线性代数 期末试题

一、填空（每小题2分，共10分）

5x 1 2 3

1．在多项式()f x = 1 x -2 1 2 中，4

x 的系数项为 ，3

x 的系数 1 2 x 3 -1 1 2 2x 项为 。

20x y z +-=

2．当k = 时，线性方程组 20x ky z +-= 有非零解。 350x z -= 3．设矩阵1

1112A

--⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则1

()A *-= 。 1 2 3 0

4．设矩阵A = 0 -1 0 3 ，则A 中四个列向量构成的向量组是线性 ，

1 -

2 2 1 0 0 0 5

且()R A = 。

5．设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11112345,,,,则行列式1

B E --= 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号

内。每小题2分，共20分）

1 3 1 λ 0 -1

1．设行列式1D = 2 2 3 ，2D = 0 λ 0 ，若1D =2D ，则λ的取值为 3 1 5 -1 0 λ （ ）。

（A ）0，1 （B ）0，2 （C ）1，-1 （D ）2，-1 2．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，且0AB =，则（ ） （A ） 0BA = （B ） 222

()A B A B -=+ （C ） 0B = （D ） 0B =或0A =

3，已知A 、B 、C 均为可逆方阵，则1

000

00

0C B A -⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

=（ ）。

（A ）1

1

1000

000C

B

A ---⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1

1

1000

000A

B

C ---⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ （C ）11

1000

000

A B

C ---⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ （D ）1

1

100000

0B C

A ---⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

4．若A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，则有（ ）。 （A ）1T A A E -= （B ）1T A A -= （C ）T A A =- （D ）0A = 5．设有4维向量组16,,αα ，则（ ）。

（A ）16(,,)4R αα= （B ）16(,,)2R αα= （C ）1234,,,αααα必然线性无关

（D ）16,,αα 中至少有2个向量能由其余向量线性表示 6．当（ ）时，0a A b

c ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

是正交阵。 （A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c ===

7．若线性方程组A X B =中，方程的个数少于未知数的个数，则（ ）。 （A ）0AX =必有非零解 （B ）0AX =仅有零解

（C ）0AX =一定无解 （D ）A X B =必有无穷多解

8．设123,,,ηηη 为非齐次线性方程组A X B =的k 个线性无关的解()k n <，且

1122

k k X c c c ηηη=+++ （12,,k c c c 为任意常数且121k c c c ++= ）是A X B =的通解。则()R A =（ ）。

（A ）k （B ）n k - （C ）1n k -+ （D ）1n k -- 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。

（A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值

（C ）必存在正交矩阵P ，使1

P AP -成为对角矩阵

（D ）A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的

10．设A ，B 均为阶方阵，1()T

n X x x = 且T T

X AX X BX =，则当（ ）时，A=B 。

（A ）()()R A R B = （B ）T A A = （C ）T B B = （D ）T A A =且T B B =

三、计算题（每小题8分，共64分）

2 1 1 1 1．计算4阶行列式 D = 4 2 1 -1 201 102 -99 98 1 2 1 -2

2．设矩阵 1112

1010

4A ⎛⎫

⎪

=- ⎪

⎪⎝

⎭，1

002

1002

1B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，求：（1）2B -；（2）AB BA -。

1 1 0 0

3．设 A = 0 1 0 0 ，利用分块矩阵求n

A （其中2n ≥为整数）。

0 0 1 -1 0 0 -1 1

4．设向量组1234(1,1,1,4,3),(1,1,3,2,1),(2,1,3,5,5)(3,1,5,6,7)T

T

T

T

αα

αα==--==

，

求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

5．设向量组123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,),T

T

T

T

a b c αααβ==-=-=试问：当,,a b c 满足什么条件时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表示唯一？（2）β不能由123,,ααα线性表示？（3）β可由123,,ααα线性表示，但表示不唯一？