第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4．2.3 直线与圆的方程的应用

学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．

知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论

.

类型一 直线与圆的方程的应用

例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？

解 建立如图所示的坐标系．

依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

于是有⎩⎪⎨⎪

⎧

(a ＋10)2＋b 2＝r 2，

(a －10)2

＋b 2

＝r 2

，

a 2

＋(b －4)2

＝r 2

.

解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是

x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．

把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.

由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，

所以该船可以从桥下通过．

反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤：

(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；

(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；

(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；

(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．

跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．

答案251

解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，

建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦

的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴

圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0

＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．

类型二坐标法证明几何问题

例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.

证明 以AB 所在直线为x 轴， O 为坐标原点， 建立平面直角坐标系，

如图所示，设|AB |＝2r ，D (a,0)，

则|CD |＝r 2－a 2， ∴C (a ，

r 2－a 2)，

∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2， 圆C ：(x －a )2＋(y －

r 2－a 2)2＝r 2－a 2.

两方程作差得直线EF 的方程为 2ax ＋2

r 2－a 2y ＝r 2＋a 2.

令x ＝a ，得y ＝

1

2r 2－a 2，

∴H (a ，

1

2

r 2－a 2)，即H 为CD 中点，

∴EF 平分CD .

反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：

①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．

②通过代数运算，解决代数问题．

③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论． (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴． ②常选特殊点作为直角坐标系的原点． ③尽量使已知点位于坐标轴上．

建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．

跟踪训练2 如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．

证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．

设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．

|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2

＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2

＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．

类型三直线与圆位置关系的应用

例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)．已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，

所以轮船航线所在直线方程为x

6＋

y

3＝1，

即x＋2y－6＝0，

台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.

由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离

d＝|－6|

12＋22

＝

6

5

>2.