性关
系的情形，如果我们令
1 x x
此时非线性模型就变成线性模型了
14
yi 0 1xi ui
三、一元线性回归模型中随机项的假 定
在给定样本观测值(样本值) (xi , yi )，i=1,2, 3,…,n
后， 为了估计（2. 5）式的参数 0 和 1 ， 必须 对随机项 ui 做出某些合理的假定。这些假定通常 称为古典假定。
4
2、统计误差。数据搜集中由于计量、计算、记录等 导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生 的代表性误差。
3、模型的设定误差。如在模型构造时，非线性关系 用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此 非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。被解释变量还受一些不可控制的众多 的、细小的偶然因素的影响。
11
二、一元线性回归模型
对于总体回归模型， y f (x1, x2, , xk ) u
特别地,当只有一个自变量且 f (x) 0 1x
时，则有：
y 0 1x u
中级计量经济学讲义_第二章第一节...
中级计量经济学讲义_第二章第一节...上课材料之三：第二节分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation) 与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。
换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。
频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。
对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。
对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。
有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。
概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件：（i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==??11)(i ii i AP A P性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ；推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
斯托克、沃森着《计量经济学》第二章
Chapter 2. Review of Probability2.1 Random Variables and Probability Distributions概率Probability：在大量重复实验下，事件发生的频率趋向的某个稳定值。
例如，记事件“下雨”为A，其发生的概率为P()A。
条件概率Conditional Probability ：例：已知明天会出太阳，下雨的概率有多大？记事件“出太阳”为B 。
则在出太阳的前提条件下降雨的“条件概率”（conditional probability ）为，P()P()P()A B A B B ∩≡其中，“∩”表示事件的交集（intersection ），故P()A B ∩为“太阳雨”的概率，参见图2.1。
条件概率是计量经济学的重要概念之一。
图2.1、条件概率示意图独立事件Independence ：如果条件概率等于无条件概率，即P()P()A B A =，即B 是否发生不影响A 的发生，则称,A B 为相互独立的随机事件。
此时，P()P()P()P()A B A B A B ∩≡=，故P()P()P()A B A B ∩=也可以将此式作为独立事件的定义。
全概公式如果事件组{}12,,,(2)n B B B n ≥ 两两互不相容，()0(1,,)i P B i n >∀= ，且12n B B B ∪∪∪ 为必然事件（即在12,,,n B B B 中必然有某个i B 发生，“∪”表示事件的并集，union ），则对任何事件A 都有（无论A 与{}12,,,n B B B 是否有任何关系），1P()P()P()ni i i A B A B ==∑全概公式把世界分成了n 个可能的情形，再把每种情况下的条件概率“加权平均”而汇总成无条件概率（权重为每种情形发生的概率）。
该公式有助于理解后面的迭代期望定律。
离散型随机变量Discrete Random Variable ：假设随机变量X 的可能取值为{}12,,,,k x x x ，其对应的概率为{}12,,,,k p p p ，即(P )k k p X x ≡=，则称X 为离散型随机变量，其分布律可以表示为，1212k k X x x x pp p p其中，0k p ≥，1kkp=∑。
计量经济学第二章 简单线性回归模型公式
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
E ( k ) k
^
方差
标准误差
Var ( 1 )
SE ( 1 )
^
^
xi
2
2
Var ( 0 ) 2
SE ( 0 )
^
^
n xi
Xi
2 2
2 2
x
2
i
OLS估计式是最佳线性无偏估计式。
X n x
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
计量经济学
第 二 章
简单线性回归模型
第二章小结
1、变量间的关系： 函数关系——相关关系。 相关系数——对变量间线性相关程度的度量。 2、现代意义的回归：一个被解释变量对若干个解释变量依存 关系的研究 回归的实质：由固定的解释变量去估计被解释变量的平均 值。 3、总体回归函数（PRF）：将总体被解释变量Y的条件均值表 现为解释变量X的某种函数。 E (Yi X i ) 0 1 X i Y X u
i 0 1 i i
样本回归函数（SRF）：将被解释变量Y的样本条件均值表 示为解释变量X的某种函数。
ˆ ˆ X e Yi 0 1 i i
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
2
总体回归函数与样本回归函数的区别与联系。
4、随机扰动项：被解释变量实际值与条件均值的偏差，代表排
除在模型以外的所有因素对Y的影响。
3
随机扰动与解释变量不相关假定: 正态性假定:
ui ~ N (0, 2 )
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
用方程形式，残差平方和可以表示为
E S S u i 2 Y i Y ˆ i2 Y i ˆ 0 ˆjX ij2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到：
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变 ，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间 关系的联合假设。
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式 为：
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真 正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零 。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达为 样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的关 系为线性的。
例：CD函数 Ye0X1 1X2 2eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u
即比：较：YY *= 0e+0X 1X1 11 *X +2 2 2X 2*u +u
不同数学函数的性质
计量经济学第二章
5500 6000 6500 2924 3515 3521 3338 3721 3954 3650 3865 4108 3802 4026 4345 4087 4165 4812 4298 4380 4312 4580 4413
3853 4036 4148
计量
11 11
消费支出的条件期望与收入关系的图形
i 1
i 1
n
n
xi x yi y ˆ1 xi x 2
i 1
i 1
计量
23
易得：
n
xi x y i y ˆ1 i 1 n x i x 2
i 1
在假设前提
n
x i
x 2
0下
i 1
ˆ0 y ˆ1x
计量
24
2.3 OLS的操作技巧
•拟合值与残差 •OLSE的代数性质 •拟合优度
• 样本回归线只是样本条件均值的轨迹，还不 是总体回归线，它至多只是未知的总体回归 线的近似表现
样本回归函数与总体回归函数的关系
y
PRF
• SRF1
• • *• * SRF2
• *•
• **
••
• •*
x
样本回归函数的函数形式应与设定的总体 回归函数的函数形式一致
对样本回归的理解
对比：
总体回归函数 样本回归函数
ˆ0yˆ1x
•由此估计出的 ˆ 0
（OLSE）
和ˆ1
称为参数的最小二乘估计量
•除了OLS以外，参数估计的方法还有最大似然估计
（ML）方法、矩估计方法（MM）等
基于条件期望为0的普通最小二乘法的推导
• 由E(u)=0 得E(y – 0 – 1x) = 0
02.第二章计量经济学
例题2.5 选票与支出
变量: voteA –候选人A获得的选票百分比 shareA –候选人A参加竞选的总支出百分比 经济模型: voteA = f (shareA) 计量经济模型: voteA = β0 + β1 shareA + u 样本数据 --– 参见 VOTE1.xls: { ( voteAi , shareAi ), i = 1, … , 173 } 普通最小二乘估计值方程 --- 样本回归函数: (通过电子表格) ^ voteA = 26.81 + 0.464 shareA 说明: ^ β1 = ΔvoteA/ΔshareA = 0.464 (候选人A参加竞选每增加1%的 总支出，候选人A就能多获得0.404%的选票)
根据拟合一条直线直观思想, 我们能建立一个 正式的最小化问题 那也就是说, 我们想选择按下面的最小化残差 平方和的方式得到的参数:
ˆ ˆ ˆi yi b 0 b1 xi u
2 i 1 i 1
Economics 20 - Prof. Anderson
n
n
2
23
另一种推导方法, 续
Economics 20 - Prof. Anderson
21
样本回归直线, 样本数据点和关联的误差项估计值
y y4
û{ 4
.
ˆ ˆ ˆ y b0 b1 x
y3 y2
û {. 2
.} û3
y1
}û . 1
x1 x2
x3
x4
x
22
Economics 20 - Prof. Anderson
另一种推导方法
计量经济学主要公式
计量经济学主要公式1. 简介计量经济学是一门研究经济现象的定量分析方法。
在计量经济学中，有许多重要的公式被广泛应用于经济数据的分析和解释。
本文将介绍计量经济学中的一些主要公式，并对其进行解释和应用。
2. 最小二乘法估计最小二乘法估计是计量经济学中最常用的估计方法之一。
它用于确定数据之间的线性关系，并找到使得预测值与真实值之间的平方差最小化的最佳拟合线。
最小二乘法估计的公式如下：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是待估计的参数，ε表示误差项。
最小二乘法估计的目标是最小化误差项的平方和，即使得∑ε^2最小化。
3. 弹性系数弹性系数是衡量变量之间相互影响程度的指标。
在计量经济学中，弹性系数经常被用来衡量因变量对自变量的变化的敏感度。
常见的弹性系数有价格弹性、收入弹性等。
弹性系数的计算公式如下：E = (ΔY / Y) / (ΔX / X)其中，E表示弹性系数，ΔY表示因变量的变化量，ΔX表示自变量的变化量，Y表示因变量的原始值，X表示自变量的原始值。
弹性系数的绝对值越大，表示变量之间的相互影响越大。
4. 汇总函数汇总函数用于描述宏观经济关系中的总量变量之间的关系。
计量经济学中常用的汇总函数包括线性汇总函数和非线性汇总函数。
线性汇总函数的一般形式如下：Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，a表示截距，b1、b2、…、bn表示回归系数。
线性汇总函数可以用于宏观经济模型的建立和政策分析。
5. 假设检验假设检验是计量经济学中用于检验统计推断的一种方法。
通过对样本数据进行分析，假设检验可以判断统计推断是否具有显著性。
常用的假设检验有t检验、F检验等。
假设检验的一般步骤包括建立原假设和备择假设、计算检验统计量、确定临界值和进行推断。
假设检验的结果通常用p值来表示。
6. 时间序列分析时间序列分析是计量经济学中研究时间序列数据的方法。
计量经济学复习
第二章 一元线性回归模型1.随机误差项形成的原因：① 在解释变量中被忽略的因素 ② 变量观测值的观测误差 ③ 模型的关系误差或设定误差 ④ 其他随机因素的影响。
2.总体回归方程和样本回归方程的区别和联系：总体回归方程是对总体变量间关系的定量表述,条件均值E(Y|X=x)是x 的一个函数 ,记作:E(Y|X=x)=f(x),其中,f(x)为x 的某个函数 ,它表明在X=x 下,Y 的条件均值与x 之间的关系。
但实际中往往不可能得到总体的全部资料 ,只能先从总体中抽取一个样本,获得样本回归方程 ,并用它对总体回归方程做出统计推断。
通过样本回归方程按照一定的准则近似地估计总体回归方程 ,但由于样本回归方程随着样本的不同而有所不同,所以这种高估或低估是不可避免的。
3.随机误差项的假定条件：（1）零均值：随机误差项具有零均值，即E( )=0，i=1，2，… （2）随机误差项具有同方差： 即每个 对应的随机误差项 具有相同的常数方差。
Var( )=Var( )= ，i=1,2，… （3）无序列相关：即任意两个 和 所对应的随机误差项 、 是不相关的。
Cov( , )=E( )=0,i j,i,j=1,2,… （4）解释变量X 是确定性变量，与随机误差项不相关。
Cov( , )=E( )=0，此假定保证解释变量X 是非随机变量。
（5） 服从正态分布， ～N(0, )4.为什么用决定系数 评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？判定系数 = = 1- ，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解释变量总变化的比重,用来判定回归直线拟合的优劣。
该值越大说明拟合得越好。
而残差平方和值的大小受变量值大小的影响,不适合具有不同量纲的模型的比较。
5.可决系数 说明了什么？在简单线性回归中它与斜率系数的t 检验的关系是什么？可决系数 是对模型拟合优度的综合度量 ,其值越大,说明在Y 的总变差中由模型作出了解释的部分占得比重越大 ,模 型的拟合优度越高 ,模型总体线性关系的显著性越强。
计量经济学第二章主要公式
第二章要紧公式资料地址：1、回回模型概述〔1〕相关分析与回回分析经济变量之间的关系：函数关系、相关关系相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。
相关分析：——总体相关系数cov(,))var()XY X Y Y ρ=——样本相关系数()()nii XY XX Y Y r --=∑——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量 回回分析：相关关系+因果关系〔2〕随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区不。
〔3〕总体回回模型总体回回曲曲折折曲曲折折折折线：给定解释变量条件下被解释变量的期瞧轨迹。
总体回回函数：(|)()i i E Y X f X =总体回回模型：(|)()i i i i i Y E Y X f X μμ=+=+ 线性总体回回模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=〔4〕样本回回模型样本回回曲曲折折曲曲折折折折线：依据样本回回函数得到的被解释变量的轨迹。
〔线性〕样本回回函数：01ˆˆˆi i Y X ββ=+ 〔线性〕样本回回模型：01ˆˆˆi i iY X e ββ=++ 2、一元线性回回模型的参数估量〔1〕全然假设①解释变量：是确定性变量，不是随机变量②随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等 ③随机误差项与解释变量：不相关④〔针对最大似然法和假设检验〕随机误差项： ⑤回回模型正确设定。
【前四条为线性回回模型的古典假设，即高斯假设。
满足古典假设的线性回回模型称为古典线性回回模型。
】 〔2〕参数的一般最小二乘估量〔OLS 〕目标：21minnii e=∑关于一元线性回回模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=正规方程组： 解得：〔3〕最大似然估量〔ML 〕关于一元线性回回模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=重要的全然假设：得到：201~(,)1,2,...,i i Y N X i n ββσ+=【且cov(,)0;,1,2,...,i j Y Y i j i j n =≠=，那个对最大似然法的估量特别重要】那么目标：12,,...,n Y Y Y 的联合概率密度最大，即 最终结果与OLS 得到的结果相同。
计量经济学第二章(第三部分)
计量经济学 第二章C
二、实际经济问题中的异方差性
比如：我们建立一个服装需求函数模型，以 服装需求量Q作为被解释变量，以收入Y，服 装价格 P0 和其他商品价格 P1 为解释变量，于 是有模型 ： P Q = f ( Y , 0 ,P1 ；u) 在该模型中，气候因素没包含在解释变量里， 而是放在误差项中。但它对服装需求量Q是有 影响的，若该因素构成误差项的主要部分， 则可能产生异方差。
1 2 f(X i ) 而var( ) varui 2 , 即消除了异方差 f(X i ) f(X i ) f(X i )
29
计量经济学 第二章C
同 上
（）对新模型进行 OLS 估计， 3 可得到 0， 1具有 BLUE 性质的估计量。
30
计量经济学 第二章C
2、加权最小二乘法
为WLS估计量。
32
计量经济学 第二章C
（2）利用加权最小二乘法处理异方差 假设已知 varui 2 f(X i ) ,
判断模型可能存在 复杂型异方差
14
计量经济学 第二章C
同 上
（2）以残差平方 e 2 为纵轴，某个解释变 量X为横轴，画出残差序列分布图。
15
计量经济学 第二章C
分布图
e
（1）
2
e2
（2） x x
同 上
判断模型基本不 存在异方差
e2
（3） x （4）
e2
x
（2）—（4）可能存在 异方差
16
计量经济学 第二章C
5451.91
6797.71 7869.16 5483.73 5382.91 5853.72
同 上
海南
重庆 四川
349.44
(完整word版)计量经济学主要公式
序公式名称计算公式号y t = β0 + β1 x t + u t1真实的回归模型2估计的回归模型y t =+x t +E(y t) = β0 + β1 x t3真实的回归函数4估计的回归函数=+x t5最小二乘估计公式6和的方差7σ2的无偏估计量= s2 =8和估计的方差9总平方和∑(y t -) 210回归平方和∑(-) 211误差平方和∑(y t -)2 = ∑()212可决系数（确定系数）13检验β0，β1 是否为零的t统计量14β1的置信区间-tα(T-2) ≤β1≤+tα(T-2)15单个y T+1的点预测=+x T+116E(yT+1)的区间预测17单个yT+1的区间预测18样本相关系数表3.4 多元线性回归模型的主要计算公式+= X= (X 'X)-1X 'YVar(= s2 ='/ (T - k)() =(X 'X)-1= '= '= +… +C s==是控制z t不变条件下的x t, y t的简单相关系数。
是y t与的简单相关系数。
其中是y t对x t1,x t2,…x tk–12：随机误差项的性质（1）误差项代表了未纳入模型变量的影响；（2）即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的；（3）u代表了度量误差；（4）“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。
3：解释回归结果的步骤（1）看整个模型的显著性，看F统计量的值；（2）看单个参数的显著性；（3）解释斜率的经济含义；（4）解释R²。
4：古典线性回归模型的基本假定（同多元线性回归模型的基本假定相同）（1）所有自变量是确定性变量； （2）（3）自变量之间不存在完全多重共线性。
12：样本回归方程，i e 为残差项，i i i e X b b Y ++=21总体回归方程，i u 为随机误差项i i i u X B B Y ++=215：样本回归函数：随机样本回归函数：总体回归函数：随机总体回归方程：观察值可表示为： 6：普通最小二乘法就是要选择参数1b 、2b ，使得参差平方和最小。
考研名校：《计量经济学》各章重点知识总结整理笔记
《计量经济学》各章重点知识总结整理笔记第二章1、变量间的关系分为函数关系与相关关系。
相关系数是对变量间线性相关程度的度量。
2、现代意义的回归是一个被解释变量对若干个解释变量依存关系的研究，回归的实质是由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值。
简单线性回归模型是只有一个解释变量的线性回归模型。
3、总体回归函数（PRF ）是将总体被解释变量Y 的条件均值()i i E Y X 表现为解释变量X 的某种函数。
样本回归函数（SRF ）是将被解释变量Y 的样本条件均值^i Y 表示为解释变量X 的某种函数。
总体回归函数与样本回归函数的区别与联系。
4、随机扰动项i u 是被解释变量实际值i Y 与条件均值()i i E Y X的偏差，代表排除在模型以外的所有因素对Y 的影响。
5、简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定、对随机扰动项u 的假定（零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定）6、普通最小二乘法（OLS ）估计参数的基本思想及估计式；OLS 估计式的分布性质及期望、方差和标准误差；OLS 估计式是最佳线性无偏估计式。
7、对回归系数区间估计的思想和方法。
8、拟合优度是样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度，可决系数是在总变差分解基础上确定的。
可决系数的计算方法、特点与作用。
9、对回归系数假设检验的基本思想。
对回归系数t 检验的思想与方法；用P 值判断参数的显著性。
10、被解释变量平均值预测与个别值预测的关系，被解释变量平均值的点预测和区间预测的方法，被解释变量个别值区间预测的方法。
11、运用EViews 软件实现对简单线性回归模型的估计和检验。
第二章主要公式表第三章1、多元线性回归模型是将总体回归函数描述为一个被解释变量与多个解释变量之间线性关系的模型。
通常多元线性回归模型可以用矩阵形式表示。
2、多元线性回归模型中对随机扰动项u的假定，除了零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定以外，还要求满足无多重共线性假定。
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
计量经济学第二章2.6-2,7
正态性的J-B(Jarque-Bera)检验
它是依据OLS残差，对大样本的一种检验方法。 是建立统计量 2
n ( k − 3) JB = [ s 2 + ], 其中n为样本容量，s为偏度， 6 4 K为峰度。 在正态性假设下，JB统计量渐进地服从 自由度为2的χ 2分布。根据样本观测值可计算JB的 值，对于给定的α 可查χ 2分布表得临界值，若计算 的值大于临界值，则拒绝正态分布的零假设，反之 则不能拒绝零假设。 类似的检验还有残差直方图和正态概率图
小结： 小结：双变量线性回归分析的主要步骤
1、建立回归模型 研究某一经济现象，先根据经济理论，选择具有因果关系的两个变 量（Y，X)，建立线性回归模型，确定解释变量和被解释变量。 如果不明 确两个变量是否为线性关系，也可以根据散点图来分析。 建立回归模型可以是根据经济理论，也可以根据相同或相似经济现 象的历史分析经验来建立回归模型。 建立模型时，不仅要考虑理论或经验的依据，同时也要考虑数据的 可利用程度。 2、收集数据，并经过适当的加工整理，得到适于回归分析的样本数据集。 3、估计模型参数。利用样本数据，以OLS得到模型参数的估计值。 4、对回归模型和参数估计值进行检验。 检验回归结果是否正确反映经济现象，是否与理论相符。包括理论 检验和统计检验。 经济理论检验：参数的符号，大小是否与理论和实际相符。若不符， 寻找原因（数据？模型设定？理论错误？） 统计检验：拟和优度检验，估计量、回归方程的显著性检验。
2
总离差（ 的自由度为(n-1)，回归平方和 总离差（TSS)的自由度为 的自由度为 ， 的自由度为1，残差平方和（ （ESS)的自由度为 ，残差平方和（RSS)的自由度为 的自由度为 的自由度为 （n-2)。 。
方差分析（ 方差分析（ANOVA） ）
《计量经济学》各章主要知识点
第一章：绪论1．计量经济学的学科属性、计量经济学与经济学、数学、统计学的关系；2．计量经济研究的四个基本步骤（1）建立模型（依据经济理论建立模型，通过模型识别、格兰杰因果关系检验、协整关系检验建立模型）；（2）估计模型参数（满足基本假设采用最小二乘法，否则采用其他方法：加权最小二乘估计、模型变换、广义差分法等）；（3）模型检验：经济意义检验（普通模型、双对数模型、半对数模型中的经济意义解释，见例1、例2），统计检验（T 检验，拟合优度检验、F 检验，联合检验等）；计量经济学检验（异方差、自相关、多重共线性、在时间序列模型中残差的白噪声检验等）；（4）模型应用。
例1：在模型中，y 某类商品的消费支出，x 收入，P 商品价格，试对模型进行经济意义检验，并解释21,ββ的经济学含义。
t t t P x y 31.0ln 25.0213.0ln -+=∧,其中参数21,ββ都可以通过显著性检验。
经济意义检验可以通过（商品需求与收入正相关、与商品价格负相关）。
商品消费支出关于收入的弹性为0.25（)/ln(25.0)/ln(11-∧-=t t t t x x y y ）；价格增加一个单位，商品消费需求将减少31%。
例2：研究金融发展与贫富差距的关系，认为金融发展先使贫富差距加大（恶化），尔后会使贫富差距降低（好转），成为倒U 型。
贫富差距用GINI 系数表示，金融发展用（贷款余额/存款总额）表示。
回归结果为： 229.164.034.2t t t x x GINI -+=∧，模型参数都可以通过显著性检验。
在x 的有意义的变化范围内，GINI 系数的值总是大于1，细致分析后模型变的毫无意义；同样的模型还有：GINI 系数的值总是为负231.1412.734.13t t t x x GINI -+-=∧。
3．计量经济学中的一些基本概念数据的三种类型：横截面数据、时间序列数据、面板数据；线性模型的概念；模型的解释变量与被解释变量，被解释变量为随机变量（如 果一个变量为随机变量，并与随机扰动项相关，这个变量称为内生变量），被解释变量为内生变量，有些解释变量也为内生变量。
计量经济学重点内容
第一章导论计量经济学定义：计量经济学（Econometrics）是一门应用数学、统计学和经济理论来分析、估计和检验经济现象与理论的科学。
通过使用统计数据和经济模型，计量经济学试图量化经济关系，以更好地理解经济变量之间的相互作用。
研究的问题（相关关系）：计量经济学的目的是研究经济变量之间的关系，例如：1. 消费与收入的关系。
2. 教育与工资的关系。
3. 利率与投资的关系。
第二章 OLS (普通最小二乘法)：OLS 是一种用于估计线性回归模型中未知参数的方法。
它通过最小化误差平方和来找到回归线。
在一元线性回归中，我们通常使用普通最小二乘法（OLS）来估计模型参数。
对于模型 Y = α + βX + ε，我们可以使用以下公式来计算α和β：β= Σ( (X - mean(X)) (Y - mean(Y)) ) / Σ( (X - mean(X))^2 ) α̂ = mean(Y) - β̂ * mean(X)这里，mea n(X) 是 X 变量的平均值（即ΣX/n），mean(Y) 是 Y 变量的平均值（即ΣY/n）。
在这些公式中，mean 表示求平均值。
Σ 表示对所有数据点求和，n 是样本大小。
这里α_hat 是截距的估计值，β_hat 是斜率的估计值。
结论及推论：1. 在高斯马尔可夫假设下，OLS 估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）。
2. 当误差项的方差是常数时，OLS 估计量是有效的。
3. 如果模型是正确规范的，并且误差项是独立且同分布的，那么 OLS 估计量是一致的。
4. 如果误差项与解释变量相关，或者存在遗漏变量，那么 OLS 估计量可能是有偏的。
5. OLS 提供了估计的标准误差、t 统计量和其他统计量，这些可以用于进行假设检验和构建置信区间。
第三章一元回归：(1)总函、样函：总函数和样本函数是线性回归模型的两种表现形式。
总函数（总体函数）表示整体样本的关系，一般形式为Y = β0 + β1X + ε。
计量经济学复习概要2
（说为参考，发现错误，纯属正常，意料之中的事情，嘿嘿……） 1、最小二乘法对随机误差项u 做了哪些假定？说明这些假定条件的意义：（1）E （i u ）=0，i =1,2，……表示在Xi 已知的条件下，随机误差项i u 可以取不同的值，有些大于零，有些小于零，如果考虑所有可能的值，他们的期望值或平均值等于零。
（2）i ar u V （） =2[()]i i E u E u - =E （2i u ）=2u σ，i =1，2，……表示每个Xi 对应的随机误差项i u 具有相同的常数方差，称为同方差性。
（3）i j ov u u C （，） =[()]i i E u E u -[j j u u E -（）]=i j u u E （）=0，i j ≠，i ，j=1,2，……表示任意两个i X 和j X 所对应的随机误差项i j u u ，，称为随机误差项u 无序列相关。
（4）i i ov u C （，X ）=E[i u -E （i u ）][ i X -E （i X ）]= E （i i u X ）=0，表示解释变量X 是确定的变量，与随机相u 不相关，此假定保证解释变量X 是非随机变量。
（5）服从正态分布，由（1）（2）知，i u N （0，σu^2）。
【P9】2、阐述对样本回归模型拟合优度的检验及对回归系数估计值显著性检验的步骤：（1）总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数（2）随机变量u 的方差、回归系数估计值的显著性检验——t 检验：提出原假设H0：β=0，备择假设1H =1β≠0，计算t=11S ββ,给出显著水平α，查自由度v=n-2的t 分布表，得临界值/2t α（n-2）。
做出判断：如果t </2t α（n-2），拒绝H0t >/2t α（n-2），拒绝0H ，接受1H ：1β0≠，表明X 对Y 有显著影响。
对常数项0β∧的显著性检验于此类似。
如果接受0H :0β=0，则常数项0β不应该出现在模型中。
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第二章主要公式资料地址：/jl1、回归模型概述（1）相关分析与回归分析经济变量之间的关系：函数关系、相关关系相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。
相关分析：——总体相关系数XY ρ=——样本相关系数()()nii XY XX Y Y r --=∑——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量 回归分析：相关关系 + 因果关系（2）随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区别。
（3）总体回归模型总体回归曲线：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹。
总体回归函数：(|)()i i E Y X f X =总体回归模型：(|)()i i i i i Y E Y X f X μμ=+=+ 线性总体回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=（4）样本回归模型样本回归曲线：根据样本回归函数得到的被解释变量的轨迹。
（线性）样本回归函数： 01ˆˆˆi i Y X ββ=+ （线性）样本回归模型：01ˆˆˆi i iY X e ββ=++ 2、一元线性回归模型的参数估计（1）基本假设① 解释变量：是确定性变量，不是随机变量var()0i X =② 随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等()01,2,...,i E i n μ==2var()1,2,...,i i n μσ==cov(,)0;,1,2,...,i j i j i j n μμ=≠=③ 随机误差项与解释变量：不相关cov(,)01,2,...,i i X i n μ==④ （针对最大似然法和假设检验）随机误差项：2~(0,)1,2,...,i N i n μσ=⑤ 回归模型正确设定。
【前四条为线性回归模型的古典假设，即高斯假设。
满足古典假设的线性回归模型称为古典线性回归模型。
】 （2）参数的普通最小二乘估计（OLS ） 目标：21minnii e=∑对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=正规方程组：011011ˆˆ2[()]0ˆˆ2[()]0ni i i ni i i i Y X X Y X ββββ==⎧--+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩∑∑ 解得：011112211ˆˆ()()ˆ()n n i i i i i i n ni i i i Y X X X Y Y x y X X x βββ====⎧=-⎪⎪⎪--⎨==⎪⎪-⎪⎩∑∑∑∑（3）最大似然估计（ML ）对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=重要的基本假设：2~(0,)1,2,...,cov(,)0;,1,2,...,var()01,2,...,i i j i N i n i j i j n X i nμσμμ⎧=⎪=≠=⎨⎪==⎩ 得到：201~(,)1,2,...,i i Y N X i n ββσ+=【且cov(,)0;,1,2,...,i j Y Y i j i j n =≠=，这个对最大似然法的估计很重要】则目标：12,,...,n Y Y Y 的联合概率密度最大，即()2012112121ˆˆ()2max (,,...,)()()()1ni i i n n Y X nf Y Y Y f Y f Y f Y eββσ=---=⋅⋅⋅∑=最终结果与OLS 得到的结果相同。
（4）OLS 估计量的性质① 线性性11ˆni i i v Y β==∑，其中21ii nii x v x==∑01ˆni ii wY β==∑，其中1i i w Xv n =- ② 无偏性1111ˆ...n n i i i i i i v Y v ββμ=====+∑∑ → 1111ˆ()()ni i i E v E ββμβ==+=∑ 0011ˆ...nni i i i i i wY w ββμ=====+∑∑ → 0001ˆ()()ni i i E w E ββμβ==+=∑ ③ 有效性2121ˆvar()n ii xσβ==∑，22121ˆvar()nii nii Xnxσβ===∑∑可以证明，OLS 得到的方差最小。
④ 一致性随着样本量的增大，参数的估计量以概率趋向于真值11ˆlim()p ββ=，00ˆlim()p ββ=（5）OLS 回归函数的性质① 样本回归线过样本均值点(,)X Y ，即01ˆˆY X ββ=+ ② 被解释变量估计值的均值等于实际值的均值，即ˆYY = ③ 残差和为零，即10nii e==∑④ 解释变量与残差的乘积之和为零，即10ni ii X e==∑⑤ 解释变量的估计与残差的乘积之和为零，即1ˆ0ni ii Y e==∑（6）随机误差项的估计OLS 估计量（无偏）：2211ˆ2n i i e n σ==-∑ML 估计量（有偏）：2211ˆn i i e n σ==∑ 3、拟合优度检验（1）离差分解总体平方和（or 总离差平方和）()2211nnii i i TSS y Y Y ====-∑∑回归平方和()21ˆni i ESS Y Y ==-∑残差平方和()21ˆni ii RSS Y Y ==-∑有TSS ESS RSS =+（2）决定系数21ESS RSSR TSS TSS==- 【总离差中，能够解释的部分所占的比重】4、统计推断（1）参数估计的分布（T 检验）对于一元线性回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=由正态分布的基本假设和估计量的性质（线性性、无偏性、有效性），参数的估计量有如下性质：2210021ˆ~(,)nii nii XN nxσββ==∑∑，21121ˆ~(,)nii N xσββ=∑000ˆ~(0,1)ˆ()N SE βββ-,其中0ˆ()SE β==111ˆ~(0,1)ˆ()N SE βββ-，其中1ˆ()SE β==由于2σ未知，用2ˆσ代替，则0ˆ()SE β不再为常数。
此时， 统计量1=000ˆˆ()SE βββ-，其中，0ˆβ服从正态分布，(1)ˆ()SE β===−−−说明说明（1）：i e 服从正态分布，则2i e 服从2χ分布，残差平方和的自由度为n-2，故221~(2)nii en χ=-∑用估计量2ˆσ代替以后的统计量1=000ˆˆ()t SE βββ-−−−−→服从分布正态分布分布故：000^ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-同理：111^1ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-（2）区间估计002ˆˆ()t SE αββ∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦，112ˆˆ()t SE αββ∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦ （3）参数的假设检验原假设*011:H ββ=，备择假设*111:H ββ≠ → 双边检验 原假设*011:H ββ≥，备择假设*111:H ββ< → 单边检验 统计量：*111^1ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-临界值（临界水平为α）：2t α → 双边t α → 单边判断规则：如果12t t α>，则拒绝原假设； → 双边如果1t t α>，则拒绝原假设； → 单边【在实际应用中，一般取*10β=；当检验结果为拒绝原假设时，表明该参数显著地不为零，即认为该参数对应的变量具有显著的影响能力。
】（4）结果表达【必须采用规范的表达方式】2ˆ414.0450.515(6.462)(30.773)0.992i iY X R =+=或2414.0450.515(6.462)(30.773)0.992i i iY X R μ=++=5、预测（1）总体均值的点预测（也是个别值的点预测）0010ˆˆˆ(|)i E Y X Y X ββ==+ （2）总体均值(|)i E Y X 的预测置信区间002ˆˆ()Y t SE Y α∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦其中，0ˆ()SE Y ∧=（3）个别值0Y 的预测置信区间002ˆ()Y t SE e α∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦其中，0e = 【由于误差项的存在，个别值的波动更加明显，因此其方差更大。
在实际做题中，如果未特别说明，都是计算均值的置信区间。
】。