离散元_边界元动力耦合模型
有限元与离散元
有限元与离散元目前世界上结构计算方法一般分为有限元（FEM finite element method）、离散元（DEM discrete element method）、还有边界元(EEM)。
有兴趣的朋友可以google以下，还是很有意思的。
有限元就是把计算的物体看成均匀单一材质，成为一整体，然后划分细小网格；离散元就是按照物体本身实际物理模型，比如散沙、谷物、还有我研究的道碴，按照物理实体本身划分单元利用牛二定律进行计算道碴是散体，先前计算道碴变形都是利用有限元方法，但是由于道碴变形主要是道碴破裂，所以有限元不能更好的反映道碴变形；同时有限元计算中不能允许大位移，这样就不连续了，但是道碴是有孔隙，在机车荷载作用下能移动、错位。
但是有限元软件也并非对我研究毫无用处：目前研究道碴受力断裂，其中有2个难题，第一是如何最大限度的仿真道碴形状，因为道碴形状是影响受力重要原因，所以从道碴颗粒形状从二维发展到近期三维；形状从单一球形颗粒发展到球体组合，也有几个国家利用激光三维成像扫描，将道碴颗粒形状完全导入计算机中，然后获取形状参数，进而导入计算软件，科学还是美国人搞的深入，他们面临的问题是，形状太复杂了，计算太耗时；另一个就是道碴颗粒在他们离散元软件中是不可变形体，即道碴颗粒单元不能模拟破裂。
第二问题就是微观上断裂的模拟，英国利用PFC3D，将几个球体捆绑起来，利用模拟捆绑的bond破裂模拟道碴破裂。
我目前采用的思路是：利用离散元软件，采用可变形体单元进行计算，但是这个软件建立模型，生成单元手段比较单一，说白一点，人家比较笨，其实不怪人家笨，主要人家主要不是干这个的，人家主要计算岩石、地层、边坡的，正所谓术业有专攻。
但是有限元软件，比如我学习过的ANSYS有比较出色的建模特点，所以一条路就是利用有限元建立道碴颗粒模型导入离散元软件由ANSYS到3DEC ，下面的工作就是要做这个工作，欣喜与期待希望以后一切顺利！科学上给我人生感悟就是天下事合久必分、分久必合就像土木，经过长期发展以后建筑学、城市规划等等就从里面分家独立过日子了，但是永远是一个整体，所以出色设计师，从整体入手，整体与局部，辩证统一有限元与离散元也是，离散元从有限元发展而来，开始看来越来越远，但是某个时刻，还能重新走到一起合作！。
有限差分法、边界元法和离散元法
有限差分法已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。
但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。
作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。
在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。
它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。
相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。
随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。
但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。
这是有限单元法的不足之处。
边界元法边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。
离散元_边界元动力耦合模型
2001年1月水 利 学 报SHU IL I XU EBAO 第1期收稿日期:1999212227基金项目:“九五”国家攻关项目.作者简介:金峰(1966-),男,贵州遵义人,教授、博士生导师,主要从事结构动力分析研究.文章编号:055929350(2001)0120023205离散元2边界元动力耦合模型金 峰1,贾伟伟1,王光纶1(11清华大学水利水电工程系,北京 100084)摘 要:本文提出了一种二维变形体离散元与时域边界元的耦合模型,这一模型可以将非连续体的模拟与无限域的模拟统一在一个模型中,可用于在地震波动输入条件下,考虑辐射阻尼的岩体边坡或地下结构等的动力稳定和变形分析,拓宽了离散元动力分析的领域.算例分析表明本耦合分析模型具有较高的精度.关键词:离散元;边界元;耦合中图分类号:O344 文献标识码:A离散元法是一种模拟离散介质的计算方法,自Cundall 在70年代提出以来,在岩石力学、土力学、结构分析等领域的数值模拟中得到广泛应用,是一种新兴的非连续体分析方法[1,2,3].在动力分析中,许多分析均表明辐射阻尼对分析结果影响很大,应该充分重视[4],动力边界元方法由于在其基本解中包含了无限远处的辐射条件,在处理辐射阻尼的影响时十分方便,是分析地下结构动力响应的一种有力的工具[5].动力边界元法可以分为频域边界元法[5]与时域边界元法[6,7],前者主要适用于线性问题.是发展较早、相对成熟的动力边界元方法.时域边界元方法直接在时域内求解,适合解决非线性问题,根据求解的问题具有非线性的特点,本文选择动力时域边界元方法与可变形体离散元耦合,提出了一个二维时域动力边界元———可变形体离散元耦合模型,充分发挥离散元与边界元的优点,将非连续体的模拟与无限介质辐射阻尼的模拟统一到一个模型中,为地下结构和岩质边坡的抗震稳定分析提供了全新的手段.1 离散元2边界元耦合模型图1 离散体系示意111 二维可变形体离散元原理 可变形体离散元法将模拟的计算区域看作是若干可变形块体的组合,见图1.这些块体可以任意平移、旋转,块体之间的相互作用力,用法向和切向弹簧表示,称为接触,接触力的大小由块体的相对位置决定.每个块体又划分为三角形差分网格以模拟变形,每个差分三角形的顶点称为节点,其应变假定为常数,可以由节点的位置确定.因为一旦节点位置确定,便可以得到差分三角形乃至整个块体的变形和应力,从而得到所有的响应历程,因此,所有的计算将围绕节点进行,边界条件也可以通过给定边界节点位移或节点力来实现.离散元计算采用显式步进的方法,首先将计算的过程分为若干等长的时步,静力分析作为动力分—32—析的特例,可以采用临界阻尼以增加收敛速度,此时静力分析的时步不具有真实的物理意义,可看作迭代步.在每一时步内,对所有块体的所有节点分别进行循环计算,每一节点循环计算的主要步骤为:(1)根据上一循环的结果或边界条件,确定本时步初节点的位置和速度等运动量.(2)根据本节点与相邻节点的位置可确定差分网格的应变,根据本构关系求出应力,再积分得到本节点所受弹性力.若为块体边界上的节点,可根据相邻块体的位置确定接触力,从而得到本节点在本时步所受合力的F ′.以上具体公式和算法可参见文献[1,2,3].(3)由牛顿第二定律或动力平衡方程m ¨u +αm u =F ′+m g(1)式中:F ′是接触力F c 、弹性力F e 与刚度阻尼力F d =β(F c +F e )之和;am u 代表质量阻尼力;α、β是Rayleigh 阻尼系数;g 代表重力加速度,最后一项表示重力的影响.由式(1)通过中心差分,可得到本时步(第i 时步)的速度u i = u i -1(1-015αΔt )+F ′m+g Δt (1+015αΔt )(2)进而可以得到本时步末本节点的位置.返回第(1)步,继续下一轮循环计算,最终求得所有时刻所有节点的解.由于任意块体间在运动过程中都有发生各种接触的可能,在计算中需要对所有的块体之间进行接触判断并计算接触力,这是一项十分耗时的工作,也是离散元法的关键技术之一,为减少计算工作量,针对岩体中构造面的特点,已有一些较好的算法,如Cundall 提出的域算法,充分利用生成离散块体时的信息,将接触检索局限于初始顶点构成的域中,特别适合于由构造面切割形成的离散块体系统,由于篇幅所限,在此不能详细介绍,请参阅有关文献[1]和[2].112 二维时域边界元基本原理 二维全平面时域动力边界元方程[6,7,8]c αβu β(S ,t )=∫t 0∫Γu 3αβp β(Q ,τ)-p 3αβu β(Q ,τ)d Γd τ+u I β(3)式中:u 3αβ,p 3αβ为二维全平面时域动力基本解,其具体的表达式可参见文献[6]和[8];u ,p 分别表示位移与面力;u I 表示从无限远处入射的位移场;S ,Q 分别表示源点及场点.α,β=1,2,同时对时间、空间进行离散,可以得到时域边界元方程可写作[6,7,8]:[H ]L {u}0=[G ]0{p}L +{B }L (4)式中:{u}L 、{p}L 分别是L 时刻的位移与面力分量,{B }L =∑L -1l =1[G ]L -l {p}l -[ H ]L -l {u}l +{u I }L (5)式中:[H ]l 、[G ]l 、(l =1,L )共2L 个矩阵均为系数矩阵,他们可由各边界单元的子矩阵集成而得,具体表达式可参见文献[6]和[8].由于{u}l 、{p}l (l =1,2,…,L -1)是1,2,…,L -1时刻的量,在求解L 时刻时{B }L 为已知量,而在{u}L ,{p}L 中有N (总的自由度数)个值已知,另N 个值未知,因此可解此方程组,可求得L 时刻的N 个未知量,依此类推,即可求得全部时程的历程反应.图2 离散元-边界元耦合模型113 耦合模型的实现 为了实现时域边界元和离散元的耦合,必须解决以下问题:(1)离散元模拟的离散体与边界元分析的连续体实现耦合;(2)求解方式的统一是实现耦合的关键;(3)离散元计算时步与边界元计算时步的协调及离散元节点与边界元单元节点的对应可以进一步提高耦合计算的效率.下面,分别介绍解决的方法.(1)首先,将计算区域划分为两个区域,见图2,即主要考虑无限域辐射阻尼和地震输入的连续体区域,称为边界元域,用时域边界元(B EM )模拟,其模拟的重点是无限域,地表水平自由边界在离散一段距离后截断,经过—42—收敛计算证明可以很好地模拟远域的影响[8].另一区域,称为离散元域,用离散元(DEM)模拟,模拟的重点是离散体.在远域与近域之间设立一个界面块(Interface Block),它是一个完整的可变形离散块体,可进一步划分为三角差分网格,本身是连续的,差分节点同时也可以是边界元节点,边界元与离散元的耦合完全在过渡块上进行,这样,就避免了一个边界元节点可能与两个块体相连而造成的非连续问题.(2)在求解方式上,将整个边界元区域看成是一个离散元法的块体,离散元法计算的核心是根据位置、位移、速度等运动量求作用力,为此,改写边界元方程(4),可以得到{F I}L=[R][G]0-1[H]0{u}L-{B}L(6)式中:[R]是将面力{p}L转换成作用力的转换矩阵.这样,只要知道过渡块中与边界元相接的节点的位移,就可以根据式(6)求出边界元区域作用在这些节点的作用力,进而用式(2)计算节点速度、位移,从而完成一次循环,实现了两种模型的耦合.(3)为了保证计算效率和计算稳定性,时域边界元方法的计算时步不能太小,通常为离散元方法计算时步的几十到上百倍.为解决这一难题,我们采用了异步计算的办法.设离散元法的时步为Δτ,则取时域边界元法的时步Δt=K1K2Δτ,即将每个边界元时步划分为K1个小时步,每个小时步由K2个离散元时步组成,并认为一个小时步内边界元域的作用力不变,既每K2个离散元时步才调用一次式(6)更新作用力.在一个边界元时步内,式(6)的各系数[G]L,[H]L,{B}L皆保持不变,{u}L将不断按下式更新:{u}L={u}L-1+{u}k-{u}L-1K1k (k=1,2,…,K1)(7)式中:{u}k是第k个小时步中第一个离散元时步初的节点位移.当一个边界元时步结束后,式(6)中的面力向量也相应按下式更新{p}L=∑K1k=1[R]-1{F I}kK1(6)进而更新{B},再进行下一个边界元时步的计算.为保证计算效率,边界元的节点通常要大大少于耦合边界上离散元的节点,我们采用一个边界单元对应若干离散元节点的办法,一个边界元内相互作用面力按线性分布,再根据力和力矩的平衡,分别计算分配给每个离散元节点的相互作用力{F I}.这样,通过空间和时间的异步,大大提高了计算效率和改善计算稳定性,从而实现了时域边界元方法和离散元方法的耦合.2 模型验证为验证耦合模型的精度,列出以下两个算例,其他算例可见文献[9].211 岩柱算例 如图3所示的一个岩柱,分为离散元块体模拟的4个岩块和一个边界元区域模拟的顶部岩块,最下一个离散岩块固定,在边界元岩块最上的边界作用单位阶跃荷载110MPa,岩块的弹模E=30GPa,密度ρ=2000kg/m3,阻尼比ξ=011,K n=K s=1011N/m,f=1118,c=0.由于在计算条件下,所有构造面保持完整接触,能保证岩柱的连续性,所以可同时采用时域边界元法对整个岩柱按连续体进行分析.图4为岩柱上各点的位移响应及其与时域边界元法的计算结果对比,在整个计算时间内,两者吻合很好.这一算例显示了当离散块体紧密结合成一个连续体时,耦合模型能够与连续体模型分析结果吻合,并可清楚地看到波动在岩柱中的传播过程,波动能够准确地在边界元区域与离散元区域之间和离散块体之间传播,从一个侧面证实了耦合模型及软件的正确性.—52—图3 岩柱示意图4 耦合模型与时域边界元模型的比较图5 所示的半平面上的离散块体212 半平面的离散块受入射波作用 为进一步验证耦合模型在处理波入射动力问题的计算精度,首先计算了如图5所示的半平面上的离散块体在竖直向上的SV 波入射情况下的响应,离散元域除界面块外仅有一个块体,并且假定离散块体之间的摩擦系数与抗拉强度足够大以保证他们之间不会滑动,边界元域共采用了26个单元,单元长度均为10m ,其中6个单元与界面块体接触,在SV 波入射下的位移历程见图6.图6 输入的位移历程图7 两种方法计算A 点水平位移的比较 图7示出了A 点的水平位移响应与完全采用时域边界元方法计算结果进行的比较.两种方法计算结果的对比再次说明耦合模型具有较高的精度,同时说明了耦合模型能够模拟波动从无限远入射并正确输入到离散元域.其他证明耦合模型能够模拟离散块体的开合等大变形行为的算例,因为篇幅所限和耦合模型与普通离散元模型在这些方面并无本质区别,所以不再列出,可以参考文献[9].致 谢 本文得到国家电力公司成都勘测设计研究院肖白云和王仁坤两位总工的支持和帮助,清华大学水利水电工程系张楚汉教授和徐艳杰博士也给予了大量的帮助,在此一并表示感谢.参 考 文 献:[1] Cundall PA ,Hart RD.Development of G eneralized 22D and 32D Distinct Element Programs for Modelling Joint 2ed Rock [R ].ITASCA Consulting Group ,Misc.Paper SL 28521,1985.[2] 鲁军,张楚汉,王光纶,金峰.岩体动静力稳定分析的三维离散单元法[J ].清华大学学报,1996,(10).[3] Zhang Chuhan ,et al.Application of distinct element method in dynamic analysis of high rock slopes and blockystructures.[J ]S oil Dyn.Earthq.Eng.1997,(12).[4] 张楚汉.结构-地基动力相互作用问题[C].结构与介质相互作用理论及其应用.南京:河海大学出版社,1993.[5] Niwa Y ,K obayashi S ,Azuma N.Application of Integral Equation Method to S ome G eomechanical Problems[C].Numerical Method in G eomechanics ,120-131,ASCE ,New Y ork ,1976.—62—[6] Mansur WJ,Brebbia CA.Topics in Boundary Element Research[C].Chap.4,Springer2Verlag World Pub2lishing Company,87-123,1985.[7] 金峰,张楚汉,王光纶.有阻尼的时域边界元方法[J].力学学报,1997,29(15).[8] 任允涛.各向同性与各向异性介质波动问题边界元法及其工程应用[D].北京:清华大学,1996年.[9] 贾伟伟.离散元-边界元动力耦合模型研究及其工程应用[D].北京:清华大学,1999年.Coupling model of distinct element2bound ary elementJ IN Feng1,J IA Wei2wei1,WAN G Guang2lun1(11Tsi nghua U niversity,Beiji ng 100084,Chi na)Abstract:A22D dynamic model coupling the deformation block distinct element method with boundary element method in time domain is established.The model simulates the static and dy2 namic responses of discontinuous rock and the effects of infinite domain simultaneously.It can be used to analyze the static and dynamic stability,deformation of rocky slopes as well as the under2 ground structures,especially when wave propagation input of earthquake and radiation damping must be taken into acciunt.The results of bench mark problems show shows that the precision of this method is high.K ey w ords:distinct element method;boundary element method;coupling model——72。
混凝土结构多物理场耦合分析方法研究
混凝土结构多物理场耦合分析方法研究一、研究背景混凝土结构是现代建筑中常用的结构材料之一，具有强度高、耐久性好、施工方便等优点。
然而，在实际使用中，混凝土结构会受到多种物理场的作用，如荷载、温度、湿度等，这些物理场的作用会相互耦合，影响混凝土结构的安全性和使用寿命。
因此，混凝土结构多物理场耦合分析方法的研究具有重要的理论和实践意义。
二、研究现状目前，混凝土结构的多物理场耦合分析方法主要包括有限元方法、边界元方法、离散元方法等。
其中，有限元方法是最常用的一种方法，它可以将混凝土结构分为有限个小单元进行分析，建立数学模型，求解各个物理场的相互作用，得到混凝土结构的应力、应变等参数。
边界元方法则是将混凝土结构的边界分为有限个小区域进行分析，求解边界上的物理量，然后利用边界条件得到混凝土结构的应力、应变等参数。
离散元方法则是将混凝土结构分为有限个小颗粒进行分析，求解颗粒间的相互作用，得到混凝土结构的应力、应变等参数。
三、研究内容本研究旨在探讨混凝土结构多物理场耦合分析方法的研究，具体研究内容如下：1.建立混凝土结构多物理场耦合分析的数学模型。
根据混凝土结构受到的物理场和相互作用关系，建立相应的数学模型，包括有限元模型、边界元模型、离散元模型等。
2.求解混凝土结构的应力、应变等参数。
利用数学模型，求解混凝土结构在荷载、温度、湿度等物理场作用下的应力、应变等参数，分析混凝土结构的变形、破坏等情况。
3.分析不同物理场的相互作用对混凝土结构的影响。
研究不同物理场的相互作用对混凝土结构的影响，如荷载和温度、湿度和荷载等因素的相互作用，分析不同情况下混凝土结构的稳定性、安全性等参数。
4.优化混凝土结构设计和维护方案。
根据研究结果，对混凝土结构的设计和维护方案进行优化，提高混凝土结构的耐久性和安全性。
四、研究方法本研究采用有限元方法和边界元方法相结合的方法，建立混凝土结构多物理场耦合分析的数学模型，求解混凝土结构的应力、应变等参数，并分析不同物理场的相互作用对混凝土结构的影响。
离散元接触模型
离散元接触模型
离散元接触模型（Discrete Element Method, DEM）是一种用于模拟颗粒或离散物体之间相互作用的计算方法。
它广泛应用于颗粒物理学、土力学、岩石力学、颗粒流动等领域。
在离散元接触模型中，物体被建模为离散的颗粒，每个颗粒都有自己的位置、速度、质量和形状等属性。
颗粒之间通过接触来传递力和能量。
接触力可以通过多种模型来描述，如弹簧-阻尼模型、弹塑性模型等。
接触力的大小和方向取决于颗粒之间的相对位置、速度和形状等因素。
离散元接触模型的基本步骤包括：
1. 颗粒生成：根据实际情况或随机方式生成颗粒，并为每个颗粒分配初始位置、速度和形状等属性。
2. 接触检测：对于每对颗粒，检测它们是否接触。
可以使用简单的几何判据（如球体之间的距离）或更复杂的算法（如快速多极子算法）来进行接触检测。
3. 接触力计算：对于接触的颗粒对，计算它们之间的接触力。
根据所选的接触模型，考虑颗粒之间的相对位置、速度和形状等因素来计算接触力。
4. 运动更新：根据接触力和其他外部力（如重力）计算颗粒的加速度，并更新颗粒的位置和速度。
5. 时间步进：重复执行步骤2至4，进行多个时间步的模拟，以模拟颗粒系统的动态行为。
离散元接触模型的优点是能够模拟颗粒之间的复杂相互作用，如碰撞、摩擦、断裂等。
它可以用于研究颗粒的运
动、堆积、流动等行为，以及颗粒系统的力学性质。
然而，离散元接触模型也存在一些挑战，如计算复杂度高、模型参数选择和验证等问题。
计算流体力学-离散单元法
计算流体力学-离散单元法计算流体力学-离散单元法（Computational Fluid Dynamics - Discrete Element Method）是一种用于解决离散流体力学问题的数值方法。
它是以构造有限元模型为基础的，将流体物理过程划分为若干节点或小单元，以及小单元之间的相互作用，从而计算出流体的局部分布和运动情况。
因为离散元法采用有限元技术，模型计算出来的数据不受场地尺寸、复杂曲面及网格影响，可以计算复杂场景。
离散元法以描述每个小单元的力作为基础，而不是以一维、二维和三维网格结构为基础;每一个单元都只能表示某个区域或某个物体表面上的一小部分。
因此，离散元可以有效地描述曲面结构，并在表面上提供更精细的计算。
离散元法还使用了一种新的“动态颗粒”的概念，用以描述流体的运动情况。
这意味着，即使在实时环境中，也可以以更高的精度模拟流体性能，而不会遭受时间延迟和数据损失的影响。
此外，离散元法能够很好地模拟流体运动的连续性，因为它能够精确地描述每个细胞的力学行为，包括粘度、密度和压力的变化等，从而构建出一个连续的流体物理模型。
离散元法也有其局限性，如：1. 由于它是基于有限单元的，这意味着一些复杂的流场的表示可能不够精确；2. 对于较大的场地尺寸，模型中的单元会非常多，因此计算量会很大，需要占用较多的计算资源;3. 由于它模拟连续物理模型，它计算出来的结果可能过度准确，可能会影响到模型的表现，因此需要进行参数调整来获得合适的结果。
总而言之，计算流体力学-离散单元法是一种十分常用的数值分析方法，它由于采用有限元技术，模型计算出来的数据不受场地尺寸、复杂曲面及网格影响，可以计算复杂场景，故用于流体力学分析中非常有用。
离散元基本理论
颗粒离散元基本理论1 运动方程1.1 平动方程()g F F V i k j ij d ij c i ij m t m i ++=∑=1,,d d （1） 式中，i m 与i V 分别为颗粒i 的质量和速度，t 为时间，g i m 为颗粒i 的重力，ij c ,F 与ij d ,F 分别为颗粒i 与j 的接触力与粘性接触阻尼力，i k 为所有与颗粒i 接触的颗粒总数。
颗粒i 与j 间的接触力法向与切向接触力组成，即ij ct ij cn ij c ,,,F F F += （2）同理，粘性接触阻尼力也可表示为法向与切向分量形式，即ij dt ij dn ij d ,,,F F F += （3）1.2 转动方程颗粒间的接触力作用在颗粒i 与j 的接触点上，而不是作用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力ij cn ,F 外）将会对颗粒i 产生力矩i T()ij dt ij ct i i ,,F F R T +⨯= （4）式中，i R 为从颗粒i 质心指向接触点的矢量，其幅值为i R （颗粒i 的半径）。
转动方程可写为∑==i k j i i i t I 1d d T ω （5） 式中，i I 与i ω分别为颗粒i 的转动惯量与角速度，其中252i i i R m I =。
2 接触力计算模型关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法[1,2]。
Thornton [3-7]等采用前人对球体接触力学中的法-切向作用理论，包括考虑表面粘连（adhesion ）和接触区有局部塑性变形的情形。
对无粘连球颗粒，采用Hertz 理论描述法向作用，而采用Mindlin 与Deresiewicz 理论[8]描述切向作用。
对粘连球颗粒，法向接触力根据在Hertz 理论基础上考虑粘连力的JKR （Johnson-Kendall-Roberts ）理论[9]确定，切向接触力增量则根据把Savkoor 和Briggs 理论与Mindlin 和Deresiewicz 理论[10]相结合形成的Thornton 理论确定。
水力压裂理论模型及数值计算方法综述
Crouch[18-19] 最早提出了位移不连续法并用于处理
裂缝壁面间的不连续位移场问题。Dontsov 等 [20-21] 以 边界元方法为基础建立了改进的拟三维模型。Chen 等 [22] 针对边界元法求解拟三维水力压裂模型效率不 高的问题，提出了一种基于 Runge-Kutta-Legendre 方 法的显式时间步长算法。Adachi[23] 利用其提出的拟三 维模型，研究在两个对称应力边界上的水力裂缝的扩 展高度。
水力压裂数值模型的研究工作已经取得了长足的 进步，从二维模型发展到现今的全三维模型甚至真三 维模型，从过去边界元占主导地位的情形发展到现今 边界元方法和有限元方法共同主导的情形。边界元 法 [2] 只在定义域的边界划分单元，因而计算模型单元 个数少，数据准备简单，在处理中小规模问题时求解 效率高。离散元法 [3] 将研究对象离散为刚性块体（或 颗粒）的集合，块体间不必满足连续性条件，在处理 多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。随着 计算机和计算数学的快速发展，传统有限元法 [4] 及其 衍生的扩展有限元法 [5] 在模拟非均质岩石中裂缝的扩 展方面具有极大优势，目前已成为水力压裂数值计算 方法的强大工具。
在处理不连续界面问题时，边界元法的精度较高， 且能够将问题进行降维处理，在水力压裂研究中得到 了广泛应用。边界元法的不足之处在于它需要利用问 题的已知解析解求解，仅适于线性、均质问题求解， 并且它产生的系统方程的系数矩阵为满阵，限制了处 理问题的规模。 2.4 离散元法（DEM）
离 散 元 法 的 概 念 最 早 由 Cundall[24] 于 20 世 纪 70 年代提出，是基于非连续介质力学的数值计算方法。 其主要思想是把研究对象离散为刚性块体 ( 或颗粒 ) 的集合，使每个块体满足牛顿第二定律，各刚性块体 之间通过接触连接以描述运动及相互作用，并且在各 不连续单元之间形成的通道内允许流体流动。由于离 散元法形成的块体间不必满足连续性条件，因此在处 理多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。
有限差分法、变分法、离散元法、边界元法及有限元法
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(2021年整理)固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1）什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史［2］ (4)二、边界元法［5] (5)1）概述 (5)2)基本解 (5)3)拉普拉斯(Laplace）积分方程 (6)4）拉普拉斯（Laplace)边界积分方程 (7)5）拉普拉斯(Laplace）积分方程离散化与解法 (7)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (9)三、结束语 (9)参考文献 (10)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础,同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
离散元原理及应用
离散元原理及应用离散元（Discrete Element Method，DEM）是一种基于颗粒间相互作用力的数值模拟方法，用于研究颗粒体系的力学行为。
离散元原理是以颗粒为基本单元，通过模拟颗粒之间的相互作用力，来揭示颗粒体系的宏观力学行为，以及颗粒体系的微观行为。
离散元原理的核心思想是将连续体离散化，将颗粒看作是离散的个体，通过颗粒之间的相互作用来模拟颗粒体系的宏观行为。
离散元方法的步骤可以简单概括为：1. 确定颗粒的形状和大小。
颗粒可以是圆球形、多边形或其他形状，其大小决定了颗粒之间的相对位置。
2. 建立颗粒之间的相互作用力模型。
常用的力模型有弹簧-颗粒模型、弹簧-弹簧模型和接触力模型等。
这些力模型可以描述颗粒之间的接触力、摩擦力和弹性力等。
3. 计算颗粒之间的相互作用力。
通过根据力模型计算颗粒之间的相互作用力，然后将这些力应用于相应的颗粒上。
4. 更新颗粒的位置和速度。
根据颗粒之间的相互作用力，可以计算出颗粒的受力情况，并据此更新颗粒的位置和速度。
5. 重复以上步骤。
通过不断重复计算颗粒之间的相互作用力、更新颗粒的位置和速度，可以模拟整个颗粒体系的力学行为。
离散元方法在工程领域有着广泛的应用。
以下是离散元方法在几个典型应用领域的介绍：1. 地震工程：离散元方法可以用于模拟土地结构在地震作用下的行为。
通过模拟颗粒之间的相互作用力，可以研究土壤内的颗粒位移、应力分布以及土体的破坏机理等，从而为地震工程提供可靠的设计依据。
2. 岩土工程：离散元方法可以用于模拟岩土体的力学行为。
通过模拟颗粒之间的相互作用力，可以研究土体的压缩、剪切和断裂等行为，从而为岩土工程提供精确的预测和分析。
3. 煤矿工程：离散元方法可以用于模拟煤矿岩石的力学行为。
通过模拟颗粒之间的相互作用力，可以研究岩石的破碎、抗压性能以及岩层的稳定性等，从而为煤矿工程的安全评估和设计提供依据。
4. 粉体工程：离散元方法可以用于模拟颗粒材料的力学行为。
离散元基础知识
离散元基础知识离散元是一种用于研究物质在微观尺度上的运动和相互作用的方法。
它基于离散元模型，将物质分解为离散的元素或颗粒，并通过模拟它们之间的相互作用来研究宏观物体的力学行为。
离散元模型的基本概念是将物质分解为离散的颗粒，并考虑它们之间的相互作用。
每个颗粒都有自己的质量、位置和速度，并且可以受到其他颗粒的力的作用。
通过模拟颗粒之间的相互作用，可以研究物体的力学行为，如弹性变形、塑性变形和断裂等。
在离散元模型中，颗粒之间的相互作用通常通过力学原理来描述。
例如，当两个颗粒之间的距离小于一定的范围时，它们之间将存在吸引力或斥力。
这种相互作用力可以通过弹簧模型或者其他力学模型来表示。
通过对颗粒之间的相互作用力进行计算，可以确定颗粒的加速度和速度，并进一步推导出物体的位移和形变。
离散元模型还可以考虑其他因素对物体行为的影响。
例如，摩擦力可以模拟颗粒之间的相对滑动，从而影响物体的运动。
此外，颗粒之间的碰撞也是离散元模型中需要考虑的重要因素。
当两个颗粒之间的距离小于它们的半径之和时，它们将发生碰撞，并且根据碰撞的速度和质量来计算碰撞后的速度和方向。
离散元模型在许多领域中都有广泛的应用。
在土木工程中，离散元模型可以模拟土壤和岩石的力学行为，用于分析地基的稳定性和地震对结构的影响。
在材料科学中，离散元模型可以研究材料的断裂行为和塑性变形，用于设计新材料和改进现有材料的性能。
在生物医学工程中，离散元模型可以模拟人体组织的力学行为，用于研究疾病的发展和治疗方法的设计。
离散元模型的研究需要掌握一定的数学和计算机技术。
数学上需要理解力学原理和微分方程等概念，以及数值计算方法和优化算法等技术。
在计算机上，需要编写程序来模拟离散元模型，并通过可视化技术来展示模拟结果。
近年来，随着计算机硬件和软件的不断发展，离散元模型的计算效率和模拟精度得到了显著提高，使得离散元模拟成为研究物体力学行为的重要工具。
离散元是一种基于离散元模型的研究方法，用于模拟物质在微观尺度上的运动和相互作用。
隧道结构体系的计算模型与方法
离散元法
01
离散元法是一种基于离散化思想的数值计算方法，通过将隧道结构离散化为一 系列相互独立的离散单元，利用单元之间的相互作用关系建立模型，实现隧道 结构的数值分析。
02
离散元法适用于处理不连续或破碎的隧道结构，能够模拟岩土工程中的块体运 动和失稳过程。
03
离散元法的计算精度和效率取决于离散单元的选择和划分，以及求解算法的稳 定性和收敛性。
隧道结构体系的智能化监测与加固技术
智能化监测技术
利用传感器、无线通信和数据处理技术，对隧道结构进行 实时监测和数据采集，实现隧道结构的智能化监测和管理。
健康监测与评估
通过智能化监测技术，对隧道结构的健康状况进行实时监 测和评估，及时发现潜在的安全隐患和损伤，为隧道的维 护和加固提供科学依据。
加固技术
蚁群算法
蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的 优化算法，通过模拟蚂蚁的信息素传 递过程来寻找最优解。在隧道结构体 系的优化设计中，蚁群算法可以用于 解决路径优化问题，如隧道出入口连 接路线的选择、内部通道布局等。
VS
蚁群算法具有分布式计算、信息共享 和鲁棒性强等优点，适用于处理离散 空间的优化问题。通过合理设置信息 素挥发速度、蚂蚁数量和迭代次数等 参数，蚁群算法能够在较短时间内找 到满足工程要求的最优解。
详细描述
弹性力学模型将隧道结构视为连续的弹性体，采用弹性力学的基本方程进行计 算，包括平衡方程、应变-位移关系、应力-应变关系等。该模型适用于隧道结 构的静力分析和稳定性分析。
有限元模型
总结词
将隧道结构离散化为有限个小的单元，通过单元的力学特性进行整体分析。
详细描述
有限元模型将隧道结构离散化为有限个小的单元，每个单元具有特定的力学特性，通过建立单元之间的相互关系， 进行整体的结构分析。该模型能够处理复杂的边界条件和材料非线性问题，适用于各种类型的隧道结构分析。
近场动力学 离散元-概述说明以及解释
近场动力学离散元-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在工程和科学领域中，近场动力学和离散元是两个重要的研究领域，它们为我们理解和解决复杂系统动力学问题提供了有效的工具和方法。
近场动力学是一种研究物体之间的相互作用和相互影响的方法，主要应用于流体动力学、热传递和材料力学等领域。
而离散元则是一种描述和模拟颗粒间相互作用的数值方法，广泛应用于地质工程、颗粒物质流动和碎裂动力学等方面。
本文将对近场动力学和离散元的基本原理和应用进行介绍，探讨它们在不同领域的重要性和应用前景。
希望通过本文的阐述，读者能对近场动力学和离散元有更深入的了解，并能够进一步探索和应用这两种方法来解决自己研究或工程实践中的问题。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对近场动力学和离散元进行概述，并说明本文的目的和结构。
在正文部分，将首先介绍近场动力学的概念和原理，然后详细探讨离散元方法的定义和应用。
最后，将探讨这两种方法的应用与发展情况。
在结论部分，将对近场动力学和离散元进行总结，并展望它们的未来发展方向，最后以一些结束语来结束全文。
整个文章结构清晰，条理分明，旨在为读者提供全面的了解和参考。
1.3 目的：本文旨在深入探讨近场动力学和离散元两种相关概念，探讨它们在科学研究和工程应用中的重要性和作用。
通过对这两个领域的详细介绍和分析，旨在帮助读者更好地理解近场动力学和离散元的原理、方法和应用领域，并对它们的未来发展方向进行展望。
通过这篇文章，我们希望为相关领域的研究者提供一些有益的信息和思路，促进这两种技术的进一步应用和发展，并最终为科学技术的发展做出贡献。
2.正文2.1 近场动力学近场动力学是一种研究物体在其周围环境中短距离内的运动和相互作用的动力学方法。
在传统的宏观动力学中，物体之间的相互作用被简化为几个宏观力，如重力或弹簧力。
然而，在许多情况下，物体之间存在微观尺度的相互作用力，这些作用力在物体接近时会显著影响它们的运动。
离散元方法(dem)
离散元方法(dem)离散元方法（DEM）是一种用于模拟颗粒物质运动的数值方法。
主要针对粒子间的接触、碰撞与运动等问题。
它通过将颗粒分解为一个个小颗粒，并将其在时间和空间方向上进行离散，从而模拟颗粒间的动态变化过程。
DEM在物理领域的应用非常广泛，例如建筑材料，土力学、软流体、车辆碰撞等诸多领域。
离散元方法的基本原理是通过数值方法对颗粒的动态力学性质进行建模。
基于划分、相互作用，以及随机运动规律的离散单元法，使得粒子数量与几何尺寸得到表征；该方法课程有限元/边界元(EF/BE)模拟的体积受限约束问题。
离散元模拟方法主要包含以下基本步骤：颗粒划分，加速度更新，位置时间更新，颗粒接触力计算、碰撞检测等。
DEM思想的基本框架是将宏观系统上形态、功能、结构等各种因素抽象成二、三维离散颗粒，各颗粒之间基于它们的关系进行建立随机微观破坏过程的物理学模型，以此来预测宏观系统的性能表现。
离散元的主要特点是体现在对各个质点之间的相互作用、碰撞、分离以及运动方向上，这一特性使得离散元可以被看作是一种纯离散的动力学计算方法。
离散元方法的优缺点离散元方法应用的主要优势是可以融合多种物理特性，这是因为颗粒汇集质点间的微观相互作用驱动所产生的。
同时离散元方法在处理大变形甚至是破坏过程中也具有很好的适应性。
相对于传统的一些有限元方法，离散元方法的最大特点就是它可以考虑实际的物理过程，更好地表现微观及宏观尺度特性，因此它适用于比较宏观及接近现实问题的模拟，恰好可以覆盖一些其它方向无法处理的实际问题。
与此同时，DEM也存在一些局限性，需要将问题转化为小粒子问题，即在模拟之前需要进行离散化处理，处理的粒子数也必须是有限的。
因此，DEM的计算挑战在于粒子数越多，复杂性就越高。
DEM模拟的实现困难是因为它在模拟颗粒之间微观相互作用和单粒机器人过程上的复杂系统中，各个颗粒之间的相互作用构成了一个有机整体。
离散元方法在建筑、土力学、车辆碰撞等领域有着广泛的应用。
离散元法及其在岩土工程中的应用综述_王卫华
文章编号:1007-2993(2005)04-0177-05离散元法及其在岩土工程中的应用综述王卫华 李夕兵(中南大学资源与安全工程学院,湖南长沙 410083) 【摘 要】 离散元法是基于不连续性假设的数值方法,它特别适合于求解节理岩体中的非连续性问题。
在介绍离散元法基本原理的基础上,着重对离散元法在岩土工程领域的应用现状作了叙述和分析,并对其发展趋势进行了探讨。
【关键词】 离散元法;岩土工程;数值方法【中图分类号】 T B 115A Review on Fundamentals of Distinct Element Methodand Its Applications in Geotechnical EngineeringWang Weihua Li Xibing(School of Resources and Safe ty Engineering ,Central South U niversity ,Changsha Hunan 410083China )【Abstract 】 The Distinct Element M ethod (DEM )is a discontinuum -based numerical method especially applicable to solve the discontinuity problems in jointed rock mass .Firstly the fundamentals of DEM are introduced ,and then its applications in geo -technical engineering are summarzied emphatically ,and finally the development trends of DEM are discussed .【Key Words 】 Distinct Element M ethod ;geo -technical eng ineering ;numerical method0 引 言岩体是一种具有不连续性、非均质性、各向异性和非线性的天然地质体[1～3]。
关于工程力学建模技术
随着计算机技术和数值计算方法的不 断进步，工程力学建模技术正朝着更 加智能化、自动化的方向发展。
02
建模技术的基本原理
有限元法
总结词
有限元法是一种将连续的物理系统离散化为有限个小的、相互连接的单元的数 值分析方法。
详细描述
有限元法通过将复杂的物理系统分解为更简单、更易于处理的子系统，从而能 够解决复杂的工程问题。它广泛应用于结构分析、流体动力学、电磁场等领域 。
案例三：汽车发动机的有限差分建模分析
总结词
有限差分建模分析在汽车发动机的热力学分析中具有 重要应用，通过建立有限差分模型，可以模拟发动机 内部燃烧和流动过程，优化发动机的性能和排放。
详细描述
汽车发动机的有限差分建模分析是将发动机划分为多个 小的网格，每个网格的热量和物质传递通过有限差分方 程进行描述。通过给定不同的初始条件和边界条件，可 以模拟发动机在不同工况下的燃烧和流动过程。有限差 分模型可以考虑到发动机内部的复杂物理现象，如湍流 、燃烧和化学反应等。通过优化发动机的设计和参数匹 配，可以提高发动机的性能和燃油经济性，同时降低排 放对环境的影响。
VS
船舶工程
在船舶工程中，建模技术用于分析船舶的 结构强度、流体动力学特性和稳定性等， 提高船舶的性能和安全性。
04
建模技术的优势与挑战
建模技术的优势
高效性
通过建立数学模型，可以快速 、准确地模拟和分析工程力学 问题，大大提高了工作效率。
预测性
基于模型进行预测，可以在设 计阶段预测结构的性能，从而 优化设计方案。
施工模拟
通过建模技术，可以对建筑施工过程进行模拟，预测施工过程中的问题和风险，优化施工方案。
机械领域
机械设备设计
离散／边界元混合模型在隧道开挖模拟中的应用
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ｂ ｉ ｍ ／Ｂｏ ｄ ｒ Ｃｏ ｐ ｅ ｏ ｅ ｐ ｉ ｔｏ ｆＨｙ ｒｄ Ｄｅ ｃ ｒ ｅ ｍ ｌｘ Ｍ ｄ ｉ ｉ ｕ ａ ｉ ｎ Ｏ ｎ ｅ ｃ ｖ ｔｏ ｎ Ｓ ｍ ｌ ｔＯ ｆＴｕ ｎ ｌＥｘ ａ ａ ｎ ｉ
Ｒｏ ｇ Ｋａ Ｃ ｅ ｈ ｕ ｅ Ｇｕ ｏ ｕ ｎ ｎ ｉ ｈ ｎＳ ｏ ｇｎ ｏ Ｙａ ｈ ａ ｇ
将离 边界元 混合模 型和传统 的 离散 元模 型都 用于 同一 个工程 实例 中， 实例 为处 于节理较 发育岩 体 该
中的两个上下相距只有 ９ ｍ的近接隧道。通过比较模拟发现 ， 边界元混合模型不仅能大大减 少计 离
算时 间， 而且还有 计算 结果更 准确等优 点 。 关键词 离散 单元 法 边界 单元 法 离散／ 边界 元混合 隧道 开挖和 支护 数 值模 拟
和更高 的计算成 本 。解 决 的方法 之一就是 减少 节理单
元 的数量 ， 只考 虑对 隧 道稳 定 性 影 响较 大 的节 理 。如
果 节理 的数量 还是过 大 的话 ， 采 用 等效 概 念将 节理 就 进 行简化 以满 足计算 要 求 Ｊ 。尽 管如 此 ， 种处 理方 这 法 并不能很 好地 反 映岩 体 的实 际情 况 ， 能准 确反 映 不 关 键岩块 的变形 和破坏 状态 。较好 的选择是结 合离散
界元混合模型和传统的离散元模型都被用于一个工程 实例 中， 实例 为处 于节 理 较发 育 岩体 中 的两 个上 下 该
维普资讯
离散／ 边界元混合模型在隧道开挖模拟 中的应用 ： 戎
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郭耀煌
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相距 只有 ９ｍ 的近接 隧道 。通 过 比较模拟发 现 ， 离散／
成是 由离散 的岩块 和岩块 间的节理 面所组 成 。岩块能
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2001年1月水 利 学 报SHU IL I XU EBAO 第1期收稿日期:1999212227基金项目:“九五”国家攻关项目.作者简介:金峰(1966-),男,贵州遵义人,教授、博士生导师,主要从事结构动力分析研究.文章编号:055929350(2001)0120023205离散元2边界元动力耦合模型金 峰1,贾伟伟1,王光纶1(11清华大学水利水电工程系,北京 100084)摘 要:本文提出了一种二维变形体离散元与时域边界元的耦合模型,这一模型可以将非连续体的模拟与无限域的模拟统一在一个模型中,可用于在地震波动输入条件下,考虑辐射阻尼的岩体边坡或地下结构等的动力稳定和变形分析,拓宽了离散元动力分析的领域.算例分析表明本耦合分析模型具有较高的精度.关键词:离散元;边界元;耦合中图分类号:O344 文献标识码:A离散元法是一种模拟离散介质的计算方法,自Cundall 在70年代提出以来,在岩石力学、土力学、结构分析等领域的数值模拟中得到广泛应用,是一种新兴的非连续体分析方法[1,2,3].在动力分析中,许多分析均表明辐射阻尼对分析结果影响很大,应该充分重视[4],动力边界元方法由于在其基本解中包含了无限远处的辐射条件,在处理辐射阻尼的影响时十分方便,是分析地下结构动力响应的一种有力的工具[5].动力边界元法可以分为频域边界元法[5]与时域边界元法[6,7],前者主要适用于线性问题.是发展较早、相对成熟的动力边界元方法.时域边界元方法直接在时域内求解,适合解决非线性问题,根据求解的问题具有非线性的特点,本文选择动力时域边界元方法与可变形体离散元耦合,提出了一个二维时域动力边界元———可变形体离散元耦合模型,充分发挥离散元与边界元的优点,将非连续体的模拟与无限介质辐射阻尼的模拟统一到一个模型中,为地下结构和岩质边坡的抗震稳定分析提供了全新的手段.1 离散元2边界元耦合模型图1 离散体系示意111 二维可变形体离散元原理 可变形体离散元法将模拟的计算区域看作是若干可变形块体的组合,见图1.这些块体可以任意平移、旋转,块体之间的相互作用力,用法向和切向弹簧表示,称为接触,接触力的大小由块体的相对位置决定.每个块体又划分为三角形差分网格以模拟变形,每个差分三角形的顶点称为节点,其应变假定为常数,可以由节点的位置确定.因为一旦节点位置确定,便可以得到差分三角形乃至整个块体的变形和应力,从而得到所有的响应历程,因此,所有的计算将围绕节点进行,边界条件也可以通过给定边界节点位移或节点力来实现.离散元计算采用显式步进的方法,首先将计算的过程分为若干等长的时步,静力分析作为动力分—32—析的特例,可以采用临界阻尼以增加收敛速度,此时静力分析的时步不具有真实的物理意义,可看作迭代步.在每一时步内,对所有块体的所有节点分别进行循环计算,每一节点循环计算的主要步骤为:(1)根据上一循环的结果或边界条件,确定本时步初节点的位置和速度等运动量.(2)根据本节点与相邻节点的位置可确定差分网格的应变,根据本构关系求出应力,再积分得到本节点所受弹性力.若为块体边界上的节点,可根据相邻块体的位置确定接触力,从而得到本节点在本时步所受合力的F ′.以上具体公式和算法可参见文献[1,2,3].(3)由牛顿第二定律或动力平衡方程m ¨u +αm u =F ′+m g(1)式中:F ′是接触力F c 、弹性力F e 与刚度阻尼力F d =β(F c +F e )之和;am u 代表质量阻尼力;α、β是Rayleigh 阻尼系数;g 代表重力加速度,最后一项表示重力的影响.由式(1)通过中心差分,可得到本时步(第i 时步)的速度u i = u i -1(1-015αΔt )+F ′m+g Δt (1+015αΔt )(2)进而可以得到本时步末本节点的位置.返回第(1)步,继续下一轮循环计算,最终求得所有时刻所有节点的解.由于任意块体间在运动过程中都有发生各种接触的可能,在计算中需要对所有的块体之间进行接触判断并计算接触力,这是一项十分耗时的工作,也是离散元法的关键技术之一,为减少计算工作量,针对岩体中构造面的特点,已有一些较好的算法,如Cundall 提出的域算法,充分利用生成离散块体时的信息,将接触检索局限于初始顶点构成的域中,特别适合于由构造面切割形成的离散块体系统,由于篇幅所限,在此不能详细介绍,请参阅有关文献[1]和[2].112 二维时域边界元基本原理 二维全平面时域动力边界元方程[6,7,8]c αβu β(S ,t )=∫t 0∫Γu 3αβp β(Q ,τ)-p 3αβu β(Q ,τ)d Γd τ+u I β(3)式中:u 3αβ,p 3αβ为二维全平面时域动力基本解,其具体的表达式可参见文献[6]和[8];u ,p 分别表示位移与面力;u I 表示从无限远处入射的位移场;S ,Q 分别表示源点及场点.α,β=1,2,同时对时间、空间进行离散,可以得到时域边界元方程可写作[6,7,8]:[H ]L {u}0=[G ]0{p}L +{B }L (4)式中:{u}L 、{p}L 分别是L 时刻的位移与面力分量,{B }L =∑L -1l =1[G ]L -l {p}l -[ H ]L -l {u}l +{u I }L (5)式中:[H ]l 、[G ]l 、(l =1,L )共2L 个矩阵均为系数矩阵,他们可由各边界单元的子矩阵集成而得,具体表达式可参见文献[6]和[8].由于{u}l 、{p}l (l =1,2,…,L -1)是1,2,…,L -1时刻的量,在求解L 时刻时{B }L 为已知量,而在{u}L ,{p}L 中有N (总的自由度数)个值已知,另N 个值未知,因此可解此方程组,可求得L 时刻的N 个未知量,依此类推,即可求得全部时程的历程反应.图2 离散元-边界元耦合模型113 耦合模型的实现 为了实现时域边界元和离散元的耦合,必须解决以下问题:(1)离散元模拟的离散体与边界元分析的连续体实现耦合;(2)求解方式的统一是实现耦合的关键;(3)离散元计算时步与边界元计算时步的协调及离散元节点与边界元单元节点的对应可以进一步提高耦合计算的效率.下面,分别介绍解决的方法.(1)首先,将计算区域划分为两个区域,见图2,即主要考虑无限域辐射阻尼和地震输入的连续体区域,称为边界元域,用时域边界元(B EM )模拟,其模拟的重点是无限域,地表水平自由边界在离散一段距离后截断,经过—42—收敛计算证明可以很好地模拟远域的影响[8].另一区域,称为离散元域,用离散元(DEM)模拟,模拟的重点是离散体.在远域与近域之间设立一个界面块(Interface Block),它是一个完整的可变形离散块体,可进一步划分为三角差分网格,本身是连续的,差分节点同时也可以是边界元节点,边界元与离散元的耦合完全在过渡块上进行,这样,就避免了一个边界元节点可能与两个块体相连而造成的非连续问题.(2)在求解方式上,将整个边界元区域看成是一个离散元法的块体,离散元法计算的核心是根据位置、位移、速度等运动量求作用力,为此,改写边界元方程(4),可以得到{F I}L=[R][G]0-1[H]0{u}L-{B}L(6)式中:[R]是将面力{p}L转换成作用力的转换矩阵.这样,只要知道过渡块中与边界元相接的节点的位移,就可以根据式(6)求出边界元区域作用在这些节点的作用力,进而用式(2)计算节点速度、位移,从而完成一次循环,实现了两种模型的耦合.(3)为了保证计算效率和计算稳定性,时域边界元方法的计算时步不能太小,通常为离散元方法计算时步的几十到上百倍.为解决这一难题,我们采用了异步计算的办法.设离散元法的时步为Δτ,则取时域边界元法的时步Δt=K1K2Δτ,即将每个边界元时步划分为K1个小时步,每个小时步由K2个离散元时步组成,并认为一个小时步内边界元域的作用力不变,既每K2个离散元时步才调用一次式(6)更新作用力.在一个边界元时步内,式(6)的各系数[G]L,[H]L,{B}L皆保持不变,{u}L将不断按下式更新:{u}L={u}L-1+{u}k-{u}L-1K1k (k=1,2,…,K1)(7)式中:{u}k是第k个小时步中第一个离散元时步初的节点位移.当一个边界元时步结束后,式(6)中的面力向量也相应按下式更新{p}L=∑K1k=1[R]-1{F I}kK1(6)进而更新{B},再进行下一个边界元时步的计算.为保证计算效率,边界元的节点通常要大大少于耦合边界上离散元的节点,我们采用一个边界单元对应若干离散元节点的办法,一个边界元内相互作用面力按线性分布,再根据力和力矩的平衡,分别计算分配给每个离散元节点的相互作用力{F I}.这样,通过空间和时间的异步,大大提高了计算效率和改善计算稳定性,从而实现了时域边界元方法和离散元方法的耦合.2 模型验证为验证耦合模型的精度,列出以下两个算例,其他算例可见文献[9].211 岩柱算例 如图3所示的一个岩柱,分为离散元块体模拟的4个岩块和一个边界元区域模拟的顶部岩块,最下一个离散岩块固定,在边界元岩块最上的边界作用单位阶跃荷载110MPa,岩块的弹模E=30GPa,密度ρ=2000kg/m3,阻尼比ξ=011,K n=K s=1011N/m,f=1118,c=0.由于在计算条件下,所有构造面保持完整接触,能保证岩柱的连续性,所以可同时采用时域边界元法对整个岩柱按连续体进行分析.图4为岩柱上各点的位移响应及其与时域边界元法的计算结果对比,在整个计算时间内,两者吻合很好.这一算例显示了当离散块体紧密结合成一个连续体时,耦合模型能够与连续体模型分析结果吻合,并可清楚地看到波动在岩柱中的传播过程,波动能够准确地在边界元区域与离散元区域之间和离散块体之间传播,从一个侧面证实了耦合模型及软件的正确性.—52—图3 岩柱示意图4 耦合模型与时域边界元模型的比较图5 所示的半平面上的离散块体212 半平面的离散块受入射波作用 为进一步验证耦合模型在处理波入射动力问题的计算精度,首先计算了如图5所示的半平面上的离散块体在竖直向上的SV 波入射情况下的响应,离散元域除界面块外仅有一个块体,并且假定离散块体之间的摩擦系数与抗拉强度足够大以保证他们之间不会滑动,边界元域共采用了26个单元,单元长度均为10m ,其中6个单元与界面块体接触,在SV 波入射下的位移历程见图6.图6 输入的位移历程图7 两种方法计算A 点水平位移的比较 图7示出了A 点的水平位移响应与完全采用时域边界元方法计算结果进行的比较.两种方法计算结果的对比再次说明耦合模型具有较高的精度,同时说明了耦合模型能够模拟波动从无限远入射并正确输入到离散元域.其他证明耦合模型能够模拟离散块体的开合等大变形行为的算例,因为篇幅所限和耦合模型与普通离散元模型在这些方面并无本质区别,所以不再列出,可以参考文献[9].致 谢 本文得到国家电力公司成都勘测设计研究院肖白云和王仁坤两位总工的支持和帮助,清华大学水利水电工程系张楚汉教授和徐艳杰博士也给予了大量的帮助,在此一并表示感谢.参 考 文 献:[1] Cundall PA ,Hart RD.Development of G eneralized 22D and 32D Distinct Element Programs for Modelling Joint 2ed Rock [R ].ITASCA Consulting Group ,Misc.Paper SL 28521,1985.[2] 鲁军,张楚汉,王光纶,金峰.岩体动静力稳定分析的三维离散单元法[J ].清华大学学报,1996,(10).[3] Zhang Chuhan ,et al.Application of distinct element method in dynamic analysis of high rock slopes and blockystructures.[J ]S oil Dyn.Earthq.Eng.1997,(12).[4] 张楚汉.结构-地基动力相互作用问题[C].结构与介质相互作用理论及其应用.南京:河海大学出版社,1993.[5] Niwa Y ,K obayashi S ,Azuma N.Application of Integral Equation Method to S ome G eomechanical Problems[C].Numerical Method in G eomechanics ,120-131,ASCE ,New Y ork ,1976.—62—[6] Mansur WJ,Brebbia CA.Topics in Boundary Element Research[C].Chap.4,Springer2Verlag World Pub2lishing Company,87-123,1985.[7] 金峰,张楚汉,王光纶.有阻尼的时域边界元方法[J].力学学报,1997,29(15).[8] 任允涛.各向同性与各向异性介质波动问题边界元法及其工程应用[D].北京:清华大学,1996年.[9] 贾伟伟.离散元-边界元动力耦合模型研究及其工程应用[D].北京:清华大学,1999年.Coupling model of distinct element2bound ary elementJ IN Feng1,J IA Wei2wei1,WAN G Guang2lun1(11Tsi nghua U niversity,Beiji ng 100084,Chi na)Abstract:A22D dynamic model coupling the deformation block distinct element method with boundary element method in time domain is established.The model simulates the static and dy2 namic responses of discontinuous rock and the effects of infinite domain simultaneously.It can be used to analyze the static and dynamic stability,deformation of rocky slopes as well as the under2 ground structures,especially when wave propagation input of earthquake and radiation damping must be taken into acciunt.The results of bench mark problems show shows that the precision of this method is high.K ey w ords:distinct element method;boundary element method;coupling model——72。