实验二 状态反馈与极点配置
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
状态反馈和极点配置
为了根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参数，只需将期望的 系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式 hC) 相比较即可。
15
输出反馈到参考输入
设被控对象的状态方程为 x Ax Bu
y Cx
输出量反馈到参考输入时， u=r-hy，则该输出反馈系统的动态
方程为 x (A BhC)x Bv
为
0 0 1
Q [ B AB A2 B ] 0
1
6
1
6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的，可任意
配置极点。
下面用两种方法求解。
11
极点配置 例1
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0 a1 k1 a1
an1
kn1
a n1
求解上述方程组，得到 ki 的值，则
K KP1 [k0 k1
kn 1 ]P 1
[ a0 a0 a1 a1
an1 an1 ] P1
如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意 配置所有的特征值。
充分性得证。
8
极点配置定理_必要性
即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设原线性系统 x Ax Bu 状态不可控，则其可控性矩阵的 秩小于n，即
rank[ B AB An1B ] q n
◆考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续。
状态反馈的极点配置
东南大学自动化学院实验报告课程名称：自动控制基础实验名称：控制系统极点的任意配置院（系）：自动化学院专业：自动化姓名：吴静学号：08008419实验室：实验组别：同组人员：实验时间：2011年4月29日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1. 掌握用状态反馈的设计方法实现控制系统极点的任意配置；2. 用电路模拟的方法，研究参数的变化对系统性二、实验原理内容用全状态反馈实现二阶系统极点的任意配置，并用电路模拟的方法予予以实现； 理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能一定会优于只有输出反馈的系统。
设系统受控系统的动态方程为bu Ax x+= cx y =图6-1为其状态变量图。
图6-1 状态变量图令Kx r u -=，其中]...[21n k k k K =，r 为系统的给定量，x 为1⨯n 系统状态变量，u 为11⨯控制量。
则引入状态反馈后系统的状态方程变为bu x bK A x+-=)( 相应的特征多项式为)](det[bK A SI --，调节状态反馈阵K 的元素]...[21n k k k ，就能实现闭环系统极点的任意配置。
图6-2为引入状态反馈后系统的方框图。
图6-2 引入状态变量后系统的方框图实验时，二阶系统方框图如6-3所示。
图6-3 二阶系统的方框图引入状态反馈后系统的方框图如图6-4所示。
根据状态反馈后的性能指标：20.0≤p δ，s 5.0T p ≤，试确定状态反馈系数K1和K2图6-4 引入状态反馈后的二阶系统方框图三、实验步骤1．引入状态反馈前根据图6-3二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-9所示。
图6-9 引入状态反馈前的二阶系统模拟电路图在系统输入端加单位阶跃信号，用上位机软件观测c(t)输出点并记录相应的实验曲线，测量其超调量和过渡时间。
2．引入状态反馈后请预先根据前面给出的指标计算出状态反馈系数K1、K2。
根据图6-4引入状态反馈后的二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-10所示。
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
综合性实验 极点配置全状态反馈控制指导书
综合性实验 极点配置全状态反馈控制一、实验目的1．学习并掌握用极点配置方法设计全状态反馈控制系统的方法。
2．用电路模拟与软件仿真方法研究参数对系统性能的影响。
二、实验内容1．设计典型二阶系统的极点配置全状态反馈控制系统，并进行电路模拟与软件仿真研究。
2．设计典型三阶系统的极点配置全状态反馈控制系统，并进行电路模拟与软件仿真研究。
三、实验前准备工作1 推导图1的数学模型（状态空间表达式），分析系统的能控性。
2 若系统期望的性能指标为：超调量25%p M ≤，峰值时间0.5p t ≤，求出期望的极点值。
根据以上性能指标要求设计出状态反馈控制器。
3 推导图2的数学模型（传递函数），求出其单位阶跃响应的动态性能指标（超调量、调节时间、静态速度误差系数）。
4 推导图4的数学模型（状态空间表达式），分析系统的能控性。
5考虑系统稳定性等要求，选择理想极点为：S 1＝－9，S 2 ＝－2＋j2，S 3＝－2－j2， 根据以上性能指标要求思考如何设计状态反馈控制器。
6 推导图7的数学模型（传递函数）。
四、实验步骤1．典型二阶系统（1）对一已知二阶系统（见图1）用极点配置方法设计全状态反馈系数。
（2）见图2和图3，利用实验箱上的电路单元U9、U11、U12和U8，按设计参数设计并连接成系统模拟电路，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（3）改变系统模拟电路接线，使系统恢复到图1所示情况，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（4）对实验结果进行比较、分析，并完成实验报告。
2．典型三阶系统（1）对一已知三阶系统（见图4）用极点配置方法设计全状态反馈系数。
（2）见图5和图7，利用实验箱上的电路单元U9、U11、U12、U15和U8，按设计参数设计并连接成系统模拟电路，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（3）改变系统模拟电路接线，使系统恢复到图5所示情况，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
软件仿真直接在MATLAB 中实现。
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
线性系统状态反馈与极点配置
实验报告课程名称：现代控制理论实验名称：线性系统状态反馈与极点配置、实验目的1. 学习并掌握利用MATLAB编程平台进行控制系统设计与仿真的方法。
2. 通过仿真实验，研究并总结线性定常系统状态反馈对系统控制性能影响的规律。
3. 通过仿真实验，研究并总结状态反馈对状态不完全能控系统控制性能影响的规律。
二、实验内容（一）实验任务：1. 自行选择一个状态完全能控型SISO 系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求计算期望的极点并进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；2. 自行选择一个状态不完全能控型SISO 系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；根据实验结果，总结各自的规律。
三、实验设计1. 实验条件1. 利用本学期所学的现代控制理论的知识为基础。
2. 笔记本电脑，matlab四、实验过程1. 设计状态完全能控型SISO 系统模型及参数：a）首先判断系统的能控性= ，是Rack（［B AB］） = 2，因此此系统为可控的系统。
可以进行任意极点配置。
则期望极点配置二重根1b ） 再求状态反馈阵 ：c ） 根据给定的极点，得到期望特征多项式：d ）比较和 各对应项系数，可解得:e ）即状态反馈控制器：u=-K*x状态反馈闭环系统空间表达式 x=A-B*K*xA1 = A -B*K = [0 1 ; 1 -2]2. 设计状态不完全能控型 SISO 系统模型及参数：a ）首先判断系统的能控性, Rank （[B AB]） = 1，因此系统是不完全能控的，b ）再求状态反馈阵c ）将期望极点配置二重根 1，则：d ）比较 和 各对应项系数，可解得：任意值e ）即状态反馈控制器：u=-K*x 状态反馈闭环系统空间表达式 x=A-B*K*xA1 = A -B*K = [01； 1 1]五、实验结果（曲线、数据等）1 •状态完全能控型SISO 系统模型：a ）配置极点前的波形： A=[0 1; 0 1]不能进行任意极点配 设）b)配置极点后的波形： A1 = A -B*K = [01; 1-2]3. 状态不完全能控型SISO 系统模型a ）配置极点前的波形：A=[1 01]■* l-lgu-'E 1 fit E占Jl 血血JWEfllulk 氐*lap ffilndort 也 b□X Fi1J j dk %鵲 、七禺v 插-<2 D £ ■ dM IP 2*S4«|> R ：吐parish13ID ・■-霊■・4卜2-1J ftTO2D3) 4D 也Ihrme liucondy.)*a)配置极点后的波形:六、实验结果分析与讨论1•状态完全能控型SISO系统模型通过配置极点后动态性能变好，但是稳态误差不能消除。
状态反馈与极点配置报告
自动控制原理（课程设计）一、题目用MATLAB创建用户界面，并完成以下功能：（1）由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点；（2）显示未综合系统的单位阶跃响应曲线；（3）显示采用一般设计方法得到的状态反馈矩阵参数；（4）显示闭环反馈系统的单位阶跃响应曲线；（5）将该子系统嵌入到寒假作业中程序中。
分别对固定阶次和任意阶次的被控系统进行设计。
分别给出设计实例。
二、运行结果界面：如图由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点例如，输入010001034A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，1B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]2000C=，0D=，闭环系统希望的一组极点:22j-+、22j--、5-如图所示：被控系统的单位阶跃响应曲线闭环系统的单位阶跃响应曲线状态反馈矩阵显示三、讨论该闭环控制系统的状态反馈与极点配置设计系统可用于任意阶次的控制系统。
在此之前，我还做了一个固定阶次的控制系统状态反馈与极点配置的Matlab 控制台程序（见附录二）。
该系统的利用状态反馈进行极点任意配置所采用的方法为一般方法，其步骤如下：①判断受控系统是否完全能控；②由给定的闭环极点要求确定希望的闭环特征多项式的n个系数~i a；③确定原受控系统的特征多项式系数ia；④确定系统状态反馈矩阵~~~~[,,,]12nff fF=的诸元素~~11ii if a a-=--；⑤确定原受控系统化为能控标准形的变换阵的逆1P-，⑥确定受控系统完成闭环极点配置任务的状态反馈阵~1F F P-=。
四、参考文献[1]黄家英.《自动控制原理》.高等教育出版社,2010.5[2]唐向红，郑雪峰.《MATLAB及在电子信息类》.电子工业出版社,2009.6[3]吴大正，高西全.《MATLAB新编教程》.机械工业出版社，2008.4五、附录function varargout = tufeiqiang(varargin)%TUFEIQIANG M-file for tufeiqiang.fig% TUFEIQIANG, by itself, creates a new TUFEIQIANG or raises the existing% singleton*.%% H = TUFEIQIANG returns the handle to a new TUFEIQIANG or the handle to% the existing singleton*.%% TUFEIQIANG('Property','Value',...) creates a new TUFEIQIANG usingthe% given property value pairs. Unrecognized properties are passed via % varargin to tufeiqiang_OpeningFcn. This calling syntax produces a% warning when there is an existing singleton*.%% TUFEIQIANG('CALLBACK') and TUFEIQIANG('CALLBACK',hObject,...) call the% local function named CALLBACK in TUFEIQIANG.M with the given input % arguments.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help tufeiqiang% Last Modified by GUIDE v2.5 20-May-2015 23:49:56% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @tufeiqiang_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @tufeiqiang_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [], ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before tufeiqiang is made visible.function tufeiqiang_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin unrecognized PropertyName/PropertyValue pairs from the% command line (see VARARGIN)% Choose default command line output for tufeiqianghandles.output = hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes tufeiqiang wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = tufeiqiang_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = handles.output;function WZH_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to WZH (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);sys = ss(A,B,C,D);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');step(sys);%title('••×••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),...'Color','red',...'LineWidth',2)% --- Executes on button press in BFK.function BFK_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to BFK (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);P=get(handles.edit5,'String');P=char(P);P=str2num(P);K = acker(A,B,P);at = A-B*K;bt = B;ct = C;dt = D;%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);sys = ss(at,bt,ct,dt);step(sys);title('±••··••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 3 3]),...'Color','yellow',...'LineWidth',2)function FKC_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to FKC (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);Z=get(handles.edit5,'String');Z=char(Z);Z=str2num(Z);Zif rank(ctrb(A,B)) == rank(A)N = acker(A,B,Z);Nstr=num2str(N)H = findobj('tag','edit6');set(H,'string',str);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• ');endfunction pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to pushbutton6 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');AA=char(A);AA=str2num(A);AB=get(handles.edit2,'String');BB=char(B);BB=str2num(B);BM = ctrb(A,B);if rank(M) == rank(A)msgbox('•••••ê••••••••••••••••••');%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• '); end。
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
状态反馈极点配置方法的研究
实验报告课程线性系统理论基础实验日期2016 年月日专业班级姓名学号同组人实验名称状态反馈极点配制方法的研究评分批阅教师签字一、实验目的1．掌握状态反馈系统的极点配置;2．研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容原系统如图3—2所示。
图中,X1和X2是可以测量的状态变量.图3-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵，使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:（1) 已知:K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒.(12) 已知：K=1，T=0。
05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5％,ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统,如图3-3所示：图3—3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 MATLAB R2015B四、实验原理(或程序框图）及步骤 (1）实验原理一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法:①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K;②基于Carlay-Hamilton 理论,它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A 的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。
五、程序源代码（1)num=［10］；den=[1 1 10];[A,B，C,D]=tf2ss（num,den）；p=eig(A)'P=[-3+sqrt（—142)/2；-3—sqrt（—142)/2;] K=place(A,B,P)p=eig(A—B*K)'sysnew=ss（A-B*K，B,C，D）step(sysnew/dcgain(sysnew)）title('极点配置后系统阶跃响应’)num=［10];den=［1 1 10];［A，B，C,D]=tf2ss（num,den)；step(A，B，C，D）title（'极点配置前系统的阶跃响应’）(2)num=[1］；den=[1 1 0.5]；[A,B，C,D]=tf2ss(num,den）;p=eig(A）’P=[—6+sqrt（-36）；-6-sqrt（—36）；］K=place（A，B,P）p=eig(A-B＊K）'sysnew=ss（A—B＊K，B，C，D)step（sysnew/dcgain(sysnew）)title('极点配置后系统的阶跃响应’)num=[1］;den=[1 1 0。
(第11讲)极点配置与状态反馈
Ao P 1 AP, bo P 1b, co cP
第一能观标准型 四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
SISO系统第二能控、能观标准型
第二能控标准型 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Ac 0 0 0 1 0 , b c 0, cc b0 b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 a3 a4 1 1 n 1 1 cAn 1
•在外扰下无静差跟踪。如使状态和控制的 二次型积分函数最小，即最优控制。
J (x, u) xT Qx uT Ru dt
0
四川理工自动化教研室
tgq77@
SISO系统的极点配置：问题表述
已知系统方程
x Ax bv y cx
* * 1 , * ,, * 和n个期望闭环极点值 2 n
A
y
四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
0 1 Ac 0 0 0
SISO系统第一能控、能观标准型
T Qc b Ab An 1b
第一能控标准型
Ao
0 0 0 a0 1 Ac T 1 AT , b c T 1b, c c cT 0 0 0 0 a1 1 0 0 a2 , b c 0, c c 1 2 3 4 5 0 1 0 a3 0 0 0 0 1 a4 T T T T P 1 Qo c cA cAn1 A ,b c ,c b
u
B
x
A
H
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
30
例： 设系统的状态空间表达式为 1 1 0 1 状态方程同前 1 1 0 x 0 u x 面极点配置例 0 1 3 0
4
状态反馈系统的状态方 程为 ( A BK ) x Br x yCx
状态反馈系统的传递函 数为 G ( s ) C ( sI A BK ) 1 B
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性 注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
自动控制原理
控制系统分析与设计的
状态空间方法2 ——综合与设计
（第八章）
1
状态空间法综合的基本概念
综合问题的三大要素:
受控系统、性能指标、反馈控制律
综合与设计的主要特点:
以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论 基于非优化型指标的极点配置方法 基于优化类性能指标的目标函数极值法
2
主要内容
通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s 3 ( k 1 3 )s 2 ( k 2 2 k 1 2 )s ( k 3 3 k 2 3 k 1 6 )
r
-
u
B
x
∫
A
x
C
y
H
6
3.
状态反馈与输出反馈比较
反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈
反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 输出反馈可视为状态反馈的一种特例。
实验二 状态反馈与极点配置
实验二 状态反馈与极点配置一、实验目的a) 掌握状态反馈极点配置的设计方法。
b) 掌握运用模拟运算放大电路实现状态反馈。
c) 验证极点配置理论。
二、实验仪器a) TDN —AC/ACS 型自动控制系统实验箱一台b) 示波器c) 万用表三、实验原理和电路为了更好地达到系统所要求的各种性能指针，需要通过设计系统控制器，改善原有系统的性能。
由于系统的性能与其极点分布位置有密切关系，因而极点配置是系统设计的关键。
极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。
在系统综合设计中，状态反馈和输出反馈是两种常用的反馈形式，而在现代控制理论中系统的物理特性是采用系统内部状态变量来描述的，利用内部状态变量乘以系数（向量）与系统参考输入综合构成的反馈系统，具有更优的控制效果。
1、单输入单输出状态反馈的极点配置受控系统如图2-1，图2-1受控系统其中状态变量1()1/G S S =，2()1/(0.051)G S S =+，状态变量1x 、2x ，对系统进行极点配置，达到系统期望的性能指针：输出超调量5%P M ≤；峰值时间0.5p t s ≤；系统频宽10b ω≤；跟踪误差0p e =（对于阶跃输入）。
i. 确定受控系统的状态空间模型211()()x u x G S =-，122()x x G S =，1y x =，系统的状态方程为：.11.2220200101x x u x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦；[]1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ii.确定期望的极点21P M e ζ-=；21p n t ωζ=-；22412244b ωωζζζ=-+-+可解得0.707ζ≥，选0.707ζ=；9n ω≥由10b ω≤选10n ω=。
这样期望极点为：*17.077.07j λ=-+*27.077.07j λ=--iii. 确定状态反馈矩阵K原系统特征多项式：12110det()...2020n s n sI A s a s a s a s s ---=++++=++期望的闭环系统特征多项式：**212det()()()14.1100sI A BK s s s s λλ--=--=++ 计算K ：K =[10020-，14.120-]=[80，-5.9]计算变换矩阵p ：1111111[...]...1n n n a p A b Ab b a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1/20011p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦[][]1/20080 5.99.9 5.911K K p ⎡⎤==-=-⎢⎥-⎣⎦iv. 确定输入放大系数L闭环传递函数为2()20/(14.1100)G s s s =++系统要求跟踪阶跃信号误差为0则000lim(1())lim (1/()/)1/5p t s e y t s s G s s L →→==-=-=- 得L=52、极点配置的系统结构图图2-2极点配置后的系统将原系统的反馈线路与状态x1反馈线路合并后图2-3极点配置后的系统一、实验内容及步骤1、根据图2-4接线图2-4极点配置后系统的模拟电路M、峰值时间2、输入阶跃信号，用示波器观察并记录系统输出的波形，测量超调量Pt。
状态空间极点配置控制实验课件
选择控制信号为：
u = −KX
图 1 状态反馈闭环控制原理图
求解上式，得到 x(t) = (A − BK)x(t)
方程的解为： x(t) = e( A−BK )t x(0)
可以看出，如果系统状态完全可控，K 选适当，对于任意的初 始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。
极点配置的设计步骤： 1) 检验系统的可控性条件。
把计算得到的 K 值输入上面的窗口。 运行仿真，得到以下结果：
图 4 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB Simulink 仿真结果
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以看出，在存在干扰的情况下，系统在3 秒内基本上 可以恢复到新的平衡位置，
读者可以修改期望的性能指标，进行新的极点配置， 在“Controller2”模块中设置新的控制参数，并点击 “Manual Switch”把控制信号切换到“Controller2”
3、 极点配置控制实验
❖ 实验步骤如下
1) 进 入 MATLAB Simulink 中“ \\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\
InvertedPendulum \ Linear Inverted Pendulum, ”目录，打 开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下：
Googol Linear 1 stage Inverted Pendulum Poles Placement Method1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear; A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]'; J=[ -10 0 0 0; 0 -10 0 0; 0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0;
状态反馈与闭环极点配置
则 A + BK 的特征值为α1 , α 2 ,"α n . 故 K 存在。 定理结论得证。
12
§3.2-2 单输入系统的极点配置 定理3.2的意义： 1. 单输入能控系统可通过状态反馈任意配置闭环系统的极点. 2. 给出了单输入极点配置问题的算法。 算法： (1) 求 A 的特征多项式, 即(3.2.6); (2) 计算α ( s ), 即(3.2.10); ˆ; (3) 由(3.2.13)计算 K (4) 由(3.2.4)计算变换矩阵 T , 并求出 T −1 ; (5) 由(3.2.14)计算状态反馈矩阵 K.
[sI − A − BK
B ] = [ sI − A
⎡ I B ]⎢ ⎣− K
0⎤ I⎥ ⎦
rank [ sI − A − BK
B ] = rank [ sI − A B ] , ∀s ∈ ^
由PBH判据知定理结论成立。
5
§3.2
闭环极点配置问题
§3.2-1 问题的描述 线性定常系统
(3.2.1) = Ax + Bu x A, B 分别是 x 为 n 维状态向量， u 为p 维控制向量， n × n, n × p 阶常阵。 给定
13
§3.2-2 单输入系统的极点配置 例1 给定单输入线性定常系统为
0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x = ⎢1 − 6 0 ⎥ x + ⎢0⎥u ⎢ ⎢ ⎦ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣0 1 − 12⎥
闭环特征值为
α1 = −2, α 2,3 = −1 ± j
求状态反馈矩阵 K.
14
§3.2-2 单输入系统的极点配置 解：经判断系统为能控。计算系统的特征多项式 求得
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实验二 状态反馈与极点配置
一、实验目的
a) 掌握状态反馈极点配置的设计方法。
b) 掌握运用模拟运算放大电路实现状态反馈。
c) 验证极点配置理论。
二、实验仪器
a) TDN —AC/ACS 型自动控制系统实验箱一台
b) 示波器
c) 万用表
三、实验原理和电路
为了更好地达到系统所要求的各种性能指针，需要通过设计系统控制器，改善原有系统的性能。
由于系统的性能与其极点分布位置有密切关系，因而极点配置是系统设计的关键。
极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。
在系统综合设计中，状态反馈和输出反馈是两种常用的反馈形式，而在现代控制理论中系统的物理特性是采用系统内部状态变量来描述的，利用内部状态变量乘以系数（向量）与系统参考输入综合构成的反馈系统，具有更优的控制效果。
1、单输入单输出状态反馈的极点配置
受控系统如图2-1，
图2-1受控系统
其中状态变量1()1/G S S =，2()1/(0.051)G S S =+，状态变量1x 、2x ，对系统进行极点配置，达到系统期望的性能指针：输出超调量5%P M ≤；峰值时间0.5p t s ≤；系统频宽10b ω≤；跟踪误差0p e =（对于阶跃输入）。
i. 确定受控系统的状态空间模型
211()()x u x G S =-，122()x x G S =，1y x =，系统的状态方程为：
.11.2220200101x x u x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
；[]1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ii.
确定期望的极点
21P M e ζ-=；21p n t ωζ=-；22412244b ωωζζζ=-+-+可解得0.707ζ≥，选0.707ζ=；9n ω≥由10b ω≤选10n ω=。
这样期望极点为：*17.077.07j λ=-+
*27.077.07j λ=--
iii. 确定状态反馈矩阵K
原系统特征多项式：
12110det()...2020n s n sI A s a s a s a s s ---=++++=++
期望的闭环系统特征多项式：**212det()()()14.1100sI A BK s s s s λλ--=--=++ 计算K ：
K =[10020-，14.120-]=[80，-5.9]
计算变换矩阵p ：
1111111[...]...1n n n a p A b Ab b a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1/20011p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
[][]1/20080 5.99.9 5.911K K p ⎡⎤==-=-⎢⎥-⎣⎦
iv. 确定输入放大系数L
闭环传递函数为2
()20/(14.1100)G s s s =++
系统要求跟踪阶跃信号误差为0则00
0lim(1())lim (1/()/)1/5p t s e y t s s G s s L →→==-=-=- 得L=5
2、极点配置的系统结构图
图2-2极点配置后的系统
将原系统的反馈线路与状态x1反馈线路合并后
图2-3极点配置后的系统
一、实验内容及步骤
1、根据图2-4接线
图2-4极点配置后系统的模拟电路
M、峰值时间
2、输入阶跃信号，用示波器观察并记录系统输出的波形，测量超调量
P
t。
p
二、预习内容
1、实验前的理论设计。
2、利用MATLAB进行极点配置，并绘制状态反馈前后的响应结果。
三、思考题
1、状态反馈与输出反馈各自特点，及优劣比较？
2、状态反馈使系统极点可任意配置吗？若能，条件是什么？
3、输出反馈能使系统极点任意配置吗？若能，条件是什么？
4、若系统的某些状态不能直接测量，采用什么办法构成全状态反馈？
答：1.状态反馈引入转台反馈阵后，并不增加系数的维数，而输出反馈引入的矩阵的自
由度比状态反馈的自由度小，在不增加补偿起的条件下，输出反馈的效果显然不如状态
反馈系统好。
2．不是，系统必须是完全能控的才能任意配置极点。
3．不是，系统必须是完全能观的，而且动态补偿的阶数为n-1.。