通信原理西安电子科技大学黄葆华

通信信号f(t)的能量(消耗在1Ω电阻上)E为
E f 2 (t)dt
其平均功率P为
P f 2 (t) lim 1 T/ 2 f 2 (t)dt T T -T/ 2
2.2 周期信号的频谱分析
思考
为什么要进行频谱分析？
2.2 周期信号的频谱分析
周期信号的三种傅氏级数表示法
1.
f (t) A0 [ An cos 2πnf0t Bn sin 2πnf0t] （2-1）
(3) 零点为1/τ， 2/τ，…，信号90%的能量在第一个零点内。
定义信号的带宽 B=1/τ (4) 信号脉冲在时域中愈宽，则在频域中愈窄，反之亦然。
2． 冲激信号
(t
)
, 0,
t0 t0
且
(t)dt 1
直流信号占功率，频率为零。
3． 升余弦脉冲信号
f
(t)
A 2
1
cos
2
t
0
T0 10
(a)图和(b)图在第一个零点的范围内谱线 有什么不同？
2.3 非周期信号的频谱分析
F ( f ) f (t)e j2 ft dt
f (t) F ( f )e j2 ft df
傅氏变换对
（2-5）
通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。
频谱的物理意义是单位频率占有的振幅值。
n 1
其中
A0
1 T0
T0 2 f (t)dt 是周期信号f(t)的平均值（直流分量）
T0 2
An
2 T0
T0 T0
2 2
f
(t) cos 2πnf0tdt
是周期信号f(t)的第n次余弦波的振幅
Bn
2 T0
T0 2 f (t) sin 2πnf0tdt 是周期信号f(t)的第n次正弦波的振幅；
3． 时域卷积定理
F 1[F1 ( f ) F2 ( f )] f1 (t ) f 2 (t ) （2-7）
（2-7）式称为时域卷积定理。 物理意义：两个频谱函数乘积所对应的时间函数，等 于两个频谱函数各自对应的时间函数的卷积。
4． 时域卷积定理的应用 常用于信号通过线性系统
频域： R(f )=X(f )·H(f )
通信中常用信号的频谱函数 1. 矩形脉冲信号
f
(t)
A
0
t
22 其它
由（2-5）式可求得其频谱为：
F ( f ) f (t)e j2 ft dt / 2 Ae j2 ft dt
/ 2
A
sin( f f
)
A
Sa
(
f
)
B
图2-2 单个矩形脉冲波形及其频谱 (1) 频谱连续； (2) 频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大， 等于矩形脉冲的面积；
2． 频率卷积定理的应用 设调制信号为x(t)，载波为c(t),
则 xc (t) x(t) c(t)
求 xc (t) 的频谱
例2.1 当载波c(t)=cos2πf 0t时，求 xc (t) 的频谱。
图2-3 载波c(t)=cos2πf 0t时的频谱 分析：基带调制信号在时域中乘以余弦信号，在频域中 则进行了频谱的搬移。
2
Ae j2 nf0t dt
2
2 T0
2 0
A
cos
2
nf0tdt
A
T0
sin( 2 nf0
2
2 nf0
)
A
T0
sin( n
T0
n
)
2
T0
A
T0
n
Sa ( T0 )
f
(t)
A
T0
n
Sa
n
T0
e j2πnf0t
Sa(x) sin x 称为取样函数。
x
第一个零点 的位置
T0 5
讨论
输出信号的频谱
线性系统的传输特性
则 r(t) F 1[ X ( f ) H ( f )] F 1[ X ( f )]* F 1[H ( f )] x(t) * h(t)
冲激响应 结论：当输入为冲激函数时，输出信号为h(t)，即为
系统的冲激响应。
2.5 波形相关
2.5.1 相关函数
t
2 其它
其频谱为： F ( f ) f (t)e j2 ft dt
A / 2 (1 cos 2 t)e j2 ft dt
2 / 2
A
2
Sa (
f)
1
1
f 2 2
(1) 频谱在f=0处有最大幅度值Aτ/2，此值等于升余弦脉冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±2, ±3, …)处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/τ，升余弦脉冲的频谱宽度为矩形 脉冲的2倍（τ相同时），在第一个零n
式（2-2）的物理含义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直
流分量C0及无穷多个频率为nf0的余弦波。
3. 指数函数表示式
数学表示式
f (t) Vne j2πnf0t n
其中
Vn
1 T0
T0 2 f (t)e j2πnf0t dt
T0 2
（2-3）
注意：由上述三种表示式可以看出周期信号的频谱是离散的。
T0 2
f0
1 T0
称为周期信号的基波频率。
式（2-1）的物理含义：一个周期信号是由直流成分和无穷多个
频率为nf0幅度分别为An、Bn的余弦波和正弦波组成的。
2. 余弦函数表示式
f (t) C0 Cn cos(2πnf0t n ) n 1
（2-2）
其中 C0=A0
Cn An 2 Bn 2
周期矩形脉冲信号的频谱分析
一个典型的周期矩形脉冲信号f(t)的波形如图2-1所示，脉 冲宽度为τ，高度为A，周期为T0。
图2-1 周期矩形脉冲
f
(t)
A,
0,
kT0 2 t kT0 2
其它
把式(2-4)展开成指数函数表示的傅氏级数：
（2-4）
Vn
1 T0
T0
2 T0
2
f (t)e j2 nf0t dt 1 T0
第二章 确知信号分析
➢ 信号的分类 ➢ 周期信号及非周期信号的频谱分析 ➢ 时域卷积定理及频率卷积定理 ➢ 波形相关 ➢ 谱密度和帕塞瓦尔定理 ➢ 信号的带宽
2.1 常用信号的分类
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
能量信号: E为有限值 功率信号：P为有限值
思考： 周期信号是什么信号？非周期信号呢？
(4) 升余弦的频谱幅度随f衰减的更快。
2.4 时域及频率卷积定理及其应用
1． 频率卷积定理
已知： f1(t) F1( f ) , f2 (t) F2 ( f )
则 F [ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( f ) F2 ( f )
（2-6）
（2-6）式称为频率卷积定理。
结论：两个时域信号乘积的频谱，等于两个时域信号频谱的卷积。