第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4．2.3 直线与圆的方程的应用学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.类型一 直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？解 建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2.解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，所以该船可以从桥下通过．反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．类型二坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明 以AB 所在直线为x 轴， O 为坐标原点， 建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB |＝2r ，D (a,0)，则|CD |＝r 2－a 2， ∴C (a ，r 2－a 2)，∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2， 圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2.两方程作差得直线EF 的方程为 2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2.令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H (a ，12r 2－a 2)，即H 为CD 中点，∴EF 平分CD .反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．②通过代数运算，解决代数问题．③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论． (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴． ②常选特殊点作为直角坐标系的原点． ③尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．跟踪训练2 如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．类型三直线与圆位置关系的应用例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)．已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在直线方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d＝|－6|12＋22＝65>2.所以直线x ＋2y －6＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．反思与感悟 针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．跟踪训练3 设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？解 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设A 、B 两人的速度分别为3v km /h ，v km/h ， 设A 出发a h ，在P 处改变方向， 又经过b h 到达相遇点Q ， 则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v . 在Rt △OPQ 中，|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2得5a ＝4b . k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0，∴k PQ ＝－34.设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋m ，由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切， 得|－4m |42＋32＝3，解得m ＝154，故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km 处.1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m答案 B解析 如图，圆半径|OA |＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB |＝0.8， 所以弦心距|OB |＝3.62－0.82≈3.5(m)．2．据气象台预报：在A 城正东方300 km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．从现在起经过约________h ，台风将影响A 城，持续时间约为________h(结果精确到0.1 h)． 答案 2.0 6.6解析 以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是y ＝－x ，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x －a )2＋(y ＋a )2＝2502. 依题意有(－300－a )2＋a 2≤2502， 解得－150－2514≤a ≤－150＋2514， ∴t 1＝2|a 1|40＝2|－150＋2514|40≈2.0， Δt ＝2|a 2－a 1|40＝2×501440≈6.6，∴从现在起经过约2.0 h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6 h.3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x －y ＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________． 答案722－2 解析 由圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0距离为|2＋3＋2|2＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2.4．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 答案 m <－ 2解析 如图，A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}表示直线x －y ＋m ＝0及其右下方区域，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m |2>1，故m <－ 2.1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．一、选择题1．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ＝－ 2 B ．k ∈(－2，2) C ．k ∈[－1,1) D ．k ＝2或－1≤k <1答案 D解析 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝ 2.2．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( ) A.π4 B.3π4 C.3π2 D ．π 答案 D解析 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3.如图所示，A 、B 是直线l 上的两点，且AB ＝2，两个半径相等的动圆分别与l 相切于点A ，B ，C 是两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成的图形面积S 的取值范围是( )A ．(0,2－π2]B ．(0,2－π2)C ．(0，π2]D ．(0，π－2]答案 A解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S 取得最大值，此时ABO 2O 1为矩形，且S max ＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2.4．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.5．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，43]B ．[0，43)C ．[0，43]D ．[0,2]答案 C解析 首先集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)， 由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2， 即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式： (a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零， 即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.6.如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，该圆运动的时间为()A ．6 sB ．6 s 或16 sC ．16 sD ．8 s 或16 s答案 B解析 当圆与直线l 相切时， 圆心坐标为(0，m )， 则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋(43)2＝32， 得m ＝－32或m ＝－132，∴该圆运动的时间为32－(－32)0.5＝6 s或32－(－132)0.5＝16 s.二、填空题7．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________． 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 答案254解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5、52，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.9．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________________． 答案 (－3,32]解析 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3<b≤32时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________________．答案x＋y－2＝0解析由题意知点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程得y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.三、解答题11.如图所示，已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|.又R是弦AB的中点，所以在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)．又|AR|＝|PR|＝(x－4)2＋y2，所以有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)，即x2＋y2－4x－10＝0.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动．设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋02，代入方程x 2＋y 2－4x －10＝0， 得(x ＋42)2＋(y 2)2－4×x ＋42－10＝0， 整理得x 2＋y 2＝56，此即为所求顶点Q 的轨迹方程．12.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y 30＝1， 即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)． 答 外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.。